Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Философия математики и технических наук. Учебное пособие для вузов
.pdf
Textbook
Edited by
S.A.
Lebedev
PHILOSOPHY
OF MATHEMATICS
AND TECHNICS
Moscow
Academic Project
2 20 0
Учебное
пособие для вузов
ФИЛОСОФИЯ
МАТЕМАТИКИ
И ТЕХНИЧЕСКИХ
îä îáù. ðåä.
Ï
. . а
НАУК
Допущено УМО вузов по
университетскому политехническому
образованию Министерства образования
и науки РФ в качестве учебного
пособия для студентов, соискателей
и аспирантов технических
специальностей
Москва
Академический Проект
2 20 0
УДК 1/14; 16
ББК 87; 87.4
Ф 56
С.А. Лебедев (руководитель авт. колл.) — доктор филос.
наук, профессор — Введение, гл.4 (часть I), гл. 7 (часть I),
А.Д. Гетманова — доктор филос. наук, проф. — Приложение.
А.А. Григорян — кандидат филос. наук, доц. — гл. 4 (часть I),
Е.А. Жукова — кандидат филос. наук, доц. — гл. 3 (часть II).
В.П. Казарян — доктор филос. наук, проф. — гл. 5 (часть I).
И.В. Мелик,Гайказян — доктор филос. наук, проф. — гл. 6
В.Я. Перминов — доктор филос. наук, проф. — гл. 1,2,3
Н.М. Твердынин — кандидат техн. наук, доц. — гл. 1,2 (часть II).
П.Д. Тищенко — доктор филос. наук, проф. — гл. 4 (часть II).
АВТОРСКИЙ КОЛЛЕКТИВ:
гл. 1, 2 (часть II).
гл. 7 (часть I).
(часть I), гл. 3 (часть II).
(часть I).
Философия математики и технических наук /
Под общ. ред. проф. С.А. Лебедева: Учебное по
Ф 56
собие для вузов. — М.: Академический Проект,
2 020 .— 779 с.— («Gaudeamus»).
ISBN 978-582913044-2
В учебном пособии анализируются современные философ
ские проблемы математики, информатики, технических наук и
логики. Книга написана профессорами МГУ им. М.В. Ломоно
сова и других российских вузов. В пособии раскрываются пред
мет, структура и закономерности математики, информатики,
технических и технологических наук, их взаимосвязь с филосо
фией, эксплицируются философские основания этих областей
знания и предлагаются решения их актуальных философских
проблем. Учебное пособие адресовано прежде всего аспирантам
технических и математических специальностей для подготовки
к сдаче кандидатского минимума по истории и философии нау
ки, а также студентам, преподавателям, научным сотрудникам,
всем, кто интересуется современными проблемами философии
науки.
Subject matter of the textbook is modern philosophy of technics,
mathematics and informatics. The book contains two parts: the
philosophical problems of mathematics and informatics and the
philosophical problems of technics. The subject of addition is formal
logic and its philosophical problems. Authors of the textbook are
professors of Lomonosov Moscow State University and other Russian
higherschools. The book is addressed to magisters, teachers,
researchers and all, who are interested in the different fields of the
modern philosophy of science.
УДК 1/14; 16
ББК 87; 87.4
4
ISB 879N 5829130442
© Колл. авторов, 2006
© Академический Проект, оригинал
макет, оформление, 2 20 0
Введение
ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
И ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК
Важность и актуальность обсуждения философ
ских проблем математики и технических наук прямо
пропорциональна той роли, которую играют эти нау
ки в общей структуре современного научного знания.
Именно математика обеспечивает все другие науки
строгим, количественным языком описания и модели
рования своих объектов. Однако необходимо конста
тировать, что в самой математике имеется много нере
шенных, или не до конца решенных, или поразному
решаемых философских проблем. К числу этих проб
лем относятся как традиционные для философии мате
матики вопросы о ее предмете, природе математичес
кого знания (как оно возможно), о закономерностях ее
развития, так и более современные: проблема крите
риев строгости, надежности и эффективности разных
видов математического знания и разных математичес
ких методов; проблема единства того огромного разно
образия областей и методов современного знания, ко
торое именуется «математикой», проблема нахождения
тех общих необходимых и достаточных признаков, ко
торым должно удовлетворять любое знание, претенду
ющее на статус математического. Остановимся более
подробно только на рассмотрении такой центральной
философской проблемы математики, как предмет ма
тематики.
