Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 509 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 2. Закономерности развития математики

ворить об истинности принципов в отношении фактов, о соответствии аксиом фактологической основе матема тической теории. Истинность системы аксиом в этом смысле можно назвать фактологической истинностью, поскольку в ее основе лежит общенаучное представле ние об истинности как о соответствии суждений неко торому конкретному содержанию. Такое понимание математической истины объединяет математику с эм пирическими науками и ставит проблему обоснования математических принципов на основе фактов. Но диа лектика теории и фактов в математике обладает опреде ленными особенностями по сравнению с эмпирически ми науками.

Важная особенность математической теории, отли чающая ее от теории эмпирической, состоит в абсолют ном характере ее фактологической основы. Противоре чие между принципами и фактами в эмпирической теории разрешеается не обязательно в пользу фактов: здесь могут быть пересмотрены, уточнены, переинтер претированы и даже устранены (признаны несуществу ющими) сами факты. Диалектика теории и фактов в эмпирических теориях неизбежно ведет к постепенно му сближению обоих полюсов. Попперовская концеп ция относительности базовых утверждений научной теории в своей основе является верной. Но эта концеп ция не может быть перенесена на математику. В отли чие от фактов опыта математические факты, поскольку они значимы в сфере аподиктически очевидного и пол ностью определены в ней, обладают абсолютной значи мостью и не могут быть скорректированы на основе какихлибо теоретических соображений. Сфера матема тических фактов в этом отношении является абсолют ной и, как следствие, внутренняя диалектика математи ческой теории реализуется исключительно за счет пе рестройки системы теоретических допущений.

Особенность математической теории заключается в том, что ее исходные принципы (аксиомы) не только однозначно определяют состав возможных теорем, но и сами определяются системой уже признанных тео рем. Из принципов физической теории мы выводим определенное множество заключений о фактах — внут

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

ренних связях теории, имеющих непосредственную эмпирическую интерпретацию, но сами эти факты никогда не рассматриваются здесь как однозначно определяющие собой множество принципов. В методо логии физики мы говорим о том, что одна и та же си стема фактов в принципе может быть объяснена на основе различных теоретических гипотез. Система эмпирических фактов никогда не является достаточной для утверждения некоторых принципов как единствен но возможных. В математической теории между теоре мами и аксиомами существует одинаково жесткая за висимость в обе стороны: из аксиоматики следует оп ределенное множество теорем и, напротив, принятие в качестве истинных опеределеннного числа теорем требует однозначного признания определенной аксио матики. Если теорема Пифагора признана, то и акси ома параллельности Евклида признана и т. д. Если modus ponens позволяет нам переходить от аксиом к теоремам, то modus tollens служит основой выявления аксиом, достаточных для доказательства признанного множества теорем.

Принципиально важным для понимания матема тической теории является то обстоятельство, что ста новление аксиоматики достигает здесь предельного со стояния, устраняющего возможность дальнейшего ее изменения в смысле заключенного в ней содержания. В отличие от эмпирической теории для математической теории является осмысленным понятие завершенной системы принципов. В этом контексте мы можем гово рить также об идеальной фактологической истиннос ти, как о полной логической симметрии принципов и фактов, устанавливающейся в конечном итоге в разви вающейся математической теории. Математическая теория достигает состояния полной завершенности асиоматики точно так же, как она достигает полной за вершенности своих доказательств. Это не внешняя аналогия, а сущностное тождество, проистекающее из природы математического мышления.

Математическая теория, как и теория эмпирическая, появляется первоначально как некоторая система инту итивно ясных утверждений и бесспорных логических

Глава 2. Закономерности развития математики

связей, относящихся к определенной системе объектов. На этой начальной стадии мы, очевидно, не имеем еще ни полной системы принципов, необходимых для описа ния этих объектов, ни целостности самой системы объек тов, ни гарантии логической совместности утверждений, принятых в теории. Появление первой несовершенной аксиоматики устанавливает относительное единство утверждений, выявляет логическую последовательность их развертывания и позволяет сделать всю систему те орем более целостной и законченной. Анализ этой сис темы приводит в конечном итоге к формулировке более полной и систематичной аксиоматики и т. д. Мы имеем основание утверждать, что в математической теории в отличие от физической эта диалектика конечна, что она завершается в конечное время полной стабилизацией ак сиоматики, формулировкой ее в такой форме, которая исключает дальнейшее ее совершенствование в плане заключенного в ней содержания. Диалектика фактов и принципов в математической теории неизбежно завер шается достижением предела, выявлением системы ак сиом, идеально соответствующей содержанию теории.

