Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 504 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 1. Природа математического познания

тельности, а скорее — в методологическом варианте, согласно которому и в математике должно иметь место опытное подтверждение ее утверждений. В этом плане получила большую известность концепция математиче ского «квазиэмпиризма» И. Лакатоса. Возникли также воззрения, которые можно назвать новым вариантом неоаприоризма: логицизм, интуиционизм, конструкти визм и др. Большинство из них настаивает на априорности только исходных принципов арифметики и евклидовой геометрии, трактуя остальные математи ческие теории уже как производные математические структуры. Математика с этой точки зрения разбивает ся на две части: первичная, априорная, математика и вторичная — формально производная — математика. Разумеется при этом, что и та и другая могут быть ис пользованы для решения внешних (прикладных) задач. Мы считаем, что именно неоаприористское воззрение на природу математики является более правильным и более перспективным по сравнению с неоэмпиризмом. Более того, с нашей точки зрения, исходные математи ческие теории, такие как арифметика и евклидова гео метрия имеют непосредственную связь как с универ сальной философской онтологией сознания, так и одно временно с практикой, реализуя прикладную ценность математического мышления. Этот вид неоаприоризма мы предлагаем назвать «праксеологическим».

Проблема генезиса первичных математических представлений

Как известно, в некоторых философских теориях познания (марксизме, прагматизме и др.) подчеркива ется, что источником познания, основой познания (в смысле наличного материала и средств), а также высшим критерием истинности теорий и идей являет ся практическая деятельность людей (практика). С на шей точки зрения, к этому правильному положению не обходимо добавить еще одно, состоящее в том, что прак тика является также источником нормативной базы сознания и познания, т. е. источником универсальных

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

норм, без которых немыслима деятельность в любой сфере, в том числе и в познавательной, и, в частности, в математическом познании.

Универсальная праксеологическая нормативность проявляется прежде всего в наличии в сознании и мышлении всеобщих понятий (категорий) и принципов. Например, всякое опытное знание строится как зна ние о чемто материальном, объективном, подчиняю щемся причинноследственным связям, существующем в пространстве и времени и т. п. Нетрудно понять, что мы имеем здесь дело с общими требованиями к струк туре представлений, обусловленными их практической функцией. Теория, которая отказалась бы от различе ния объектов по пространственновременным харак теристикам, от подчинения их причинноследственным связям, которая не умела бы различать случайное и необходимое и т. д., не могла бы быть квалифицирова на как знание, ибо она заведомо не могла бы быть использована для эффективной координации действий человека в любой сфере опыта. Человеческое знание необходимым образом соединено с практикой, а сле довательно, оно не может не быть скоординировано с категориями практики. Абстрактные принципы типа «причина раньше следствия», «время необратимо» и т. п. должны быть поняты в этом плане как наиболее общие ограничения на структуру представлений, про истекающие из практической значимости последних. Попытка объяснить эти принципы из опыта, индуктив но, заведомо обречена на неудачу, ибо, с одной сторо ны, содержит в себе логический круг, а с другой — заведомо не способна оправдать их внеисторичность и аподиктичность.

Другой универсальной нормативной структурой сознания, проистекающей из требований практической деятельности, является система логических норм, ко торой подчинено всякое понятийное мышление. Если категории ограничивают содержание представлений, вносят всеобщее инвариантное содержание в опреде ление любого предмета мышления, то логические нор мы — это всеобщие ограничения на структуру поня тий об этих предметах, их возможные логические связи.

Глава 1. Природа математического познания

Система понятий, не подчиняющаяся законам логики, не может быть знанием, поскольку она не будет опре деленной, а следовательно, не может служить основой эффективной практической деятельности, которая все гда предполагает некоторый выбор.

Очевидно, что категориальные и логические пред ставления не являются эмпирическими в том смысле, что получены путем обобщения чувственного опыта. Они отличаются от эмпирических представлений преж де всего по объекту отражения. Дело не в том, что в них фиксируются какиелибо, пусть даже всеобщие свойства объектов, а в том, что в них фиксируются необходимые условия осуществления практической деятельности с любыми объектами, т. е. основания самой этой деятельности. Очевидно, например, что деятельность всегда связана с некоторым объектом, на который она направлена и который «противостоит» человеку как субъекту деятельности. Мы можем эффек тивно действовать, только опираясь на наличие связи между явлениями, при которой, в частности, появле ние одних явлений с необходимостью или некоторой вероятностью влечет появление других. Это требует от нас понимания мира явлений как универсально обус ловленного. Именно практическая деятельность, необ ходимость ее эффективного осуществления навязыва ет нам объектную, причинную и временную структуру знания, ибо знание, не определенное в этих категори ях, бесполезно для практики. Деятельностная трактов ка категорий существенно корректирует кантовское понимание их сущности. Мы должны понимать апри орные категории не просто и не только как необходи мые условия опыта, но прежде всего как необходимые онтические предпосылки для осуществления практи ческой деятельности.

