Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 26. Критерии равномерной полной управляемости 271
Возьмем произвольный отрезок [p, q] , удовлетворяющий
условиям q −p = δ1и tν∈ [p, q] . Тогда
[p, q] ⊂ [tν− δ1, tν+ δ1] ⊂ [tν− δ, tν+ δ] ⊂ [t0, t0+ ϑ],
и для всех t ∈ [p, q] справедливо неравенство (26.5). Имеем
оценку
t0+ϑ
Z
(ξ∗Q(t0, t)ν )2dt >
t
0
q
Z
(ξ∗Q(t0, t)ν )2dt >
p
> (q − p)(ξ∗Q(t0, tν)ν)2− β2/2) > (q − p)β2/2 = δ1β2/2.
Согласно лемме 26.1 отсюда вытекает ϑ-равномерная полная
управляемость системы (25.1). Теорема доказана.
Л е м м а 26.2 (см., например, [135]). Если система (25.1)
ϑ-равномерно вполне управляема, то существует α > 0 та-
кое, что для любого t0∈ R найдутся моменты времени ti∈
∈ [t0, t0+ ϑ] и векторы νi∈ Rm, kνik = 1 , i = 1, . . . , n ,
такие, что матрица
F (t0) := [Q(t0, t1)ν1, . . . , Q(t0, tn)νn]
обратима и выполнено неравенство kF−1(t0)k 6 α .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть система (25.1) ϑ -равномерно вполне управляема, тогда в силу следствия 26.1 при некотором β > 0 и всяком t0∈ R для любого ξ ∈ Rn, kξk =
= 1 , найдутся ν ∈ Rm, kνk = 1 , и tν∈ [t0, t0+ ϑ] такие, что
выполнено неравенство (26.3). Зафиксируем это β и возьмем
любое t0∈ R . Дальнейшие построения проведем индуктивно.
На первом шаге выберем произвольное ξ1∈ Rn, kξ1k = 1 ,
и по нему найдем ν1∈ Rm, kν1k = 1 , и t1∈ [t0, t0+ ϑ] , такие, что |ξ
векторы ξi∈ Rn, νi∈ Rm, kξik = kνik = 1 , i = 1, . . . , k , и
∗
Q(t0, t1)ν1| > β . Пусть после k -го шага построены
1
моменты времени ti∈ [t0, t0+ ϑ] , i = 1, . . . , k . Обозначим че-
рез Mkортогональное дополнение в Rnк линейной оболочке
векторов Q(t0, ti)νi, i = 1, . . . , k . Очевидно, что Mk6= ∅ при
k < n , поскольку dim Mk> n − k . На шаге с номером k +
+ 1 возьмем произвольное ξ
определим ν
k+1
∈ Rm, kν
k+1
что выполнено неравенство |ξ
∈ Mk, kξ
k+1
k = 1 и t
∗
Q(t0, t
k+1
k = 1 и по нему
k+1
∈ [t0, t0+ ϑ] , такие,
k+1
k+1)νk+1
| > β .
272 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Таким образом, после выполнения n-го шага будем иметь
векторы ξi∈ Rn, νi∈ Rm, kξik = kνik = 1 , и моменты вре-
мени ti∈ [t0, t0+ϑ] , i = 1, . . . , n , такие, что |ξ
при всех i = 1, . . . , n и ξ
∗
Q(t0, tj)νj= 0 при i > j . Обозна-
i
∗
Q(t0, ti)νi| > β
i
чим S := [ξ1, . . . , ξn] , тогда из указанных свойств построенных векторов вытекает, что матрица P := S∗F (t0) верхняя
треугольная, а для ее диагональных элементов справедливы
неравенства |pii| > β , то есть |det P| > βn> 0 и, следова-
тельно, det S 6= 0 . Кроме того, для определителя матрицы S
неравенство Адамара [226, с. 565] дает оценку
|det S| 6 kξ1kkξ2k. . . kξnk = 1,
поэтому имеем неравенство
|det F(t0)| = |det P|/|det S| > β
n
и оценку
kF−1(t0)k 6
kF (t0)k
n−1
|det F(t0)|
(√nbeaϑ)
6
n−1
n
β
=: α,
завершающую доказательство леммы.
