Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 506 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 1. Природа математического познания

Рассмотрим для простоты в качестве примера процесс решения простой шахматной задачи. Пусть ситуация на доске такова, что белые начинают и дают мат в два хода, и пусть сообщество шахматистов признало, что это дей ствительно так и что мат для черных в данной ситуации неизбежен. Допускаем ли мы, что это заключение отно сительно и что некий сверхгениальный шахматист най дет здесь выход из положения и спасет черных? Конеч но нет. И нетрудно понять, на чем базируется здесь наша уверенность. Шахматная ситуация определена конеч ным числом фигур, каждая из которых может влиять на нее лишь конечным числом движений. Шахматист при знает неизбежность мата, если он видит, что у него нет возможности сдвинуть короля в безопасное место, что ни одна из фигур не может прикрыть его от шаха или уничтожить нападающую фигуру. Для абсолютного решения вопроса здесь достаточно просмотреть конеч3 ное число вариантов защиты и, если ни один из них не может быть реализован, шахматист должен признать неизбежность мата, и эта констатация является абсо лютной, не подверженной корректировке при сохране нии установленных правил шахматной игры.

Этот не совсем математический пример полностью применим, с нашей точки зрения, и ко всем математи ческим рассуждениям и механизмам их проверки. От дельный математик, конечно, может сделать техниче скую ошибку либо допустить вывод, не являющийся общезначимым, но это исключено для сообщества в целом, по крайней мере ясно, что оно не может не об наружить этой ошибки в процессе анализа доказатель ства. Математическое доказательство как деятельность в конечном поле аподиктически определенных комби наций имеет абсолютный и с полной определенностью фиксируемый результат. Математические рассуждения отличаются от содержательных не тем, что они гаран тированы от ошибок, а тем, что они неизбежно способны достигнуть полного освобождения от ошибок, т. е. со стояния полной надежности.

Разница между решением шахматной задачи и ма тематическим доказательством состоит лишь в том, что точные определения математических объектов, а иног

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

да и допустимых правил действия, не всегда заданы явным образом с самого начала, а часто вырабатывают ся в самой «игре». Математическая игра в отличие от шахматной на некотором этапе может обходиться без точной кодификации правил действия с некоторыми фигурами (объектами), опираясь лишь на общее согла сие играющих. Здесь могут возникать неясности и не доразумения, неявное использование доводов ассерто рического порядка и т. п. Однако это различие не меня ет сути дела, ибо созревание системы доказательств, относящихся к теории, неизбежно приводит к однознач ному определению всех объектов на базе исходных понятий и к устранению всех недоразумений. Сторон ники релятивистской концепции доказательства могли бы защитить свой тезис о вечной незавершенности доказательства, если бы они могли показать, что в мате матическом доказательстве могут существовать шаги, не допускающие редукции к первичным, аподиктически определенным переходам.

Хотя доказательство математической теоремы по своей сути является деятельностью с идеальными пред метами, она, как и деятельность с реальными предме тами, имеет категорический характер в плане резуль тата. Трехлетний ребенок уверенно строит пирамиду из кружочков, накладывая их один на другой по вели чине. Его знания о мире еще незначительны, ему пред стоит длинный путь углубления своих представлений о мире, но то, что он сделал сейчас, является абсолют ным: расположить кружочки по величине более совер шенным образом не удастся более ни ему и никому другому. Комбинация в конечном множестве объектов, удовлетворяющая заданному свойству, достигнута и сам вопрос о ее относительности является абсурдным. Можно, конечно, возразить следующим образом: «Рас положение кружочков по величине окончательно, если принять неизменными (абсолютно стабильными) пред ставления о большем и меньшем, которыми ребенок руководствовался. Но могут измениться и эти представ ления». Это возражение, несмотря на всю его гипоте тичность, можно принять. Тогда мы должны будем говорить о предельной завершенности конечной ком

Глава 1. Природа математического познания

бинации, т. е. о такой завершенности, которая не мо жет быть поставлена под сомнение в рамках существу ющей категориальной сетки. Представляется, однако, что различие между предельным и абсолютным в дан ном случае не имеет практического смысла.

Математическое доказательство не есть рассужде ние в обычном смысле слова, для которого характерно бесконечное приближение теории к объекту, а является построением комбинации в конечном множестве объек тов, имеющих определенные свойства. Завершенность такой комбинации является предельно общезначимой, поскольку и ее свойства, и каждый шаг ее построения фиксируются с аподиктической очевидностью.