Мы должны признать наличие в структуре знания двух принципиально отличных друг от друга систем представлений и понятий — эмпирических и категори альных. Разница здесь отнюдь не количественная: кате гории не просто более общие или более абстрактные понятия, чем эмпирические. Они не просто более уни версальны для познающего мышления и не просто бо

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

лее очевидны. Система представлений и понятий, свя занная с категориями и с логикой, лежит принципиаль но в другой плоскости измерении. Она качественно отличается от системы эмпирических представлений как по генезису, так и по функциям. В категориях задается особая реальность, невыразимая в частных понятиях. Напротив, все частные представления так или иначе строятся на основе категорий. Категории в этом смыс ле образуют первичную и автономную сферу продуктов сознания. Мы будем называть эту сферу категориаль ной онтологией, или категориальным видением мира. Категориальная онтология по отношению к эмпириче скому знанию представляет собой первичный и в этом смысле априорный уровень знания.

Эти общие соображения позволяют нам ближе по дойти к обоснованию положения об априорном харак тере математических представлений. Как известно, Кант обосновывал априорность математики, исходя из апри орного характера пространства и времени, как фунда ментальных и необходимых форм созерцания. Такой ход рассуждений мы не можем признать полностью удов летворительным. Правильное движение должно быть, с нашей точки зрения, другим: необходимо и возможно подойти к обоснованию априорности математики исхо дя из априорного и конструктивного характера мышле ния как важнейшей части сознания.

Математика есть порождение не чистого созерца ния, а «чистого» мышления. Она появилась только тогда, когда мышление стало осознавать и проявлять себя как относительно самостоятельная и независимая по отношению к чувственному опыту структура созна ния, т. е. структура, способная самопорождать (конст руировать) свое собственное содержание. Ошибка Канта состояла в том, что он пытался вывести содер жание математики не из чистого мышления, а из чув ственного созерцания пространства и времени, пони маемых при этом в содержательном плане априорным образом как «чистое», независимое от конкретного восприятия, инвариантное понимание «протяженно сти» и «длительности». Поскольку математика времен Канта не знала другой геометрии, кроме евклидовой,

Глава 1. Природа математического познания

то кантовская концепция природы геометрии неизбеж но вела к абсолютизации последней не только как аб солютно полной, но и как единственно возможной.

Косвенное соображение в пользу положения об априорности истин элементарной математики (евкли довой геометрии и арифметики натуральных чисел) проистекает из простоты этих истин по сравнению с другими математическими теориями. Эти априорные истины даны сознанию с такой степенью очевидности, которая преобладает над очевидностями, относящими ся к содержанию других видов знания, кроме, пожа луй, логического умозаключения. Но в таком случае сама аподиктическая очевидность может быть исполь зована в качестве важного дополнительного признака априорности знания. Если мы посмотрим на исходные представления арифметики и геометрии, то должны признать, что они являются аподиктически очевидны ми в этом смысле. Пифагорейский тезис, согласно которому ложь не может быть присоединена к утверж дениям о числах, понятен современному математику ничуть не в меньшей мере, чем математикам (да и всем людям), жившим в более ранние времена. Элементар ные арифметические и геометрические истины даны человеческому сознанию с такой непреложностью, которая заставляет нас признать, что здесь мы имеем дело с представлениями, радикально отличными от представлений опытных наук.

Общее теоретическое обоснование априорности исходных математических идеализаций требует неко торого выхода в универсальную онтологию. Однако этот выход состоит не в том, чтобы выводить истин ность конкретных математических теорий из истин универсальной онтологии, даже если последняя и име ет праксеологический характер. Хотя математика и замыкается в своем происхождении и применении как на определенный эмпирический (чувственный) опыт, так и на определенную универсальную (философскую) онтологию, однако эта зависимость от них не является строго однозначной.

