Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 5010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 2. Закономерности развития математики

Развитие математики и концепция научно-исследовательских программ

Выше мы уже рассмотрели тезис Лакатоса, состо ящий в том, что любое содержательное доказательство несовершенно и имеет риск быть опровергнутым, по скольку оно не может быть зашищено от скрытых лемм, нуждающихся в уточнении. Другая его идея состоит в том, что математика представляет собой особого рода квазиэмпирическое знание, подчиненное в своем раз витии общей логике развития эмпирических наук.

Концепция научноисследовательских программ И. Лакатоса — это общая теория развития знания, пре тендующая на то, чтобы быть приемлемой для всех наук, включая математику. Лакатос был убежден, что философия математики должна иметь свой фундамент в общей концепции развития научного знания. Анализ, однако, показывает, что такая установка, будучи полез ной в определенных отношениях, является в целом принципиально ограниченной. Она не учитывает су щественных особенностей математического знания, радикально отличающих математику от других наук и существенно определяющих специфику его развития и обоснования.

Согласно Лакатосу, функционирование и эволю цию научной теории можно понять, если представить ее в виде «жесткого ядра» принципов, окруженного защитным поясом вспомогательных гипотез. Разделе ние утверждений теории на жесткое ядро и защитный пояс не определяется однозначно их логической струк турой или содержанием, а является в значительной мере результатом конвенции. Этим положением Лака тос отделяет свое воззрение на основные принципы научной теории как от индуктивизма, так и от поппе ровского фальсификационизма.

Общая стратегия исследования в рамках теории определяется, по Лакатосу, положительной эвристикой, а именно стремлением распространить теорию на возможно более широкую сферу явлений. Так, от меха ники материальной точки посредством введения допол нительных конкретизирующих требований мы перехо

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

дим к механике твердого тела, к гидромеханике и ста тистической механике, образуя, таким образом, серию теорий, имеющих одно и то же жесткое ядро (принци пы ньютоновой механики), но отличающихся защитным поясом, прежде всего системой допущений, определя ющих исходные объекты этих теорий. Эта серия гене тически зависимых усложняющихся теорий и образу ет собственно исследовательскую программу, которая, согласно Лакатосу, имеет источник развития уже в самой себе, в возможности чисто внутреннего, логи ческого развертывания.

Развитие исследовательской программы, ее при способление к новым сферам явлений происходит в основном за счет изменений в ее защитном поясе. Здесь проявляется другая фундаментальная установка исследователя, которую Лакатос называет отрицатель ной эвристикой, а именно стремление сохранить ядро теории, систему исходных принципов, устраняя ано малии и несоответствия внутри ее за счет положений защитного пояса.

Важное значение в концепции Лакатоса имеют так же понятия «прогрессивного» и «регрессивного» сдви га проблем. Речь идет здесь о характере усовершенство ваний в защитном поясе, которые могут быть предло жены в затруднительной ситуации, т. е. тогда, когда теория встречается с фактами, не поддающимися объяс нению. Нововведение в теории является, по Лакатосу, прогрессивным (обеспечивающим «прогрессивный сдвиг проблемы»), если оно позволяет не только выйти из данной затруднительной ситуации, т. е. объяснить некоторый факт, но и увеличить при этом эмпирическое содержание теории в целом — предсказать другие проверяемые факты или объяснить ранее необъяснен ные явления. Так, идея Коперника о вращении планет вокруг Солнца не только объясняла известные анома лии в движении планет, например, петлеобразное дви жение Марса, но и предсказывала феномен годового параллакса, который действительно был зафиксирован, как только астрономические инструменты достигли необходимой точности. Усовершенствования в теории являются регрессивными, если они дают эффект по

Глава 2. Закономерности развития математики

отношению лишь к исходному факту, не увеличивая эмпирического содержания теории в целом. Мы имеем здесь дело с так называемыми допущениями ad hoc, систематическое использование которых в теории го ворит о начале регрессивной стадии ее развития, об истощении исследовательской программы в целом и служит сигналом для поиска альтернатив наиболее фундаментальным ее предпосылкам.