Аксиоматика геометрии, разработанная Д. Гильбер том, после нескольких исправлений, внесенных вскоре после ее опубликования, остается признанной как адек ватная уже в течение столетия, и у нас есть все основа ния думать, что никто не может произвести здесь какое либо улучшение в смысле прибавления или изъятия не которой аксиомы. То же самое, несомненно, справедливо в отношении современной аксиоматики арифметики, теории вероятностей и ряда других аксиоматик.

Эмпирические теории в этом отношении принци пиально отличаются от теорий математических. Разу меется, стремление к полноте и законченности прин ципов имеется и здесь, и в определенном смысле оно достигается. Принципы механики, сформулированные Ньютоном, представляют собой пример такого рода завершенной теоретической системы. Однако физиче ская теория, будучи нацелена на определенный внеш ний предмет, всегда остается открытой для логических контрпримеров и для соответствующей перестройки принципов. Стабилизация физической теории — это

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

стабилизация по отношению к фрагменту опыта, т. е. к некоторой внетеоретической реальности, и она может быть реализована всегда лишь с некоторым прибли жением за счет частных гипотез и в пределах коррект ности фактов, которые не имеют абсолютного значе ния. Идеальное единство фактов и принципов дости гается только в математической теории, вследствие безусловной однозначности сферы фактов и конечно сти процесса абсолютного оправдания принципов.

Из способности математических теорий к полной стабилизации проистекает особенность ее развития, которая обозначается как его кумулятивность. Опыт ные науки никогда не достигают уровня полной ста бильности и консервации в жесткой форме; их разви тие связано с постоянной корректировкой принципов и с опровержением их как ложных или недостаточно точных. Кумулятивность развития математики состоит в том, что здесь нет процесса отбрасывания прежних теорий как ложных и все достигнутое остается в каче стве безусловного завоевания, меняясь от эпохи к эпо хе только в плане своего языкового оформления. Воз никновение теории бесконечных множеств не устра нило арифметики и алгебры конечных величин как ложных. Новые математические теории располагают ся рядом со старыми, но не на месте старых как опро вергнутых или ложных. Можно сказать, что развитие математики представляет собой постепенное накопле ние некорректируемых структур. К таким безусловно некорректируемым в своей основе структурам относят ся, несомненно, арифметика, геометрия, математиче ский анализ, теория вероятностей и многие другие тео рии современой математики. Признаком полной струк турной стабилизации математической теории является ее аксиоматизация, признанная математическим сооб ществом в качестве адекватной.

Существует две схемы развития теоретических систем, которые условно можно назвать схемой горо да и схемой кристалла. Система эмпирических теорий развивается по схеме города: развитие периферии при водит здесь к постоянной перестройке центра. Мате матика развивается по принципиально иной схеме. Раз

Глава 2. Закономерности развития математики

витие периферии здесь не затрагивает сложившегося центра. Центр математики не претерпевает никаких изменений, кроме языкового оформления и понимания значимости тех или иных утверждений. Центральные теории современной математики, имеющие признан ные аксиоматики, конечно, не могут перестать суще ствовать под влиянием какихлибо изменений в новых областях математического знания. Это не значит, что аксиоматизированные теории полностью останавлива ются в своем внутреннем развитии, а значит лишь то, что внутреннее развитие в этих теориях не может из менить их признанной основы, т. е. их аксиоматиче ского определения.

Эта особенность развития математики послужила основой для тезиса о невозможности революций в математике. Происходят ли революции в математике, если математика не отбрасывает никаких ранее изоб ретенных теорий? С нашей точки зрения, революции в математике имеют место, как и в других науках. Тот факт, что прежние теории не опровергаются, а так сказать, только отодвигаются в сторону, не упраздняет того факта, что математика на некоторых этапах сво его развития переживает коренные изменения в сво ем содержании и в своих методах, которые могут быть охарактеризованы как революционные. Появление дедуктивного метода в древнегреческой математике, возникновение дифференциального и интегрального исчисления, открытие неевклидовых геометрий и тео рии множеств — несомненно, революционные стадии в развитии математики, существенно изменившие ее содержание и методы. Революционность изменений в науке, как, впрочем, и в общественной жизни, должна оцениваться не мерой уничтожения существующего, а мерой продуктивного обновления, т. е. степенью эф фективности новых теорий.