Конечно, для того чтобы действовать в определен ном временном и пространственном интервалах, мы

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

нуждаемся в абстракции отождествления вещей или процессов с самими собой, полагая их в рамках этих интервалов как тех же самых. В процессе конкретного действия мы опираемся, в частности, на допущение тождества предметов самим себе и постоянства их структуры, т. е. на идеальные и вместе с тем необходи мые представления о предметах, как удовлетворяющих общим условиям деятельности. Точно так же как прак тическая деятельность вырабатывает у нас идеальные представления об универсальности причинной связи, она вырабатывает и представления о совокупности предметов, которые конечны в пространстве и време ни, стабильны в своих формах, отделены друг от друга и т. д. Математика с этой точки зрения априорна в том смысле, что ее исходные истины фиксируют не факты опыта или их обобщение, а лишь отношения идеальной предметности.

Обычный довод против априористского истолкова ния истин арифметики и геометрии исходит из факта их содержательности и, в частности, их приложимости к описанию счета и измерения. Мы охотно верим, что ребенок усваивает арифметические истины в опыте, посредством счета и упорядочения реальных предме тов. Однако это воззрение одновременно упрощает и искажает действительную ситуацию. Анализ процедур счета и измерения показывает, что они всецело опреде лены представлениями об идеальной предметности и имеют смысл только в рамках этих представлений: де ятельность счета строго ограничена ситуациями, соот ветствующими требованиям идеальной предметности. Мы не пытаемся определить точное число волн на по верхности воды или число переживаний в нашей душе за определенное время суток, т. к. волны и мысли не обладают достаточной дискретностью и не попадают в число объектов, к которым применима операция счета. Мы не можем изменить эти требования под действием какоголибо опыта. В этом смысле арифметика представ ляет собой описание специфических требований к объек ту, продиктованных универсальной предметной онтоло гией. Это означает, что законы арифметики не порож дены процедурами счета, а являются их условием. Их

Глава 1. Природа математического познания

убедительность для нашего сознания проистекает не из практики счета, а из универсальных требований пред метной онтологии. Ошибка философовэмпириков состо ит в том, что они пытаются вывести понятие числа из процедуры счета, истолковывая сферу приложения арифметики в качестве источника ее истин. Они, как говорил Фреге, смешивают применение математической истины с самой этой истиной

. То же самое относится и к процедуре измерения. Эта процедура опирается на представления о количестве и величине, которые апри орны и имеют свои истоки в общей структуре сознания и деятельности.

Иногда приводят также антропологический аргу мент против априорности математики. Согласно этому аргументу, у первобытных народов не наблюдается раз витых представленний о числе и натуральном ряде чисел. Этот аргумент, однако, проистекает из смешения априорного знания со знанием врожденным. Априор ность представлений не означает их врожденности, а означает лишь их интерсубъективность и эквифиналь ность, т. е. их появление в качестве необходимой формы мышления в любом мыслящем сознании. Исходные математические представления, несомненно, априорны в этом смысле. Мы имеем все основания говорить об априорности арифметики и элементарной геометрии как теорий, основанных на определенных априорных онто логических предпосылках. Математика имеет не эм пирическую, а категориальную онтологическую осно ву. В этом смысле ее исходные положения являются априорно истинными и не требуют обязательного эм пирического обоснования.

Реальность математических объектов

Праксеологическое понимание интуитивной осно вы математического мышления позволяет нам поно вому посмотреть на старый спор о реальности матема тических абстракций: являются ли эти абстракции фик

Фреге Г. Основоположения арифметики. М., 2000. С. 44–45.

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

циями, изобретением человеческого ума либо они вклю чают в себя некоторое содержание, предопределенное структурой мира, в котором мы существуем. Изложен ные соображения дают нам возможность защитить математический реализм и прояснить его действитель ные основания.

Необходимо различать методологическое и фило софское понимание математического реализма. Мето дологический реализм сводится к утверждению, что в математике в качестве непосредственно истинных могут приниматься не только утверждения о конкрет ных предметах (числах, фигурах), но и утверждения об абстрактных сущностях, таких как множество действи тельных чисел и т. п. Номиналисты полагают, что под линной надежностью обладают только высказывания о конкретных объектах, таких как натуральные числа и операции с ними. Этот спор в настоящее время мож но считать законченным: методология математики в достаточной степени прояснила тот факт, что строго номиналистическое построение математики не может быть осуществлено.

