Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 5015 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Глава 3. Проблемы обоснования математики

ее элиминации из доказательства. Первая реакция Гильберта на теорему Геделя исходила из его уверен ности в том, что процедура элиминации εфункции может быть осуществлена во всех доказательствах не противоречивости. Дальнейшие исследования показа ли, однако, что этот план не реализуем даже примени тельно к арифметике. Гильберт и Бернайс должны были признать, что пока не обладают средствами для устра нения геделевских ограничений.

Подавляющее большинство современных матема тиков и логиков, вовлеченных в обосновательную проб лему, убеждены в том, что ограничения Геделя не мо гут быть устранены никакими ухищрениями и, следо вательно, невозможно построение простой (финитной) метатеории, которая была бы достаточна для строгого обоснования непротиворечивости арифметики и тео рий, содержащих арифметику. Это значит, что гильбер товская программа также потерпела поражение, как и другие, рассмотренные выше попытки обосновать аб солютную надежность математических теорий.

Кризис обоснования и возможные

перспективы новых программ

Крушение программ обоснования, выдвинутых в начале ХХ в., привело к выводам о невозможности абсолютно надежного обоснования математики вооб ще и появлению устойчивого скептицизма в отноше нии абсолютной строгости математического мышления. Основной предпосылкой скептицизма в современной философии математики является тезис: «Если матема тику нельзя обосновать в самой математике, то ее нельзя обосновать вообще». Это положение выглядит убеди тельным, ибо было бы абсурдным искать обоснования строгости математической науки в сфере менее стро гих соображений.

Современное состояние философии математики существенно определено этой скептической идеей. В качестве следствия как нечто бесспорное выдвигает

141

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

ся положение о методологическом родстве математики и опытных наук, которое не оставляет места для пред ставления о математике как о строгой и абсолютно об основанной науке. И. Лакатос подвел эту ситуацию под общую формулу, состоящую в том, что «основания не могут быть обоснованы»

. Известный логик Л. Каль мар предлагал вообще снять проблему обоснования как специфическую лишь для математики. «...Непротиво речивость наших формальных систем, — писал он, — есть эмпирический факт: даже там, где она может быть доказана, приемлемость используемых при доказатель стве методов имеет опять же лишь эмпирическое об

основание. ...Почему мы не можем не признать, что

математика, подобно другим наукам в конце концов базируется на практике и проверяется ею?»

Это до вольно типичная позиция, повторенная бессчетное количество раз при описании современной ситуации в основаниях математики.

Мы считаем, что эмпирическая философия мате матики, отождествляющая математическое знание с эмпирическим в смысле строгости и обоснования, яв ляется несостоятельной. Крен к эмпиризму в филосо фии математики, наметившийся в середине ХХ в. и существующий до сих пор, является явно неадекват ной реакцией на ситуацию в основаниях математики, на провал выдвигавшихся ранее программ ее обосно вания.

Возможности обоснования математики, однако, еще далеко не исчерпаны. Об этом говорит, в частно сти, теорема Геделя об интуиционистской интерпре тации классической арифметики (1933), из которой следует, что проблема доказательства непротиворечи вости обычной арифметики сводится к решению это го вопроса для интуиционистской арифметики. Если принять то положение, что интуиционистское пред ставление арифметики обеспечивает ее непротиворе чивость по самой своей сути (против такого положе ния у нас не может быть какихлибо возражений), то

142

См.: Лакатос И. Доказательства и опровержения. С. 80.

Problems in the philosophy of mathematics. Amsterdam, 1967. Р. 193.

Глава 3. Проблемы обоснования математики

мы должны признать, что проблема непротиворечи вости арифметики решена полностью и абсолютно на дежными средствами, хотя и не в соответствии с про граммой Гильберта. Эта ситуация дает нам основание думать, что ограниченность программы Гильберта для доказательства непротиворечивости некоторой теории не означает, что она не может быть обоснована неко торыми другими и не менее надежными рассужде ниями.

