Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 5032 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

ческое следствие из принятой системы аксиом, а мо дель некоторого реального объекта. В прикладной ма тематике, решая вопрос о границах применимости формулы, он привлекает также ту информацию, кото рая в ней не записана.

в) Уточнение в ходе исследования. В прикладном исследовании математический объект далеко не всег да имеет независимый смысл, полностью вытекающий из формального определения; этот смысл может про истекать из того, что данный математический объект служит математической моделью реального объекта.

Но важно иметь в виду, что математическая мо дель определяется реальным объектом неоднозначно. Даже при сохранении принципиальной схемы модели реальный объект можно описывать с различной степе нью точности и детализации, что дает возможность варьировать и соответствующую математическую за дачу по мере ее исследования.

В соответствии с ролью реальных факторов в математической задаче могут делаться различные упрощения и видоизменения в случаях, представляю щих наибольший практический интерес, вводиться дополнительные предположения, упрощающие мате матическое исследование или позволяющие провести это исследование более широко. Апеллируя к реаль ному смыслу математической задачи, математик мо жет ее видоизменять и уточнять, иногда даже менять цель исследования.

Рабочие гипотезы, выдвигаемые по отношению к решению задачи в процессе ее исследования, являются важными видами рациональных рассуждений. Если они опираются на реальную интерпретацию математиче ской задачи, то могут оказаться решающими. С другой стороны, эти гипотезы могут открывать возможность для необоснованных выводов.

г) Доводы, основанные на аналогии или экспери менте (натурном или вычислительном). Они обязатель но лежат за пределами чистой дедукции.

Поскольку решение прикладной задачи обычно включает целую цепь рациональных переходов (физи ческие гипотезы, построение математической модели,

311

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

рабочие гипотезы при ее исследовании, различные упрощения, выбор вычислительного метода, реализа ция вычислений и т. п.), то расхождение решения с физическим экспериментом может говорить:

n либо о том, что по крайней мере один из этих

переходов является необоснованным;

n либо же о том, что хотя каждый переход и обосно

ван в отдельности, но их погрешности, накопившись, вывели общий результат за допустимые рамки.

Натурный эксперимент может быть рационально включен в качестве одного из этапов решения приклад ной задачи, поскольку иногда некоторые зависимости, в принципе поддающиеся математическому расчету, проще построить эмпирически.

д) Доказательство, основанное на рассмотрении частных случаев. Этот способ рассуждений носит в общей логике название индукции и весьма широко применяется за пределами математики. (Конечно, все типы таких рациональных рассуждений в той или иной степени правдоподобны.) Причины применения подоб ных доказательств:

n дедуктивное доказательство может быть недо

ступным изза своей трудности;

n доказываемое утверждение формулируется в

рациональных терминах и потому в принципе не до пускает чисто дедуктивного доказательства;

n хотя утверждения формулируются в чисто дедук

тивных терминах, но с самого начала пользуются ин дукцией, которая может оказаться существенно менее трудоемкой и в то же время не менее убедительной.

Доказательство на примерах. Чем больше разобра но примеров, охватывающих по возможности различ ные ситуации, тем заключение убедительнее; однако бывают задачи, в которых разбор каждого примера вызывает настолько большие трудности, что даже вто рой пример может уже оказаться недоступным. Дока зательство на примерах особенно часто встречается в сочетании с вычислительным экспериментом.

е) Использование результатов приближенного ре шения при отсутствии строго доказанной конкретной оценки ошибки.

312

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

ж) Применение вычислительных методов, сходи мость которых доказана. Такая ситуация является до вольно распространенной при решении дифферен циальных и интегральных уравнений математической физики. Сходимость метода, а также его устойчивость относительно ошибок округления чаще всего проверя ются лишь для модельных уравнений простейшего вида.

з) Изучение и применение решения задачи в слу чаях, когда соответствующие теоремы о разрешимос ти (т. е. о существовании и единственности решения) не доказаны. При решении прикладной задачи чаще не занимаются размышлениями о том, доказана ли со ответствующая теорема о разрешимости и как в про тивном случае ее доказать. Вместо этого пытаются вы яснить на рациональном уровне на основе опыта, ана логий или исследования модельных задач вопрос о правильности постановки математической задачи.

и) Применение практической бесконечности, т. е. трактовка бесконечно малых и бесконечно больших величин как постоянных, но имеющих иной порядок по сравнению с другими величинами.