Логические и эвристические контрпримеры

Эмпирическая теория развивается путем диалек тики четкого взаимодействия теории с фактами. Ос

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

новной характеристикой этого типа теории является ее принципиальная корректируемость и потенциаль ная опровержимость. Опыты Галилея показали несо стоятельность принципов аристотелевской физики, вследствие чего эти принципы были заменены прин ципами ньютоновой (классической) механики. Систе ма принципов классической механики, казавшаяся первоначально отражающей абсолютные законы дви жения, была исправлена в теории относительности и в квантовой механике. Опровержимость и корректи руемость — непреложный закон всякого знания, свя занного с опытом.

Математическая теория существенно отличается от эмпирического знания по логике своего развития. Это отличие состоит прежде всего в том, что математика не имеет дела с фактами как с событиями в простран стве и времени. Простые утверждения арифметики и элементарной геометрии, конечно, имеют статус фак тов в том смысле, что если некоторое рассуждение приводит нас к заключению, что 2 + 2 = 5, то мы отвергаем его как софистическое, противоречащее элементарному и безусловно (конвенционально) при нятому факту, что 2 +2 = 4.

Важным для понимания специфики математики является то, что диалектика теории и фактов не игра ет в развитии математики той роли, которую она иг рает в физике и других науках, связанных с опытом. Особенностью математической теории является то, что она не имеет обязательной эмпирической интер претации и, таким образом, сферы внешних (незави симых от теории) фактов, влияющих на корректиров ку принципов. Арифметика применяется там, где она применяется, и опыт, находящийся за пределами арифметики, не рассматривается как контрпример для ее аксиом. Иногда пытаются опровергнуть арифме тику рассуждениями вроде того, что если в клетку тигра поместить зайца, то в этой ситуации неизбежно окажется, что 1 + 1 = 1. При этом, однако, не заду мываются над тем, почему же великое множество таких контрпримеров оказывается совершенно без вредным для арифметики. Дело в том, что арифмети

Глава 2. Закономерности развития математики

ка как формальная и априорная структура вообще не может быть поставлена под сомнение фактами эмпирического опыта.

Кроме таких чисто внешних и, конечно, только ка жущихся контрпримеров математика имеет и внутрен ние контрпримеры, которые выступают обычно в фор ме парадоксов. Такого рода контрпримеры более су щественны, ибо они обнаруживают некоторое неблаго получие в определениях и доказательствах теории и неизбежно ведут к ее перестройке. В 1846 г. немецкий математик Ф. Зейдель нашел контрпример к теореме Коши о сходимости суммы ряда сходящихся функций, которая воспринималась до этого в качестве безуслов но доказанной. Последующий анализ этой теоремы показал, что в доказательстве Коши была допущена ошибка, проистекавшая изза смешения в его рассуж дениях понятий сходимости и равномерной сходимос ти. История математики дает нам множество приме ров такого рода, т. е. ошибочных рассуждений, перво начально принятых математиками за правильные и разоблаченных лишь через некоторое время. Это гово рит о том, что математическое мышление, как и всякое другое, продвигается к истине посредством догадок и рассуждений, не свободных от ошибок.

История математики показывает, однако, что про цесс совершенствования математической теории че рез устранение логических контрпримеров не являет ся для нее основным. Логические контрпримеры к при знанным теоремам — очень редкое явление в развитии математики. Они легко устраняются уточнением неко торых определений. Доказанное в математике и при нятое математическим сообществом, как правило, при нимается навсегда и никогда не входит в противоре чие с какимилибо фактами. Наиболее эффективные механизмы развития математического знания связаны не с диалектикой теории и факта, которая характери зует развитие эмпирических теорий, а скорее со стрем лением к совершенствованию структуры математики и математического метода в целом, которое реализует ся через устранение так называемых эвристических контрпримеров.

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Эвристические контрпримеры — это факты, которые прямо не противоречат теории, но которые вместе с тем описываются в ее терминах и указывают на ограничен ность ее возможностей как механизма объяснения. Про извольный сегмент параболы, конечно, имеет определен ную площадь, которую можно попытаться както вычис лить, но довольно ясно, что элементарная геометрия не дает общего приема вычисления площади этого сегмента и общих подходов к определению площадей криволиней ных фигур вообще. Этот факт не опровергает евклидовой геометрии, но он демонстрирует ее ограниченность и, таким образом, выступает в качестве ее эвристического контрпримера, указывающего на перспективу ее совер шенствования.