Увеличение эмпирического содержания теории действительно выражает объективное направление развития научноисследовательской программы в це лом, а также и рациональный (объективно фиксируе мый) критерий замены конкретных теоретических представлений другими. Любая теория, согласно Ла катосу, может и должна быть заменена «только лучшей теорией, т. е. такой теорией, которая обладает б эмпирическим содержанием»

óльшим

Эту схему развития науки Лакатос считает уни версальной, т. е приложимой не только к эмпириче ским теориям, но и к математике. Очевидные разли чия между эмпирическим и математическим знани ем он истолковывает лишь как различия между эмпирическими и квазиэмпирическими теориями. Согласно Лакатосу, исторически существовали и продолжают существовать два идеала теории. Соот ветственно первому из них теория начинается с ус тановления истинности исходных положений, акси ом. И их истинность однозначно определяет истин ность всех остальных ее утверждений, получаемых посредством дедуктивного вывода. Этот тип теории он называет евклидовским, ибо убеждение в истин ности теорем евклидовой геометрии исторически основывалось на том, что они строго следуют из аксиом, истинность которых не подлежит сомнению. Воззрения современных математиков, считает Лака тос, несколько отличны от чисто евклидовского идеа ла. Их можно назвать квазиевклидовскими, т. к. со временные математики не связывают с аксиомами

Lakatos I. Mathematics, Science and Epistemology //

Philosophical papers. Cambridge, 1978. P. 221.

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

понятие истины, хотя и придерживаются мнения, что приемлемость теорем целиком определена приемле мостью некоторой системы исходных принципов.

История науки, с точки зрения Лакатоса, реши тельно отвергает как евклидовский, так и квазиевкли довский взгляд на природу научной теории. Живая наука начинается не с основания, не с принципов, а с конкретных, непосредственно проверяемых утвержде ний. Истина (там, где это понятие вообще применимо) входит в теорию не через аксиомы, но именно через конкретные базисные («фактические») утверждения. Не истинность аксиом (и вообще исходных принципов) определяет истинность следствий, а напротив, исход ные принципы, основания теории оправданны, прием лемы лишь постольку, поскольку они удовлетворяют в качестве логического основания для некоторого мно жества истинных утверждений о фактах. В этом состо ит, по Лакатосу, эмпирический идеал научной теории и эмпирический взгляд на обоснование научной тео рии. Основная ошибка многих философов и математи ков состоит, по Лакатосу, в том, что они продолжают думать о математической теории как об евклидовской, в то время как она в действительности есть одна из разновидностей квазиэмпирического знания. Матема тика не является эмпирическим знанием в прямом смысле этого слова, т. к. ее базисные фактические положения (фальсификаторы) не являются утвержде ниями о событиях в пространстве и времени. В основе математики лежат не события и факты в их эмпири ческом значении, но «квазифакты», а именно система элементарных утверждений типа «2 +2 = 4», «две пря мые пересекаются в одной точке» и т. д., от которых мы не можем отказаться по соображениям логического и теоретического порядка. Несмотря на это различие в природе «фактов», математика в своем историческом развитии, по мнению Лакатоса, полностью подчинена эмпирической схеме: она начинается с некоторой си стемы фактов (квазифактов) и поднимается к основа ниям и к перестройке этих оснований в целях их улуч шения. Основные моменты ее развития те же самые, что и у эмпирической теории: выдвижение смелых до

Глава 2. Закономерности развития математики

гадок, строгая их критика и опровержение на основе фактов

Разумеется, доля истины в таком понимании раз вития математики, конечно, есть. Несомненно, что на некотором абстрактном уровне общая логика развития математической теории совпадает с логикой развития эмпирического знания. Это обстоятельство может быть проиллюстрировано, в частности, на истории развития отдельных математических теорий. Так, история раз вития числовых систем может быть понята как реали зация исследовательской программы, в основе которой лежит арифметика натуральных чисел. Числовые мно жества исторически как бы наслаивались друг на дру га, и этот процесс обогащения новыми обобщениями побуждался определенного рода «фактами», а именно конкретными задачами, которые периодически возни кали в арифметике и не находили решения в ее тради ционном аппарате. В арифметике натуральных чисел, если а – b = с > 0, выражение b – а не имеет смысла, т. к. операция отрицания является здесь асимметрич ной. Однако уже Диофант (III в. н. э.) встретился с арифметическими задачами, которые разрешались только через использование разностей b – а, где b < а, как осмысленных. Задача, поставленная в рамках ариф метики натуральных чисел, привела к необходимости расширить ее понятийную систему, ввести принципи ально новые объекты и сделать операцию отрицания симметричной. Подобным же образом были введены рациональные и комплексные числа. Развитие ариф метики от натуральных чисел и простых дробей до комплексных чисел и неклассических арифметик в ХХ в. может быть представлено как постоянное разви тие и обогащение фундаментальной системы абстрак ций, лежащих в основе арифметики натуральных чи сел. Это развитие побуждается определенного рода фактами, а именно задачами, которые формулируются в рамках арифметики натуральных чисел и становятся актуальными благодаря своей теоретической и прак тической значимости. Ту же картину мы видим в раз

См.: Lakatos I. Mathematics, Science and Epistemology. P. 30–31.