к) Применение понятий вне рамок их первоначаль ного определения. Так, интеграл, первоначально опре деленный для непрерывных функций, может приме няться и для разрывных функций. Какойлибо пара метр, по первоначальному смыслу принимавший вещественные значения, может в некотором рассмот рении оказаться принимающим комплексные или мат ричные значения и т. д. Именно таким путем были в свое время введены в математику мнимые числа, дель тафункция Дирака и т. д.

Ряд примеров других типов рациональных рассуж дений мы видели также выше при описании основных черт исследования операций. С помощью рациональ ных рассуждений математик может приходить к прак тически достоверным выводам. Однако логическая структура рациональных рассуждений, несомненно, сложнее, чем дедуктивных, и они могут приводить к ошибкам. Поэтому весьма важно понимать возможные причины таких ошибок, сознательно повышая степень достоверности полученных рациональных утверждений.

313

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Сочетание дедукции с рациональными рассужде ниями, свойственное прикладной математике, является ее характерной чертой. Н.Н. Моисеев обращал внима ние на то, что математик с традиционной классической манерой мышления часто оказывается бессилен там, где инженер получает результаты, вполне удовлетворяю щие практику. Поэтому для успеха в работе необходи мы развитое неформальное мышление, умение рассуж дать по аналогии, дающие основания ручаться за досто верность результата там, где с позиций логики и классической математики ручаться нельзя.

Система рассуждений в математическом исследо вании может иметь весьма неоднородную структуру. Она может включать физические соображения, ссыл ки на интуицию, различные более или менее правдо подобные упрощения, решение математических задач и ссылки на теоремы на чисто дедуктивном уровне, вычисления, другие рациональные элементы. Каждая из этих составных частей имеет свои более или менее установившиеся требования к логической определен ности и представления о доказательности. В.В. Нали мов охарактеризовал эту ситуацию термином «мозаич ность логических структур прикладной математики». В сложном рациональном рассуждении чисто дедук тивные элементы не имеют преимуществ перед дру гими рациональными элементами, их совместное ис пользование не сказывается на степени достовернос ти. Математик разрабатывает схемы рассуждений, которые позволяют контролировать и повышать прав доподобие рациональных суждений. Часто ему удает ся сделать решение практически достоверным.

Коммуникативные аспекты прикладной

математики

(проблема взаимопонимания

ученых разных специальностей)

Проблематика когнитивных коммуникаций между учеными – одна из новых и центральных проблем для современной философии науки. Классическая фило

314

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

софия науки (от Декарта и Бэкона до постпозитивис тов) абстрагировалась от нее, так как считала, что со держание научного знания и проблема его научной истины полностью и исключительно определяются взаимоотношением субъекта и объекта научного позна ния. Современная философия науки исходит из того, что содержание субъектобъектных отношений суще ственно зависит от субъектсубъектных отношений в науке, то есть от коммуникаций между учеными. Преж де чем перейти к рассмотрению специфики коммуни кационных отношений в математике, рассмотрим не которые общие подходы к роли и значению коммуни каций в научном познании вообще.

Мир абстракций современной науки — это очень разветвленный, практически безграничный для лично сти мир. В наше время можно достаточно уверенно утверждать, что никто, даже самый великий ум, не владеет им в полной мере. Большинство же подключа ется к нему в весьма ограниченной степени. Однако можно столь же уверенно утверждать и другое: несмот ря на огромный объем весьма различной научной ин формации, современная наука тем не менее представ ляет собой нечто единое, некое в достаточной степени организованное образование. Возникает вопрос: могут ли и за счет чего ученые разных специальностей по нимать друг друга, возможен ли контакт между учены ми, специализирующимися в различных областях; если он возможен, то насколько он может быть плодотвор ным? В современной философии науки можно выде лить две положительные версии ответа на этот вопрос. Первая версия — это позиция К. Поппера. Вторая версия – позиция Г. Башляра.

К. Поппер в своей работе «Миф концептуально го каркаса» развивает идею о том, что различные кон цептуальные каркасы не препятствуют рациональной дискуссии: «Миф концептуального каркаса можно выразить в одном предложении: “Рациональная и плодотворная дискуссия невозможна, если участни ки ее не имеют общего концептуального каркаса основных предпосылок или по крайней мере не до стигли соглашения по поводу такого каркаса с це

315

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

лью проведения дискуссии”»22. Эту идею и критику ет К. Поппер. Он пишет: «…этот миф содержит в себе и зерно истины. Хотя я уверен в том, что мнение о НЕВОЗМОЖНОСТИ плодотворной дискуссии вне рамок общего концептуального каркаса неоправдан но преувеличено, я все же готов признать, что для тех ее участников, которые не разделяют общего концептуального каркаса, дискуссия может представ лять серьезные затруднения. Дискуссия будет затруд нена и в том случае, когда концептуальные каркасы, используемые различными ее участниками, имеют мало общего между собой, но она будет тем легче, чем больше будет область совпадения этих каркасов. Действительно, когда участники дискуссии полнос тью согласны друг с другом, обычно оказывается, что они участвуют в самой легкой и спокойной из всех возможных дискуссий — хотя, по всей вероятности, такая дискуссия несколько скучновата.