Радикальная критика формалистской программы, исходящая из теорем Геделя, не может быть признана вполне корректной и в том смысле, что она, как пока зывает анализ, приписывает этим теоремам значитель но большую общность, чем та, которой они обладают по логике доказательства. Общее заключение теоремы Геделя о непротиворечивости основано на формуле:

ConsisТ → G,

где ConsisТ — утверждение о непротиворечиво сти арифметики, а G — формула, заведомо невыводи мая в арифметике. Т. к. формула ConsisТ → G выводи ма в арифметике, то доказательство в метатеории не противоречивости арифметики вело бы к признанию выводимости формулы G, невыводимость которой доказана. С. Феферман показал (1960), что возможно построение более слабых формул, соответствующих содержательному смыслу ConsisТ, для которых недо казуема импликация ConsisТ → G и выведение кото рых в метатеории, таким образом, не входило бы в противоречие с теоремой Геделя

. Радикальное ис толкование теоремы Геделя ошибочно, поскольку оно исходит из допущения, что теорема Геделя истинна не только для формы ConsisТ, используемой в доказатель стве Геделя, но и для всех формальных выражений, которые могут быть истолкованы в качестве утверж дений о непротиворечивости теории. Ясно, что допу щение альтернативных ConsisТ, даже чисто теорети ческое, отклоняет радикальную оценку программы

См.: Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.,

1972. С. 108.

143

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Гильберта как ограниченную только сферой теорий более бедных, чем арифметика.

В этой связи следует также отметить исследования А.С. ЕсенинаВольпина по ультраинтуиционистскому обоснованию математики. Автор предложил концеп цию арифметики, построенную на допущении практи ческой бесконечности конечных чисел натурального ряда и попытался обосновать на этом предположении непротиворечивость системы аксиом теории множеств в форме ZF

Ю.Л. Ершов и К.Ф. Самохвалов считают, что про грамма финитного обоснования, не будучи примени мой к таким теориям, как теория множеств, в действи тельности может быть реализована для множества теорий или их фрагментов, связанных с решением задач. По мнению авторов, ограничения Геделя не действуют для этого класса теорий, оставляя принци пиальную возможность их финитного и абсолютного обоснования

Идея неиспользованных возможностей финитно го подхода лежит в основе исследований Я. Мациель ского по обоснованию анализа. «Конечная математи ка» Мациельского основана на возможности фор мального исключения актуальной и потенциальной бесконечности из математических формул посредством их записи с использованием ограниченных кванторов. Предполагается, что мы можем переформулировать все утверждения формализованной математической теории как утверждения, относящиеся к конечной, хотя и неопределенной области предметов. К примеру, утверждение Zх ∃у (у = х +1) может быть записано в виде (Zх < Ω) (∃у < Ω) (у = х +1) , где Ω — неопре деленное конечное число. Обосновательный прогресс основывается на теореме Мациельского(1986), соглас но которой теория, сформулированная в конечных

См.: Есенин3Вольпин А.С. Анализ потенциальной осуществимо сти // Логические исследования: Сборник статей. М., 1959. С. 218–262.

См.: Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. О новом подходе к методо

логии математики // Закономерности развития современной ма

144

тематики. М., 1987. С. 85–105.

Глава 3. Проблемы обоснования математики

кванторах, является равнозначной исходной теории в плане непротиворечивости, а с другой стороны, допус кает обоснование непротиворечивости на основе ко нечных моделей. Теория конечной математики претен дует на строгое финитное обоснование анализа, абсо лютно свободное от использования как актуальной, так и потенциальной бесконечности

Существует также доказательство непротиворе чивости арифметики Н.М. Нагорного, которое опира ется на некоторый класс семантических допущений, финитность и надежность которых не вызывают сомне

ния

Эти подходы нельзя считать заведомо ошибочны ми. Они могут содержать в себе веские аргументы, показывающие относительность запретов, которые истолковывались до некоторого времени в качестве абсолютных. Мы не будем вдаваться в анализ этих альтернатив, вследствие их сугубо логического харак тера. Однако само их существование говорит о том, что теоремы Геделя в настоящее время не принимаются всеми в качестве полного запрета на программы стро гого обоснования арифметики и других математиче ских теорий.

Принципиальная возможность новых и более успешных программ строгого обоснования математи ки становится совершенно очевидной при более широ ком философском взгляде на проблему. Исходный пункт развиваемой нами праксеологической филосо фии математики заключается в том положении, что генетическим фундаментом математики является не опыт, не конвенция и не логика, а аподиктическая оче видность, порожденная деятельностной ориентацией сознания. Исходные математические структуры с этой точки зрения определены категориальным видением мира и не подлежат корректировке на основе опыта.

См.: Shaughan Lavine Understanding the Infinite Harvard

University press. 1994. Ch. IX.