Гносеологическая особенность рассматриваемой ситуации состоит в том, что мы наблюдаем здесь воз можность непосредственного перехода от субъективно го и только вероятного мнения отдельных индивидов к абсолютному мнению математического сообщества, утверждающего факт полной надежности доказатель ства, невозможности его опровержения. Здесь, однако, нет ничего незаконного, либо противоречащего теории вероятностей, ибо мнение математического сообщества относится к анализу конечной конструкции на базе предельно достоверного разделения аподиктических и ассерторических очевидностей. Математическое дока,

зательство представляет собой конечную конструк, цию в сфере аподиктически очевидного. Все отклоне

ния от абсолютности на этом уровне являются случай ными и устраняемыми в конечное время.

Здесь надо учесть еще одно обстоятельство, а имен но специфическую системность математики. Математи ческая теория является довольно жесткой системой в том смысле, что каждая доказательная связь обусловлена здесь многими другими доказательными связями. Каж дое доказательство связано с доказательствами, прове денными раньше, и само оно становится основой других доказательств и подтверждением результатов, получен ных другими путями. Отдельное математическое доказа тельство не может существовать вне перекрещивающей, ся сетки доказательств, согласованных с ним. Матема тическая теория в этом смысле может быть уподоблена

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

огромному кроссворду, где каждое слово многократно проверяется через все другие. Разница с обычным крос свордом состоит лишь в б

óльшей жесткости (внутренней

детерминированности) математического кроссворда. В обычном кроссворде, чтобы считать слово угаданным, мы должны обеспечить его согласование с другими сло вами в двух или максимум в трех точках. В математиче ской теории каждое доказательство представляет собой слово, которое должно совпадать с существующим мас сивом слов во всех своих точках, т. е. быть истинным во всех своих промежуточных результатах.

Отсюда ясно, что зрелая математическая теория полностью исключает некорректные доказательства. Доказательство имеет шансы содержать некорректное допущение только на той стадии своего развития, пока оно находится на периферии теории и не связано до статочно жестко с другими теоремами. Но по мере своего вызревания любое доказательство погружается в центр теории, в разработанную часть кроссворда, где все его леммы должны стать доказанными теоремами или аксиомами, а все объекты однозначно определен ными на основе первичных объектов. Отсюда ясно, что интуитивность выводов и неопределенность объектов в математическом рассуждении — сугубо временное состояние, возможное лишь на начальном этапе его становления.

Аргумент системности представляется, в частности, очень важным для понимания статуса современных ком пьютерных доказательств. Многие математики склонны думать, что доказательства математических теорем, осу ществленные с использованием сложных программ, не могут считаться надежными и что они в лучшем случае могут рассматриваться в качестве гипотез, направляю щих поиск

. Здесь, однако, упускается из виду то обсто

ятельство, что надежность доказательства проверяется не

В частности, Н.М. Нагорный полагает, что компьютерные доказательства, не допускающие записи в виде текста и традици онной проверки, «могут быть эвристически полезными, но ни при каких обстоятельствах не могут претендовать на окончательное решение проблемы». (Цит. по: Кудрявцев Л.Д. Современная мате

матика и ее преподавание. М., 1985. С. 103–104.)

Глава 1. Природа математического познания

только прямым анализом его шагов, но и его согласован ностью с другими доказательствами. Учитывая это об стоятельство можно утверждать, что компьютерная ма тематика также не ограничена в своем движении к на дежности. Одна программа может проверять другую, и, как и в случае с обычными доказательствами, полная кор рекция доказательства потребует лишь конечное число проверок.

Мы можем заключить, что математическое сооб щество действительно обладает достаточными крите риями абсолютной надежности доказательств. Если общее признание доказательства представляет субъек тивный (хотя и в высшей степени надежный) крите рий такого рода, то включенность доказательства в центр теории, согласованность его с другими доказа тельствами являются объективным и однозначным кри терием.

Еще раз подчеркнем, что вероятностные сообра жения типа того, что если может заблуждаться один математик, то может заблуждаться на неопределенное время и математическое сообщество в целом, что по вторные проверки не способны вывести нас за рамки вероятного результата и т. п., являются неприменимы ми к эволюции математического доказательства.

С абстрактно теоретической точки зрения можно допустить, что все человечество с какойто степенью вероятности может заблуждаться, считая истинным равенство 2 + 2 = 4. Но это допущение не учитывает системности теории. Ошибка в таком равенстве, будь она реальной, должна была бы войти в тысячи других равенств, в бесконечный кроссворд математических слов и остаться при этом незамеченной. Если бы такая ситуация действительно могла иметь место, то ее нельзя было бы считать случайной. Этот факт можно было бы объяснить только наличием некоторой другой системы аподиктических очевидностей, что в принципе исклю чено их статусом (по определению).

