Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 503 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Введение

ла, не имеющих высокой научной подготовки. Поэтому в технонауках без обыденного знания нельзя обойтись принципиально. Ну и наконец, метатеоретический блок технознания. Сюда входят прежде всего фундаменталь ные знания из естествознания, математики и гумани тарных наук, элементы философского мировоззрения, прежде всего из области философии техники, социаль ной философии и философской антропологии, обще научные понятия и принципы, а также научнофило софская рефлексия реального или возможного соци ального заказа на данный вид технического и техно логического знания.

Весьма специфическими, существенно отличными от естествознания и социальногуманитарных наук являются законы развития технонаук. К числу этих закономерностей относятся: 1) баланс когнитивных (познавательных) и социальных факторов в развитии технотехнологических наук; 2) постоянный рост объ ема технической и технологическй информации; 3) пре рывнонепрерывный характер развития технологиче ских наук; 4) телеологизм их развития; 5) существен ное и всевозрастающее влияние экологических, гуманистических и цивилизационных детерминант в развитии технонаук.

Если говорить о специфике развития технонаук в целом, то она заключается в постоянном взаимодей ствии внутринаучных и социальных факторов в про цессе их функционирования и развития. Ни интерна лизм, ни экстернализм как общие модели развития научного знания здесь явно не проходят. Если в отно шении развития математики и логики или даже есте ственных наук определенные шансы имеет интерна лизм, а в отношении социальногуманитарных наук — экстерналистская модель развития научного знания, то реальная история развития технотехнологиче ского научного знания явно противоречит им обо им. К развитию научного технознания наиболее под ходит концепция диалектической взаимосвязи внут ринаучных и социальных детерминант. При этом каждый раз для различных технонаук и для различ ных этапов и стадий их развития речь должна идти не

Введение

о взаимосвязи этих детерминант вообще, а о конкрет ном виде и конкретной степени этой взаимосвязи. Более подробно о структуре и закономерностях раз вития технических и технологических наук, о сходстве и различии между ними, их взаимосвязи с обществом читатель сможет прочесть в соответствующих главах учебного пособия.

В заключение хотелось бы объяснить причины включения в данное учебное пособие раздела о логике и ее философских проблемах. Основные причины — две. Первая: убежденность в том, что логика является одной из наук, имеющих важное значение для всех других областей научного знания, в том числе для ма тематики и технонаук. Логика, как и математика, явля ется универсальным языком науки, на котором должен уметь профессионально говорить любой ученый неза висимо от специальности. Однако в логике, как и во всякой науке, имеются определенные философские проблемы, знакомство с которыми позволяет глубже понять возможности и пределы этой науки. Их знание поможет избежать многих ошибок в суждениях о логи ке.

Вторая причина связана со стремлением восполнить тот пробел в системе образования будущих научных ра ботников, когда большинство из них лишено возможно сти изучения логики в процессе своего обучения. На уровне аспирантуры всем будущим ученым еще не поздно восполнить этот пробел, не говоря уже о мате матиках, которым профессиональное знание логики просто абсолютно необходимо.

Таким образом, и математика, и технические нау ки, и логика, несмотря на все их различия, сходны в одном: все они выполняют объединяющую, синтетиче скую функцию, скрепляя всю науку в единую, целос тную систему. В этом их главное культурное и гумани стическое предназначение.

С.А. Лебедев,

Заслуженный профессор

Московского университета

ЧАСТЬ ФИЛОСОФСКИЕ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

ПРОБЛЕМЫ

Глава 1

ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО

ПОЗНАНИЯ

Основные концепции природы математического познания

Философские воззрения на математику во многом различаются тем, как они трактуют природу математи ческих понятий и принципов. Это прежде всего вопрос о генезисе математических понятий. Его решение во многом зависит от принятия тех или иных гносеологи ческих установок.

Первой явно сформулированной концепцией фи лософии математики был, очевидно, пифагореизм. Пифагорейцы прежде всего различали мир чувствен ных предметов и явлений, в которых царит случай ность, и мир сверхчувственных (мысленных) объектов и отношений, где имеет место идеальная упорядочен ность и гармония. Второй мир может быть познан толь ко умозрительно. Все высказываемое о чувственном мире не вполне достоверно и является только мнени ем. Утверждения же математики, относящиеся ко вто рому миру, являются подлинным знанием, обладающим полной истинностью. Математические утверждения опираются не на показания чувств, а на разум, кото рый способен, как полагали пифагорейцы, непосред ственно, без опоры на опыт постигать истинные зако ны космоса. Истины математики являются несомнен ными и вечными. «Ложь же никоим образом не входит в число, — учил пифагореец Филолай, — ибо ложь

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

враждебна и противна природе его, истина же род ственна числу и связана с ним с самого начала»

. Важ но отметить также, что пифагорейцы приписывали ма тематическим объектам не только объективное суще ствование. Они придавали числам статус причины вещей, активного начала, порождающего вещи. Хоро шо известен их главный тезис «Все есть число». Пифа горейский взгляд на математику был господствующим в античной философии в период ее расцвета. Мы ви дим его, в частности, в диалогах Платона, в особенно сти, в «Теэтете» и в «Тимее».