Как же, однако, обстоит дело в отношении плодо творности дискуссии? В приведенной мною формули ровке концептуального каркаса невозможной объявля лась именно ПЛОДОТВОРНАЯ дискуссия. В противо вес этому я буду защищать тезис, что дискуссия между людьми, взгляды которых имеют много общего, вряд ли будет плодотворной, даже если сами участники считают ее весьма приятной и полезной. В то же время дискуссия между людьми, придерживающимися в кор не различных каркасов, может быть в высшей степени плодотворной, даже учитывая то, что обычно бывает весьма трудной и, ВОЗМОЖНО, не столь приятной, как первая (хотя мы вполне можем научиться на слаждаться ею).

По моему мнению, о некоторой дискуссии можно сказать, что она была тем более плодотворной, чем больше ее участники узнали в ходе нее, иначе говоря, чем больше интересных и трудных вопросов было за дано участникам дискуссии; чем больше им пришлось обдумать новых ответов; чем больше пошатнулись их мнения; чем радикальнее изменилась их точка зрения

316

Поппер К. Логика и рост научного знания. М., 1983. С. 560–561.

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

в результате дискуссии, чем шире стал их интеллек туальный горизонт.

Понимаемая таким образом плодотворность дис куссии практически всегда будет зависеть от перво начального несовпадения мнений участников дискус сии. Чем больше эти несовпадения, тем плодотворнее МОЖЕТ БЫТЬ дискуссия, конечно, при условии, что, несмотря на утверждения сторонников мифа концеп туального каркаса, такая дискуссия не является со вершенно невозможной»

К. Поппер обращает внимание на то, что «серьез ные критические дискуссии всегда трудны. В них по стоянно смешиваются нерациональные человеческие элементы. Для многих участников самое трудное в рациональной, т. е. критической, дискуссии, забыть то, что в нашем пронизанном спорами обществе знает каждый. Они должны усвоить, что победа в споре — ничто, в то время как малейшее прояснение какойлибо проблемы или ничтожнейшее небольшое продвижение к более ясному пониманию своей или чужой позиции — величайший успех. Вашу победу в дискуссии, которая ни в малейшей степени не помогла вам изменить или уточнить свои взгляды, следует рассматривать как полнейшую неудачу. По этой же причине изменения в позициях дискутирующих сторон нельзя производить тайно, а всегда следует их подчеркивать и исследовать их следствия.

Так понимаемая рациональная дискуссия — явле ние редкое, но в качестве идеала ее значение велико. И мы можем научиться достигать такого уровня дис куссии. Цель ее не в том, чтобы заставить противника перейти в другую веру; ее устремления скромны — вполне достаточно, чтобы мы почувствовали, что уме ем теперь видеть вещи в новом свете или нам удалось хотя бы немного приблизиться к истине»

К. Поппер утверждает, что «научный образ жизни предполагает пламенную заинтересованность в объек тивных научных теориях, теориях самих по себе, и в

Поппер К. Логика и рост научного знания. С. 560–561.

Там же. С. 571.

317

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

истинности этих теорий или по крайней мере близос ти их к истине. Этот интерес представляет собой КРИ ТИЧЕСКИЙ интерес, интерес к АРГУМЕНТАЦИИ. Именно поэтому он в отличие от некоторых других убеждений не порождает явлений типа описанной нами “несоизмеримости”»

Таким образом, К. Поппер видит возможность взаимопонимания между учеными, разделенными даже концептуальными каркасами. Это взаимопони мание обусловлено самим характером науки, принад лежности каждого научного работника, ученого, к рациональной традиции, одним из основных компо нентов которой, по Попперу, является критический рационализм, рациональная дискуссия, стремление к истине.

Другой вариант, в котором современная наука не рассматривается как вавилонская башня — это пози ция Г. Башляра

. Г. Башляр подчеркивает: «…если работа рационалиста должна быть столь актуальной, ей должна быть присуща специализация. И здесь я ставлю на обсуждение вопрос о том, что я называю ре гиональным рационализмом... Следует жить временем; следует жить проблемами современной науки, а это значит признать специализацию, ибо это необходи мость! Поскольку именно специализация дает нам ра циональный тонус! Именно она одухотворяет нас и приносит с собой уверенность в нашей неразрывной связи с прошлым!