Ситуация с достижимостью окончательного дока зательства в математической теории может быть сфор мулирована как задача полной (предельной) настрой ки в конечной саморегулирующейся системе. Если

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

имеется система с конечным числом состояний, упо рядоченных по некоторому параметру, и имеется по стоянно действующий фактор, способствующий с пре обладающей вероятностью переходу от данного состоя ния к более высокому, то можно утверждать, что такого рода система достигает предельного (наилучшего) со стояния в конечное время. Каждое доказательство со держит в себе конечное число ошибок и его истори ческое совершенствование может быть представлено в виде конечной последовательности состояний, упо рядоченных по возрастанию корректности. Теоретиче ская коммуникация, в которую доказательство вклю чено, является постоянно действующим фактором, обес печивающим его переход от одного состояния к более высокому.

В математической теории, как и в любой теории, возможны ошибки, идущие от человека, от ограничен ности его внимания и памяти, т. е. здесь происходит обычное движение от несовершенного к более совер шенному. Основная особенность математики, отлича ющая ее от эмпирических наук, состоит в том, что она достигает окончательного установления своих истин и предельно ясной констатации этого состояния в конк ретных случаях.

Критика математического

эмпиризма и релятивизма

Сомнения в абсолютной строгости математического доказательства (в возможности достижения полной стро гости) высказывались в нашем веке многими математи ками и философами. В большинстве случаев, однако, эти высказывания имели абстрактный характер и не подкреп лялись систематической аргументацией. В серии статей, появившихся в The British Journal of the Philosophy of Science в 1960–1963 гг., И. Лакатос, повидимому, впер вые представил эти сомнения в достаточно концептуали зированной форме. Аргументы Лакатоса заслуживают подробного рассмотрения, т. к. до сих пор они остаются

основой релятивистской критики математики.

Глава 1. Природа математического познания

Замысел Лакатоса состоял в том, чтобы показать, что математическое доказательство никогда не избав ляется от возможности контрпримеров и, таким обра зом, никогда не становится абсолютно строгим и на дежным. Используя конкретный пример, а именно догадку Л. Эйлера о том, что вершины (V) ребра (E) и грани (F) многогранника всегда связаны соотношени ем V – E + F = 2, он показывает, как под влиянием контрпримеров математики переходили ко все новым и новым доказательствам этой догадки, не достигая при этом его полного завершения.

С логической точки зрения контрпримеры у Лака тоса разделяются на три типа.

1. Локальные, но не глобальные. Такого рода контр примеры опровергают отдельные утверждения (леммы), используемые в доказательстве, не ставя под сомнение истинности доказываемого утверждения (догадки). Контрпримеры этого типа говорят об ошибочности не которых предположений, используемых в доказатель стве, и являются эвристическими контрпримерами, по буждающими к уточнению доказательства.

2. Локальные и одновременно глобальные. Такого рода контрпримеры опровергают как теорему (догад ку), так и некоторую лемму, используемую при доказа тельстве. Они не ставят под сомнение правильность теоремы, т. к. не исключают положения, что при ис правлении леммы она может быть доказуема.

3. Глобальные, но не локальные. Это тот случай, когда объект, удовлетворяя всем условиям теоремы и всем промежуточным леммам, не удовлетворяет самой тео реме. Такого рода контрпримеры свидетельствуют о неполноте условий, о наличии скрытых предпосылок в рассуждении, т. е. о нестрогости доказательства. Мы имеем здесь дело с логическими контрпримерами, от вергающими доказательство.

Лакатос стремился показать, что эволюция доказа тельства никогда не доводит его до такой степени со вершенства, при которой оно получило бы полную гарантию от контрпримеров, в том числе и от контр примеров последнего типа. Таким образом, Лакатос отрицает идею абсолютной надежности и абсолютной

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

строгости доказательства, т. е. идею завершенного до казательства вообще.

В своей реакции на контрпримеры доказательство, по Лакатосу, проходит несколько стадий. Основные из них следующие.

1. Стадия устранения монстров. На этой стадии мы избавляемся от контрпримеров, придумывая повод, исключающий их из числа объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Некоторые контрпримеры к теореме Эйлера, как показывает Лакатос, были сняты через уточнение понятия многогранника, которое ли шало спорную фигуру права называться многогранни ком и сохраняло возможность говорить о теореме Эйлера как об истинной для всех многогранников.

2. Стадия устранения исключений. Это та стадия в доказательстве, на которой мы осознаем, что объек ты, к которым относится теорема, являются лишь под классом некоторого более широкого класса объектов. Мы теперь явным образом ограничиваем условия тео ремы, начиная ее с выражений типа: «Все простые многогранники...», «Все выпуклые многогранники...» и т. п. Строгость теоремы зависит теперь от точности ограничивающих условий.