Однако его ученик Аристотель выдвинул новую, эмпирическую концепцию математики, исходящую из первичности опыта в генезисе любого знания. По мне нию Аристотеля, математические предметы не являют ся чемто существующим отдельно от вещей, наряду с ними, а тем более причинами вещей. Они, по его мне нию, связаны с вещами и возникают как таковые из способности мышления к абстрагированию. «И лучше всего можно каждую вещь рассмотреть таким образом: полагая отдельно то, что отдельно не существует, как это делает исследователь чисел и геометр»

. Смысл этого высказывания состоит в том, что человек, чув ственно воспринимая вещи во всем многообразии свойств, абстрагируется (отвлекается) от многих из них, оставляя лишь некоторые из них и исследуя последние как отдельно (самостоятельно) существующие. Мате матик мысленно строит особый идеальный мир, осно ванный на отвлечении, но этот мир не является неза висимым от чувственных вещей, он берется как неза висимый от них лишь условно, для ясности и простоты рассмотрения интересующих нас свойств.

Аристотель высказал также ряд других идей, за служивающих рассмотрения. Он, в частности, высказал положение о том, что строгость математического рассуж дения объясняется простотой ее предмета. Под просто той здесь имеется в виду не легкость усвоения матема тики, а ее предельная абстрактность, отсутствие в ее

Маковельский А.О. Досократики. Казань, 1919. С. 36.

Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1972. С. 326.

Глава 1. Природа математического познания

предмете разнородности качеств, которая имеет место в более конкретных науках. Им высказана также идея о глубинной связи математики с понятием прекрасного. Важнейшие виды прекрасного, считал Аристотель, — это слаженность, соразмерность и определенность, но имен но эти стороны вещей и изучает математика.

Очевидно, что аристотелевская концепция матема тики является более соответствующей духу естествен нонаучного мышления. Значительное число ученых и в настоящее время придерживаются в своей сути ари стотелевского воззрения на природу математики: они считают, что математика вторична по отношению к опыту, что исходные математические объекты есть некоторые абстрактные схемы реального бытия вещей. Математика с этой точки зрения суть не что иное, как очень абстрактная физика, отвлеченная от анализа реальных (материальных) сил и движений

Аристотелевское истолкование природы математи ческого знания имеет, однако, серьезные внутренние трудности. Уже давно было замечено, что математиче ские утверждения (теоремы) в отличие, скажем, от фи зических не могут быть опровергнуты. Доказанное в математике доказано навсегда, в то время как в физи ке нет ни одного утверждения, которое не стояло бы перед опасностью пересмотра и корректировки в бу дущем. Мы видим также, что математика в обоснова нии своих положений не использует и не нуждается ни в каких показаниях опыта. Мы замечаем, наконец, что многие математические объекты не могут быть поняты в качестве абстракций из опыта. Уже с такими объектами, как отрицательные числа возникают затруд нения. Нельзя доказать положение: (+5) × (–5) = –25, апеллируя к какомулибо опыту или к логике абстраги рования. Еще более проблематичны в этом отношении комплексные числа. Математический анализ ввел в ма тематику понятие актуальной бесконечности, которое также не имеет коррелята в чувственном опыте. Раз витие математики начиная с XVII в., демонстрировало все новые и новые возражения аристотелевской кон

См.: Арнольд В.И. Что такое математика? М., 2004.

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

цепции математики и все настоятельнее ставило зада чу разработки ее понимания на неэмпирической ос нове.