Cм.: Нагорный Н.М. К вопросу о непротиворечивости класси ческой формальной арифметики. Вычислительный центр РАН. М., 1995.

145

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Мы следуем, с одной стороны, по пути априоризма, который связывает исходные математические пред ставления с универсальными формами мышления. Однако мы рассматриваем формы мышления не как имманентные структуры сознания и не как продукт его внутренней активности, а как идеализации, порожден ные в сфере практической деятельности, как выраже ние онтологических оснований этой деятельности и, таким образом, понимаем их как специфическую кар тину реальности, задаваемую процессом деятельнос ти. Исходные математические теории получают при таком подходе реальный статус как формальные струк туры, коррелятивные универсальной онтологии.

Это значит, что математическое знание содержит в себе некое априорное ядро, некий априорный центр, который однозначно задан структурой категориально го видения мира. Математики начала века были без условно правы в том предположении, что существует часть математики, не подверженная сомнению и что, будучи выявленной, она может играть роль абсолют ного основания для других частей математического знания. С этой точки зрения логицизм, интуиционизм и формализм различаются лишь тем, что опираются на различные части абсолютно надежной математики. Можно предположить, что они без всякого противоре чия могут быть соединены в единой обосновательной программе, опирающейся на весь объем онтологиче ски истинного знания. Уже в этом плане возможность новой, более широкой и эффективной программы логи ческого обоснования математики представляется впол не реальной.

Если говорить о формалистской программе как наиболее продвинутой, то ее расширение может быть достигнуто прежде всего через пересмотр принципов построения метатеории и допустимых в ней логических средств. Основная слабость этой программы состоит в незавершенности ее методологического обоснования. Определяя общие задачи своего подхода к анализу оснований математики, Гильберт пишет: «Надо повсю ду установить такую же надежность логических средств, как и та, что имеется в обыкновенной элемен

146

Глава 3. Проблемы обоснования математики

тарной арифметике, где никто не испытывает ни ма лейших сомнений и где противоречия и парадоксы воз никают лишь в результате нашей невнимательности»

Но чем объяснить, что в элементарной арифметике существует такой уровень надежности? Не имея ясно го ответа на этот принципиальный вопрос, мы имеем мало шансов указать границы надежной логики, надеж ной метатеории и надежного обоснования математики в целом.

Праксеологическая концепция математических идеализаций дает нам определенную основу для отве та на этот вопрос. В основе математического мышле ния лежит некая система категориальных очевиднос тей, которая является абсолютной формой для него. Надежная основа математики определяется безуслов ной онтологической истинностью ее ядра.

Это понятие важно в том отношении, что оно вно сит радикальные изменения в понимание метатеории. С этой точки зрения в основе надежной метатеории должна лежать онтологически истинная математика, независимо от ее отношения к таким характеристикам как финитность или конструктивность. Это значит, что мы можем расширить строгую метатеорию в смысле Гильберта за счет введения в нее некоторых онтологи чески истинных, хотя и нефинитных суждений. Ана лиз логики и общих принципов математики уже дает нам некоторую основу для реабилитации такого рода нефинитной метатеории.

Если верно, что закон исключенного третьего не имеет тех дефектов, которые приписывает ему интуи ционистская критика, то мы можем отказаться от тре бования конструктивности метатеоретических рассуж дений, которое является основополагающим для мета теории Гильберта. Имеем ли мы сегодня какиелибо основания для заключения, что закон исключенного третьего может быть причиной противоречий? Ни практика математики, ни теория логики не оправдыва ют сегодня положительного ответа на этот вопрос. Но это значит, что наше метатеоретическое рассуждение

Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. С. 439.

147

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

может опираться на этот закон без какихлибо ограни чений, удовлетворяя при этом всем требованиям стро гости и надежности

Из аподиктической очевидности семантических рассуждений следует, что они относятся к сфере онто логически истинной математики и, несомненно, также должны быть признаны в качестве законного элемента обосновательной процедуры, несмотря на то что они не могут быть включены в метатеорию в ее гильбертов ском понимании. Праксеологическая философия мате матики обосновывает полную надежность семантиче ских средств, по крайней мере тех из них, которые не выходят за пределы аподиктической очевидности. Все доказательства непротиворечивости, опирающиеся на такого рода качественную семантику, должны быть признаны законными и обладающими достоверностью. Разделение доказательств на семантические и синтак сические, безразличное для обычной математической практики, должно быть признано безразличным и для сферы обосновательных рассуждений.