Т е о р е м а 26.2 [135]. Если матрица B(·) кусочно рав-
номерно непрерывна, то система (25.1) ϑ-равномерно вполне
управляема в том и только том случае, когда существуют
такие α > 0 и δ0> 0 , что для каждого t0∈ R найдутся
векторы единичной длины νi∈ Rmи моменты времени ti∈
∈ [t0+ δ0, t0+ ϑ −δ0] , ti−t
> δ0, i = 1, . . . , n , такие, что
i−1
Q(t0, ·) непрерывна на каждом из интервалов ]ti− δ0/2, ti+
+ δ0/2[ , а матрица F (t0) = [Q(t0, t1)ν1, . . . , Q(t0, tn)νn] обра-
тима и kF−1(t0)k 6 α .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть выполнено неравенство kF−1(t0)k 6 α . Возьмем произвольный век-
тор ξ ∈ Rn, kξk = 1 , положим w = ξ∗F (t0) , w = (w1, . . . , wn) ,
и выберем l ∈ {1, . . . , n} из условия |wl| = max
имеем соотношения
i=1,...,n
|wi|. Тогда
поэтому
1 = kξk = kξ∗k = kwF−1(t0)k 6 αkwk 6√nα|wl|,
|ξ∗Q(t0, tl)νl| = |ξ∗F (t0)el| = |wl| > (√nα)−1.
§ 26. Критерии равномерной полной управляемости 273
Так как tl∈ [t0+ δ0, t0+ ϑ − δ0] ⊂ ]t0+ δ0/2, t0+ ϑ − δ0/2[ , а
функция t 7→ Q(t0, t) непрерывна на [tl− δ0/2, tl+ δ0/2] , то,
полагая δ = δ0/2 , β =
√
−1
nα
, из теоремы 26.1 получим
требуемое.
Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что система (25.1)
ϑ-равномерно вполне управляема. Зафиксируем какое-либо
t0∈ R . Используя доказательство леммы 26.2 (заменив в нем
ссылку на следствие 26.1 ссылкой на теорему 26.1), получим,
что существуют моменты времени ti∈]t0+ δ, t0+ ϑ −δ[ и векторы νi∈ Rm, kνik = 1 , i = 1, . . . , n , такие, что функция
Q(t0, ·) непрерывна на каждом [ti− δ, ti+ δ] , матрица F (t0)
обратима, kF−1(t0)k 6 α , причем величины δ > 0 и α >
> 0 от t0не зависят. Будем считать, что моменты времени t
занумерованы по возрастанию, то есть t0+ δ < t16 . . . 6 tn<
< t0+ ϑ − δ .
Выберем такое δ1> 0 , что согласно предложению 26.1
при всех t0∈ R для любых t, s ∈ [t0, t0+ ϑ] , принадлежащих одному и тому же интервалу непрерывности Ii, i ∈ I ,
функции B(·) и удовлетворяющих неравенству |t − s| 6 δ1,
выполнено соотношение
kQ(t0, t) − Q(t0, s)k 6 (2α√n)−1.
i
Положим δ0:=min{δ/n, δ1/n}. Если min
i=1,...,n−1
{t
i+1−ti
} > δ0,
то доказываемое свойство выполнено. Если же выполнено противоположное неравенство, то путем малого возмущения имеющегося набора ti, i = 1, . . . , n , перейдем к новому набору
0
t
, i = 1, . . . , n , обладающему необходимыми свойствами при
i
прежних νi∈ Rm, i = 1, . . . , n .
Пусть
0
t
:= ti+ (i − 1)δ0, i = 1, . . . , n.
i
Тогда при каждом i ∈ {1, . . . , n} имеем неравенства
0
из которых
0
t
+ δ06 ti+ (n − 1)δ0+ δ0= ti+ nδ06 ti+ δ,
i
ti6 t
0
t
i
6 ti+ (n − 1)δ0,
i
− δ0> ti− δ0> ti− δ,
274 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
то есть справедливо включение
0
[t
i
− δ0, t
0
+ δ0] ⊂ [ti− δ, ti+ δ].
i
Отсюда следует непрерывность функции t 7→ Q(t0, t) на каж-
дом из интервалов ]ti− δ0/2, ti+ δ0/2[ . Кроме того, при всех
i = 1, . . . , n имеем оценку |t
собой неравенство
kQ(t0, ti) −Q(t0, t
ПустьbF (t0) := [Q(t0, t
0
1
0
− ti| 6 nδ06 δ1, влекущую за
i
0
)k 6 (2α√n)−1.