Естественно, если мы останемся при этом в сфере чисто философского рационализма, то он не работо способен; это рационализм, который вы не подвергае те опасности, который вы не делаете диалектичным; это рационализм, который вы не подвергаете давлению. И тогда мы становимся похожими на машину, повто ряющую свои действия; у вас может возникнуть пред ставление, что вы постоянно освещаете путь одним и тем же светильником, что вы определяете с помощью изначального света то, что, напротив, может быть ос

318

Поппер К. Логика и рост научного знания. С. 585–586.

См.: Башляр Г. Новый рационализм. М., 1987.

Глава 5. Философские проблемы прикладной математики

вещено лишь посредством возобновляемых ежедневно внутренних условий.

Следовательно, нам нужно прийти не только к специализации, но и к такой специализации, которая продемонстрировала бы всю свою важность, всю свою широту. Специализация — это не узость взгляда. Спе циализация требует общей культуры! Если вы претен дуете на развитие науки и решили получить степень лиценциата, вам надо многое знать... Теперь выбора нет: нужно охватить все! Но после того как получена ученая степень по физике, нужно отправляться в лабо раторию, ибо тот, кто не работал в лаборатории, не знает, что такое лаборатория!.. Следовательно, нужно стать специалистом. И когда это произошло, вы чувствуете, что ваши глаза открылись.

Так что же представляет собой эта самая специа лизация? Она представляет собой весьма интересную область специальной связи. …Я прочитал заметку о коллоквиуме, посвященном изучению механизма горе ния угля... Как, собственно, изучается горение угля?..

Представим себе, что нам нужно получить нить из максимально чистого угля. Затем будем изучать горение этой нити в атмосфере чистого кислорода, но под каким давлением? Тысячной доли миллиметра ртутного столба. Если вы поразмыслите над тем, когда химик или физик говорят о давлении в тысячную долю миллиметра ртут ного столба, то вы поймете, сколько пришлось им затра тить труда. Вряд ли закон Мариотта–ГейЛюссака по может вам понять всю тонкость, точность этого процес са, всю, так сказать, массу техники, потребовавшейся для того, чтобы получить такое давление!

Итак, вы видите, что нужно, чтобы изучать меха низм горения угля; ученые получили уголь и кислород особой чистоты, добились в высшей степени точного контроля давления, потому что необходимо давление в тысячные доли миллиметра ртутного столба. Но оста ется еще вопрос о температуре.

...Перед нами всего лишь маленькая стеклянная колба. И что же, собственно, перед этой колбой? Перед ней сообщество ученых — представителей трех наук: химии, физики и кристаллографии.

319

Часть I. Философские проблемы математики и информатики

Казалось бы, вот люди, которые вовсе не созданы для того, чтобы понимать друг друга: физик и химик. Я хорошо представляю себе, как им трудно порой до стичь взаимопонимания; это так же, как у историков: между теми, кто занимается Французской революци ей, и теми, кто занимается историей Средних веков, всегда ведь царит определенное непонимание. Меж ду тем химика, кристаллографа и физика специализа ция как бы связывает друг с другом и обязывает кор ректно обсуждать свои проблемы, забыв об уроках юности.

Этот простой пример хорошо иллюстрирует, на мой взгляд, связывающий характер специализации, зашед ший достаточно далеко.

Так не будем же повторять известный лейтмотив о том, что наука, специализируясь, якобы суживает духов ный горизонт! Напротив, она расширяет его. В связи с этим, — говорит Башляр, — я хотел бы подчеркнуть новую черту: следует показать, что эти специализиро ванные согласно своим областям рациональности как бы сплавляются друг с другом с помощью межконцеп туальных определений; кроме того, нужно показать, что, осваивая региональный рационализм, необходимо отка заться от всеобщей формы рационализма, оставить в стороне общие темы, приверженцами которых стать столь просто; нужно вступить в спор, нужно концеп туально оформить отношения, которые дают в итоге этот региональный рационализм»

Общая для науки проблема коммуникации между учеными, ситуация затрудненности во взаимопонима нии между представителями разных специальностей является существенно важной и в области современ ной прикладной математики. Как неоднократно подчер кивал Н.Н. Моисеев, «вопросы математического моде лирования — построение системы взаимосвязанных моделей — оказываются центральным пунктом всей той беспрецедентной по масштабам деятельности, ко торая начинает разворачиваться во всех развитых стра нах. При этом математик, точнее “машинный матема

320

Башляр Г. Новый рационализм. М., 1987. С. 292–296.

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 5032 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]