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

витии геометрии и идей, лежащих в основе мате матического анализа.

В противовес традиционному рационализму и ап риоризму Лакатос подчеркнул важность факта в мате матике, его первичность в логике развития математи ческих теорий. Идея первичности факта по отношению к содержанию теории, содержания по отношению к его обоснованию, идея незавершенности всякого обосно вания составляет одну из общих посылок концепции научноисследовательских программ и центральный пункт философии математики Лакатоса. Такого рода «эмпирическая» трактовка развития математики явля ется более современной в том смысле, что она подчер кивает историчность и открытость математической науки, нацеливает на расмотрение ее принципов как постоянно расширяющихся и обновляющихся во вза имодействии с некоторой реальностью, а не как непод вижных, предзаданных чистой логикой или сферой априорных форм мышления. В рамках своей установ ки он заново и оригинально осмыслил такие централь ные для философии математики понятия, как «доказа тельство», «математическая строгость», «обоснование математики». Ценность его критического анализа ос нований математики и закономерностей ее развития не подлежит сомнению. Но его претензия на полное отождествление логики развития математики и физи ки и на рассмотрение математики в рамках общей схемы развития научной теории всетаки в целом не корректна. Концепция исследовательских программ Лакатоса в применении к математике имеет явно ог раниченный характер.

Эта ограниченность обнаруживается в нескольких моментах. Вопервых, достаточно очевидно, что мате матическая теория в отличие от эмпирической является более «жесткой». Защитный пояс эмпирической иссле довательской программы, как известно, создается за счет частных утверждений, которые могут изменяться в широком диапазоне, не затрагивая основных ее по ложений, поскольку ядро программы и ее защитный пояс не находятся в отношении выводимости. Мы мо жем, к примеру, изменять константы в частных урав

Глава 2. Закономерности развития математики

нениях термодинамики, прибавлять дополнительные члены к ним и менять их форму, не затрагивая исход ных принципов (начал). В физической теории общие принципы не определяются однозначным образом системой конкретных положений, но задают лишь рамки их допустимых вариаций. В математической же теории, если она оформилась как дедуктивная систе ма, при изменении одного из ее частных следствий мы должны отказаться по крайней мере от одной из ее аксиом. Лакатос не замечает этой фундаментальной особенности математических теорий при их рассмот рении в рамках концепции научноисследовательских программ.

Вовторых, новая теория в математике, вырастая на основе старой как ее обобщение или видоизмене ние, не отбрасывает старую как ложную, как это мо жет случиться в процессе развития эмпирической тео рии, равно как и не низводит ее на уровень прибли женной. Это различие проистекает из особого места математической теории в системе знания, из того фак та, что она выполняет по отношению к содержательно му знанию роль особого рода языка или знаковой мо дели. Новая математическая теория в функциональном плане появляется просто как более широкая модель, не устраняющая непосредственно ценности старой мо дели, ее полной адекватности применительно к опре деленным областям знания. Вследствие этого в мате матике сохраняется если не все, то почти все из того, что было когдалибо включено в строгую систему рас суждений, в отличие от содержательного эмпириче ского знания, где многие концепции отбрасываются как совершенно несостоятельные, несмотря на их внут реннюю логическую согласованность. Лакатосовская критика «кумулятивистских предрассудков» в матема тике малоубедительна. Лакатос пытается здесь опро вергнуть то, что убедительно демонстрируется всей историей математики и имеет под собой объективную основу, связанную с природой математического зна ния.

Втретьих, Лакатос упускает из виду, что новая математическая теория в отличие от эмпирической

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

может появиться свободно по чисто логическим сообра жениям, т. е. вне критерия эмпирической содержатель ности, обязательного для принятия эмпирической тео рии. Исследование чистых логических возможностей — обычный и наиболее эффективный путь совершенство вания современной математики. Понятие дополнитель ного эмпирического содержания — центральное для понимания преемственности теоретических построений в естествознании — в сфере математики, очевидно, теряет свое значение, по крайней мере в качестве не посредственного критерия выбора.