Важнейшая особенность развития математики со стоит в том, что это развитие определяется не логиче скими, а главным образом эвристическими контрпри мерами, т. е. фактами, показывающими ограниченность существующей теории для решения некоторого класса осмысленных задач. Математическая теория развива ется не через преодоление логических противоречий (парадоксов) или противоречий между теорией и фак тами, а через механизмы обобщения, абстрагирования и интерпретации аксиом, которые направлены на ас симиляцию эвристических контрпримеров. Это основ ной механизм становления математической науки. Роль логических контрпримеров в развитии математики невелика, она сводится к уточнению понятий и к пере смотру плохо доказанных теорем.

Математические теории развиваются прежде все го, путем логического обобщения. От натуральных чисел математики сначала перешли к рациональным и иррациональным числам, затем к общему понятию действительного числа и, наконец, к теории мнимых чисел. От квадратных уравнений они перешли к реше нию уравнений кубических, биквадратных, а затем и к теории уравнений произвольных степеней. От изме рения площадей прямолинейных фигур — к измере нию площади круга, эллипса и, наконец, к интеграль ному исчислению, которое позволило дать новое пони мание площади фигуры и универсальные методы ее

Глава 2. Закономерности развития математики

вычисления. Надо заметить, что во всех этих восхож дениях логические контрпримеры не играли никакой роли, за исключением, может быть, факта несоизмери мости диагонали квадрата с его стороной, который косвенно способствовал введению иррациональных чисел. Важно отметить, что основной мотив всей пред шествующей содержательной эволюции математики лежал не в устранении внешних или внутренних про тиворечий, а в обобщении теории для ассимиляции ма тематических фактов, пока не объясняемых ею.

Другим механизмом совершенствования математи ческой теории является абстрагирование. Элементар ная геометрия породила афинную и проективную гео метрию и, наконец, топологию, которые представляют собой не что иное, как разработку специфических ас пектов евклидовой (метрической) геометрии. Аналогич ным образом в алгебре возникла теория групп и тео рия обобщенных алгебр. Характеристика современной математики как математики абстрактных структур яв ляется совершенно обоснованной. С методологической точки зрения стремление к созданию все более и бо лее абстрактных структур является оправданным. Опыт показывает, что многие результаты в математике ни когда не были бы получены, если бы не были исполь зованы более абстрактные теории. Известно, что мно гие утверждения теории чисел доказываются только в рамках теории групп. Дело, повидимому, в том, что переход к абстрактным структурам очищает задачу от условий, не существенных для ее решения, и тем са мым облегчает ее решение.

Наиболее мощным механизмом развития матема тического знания является метод интерпретаций, ко торый состоит в наложении одних математических структур на другие, т. е. в переформулировке задач одной теории в терминах другой. Открытие возможно сти новой интерпретации оказывает, как правило, освежающее воздействие на теорию и открывает но вые направления в ее разработке. В качестве примера здесь можно указать на построение Декартом анали тической геометрии. Новая геометрия была получена из старой переводом всех ее утверждений на язык

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

арифметики и алгебры. Роль, которую сыграла анали тическая геометрия в развитии современной матема тики, огромна. Алгебраическая интерпретация соотно шений геометрии сразу же указала на многие возмож ности ее обобщения, в частности на возможность рассмотрения пространства многих измерений. Идея многомерных геометрий вряд ли могла бы возникнуть в рамках обычной геометрии, без формального опре деления размерности пространства, к которому есте ственно приводит аналитическая геометрия.

Метод интерпретации в современной математике сливается с аксиоматическим методом, т. к. для полного обоснования корректности интерпретации мы нужда емся в сравнении теорий по их аксиоматической базе. Если мы обнаруживаем тождество аксиоматик содер жательно различных теорий, то нам не нужно доказы вать теоремы отдельно для каждой теории: мы можем заключить об истинности любой теоремы, аналог кото рой доказан в какойлибо из этих теорий

. Методологи чески это очень важное положение, ибо известно, что теоремы, лежащие, так сказать, на поверхности в одной теории, часто оказываются трудно доказуемыми в дру гой, несмотря на их формальное структурное тождество.

Таким образом, развитие математики идет по схе мам, существенно отличным от тех схем, по которым раз виваются эмпирические науки. Диалектика теории и факта, обычная для эмпирического знания, заменяется здесь механизмами устранения эвристических контр примеров, которые не находятся в прямом логическом противостоянии с принципами теории. Безудержное стремление математиков к обобщениям и предельным абстракциям кажется необъяснимым, ибо чаще всего оно не вызывается никакими внутренними противоречиями и никакой практической задачей. В действительности, это не так. Очевидно, что в конечном итоге это продиктова но стремлением расширить оперативные возможности математических теорий и предвосхитить будущие за просы практики.

О роли аксиоматического метода см.: Бурбаки Н. Архитектура

математики // Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 509 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]