В какойто степени эту задачу решала априорист ская концепция математики, сформированная в XVII– XVIII вв. (Декарт, Лейбниц, Кант). Априоризм в опре деленной степени явился возвращением к пифагоре изму с его разделением знания на чувственное и умопостигаемое. Математика объявляется принципи ально внечувственным знанием, основанным на апри орной интеллектуальной интуиции. Так, Декарт разде лял все истины на мысленные и вечные, данные в апо диктической интуитивной очевидности, и чувственные, постигаемые на основе опыта. Математика стала по ниматься как знание, получаемое на основе не чув ственной, а мысленной очевидности. Близкое воззре ние было сформулировано Г. Лейбницем. Он отличал необходимые истины (математические и логические) от истин случайных, основанных на опыте. По мнению Лейбница, необходимые истины это такие истины, отрицание которых содержит в себе противоречие. При этом, по Лейбницу, аналитическими истинами являют ся не только теоремы, которые строго логически выво дятся из некоторой системы простых исходных утверж дений (аксиом), но и сами аксиомы математических теорий. И у Декарта, и у Лейбница возникновение ис ходных понятий и утверждений математики не связы вается жестко с опытом, они рассматриваются как по коящиеся на очевидности, имеющей внеопытную и до опытную (априорную) природу. Оба этих философа отождествляли априорное знание со знанием, врожден ным уму. Математические истины, по Лейбницу, не проистекают из опыта, они присущи внутренне само му разуму как некоторое его имманентное содержание. Правда, они могут иногда выявляться под влиянием воздействия предметов на наши органы чувств.

Учение об априорности математики получило даль нейшее развитие в философии И. Канта. Кант отказал ся от воззрения Лейбница на аналитичность матема тических истин. Аналитичностью, с его точки зрения, обладает только логическое знание (логические апри

Глава 1. Природа математического познания

орные истины), остальные же виды априорных истин (например, математические и философские) являются синтетическими. Синтетичность математики обуслов лена наличием в нашем сознании чистого внеопытно го (мысленного) созерцания, которое позволяет сфор мулировать положения априорные (независимые от опыта) и одновременно синтетические, не сводимые к тавтологиям типа А = А. Исходные положения (акси омы) геометрии опираются, по Канту, на чистое пред ставление о пространстве (на его априорное созерца ние), а истины арифметики — на чистое представле ние (априорное созерцание) времени. «Чистые» представления пространства и времени определяют, по Канту, как состав исходных принципов (аксиом) ма тематики, так и логику математического мышления. Всякое доказательство самоочевидно в том смысле, что каждый его шаг может совершаться только на основе мысленно очевидного синтеза

Признание в XIX в. новых неевклидовых геомет рий в качестве полноценных математических теорий существенно поколебало позицию кантовского априо ризма, но только кантовского, а не априоризма вообще. Новые геометрии показывали возможность существо вания альтернативных евклидовой геометрических теорий. Аксиоматика геометрии Лобачевского и дру гих неевклидовых геометрий могла бы быть истолко вана как такой же продукт чистого созерцания, как и евклидова геометрия, тем более что неевклидовы гео метрии возникли явно не из обобщения нового эмпи рического опыта.

В связи с осмыслением статуса неевклидовых гео метрий (а позже и теории множеств) в конце XIX в. стала оформляться новая концепция математики, по лучившая название формалистской философии мате матики. Основные ее положения могут быть сформу лированы следующим образом:

— математика не имеет предмета в объективной действительности, подобного физике, химии и другим наукам, она не является наукой, исследующей какие

См.: Кант И. Соч.: В 6 т. Т. 3. М., 1964. С. 402.

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

то специфические аспекты объективной реальности, а представляет собой лишь метод логической система тизации опытного знания и состоит из совокупности формальных структур, пригодных для этой цели;

— основным требованием к аксиомам математи ческой теории является не их априорная очевидность или связь с опытом, а их непротиворечивость, которая необходима и достаточна для ее приложения к опыт ным наукам;

— к математике не применимо понятие истины в смысле адекватного объективного содержания. Любая математическая теория сама по себе не истинна и не ложна. Она становится таковой только после соедине ния ее понятий с понятиями опытных наук;

— если обоснование содержательной науки состо ит в эмпирическом подтверждении ее истинности, то обоснование математической теории заключается в доказательстве логической непротиворечивости мно жества ее аксиом и правильного логического вывода ее соответствующих теорем.

Эти принципы наиболее четко были сформулиро ваны в работах Д. Гильберта и ряда других ученых. Ясно, что принимая этот взгляд на сущность математи ческой теории, мы уходим от философских трудностей как эмпирического, так и априористского истолкова ния природы математики. От математической теории не требуется больше ни априорной очевидности, ни опытной основы в качестве необходимых признаков. Для нее существенным объявляется только одно свой ство, а именно требование ее непротиворечивости. Обоснование математической теории заключается с этой точки зрения только в строгом доказательстве ее непротиворечивости. Философия математики XX в. (особенно в первой трети XX в.) развивалась в значи тельной степени в русле этих идей.

Однако на протяжении XX в. появились и некото рые новые воззрения на природу математики. Прежде всего произошло определенное возрождение эмпириз ма, правда, не в его грубом онтологическом варианте истолкования содержания любой математической тео рии как отражающей специфическую область действи

<<< < Предыдущая 1 23 / 503 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]