Если мы понимаем истинное основание надежной метатеории как относящееся к сфере онтологически истинной математики, то мы должны отказаться почти от всех ее признаков, выдвинутых Гильбертом в каче стве существенных. Гносеологически обоснованная метатеория не обязательно должна быть финитной, или конструктивной, или нацеленной только на синтаксис теории. С праксеологической точки зрения все эти требования должны быть заменены одним требовани ем, а именно требованием онтологической истиннос ти. В конкретных случаях, разумется, мы можем при бегать к понятиям финитности, конструктивности, обо зримости и к другим понятиям, характеризующим обосновательный слой, понимая при этом их вторич ность и относительную значимость по отношению к понятию онтологической истинности.

Относительно статуса закона исключенного третьего см.: Перминов В.Я. Об аргументах Брауэра против закона исключен ного третьего // Бесконечность в математике. Философские и ис торические аспекты. М., 1990. С. 199–229.

148

Глава 3. Проблемы обоснования математики

Онтологическое понимание метатеории требует также отказа от принципа отделения оснований мате матики от философии, под которым Гильберт понимал необходимость определения метатеории только на ос нове собственно математических критериев (финит ность, конструктивность и т. д.). Утверждение, что толь ко математические критерии могут строго задать гра ницы метатеории и устранить нежелательный произвол, является ошибочным. Метатеория как сфера абсолют ной надежности предполагает также обращение и к гносеологическим критериям, таким как априорность, самоочевидность и онтологическая истинность. Хотя мы не можем выделить сферу априорной математики по средством строгих признаков, мы можем с полной оп ределенностью утверждать априорный характер логи ки, аксиом арифметики и т. п. Это значит, что, не имея определения по объему, мы имеем здесь определение по содержанию, которое обеспечивает не менее стро гое определение состава метатеории, чем ее определе ние на основе математических понятий.

Общий вывод, вытекающий из сказанного, состоит в том, что мы можем и должны снять неоправданные ограничения на состав метатеории, имеющие место в первоначальной программе Гильберта. Мы должны отказаться от его требования финитности, от ограни чений на логику и, наконец, от требования к принци пам метатеории, как определяемым исключительно в рамках математических критериев. Представляется, что адекватная метатеория может быть построена на основе более широких гносеологических критериев, вытекающих из понимания априорности математичес кого знания.

Главная проблема всех программ логического об основания математики состоит, несомненно, в опреде лении обосновательного слоя. Какие понятия, утверж дения и типы доказательств могут быть приняты как не внушающие опасений? Ни одна из программ об основания математики не дала скольконибудь убеди тельного рационального оправдания обосновательно го слоя. Гильберт берет за основу конечную математи ку, мотивируя свое решение тем, что элементарная

149

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

математика нас никогда не подводила. Очевидно, что такого рода исторический и в своей основе индуктив ный аргумент не очень соответствует задаче абсолют ного обоснования математики. Эта трудность остается главной и в настоящее время. Мы можем, к примеру, принять в качестве безусловно надежных такие поло жения как 2 + 2 = 4, 5 + 7 = 12 и т. п., но можем ли мы считать столь же надежным соответствующее об щее положение: а + в = в + а? Если это последнее утверждение понимать как результат индукции, то его надежность может быть поставлена под сомнение. Гус серль предложил понимать такие суждения как особо го рода эйдетические истины, которые являются столь же надежными как и сингулярные суждения, лежащие в их основе

. Такое решение представляется более близким к истине, но оно, очевидно, упирается в оправдание идеаций как особых формообразований со знания. Важно понять, что определение обоснователь ного слоя — прерогатива философского анализа.

Отсутствие хороших рациональных определений обосновательного слоя порождает произвольность и условность всех программ обоснования. Праксеологи ческий анализ математической достоверности показы вает, что многие запреты, принятые в этих програм мах, являются случайными и неоправданными. Буду щая программа логического обоснования математики может возникнуть только на основе более глубокого гносеологического анализа надежности математиче ских рассуждений, которого не имела математика на чала века. С нашей точки зрения, работа по логическо му обоснованию математики не закончилась, она про шла лишь очередной этап.

Системное обоснование математики

Ниже будет изложен системный подход к обосно ванию сущности надежности математики. Он основан на определенном понимании эволюции математических

150

См.: Гуссерль Э. Логические исследования. Т. 1, параграф 46.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 5015 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]