Для философии математики более важной и более трудной является идея философского (метафизическо го) реализма, который стремится найти за математиче скими абстракциями некоторого рода реальное суще ствование. Праксеологическое понимание математиче ских идеализаций решает этот вопрос в положительном смысле. Конечно, нельзя думать, что конкретному мате матическому треугольнику соответствует «реальный» треугольник, существующий в некотором объективном мире идей, как это думал Платон. Идея субстанциаль ного существования математических объектов неприем лема. Но, с другой стороны, ясно, что система исходных представлений математики не вымысел, не конвенция и не плод свободного воображения. Система исходных математических идеализаций всегда обусловлена опре деленной предметной онтологией, и в этом смысле она имеет несомненную объективную значимость, прямое отношение к структуре нашего мира. Числа и фигуры — мысленные представления, существующие только в голове математиков, и в этом смысле они идеальны. Но

Глава 1. Природа математического познания

они — необходимые представления сознания, мышле ние без которых так же невозможно, как оно невозмож но без представлений о причинности и времени. В этом смысле математические объекты — необходимые со ставляющие деятельностной картины мира и, следова тельно, объекты, имеющие реальную значимость.

В своем отношении к миру человек строит два уровня теоретических представлений: теоретические представления, систематизирующие данные опыта, и общие онтологические представления, фиксирующие в себе необходимые условия осуществления практиче ской деятельности. Оба этих уровня обладают объек тивной значимостью, ибо оба они определены и под тверждены практическим отношением человека к миру. И если математическая теория в своих исходных инту ициях задана определенной категориальной онтологи ей, то ей не может быть отказано в статусе реально значимой теории. Соглашаясь с теми, кто говорит, что законы математики — не законы природы, основанные на опыте, мы тем не менее имеем право настаивать на их связи со структурой реальности, выраженной в категориях.

Праксеологический априоризм, таким образом, от личается от традиционного тем, что он является одно временно и реализмом. Связывая исходные математи ческие идеализации с универсальной онтологией, прак сеологический априоризм оправдывает традиционную веру математиков в реальную значимость математиче ских объектов и теорий. От кантовского априоризма с его абсолютной имманентностью форм мышления мы должны возвратиться к априоризму Лейбница, для ко торого универсальные принципы мышления выступа ют одновременно и в качестве основополагающих ха рактеристик реальности. Наше различение евклидовой геометрии как более реальной по сравнению с другими геометриями, полученными из нее посредством логиче ских трансформаций, имеет вполне определенный смысл: в отличие от других геометрий евклидова гео метрия была первичной истиной. Ясно, что такого рода реализм относится только к генетически исходной груп пе математических понятий. К другим объектам мате

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

матики и другим математическим теориям, полученным на основе конструкции из исходных, применение поня тия абсолютно априорного уже, очевидно, не имеет смысла. Там можно говорить лишь об относительной ап риорности математического знания.

Современные теории математического реализма неудовлетворительны прежде всего вследствие отсут ствия анализа подлинной онтологии математики. Не проясняя связи математических идеализаций с опре деленной универсальной онтологией, современный математический реализм сводится либо к обоснованию абстрактного объективизма в духе Канта и Гуссерля, либо к попыткам прямого соотнесения математики с физической реальностью того типа, который дается натуралистической эпистемологией. Натуралистиче ские подходы, однако, столь же несостоятельны, как и подходы чисто конструктивистские, рассматривающие математические понятия как абсолютно свободные конструкции сознания.

Математика как всеобщий метод

научного мышления

Начиная с пифагорейцев, философы и математи ки пытались уяснить предмет математики, понять, чт она исследует во внешнем мире, и выработали боль шое число определений, основанных на таких поняти ях, как число, величина, порядок и т. п. Постепенно, однако, была понята простая истина, состоящая в том, что математика в принципе может иметь дело с любым содержанием, которое поддается количественному анализу. Было понято, что математика содержательно универсальна и по этой причине неопределима через конкретные, качественные ограничения, т. е. через предмет в обычном его эмпирическом понимании. В настоящее время большинство ученых и философов согласны с тем, что математика не является наукой, моделирующей закономерности конкретной, содержа тельно выделенной сферы опыта, а представляет со

бой скорее некоторого рода метод, специфический

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 504 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]