i
)ν1, . . . , Q(t0, t
0
)νn] , тогда
n
kbF (t0) −F (t0)k =
=
(Q(t0, t
0
) −Q(t0, t1))ν1, . . . (Q(t0, t
1
6√n max
6√n max
i=1,...,n
i=1,...,n
(Q(t0, ti) −Q(t0, t
Q(t0, ti) −Q(t0, t
0
) −Q(t0, tn))ν
n
0
)
i
0
))ν
i
i
6 (2α)−1.
6
6
n
Отсюда согласно [226, с. 365] следует, что матрицаbF (t0) обратима и имеет место оценка [226, с. 403]
kbF−1(t0)k 6 kF−1(t0)k + kbF−1(t0) −F−1(t0)k 6
6 kF−1(t0)k +
kF−1(t0)k2kbF (t0) −F (t0)k
6 2α.
1 −kF−1(t0)kkbF (t0) −F (t0)k
Теорема доказана.
Предположим, что выполнены условия теоремы 26.2. Зафиксируем какое-либо t0∈ R и в соответствии с теоремой 26.2
построим матрицу F = F (t0) = [ξ1, . . . , ξn] . Будем говорить,
что F := {ξ1, . . . , ξn} является базисом чистых движений для
системы (25.1) на отрезке [t0, t0+ ϑ] (или, допуская некоторую вольность речи, что матрица F образует базис чистых
движений для системы (25.1) на отрезке [t0, t0+ ϑ] ).
Поясним смысл введенного понятия. С этой целью рассмотрим задачу управления для системы (25.1) с условиями
x(t0) = x0, x(t0+ ϑ) = 0, (26.6)
§ 26. Критерии равномерной полной управляемости 275
где x0∈ Rnпроизвольно. Пусть t0< t1< · ·· < tn< t0+
+ ϑ — моменты времени, ν1, . . . , νn∈ Rm— векторы единичной длины, участвующие в определении матрицы F (t0) , то
есть F (t0) = [ξ1, . . . , ξn] , где ξi= Q(t0, ti)νi, i = 1, . . . , n .
Возьмем любое положительное число ε < 1/(α√n) ( α — из
формулировки теоремы 26.2) и выберем ∆ > 0 настолько малым, чтобы произвольные отрезки ∆iдлины ∆ , содержащие
ti, i = 1, . . . , n , попарно не пересекались и лежали в интервале ]t0, t0+ ϑ[ , причем выполнялось бы неравенство
kQ(t0, t) − Q(t0, ti)k < ε
при всех t ∈ ∆i. Обозначим начало и конец отрезка ∆iчерез
τiи ϑiсоответственно.
Определим управление u(·) на отрезке [t0, t0+ϑ] равен-
ствами
u(t) =
0, если t /∈
νiγ
i
, если t ∈ ∆i,
∆
n
[
k=1
∆k,
(26.7)
значения γi∈ R уточним ниже. Решение системы (25.1), удо-
влетворяющее первому условию (26.6), записывается в виде
t
Z
x(t) = X(t, t0)x0+
X(t0, s)B(s)u(s) ds,
t
0
поэтому
t0+ϑ
Z
x(t0+ ϑ) = X(t0+ ϑ,t0)x0+
n
X
= X(t0+ ϑ,t0)x0+
i=1
Q(t0, t)u(t) dt=
t
0
Z
Q(t0, t)u(t) dt.