Трудности достижения согласия по этой проблеме
вызваны не только неоднозначным характером взаи
5
моотношения математики и реальности, возможности
интерпретации математического познания с различных
гносеологических позиций (например, эмпиризма,
априоризма или конструктивизма). Эти разногласия
вызваны также различными исследовательскими тра
дициями, исторически сложившимися в самой матема
тике и постоянно воспроизводящими себя. Например,
математическая школа А. Пуанкаре с ее нацеленнос
тью на понимание математики, как имеющей свой
главный источник в проблемах других областей зна
ния, естествознания, технических наук, практики и не
обходимости нахождения для этих проблем их матема
тического описания. Или, например, школа Д. Гильбер
та с ее акцентом на решение проблем обоснования
содержательных математических теорий путем их фор
мализации и выявления тем самым «их подлинной ма
тематической сущности». Можно указать и на сосуще
ствование в современной математике таких ее конку
рирующих исследовательских программ, как аксиома
тизм (в частности, логицизм), конструктивизм, эмпи
ризм, интуиционизм. Однако, как показывает опыт, ни
одна школа или исследовательская традиция в мате
матике не покрывает полностью ее разнообразного и
богатого содержания. Так, например, с точки зрения
понимания математики как науки о различного рода
абстрактных аксиоматических структурах (Н. Бурбаки),
как науки о возможных типах отношений между объек
тами любого рода большая часть прикладной матема
тики, а также вычислительной математики сюда явно
не укладывается.
Не менее трудная философская проблема возни
кает и в вопросе о соотношении (тождестве и разли
чии) между прикладной и вычислительной математи
кой, не говоря уже о соотношении их обеих с «чистой»
математикой. Довольно трудно понять, что их всех
объединяет под одной крышей, именуемой «математи
ка». В этой связи так и напрашивается социологиче
ский ответ на этот вопрос: математикой является все,
чем занимаются математики. Однако этот ответ явля
ется столь же простым, сколь и неверным или по край
ней мере неоднозначным, ибо математики занимаются
6
Введение
Введение
очень многим и как просто ученые, и как организато
ры, и как люди, что часто непосредственно к самой
математике никакого прямого отношения не имеет.
Даже если признать одинаковую правомерность и от
носительную самостоятельность всех трех видов мате
матики — «чистой», прикладной и вычислительной, то
все равно может возникнуть вопрос о их соотношении
в плане первичности–вторичности, фундаментально
сти–производности и т. п. С другой стороны, сходство
между всеми указанными выше видами математики
столь зыбко, что с таким же успехом в разряд матема
тических наук можно было бы включить, скажем, со
временную теоретическую (математическую) физику,
или биологию, или даже математическую экономику и
демографию. Ведь во всех этих науках существенным
образом используется язык определенных разделов
«чистой» математики (в частности, математического
анализа и теории вероятностей). И все же какаято
интуиция удерживает нас от зачисления этих наук по
ведомству математики.
Как известно, И. Кант, исходя из априористских
идей своей философии, утверждал, что в каждой обла
сти знания столько науки, сколько в ней математики.
Может быть, сегодня настало время сказать нечто пря
мо противоположное: «В каждой «математике» столько
математики, сколько в ней науки», подчеркивая тем
самым чисто служебную (сервисную) роль математики
по отношению к науке, что находит свое выражение в
концепции, согласно которой математика — это язык
науки («Книга природы написана Богом на языке мате
матики». — Г. Галилей). Но что тогда есть научное зна
ние в отличие от ненаучного или вненаучного знания
(например, обыденного, мифологического, религиозно
го, художественного, наконец, философского)? Ясно, что
понятие «научное знание» не может быть отождествле
но с понятием «логически доказательное знание» (си
нонимы «дедуктивно организованное» или «аксиомати
ческое знание»), ибо иначе придется отказать в статусе
научного тому огромному массиву знания, которое за
ведомо не является дедуктивноорганизованным. В ре
альной науке под «научным знанием» обычно имеют в
7
виду множество высказываний об определенной пред
метной области, которые являются достаточно опреде
ленными (строгими, однозначными) и проверяемыми
(подтверждаемыми или опровергаемыми эмпирическим
опытом). Дедуктивно же или аксиоматически организо
ванным знанием является лишь небольшая часть науч
ного знания. Это логические и математические теории
(да и то далеко не все), а также отдельные естественно
научные теории (в основном из области теоретической
физики). Древневосточная геометрия и арифметика
также не были дедуктивными теориями. Таковой не
является и современная конструктивная математика,
теории которой построены не с помощью дедуктивного,
а с помощью генетическоконструктивного метода и
математической индукции. Идея отождествления мате
матики с дедуктивноорганизованным (логически дока
зательным) знанием была, как известно, высказана Р. Де
картом. Исходя из такого понимания математики, он
включал в нее не только геометрию, арифметику и ал
гебру, но и механику, а также оптику и астрономию,
полагая, что и большинство других наук впоследствии
должны стать частью математики. Декартовское пони
мание математики вело к тому, что в разряд математи
ческих теорий попадали и теология (например, в пони
мании средневековых схоластов или Ф. Аквинского) и
философия (например, дедуктивно построенная «Эти
ка» Б. Спинозы). Однако с интуитивной точки зрения, а
также массовой практики употребления термина «ма
тематика» большинством математиков и представителей
других областей знания декартовское понимание было
явно неприемлемо. С другой стороны, если вернуться к
такому направлению современной математики, как вы
числительная математика, то такие ее проблемы, как, на
пример, проблема искусственного интеллекта, искусст
венной жизни или виртуальной реальности, их описа
ние и предлагаемые решения гораздо ближе не к
аксиоматическим теориям «чистой» математики, а ско
рее к проблемам современной теоретической физики
типа теории суперструн или, например, синергетики.