Однако наиболее серьезный дефект концепции Лакатоса, ее наибольшее отклонение от реальной ло гики развития математического знания, состоит, как представляется, в самой трактовке содержательной математической теории как теории квазиэмпириче ской, как всецело обусловленной в своей историче ской эволюции накоплением фактов, которые, как и в обычной эмпирической теории в конце концов могут привести к необходимости уточнения или устранения ее принципов на любой стадии ее развития. Даже для физической теории это не всегда верно, ибо такие теории, как классическая механика, не могут быть по колеблены какимилибо новыми фактами. Во всякой точной теории мы имеем явление стабилизации прин ципов. И это тем более верно для математических тео рий, которые неизбежно достигают полной стабили зации и полного соответствия между фактами и прин ципами. Концепция совершенствования теории на основе логических контрпримеров не имеет суще ственного отношения к развитию математического знания.

Сказанного вполне достаточно, чтобы заключить, что лакатосовская концепция развития математиче ского знания, основанная фактически на аналогиях между математикой и опытными науками, не отражает специфики математики и логики ее развития. Концеп ция научноисследовательских программ схватывает в развитии математики только один, правда очень важ ный, момент, а именно то, что математика, как и другие науки, развивается в конце концов через решение

Глава 2. Закономерности развития математики

определенного множества практических задач. Эта идея сама по себе важна, и она в действительности указывает на определенную ограниченность традици онного рационализма, который пытался свести все содержание математики либо к чистым логическим нормам, либо к априорным схемам чувственности. Однако специфика математики не сводится только к особенностям ее фальсификаторов, как это думал Ла катос. Эта специфика касается и критериев приемле мости, и логики преемственности, и самого отношения принципов математической теории к системе «фактов» по сравнению с эмпирическими науками. Эта специ фика проистекает из места математики в системе че ловеческого знания, из ее особой функции в познании.

Процесс математизации знания

Логическая автономность математики от эмпи рического знания не означает ее функциональной ав тономности от него: математика развивается не для самой себя, а для ориентации на запросы научного знания и практики. Особенности развития матема тического знания, как уже было сказано, могут быть в полной мере поняты только с учетом этой опреде ляющей внешней связи. Быстрое развитие европей ской математики в XVII–XIX вв., очевидно, было продиктовано развитием техники, промышленности и теоретического естествознания. Возникновение и дальнейшее развитие математического анализа было самым тесным образом обусловлено проблемами ме ханики и астрономии. Расширяющееся приложение математики к нематематическим наукам составляет суть процесса, который мы называем математизаци ей знания. Математизация эмпирических наук — это основная и сущностная тенденция развития матема тики, из которой мы должны исходить при описании всех ее внутренних процессов и закономерностей ее развития.

Общая схема математизации знания предельно проста и сводится в конечном итоге к интерпретации

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

математической теории через понятия теории эмпири ческой или, если идти со стороны содержания, к поды сканию математических понятий и соотношений, от ражающих определенные аспекты реальности, зафик сированные в эмпирической теории. Классическим примером эффективной математизации является при менение математики к проблемам механики, которое сделалось обычным после Галилея и Ньютона. Это при менение было основано на соответствии между мате матическими и физическими понятиями. Было замече но, что если дано выражение, определяющее зависи мость пройденного пути от времени, то производная функция от этого выражения дает выражение для ско рости движения, а вторая производная соответствует понятию ускорения. Это замечательное соответствие математических и физических понятий позволило запи сать законы механики в виде математических функций и установить между этими функциями четкие, чисто математические связи. Проблемы механики были пе реведены, таким образом, в чисто математическую плоскость. Ранее точно таким же образом проблемы геометрии были преобразованы Декартом в проблемы алгебры, благодаря установлению соответствия между геометрическими и алгебраическими понятиями. В про цессе математизации математическая теория интер претируется не в понятиях другой математической тео рии, а в понятиях какойлибо эмпирической теории.

Важно заметить, что процесс математизации обус ловлен одновременно как развитием математики, так и зрелостью содержательной науки. Полная математи зация механики не состоялась бы, если бы не была раз работана в достаточной мере теория дифференциаль ного и интегрального исчисления. Но, с другой сторо ны, она не состоялась бы и без ясного определения таких понятий, как масса, ускорение, количество дви жения и т. д. Математика применяется к тем областям знания, которые достигли достаточно высокой степени структуризации своего объекта. Практика показывает, что науки не сразу достаточно хорошо подготовлены к структуризации своего предмета, обеспечивающей использование математического метода.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 5010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]