∆
i
Предположим сначала, что функция t 7→ Q(t0, t) на каж-
дом из отрезков ∆iстационарна, Q(t0, t) ≡ Q(t0, ti) . Тогда
276 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
при t ∈ ∆iимеем строгое равенство
x(t) = X(t, t0)x0+
t
Z
τ
i
Q(t0, tk) ·
νiγ
i
ds=
∆
Q(t0, s)u(s) ds=
νkγ
k
ds+
∆
t − τ
i
. (26.8)
∆
+X(t, t0)
= X(t, t0)x0+
= X(t, t0)x0+
Z
i−1
X
Q(t0, s)u(s) ds +
k=1
∆
k
Z
+
τ
t
Q(t0, ti) ·
i
i−1
X
k=1
i−1
X
Z
∆
k
ξkγk+ ξiγi·
k=1
В частности,
x(t0+ ϑ) = x(ϑn) = X(t0+ ϑ,t0)x0+
= X(t0+ ϑ,t0)x0+
n
X
k=1
γkF e
= X(t0+ ϑ,t0)x0+ Fγ,
k
n
X
k=1
ξkγ
=
k
где γ := col(γ1, . . . , γn) ∈ Rn. Из второго условия (26.6) получаем соотношение x0+ F γ = 0 . Матрица F обратима, следовательно, если положить γ = −F−1x0, то x(t0+ ϑ) = 0 , то
есть второе условие (26.6) будет выполнено.
Обозначим
bz(t) = X(t0, t)x(t), t ∈ [t0, t0+ ϑ],
где функция x(·) определена равенством (26.8). Тогда bz(·)
является решением системы
˙z =˙X(t0, t)x(t) + X(t0, t) ˙x(t) =
= −X(t0, t)A(t)x(t) + X(t0, t)A(t)x(t) + B(t)u(t)=
§ 26. Критерии равномерной полной управляемости 277
= X(t0, t)B(t)u(t) = Q(t0, t)u(t), t ∈ [t0, t0+ ϑ],
и удовлетворяет условиям
bz(t0) = x(t0) = x0, bz(t0+ ϑ) = 0.
Из (26.8) вытекает, что при каждом i ∈ {1, . . . , n} и всех t ∈
∈ ∆iимеет место равенство
i−1
bz(t) = x0+
X
ξkγk+ ξiγi·
k=1
t − τ
∆
i
,
следовательно, в рассматриваемом случае (когда Q(t0, ·) ста-
ционарна на каждом ∆i) движение из произвольной начальной точки x0в начало координат, задаваемое функцией t 7→
7→ bz(t) , происходит строго вдоль векторов базиса чистых дви-
жений F = {ξ1, . . . , ξn}, причем эти векторы неперестановочны, поскольку каждому вектору ξiотвечает свой момент времени ti, и эти моменты упорядочены по возрастанию.
Если же функция t 7→ Q(t0, t) на отрезках ∆iнестаци-
онарна, то можем считать, что Q(t0, t) ≈ Q(t0, ti) на ∆i. Тогда для γ имеем лишь приближенное равенство γ ≈ −F−1x0.
Предположим, что уже найдено истинное значение γ = col(γ1,
γ2, . . . , γn) , гарантирующее выполнение условия x(t0+ ϑ) = 0
для решения x(·) системы (25.1) с управлением u(·) , определенным равенством (26.7), и с начальным условием x(t0) =
= x0. Обозначим
t
Z
z(t) = X(t0, t)x(t) = x0+
Q(t0, s)u(s) ds.
t
0
В этом случае движение из точки x0в начало координат, задаваемое функцией t 7→ z(t) , происходит «приблизительно»
вдоль векторов базиса F .
Более точно, определим матрицу R = [η1, . . . , ηn] ∈ M
соотношениями
Z
1
ηi=
Q(t0, t) − Q(t0, ti)νidt, i = 1, . . . , n. (26.9)
∆
∆
i
n
278 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Тогда
kηik 6 sup{kQ(t0, t) − Q(t0, ti)k : t ∈ ∆i} < ε,
поэтому
kRk 6√n maxikηik <√nε.
Имеем точное равенство
Z
n
x(t0+ ϑ) = X(t0+ ϑ, t0)x0+
Z
n
X
+
Q(t0, ti)u(t) dt= X(t0+ ϑ,t0)x0+
i=1
∆
i
X
(Q(t0, t) −Q(t0, ti))u(t) dt+
i=1
∆
i
n
X
γi(ηi+ ξi)=
i=1
= X(t0+ ϑ,t0)(x0+ (F + R)γ).
Поскольку
F + R = F (E + F−1R),
kF−1Rk 6 kF−1kkRk < α√nε < 1,
матрица F +R обратима [226, с. 364–365], причем [226, с. 403]
k(F + R)−1k 6 kF−1k + kF−1− (F + R)−1k 6
.