Видимо, все же следует признать, что у математики
имеется какойто свой, особый предмет, отличный от
8
Введение
Введение
предметов других наук, а не только свой метод, будь то
аксиоматический, дедукция или математическая индук
ция, генетическоконструктивный или формализация
идр.
Может быть, стоит вернуться к традиционному
философскому определению математики как науки о
количественных отношениях и пространственных фор
мах реального мира? Такое понимание предмета мате
матики было почти общепризнанным в XVIII – первой
половине XIX в. Однако именно оно же являлось глав
ным препятствием принятия математиками XIX в. не
евклидовых геометрий в качестве полноценных мате
матических теорий. А до этого с позиций такого пони
мания предмета математики трудно было обосновать
правомерность иррациональных и комплексных чисел
в качестве полноценных математических объектов, как
позже — огромное разнообразие математических струк
тур и теорий, которые были порождены чисто конструк
тивной мыслью математиков, первоначально вне вся
кой непосредственной связи с какимилибо эмпириче
скими и практическими проблемами (теория групп,
теория множеств Г. Кантора, топология и т. д. и т. п).
Традиционное понимание предмета математики очевид
но препятствовало также различению геометрии как
физики и геометрии как математики. А это различие по
праву считается одним из фундаментальных результа
тов в области философии математики (Д. Гильберт,
П. Рашевский и др.). Именно оно послужило философ
ским основанием принятия различных неевклидовых
геометрий в качестве полноценных математических
теорий, а не только как полезных, но все же фиктивных
(«воображаемых») математических конструктов.
Распространенными определениями предмета ма
тематики являются следующие: «численные отношения
и пространственные формы» (А.Н. Колмогоров и др.),
«количественные свойства и отношения» (С.А. Яновская
и др.), «чистые формы» (П.С. Александров), «абстракт
ные структуры» (Н. Бурбаки), «различные математичес
кие многообразия» (Б. Риман, С. Ли и др.), «возможные
миры» и т. д. Все эти определения предмета математики
в принципе переводимы друг в друга при небольших
9
уточнениях и обозначают по своему объему примерно
одно и то же. А именно: либо общие формы реальных
предметов в максимально полном отвлечении от их со
держания, либо возможные формы различных предме
тов, либо чисто количественные свойства и отношения
предметов в противоположность их качественным. Если
последние — это те, которые отличают одну вещь от
другой, то количественные отношения суть те, которые
могут быть общими у разных вещей, они относительно
безразличны к их конкретному содержанию. Конечно,
при этом нужно помнить, что сами понятия «качество»
и «количество» и соответствующее им содержание яв
ляются: а) соотносительными и б) относительными по
нятиями, имеющими свой точный смысл только в кон
кретном противопоставлении одного (выступающего в
некотором конкретном контексте как «количество») дру
гому (выступающему в этом же контексте как «каче
ство»). В других контекстах и других противопоставле
ниях они могут поменяться именованиями. Например,
число предметов некоторого качества (допустим, элек
тронов) является их количественной характеристикой.
Но как число определенного вида (а именно натураль
ное), оно обладает определенным качеством, отличаю
щим натуральные числа от других видов чисел (рацио
нальных, действительных) или от других матема
тических объектов (скажем, точек, линий, функций
и т. д. и т. п.). Необходимо при этом помнить, что совре
менная математика в отличие, скажем, от математики,
которая существовала до середины XIX в., исследует
такие высокоабстрактные (идеальные) сущности и от
ношения между ними, которые, как правило, являются
не результатом количественного абстрагирования от
конкретных объектов, данных в эмпирическом опыте, а
результатом чисто конструктивной деятельности мате
матического мышления.
Современная математика и как результат длитель
ного исторического развития, и как результат конст
руктивной деятельности современных математиков, и,
наконец, как результат многочисленных содержатель
ных связей математики с другими науками и областя
ми практической деятельности и по своему предмету,
10
Введение
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]