3. Стадия анализа доказательства. Иногда устра нение монстров и устранение исключений могут про ходить, по Лакатосу, без рассмотрения доказательства как такового. Здесь мы находимся на уровне гипотез ad hoc, которые могут быть более или мнение удачны ми, но никогда не могут гарантировать точности усло вий и полной надежности теоремы. Этот недостаток устраняется, по Лакатосу, лишь тогда, когда мы от анализа контрпримеров переходим к анализу самого доказательства с намерением выявить упущения в его логике, ставшие причиной контрпримеров.

Вопрос о том, может ли математическое доказатель ство достигнуть уровня полной строгости или завер шенности, сводится теперь к вопросу, можем ли мы на какойлибо стадии анализа доказательства гарантиро вать отсутствие в доказательстве логических (глобаль ных, но не локальных) контрпримеров. Ответ Лакатоса состоит в том, что этот идеал недостижим даже в тех

Глава 1. Природа математического познания

случаях, в которых мы можем предполагать закончен ность доказательства.

Для двух первых способов уточнения доказатель ства этот вывод Лакатоса представляется достаточно убедительным. Метод устранения монстров и метод устранения исключений основаны на том, чтобы по средством конечного числа признаков исключить в принципе бесконечное многообразие объектов, не удов летворяющих теореме. Нет никаких гарантий того, что эта задача является выполнимой для всех классов объектов. Во всяком случае, ясно, что, двигаясь таким образом по линии, так сказать, исчерпывания отрица тельной бесконечности, мы не имеем возможности зафиксировать момент завершения процесса, даже если бы этот момент фактически оказался достигнутым.

Лакатос считает, что и метод анализа доказатель ства, будучи наиболее эффективным с точки зрения устранения контрпримеров, также не гарантирует полного успеха в уточнении доказательства. Тривиаль ные леммы, к которым сводится рассуждение в этом случае, по мнению Лакатоса, также не обладает пол ной надежностью. История математики, говорит Лака тос, постоянно демонстрирует нам, что тривиально истинные леммы могут превратиться в тривиально ложные и что леммы, опущенные в доказательствах вследствие их полной очевидности, «могут быть не только неверными, но и несовместимыми»

. Уточне ние доказательства в стремлении сделать его оконча тельно строгим представляет собой, по Лакатосу, бес конечный спуск, останавливающийся в данное время на том уровне, где существующие критерии строгости не обнаруживают контрпримеров или логических де фектов. В развитии математических теорий этот спуск проявляется в том, что каждое поколение математиков стремится все более ограничить сферу непосредствен ных очевидностей, считая необходимым доказать то, что ранее принималось без доказательства. Но прогресс, достигаемый посредством такого увеличения строгос

Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказыва

ются теоремы. М., 1967. С. 65.

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

ти, всегда остается лишь относительным, не устраня ющим возможности новых контрпримеров.

Лакатос согласен с тем, что любое реальное доказа тельство сводится в конечном итоге к последовательно сти тривиальных переходов, которые мы принимаем только на основе их непосредственной очевидности. Однако он не допускает очевидностей, заслуживающих абсолютного доверия. Он убежден в том, что каждая из этих тривиальных очевидностей может сохранять в себе некоторую некорректность и, таким образом, может стать источником новых контрпримеров.

Строгость доказательства, делает вывод Лакатос, всегда относительна, она зависист от исторически изменяющегося уровня строгости анализа доказатель ства, т. е. от критериев строгости, которые не остаются неизменными. Мы, считает Лакатос, принимаем тео рему в качестве строгой не потому, что она достигла некоторого абсолютного основания и гарантирована от контрпримеров, а потому, что в данный момент она не имеет видимых контрпримеров и видимых логических дефектов с точки зрения принятых критериев строго сти. «При каждой “революции строгости”, — пишет Лакатос, — анализ доказательства проникал все глуб же в доказательство вплоть до обосновывающего слоя, хорошо знакомого основного знания, где верх правила кристально ясная интуиция, и основанная на ней стро гость доказательства, а критика изгонялась. Таким образом, различные уровни строгости доказательства отличаются только местом, где должен остановиться критицизм и должно начаться подтверждение. Однако окончательная “достоверность” никогда не может быть достигнута, “основания” никогда не могут быть обосно ваны. “Хитрость разума” превращает всякое увеличе ние строгости в увеличение содержания, в цель мате матики»

. Функция доказательств, по Лакатосу, состо ит не в том, чтобы обеспечить безупречный вывод догадки из определенных условий, а в том, чтобы мак симально улучшить догадку. Смысл доказывания тео

Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказыва

ются теоремы. С. 80.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 506 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]