6 α +
kF−1Rk
1 −kF−1Rk
kF−1k 6 α1 +
α√nε
1 −α√nε
Отсюда следует, что для каждого x0∈ Rnзадача управления (25.1), (26.6) разрешима, при этом вектор γ определяется
равенством
γ = −(F + R)−1x
0
и удовлетворяет оценке
kx0k.
kγk 6 α1 +
α√nε
1 −α√nε
Поэтому
kukC6 max
i=1,...,n
|γi|kνik
∆
kγk
6
∆
α
6
∆
1 +
α√nε
1 −α√nε
kx0k.
§ 26. Критерии равномерной полной управляемости 279
Оценим отклонение «реального» движения z(t) от «иде-
ального» движения bz(t) .
Пусть t ∈ ∆i. Тогда
t
Z
Q(t0, s)u(s) ds =
τ
i
Q(t0, s)−Q(t0, tk)u(s) ds+
t − τ
i
+
∆
νiγ
i
ds =
∆
νiγ
i
ds.
∆
z(t) = x0+
= x0+
+
i−1
X
k=1
Z
i−1
X
Q(t0, tk)u(s) ds+
k=1
∆
k
t
Z
Q(t0, ti)u(s) ds +
τ
i
i−1
X
= x0+
k=1
t
Z
+
τ
i
i−1
X
= z(t) +
k=1
Z
Q(t0, s)u(s) ds +
∆
k
Z
∆
k
t
Z
Q(t0, s) − Q(t0, ti)u(s) ds =
τ
i
i−1
ξkγk+
X
ηkγk+ ξiγi·
k=1
Q(t0, s) − Q(t0, ti)
t
Z
ηkγk+
Q(t0, s) − Q(t0, ti)
τ
i
Следовательно,
n
kz(t) − bz(t)k
6 ε · nα1 +
C[t0,t0+ϑ]
X
6
kηkk|γk| < εnkγk 6
k=1
α√nε
1 −α√nε
kx0k
— мал´о при малых ε .
Из приведенных рассуждений, кроме всего прочего, вытекает следующий критерий равномерной полной управляемости системы (25.1).
280 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Т е о р е м а 26.3 [135, 171]. Пусть матрица B(·) кусочно
равномерно непрерывна. Система (25.1) ϑ-равномерно вполне
управляема в том и только том случае, когда существует
такое ∆0> 0 , что для любого ∆ ∈]0, ∆0] найдутся l >
> 0 и попарно не пересекающиеся отрезки ∆1, . . . , ∆nдлины
∆ , лежащие в ]t0, t0+ ϑ[ , где t0∈ R произвольно, такие,
что для каждого x0∈ Rnсуществует кусочно постоянное
управление u(·) , равное нулю вне отрезков ∆i, i = 1, . . . , n ,
обеспечивающее разрешимость задачи (25.1), (26.6) и удовлетворяющее оценке kukC6 lkx0k.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Возьмем про-
извольное t0∈ R и построим матрицу
F = [Q(t0, t1)ν1, . . . , Q(t0, tn)νn],
образующую базис чистых движений для системы (25.1) на
[t0, t0+ ϑ] , kF−1k 6 α . Выберем величину ∆0из условий
ε := sup{kQ(t0, t) − Q(t0, ti)k : |t −ti| 6 ∆0, i = 1, . . . , n} 6
6 (2α√n)−1.
Из теоремы 26.2 следует, что число ∆0может быть взято положительным и не зависящим от t0. Для произвольного ∆ ∈
∈]0, ∆0] положим
l =
∆
α
1 +
α√nε
1 −α√nε
.
При каждом i ∈ {1, . . . , n} построим отрезок ∆iдлины ∆ ,
содержащий точку ti. Возьмем произвольное x0∈ Rn. Определим управление u(·) равенством (26.7), где
γ = col(γ1, . . . , γn) = −(F + R)−1x0,
а матрица R задана соотношением (26.9). Тогда решение задачи Коши для системы (25.1) с выбранным u(·) и с начальным
условием x(t0) = x0попадает в начало координат в момент
t0+ ϑ , а для нормы управления имеет место оценка kukC6
6 lkx0k.
Д о с т а т о ч н о с т ь вытекает непосредственно из критерия равномерной полной управляемости Е. Л. Тонкова (теорема 5.1).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]