Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 28. Глобальная приводимость периодических систем 301
Л е м м а 28.1 [171]. Для любой невырожденной n × n-
матрицы X существует нижняя треугольная матрица H
с единичной диагональю, такая, что в QR-разложении произведения XH ортогональная матрица Q при некотором
k ∈ N удовлетворяет равенству Qk= E , а верхняя тре-
угольная матрица R имеет положительные диагональные
элементы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим нижнюю треугольную
матрицу H с единичной диагональю такую, что в равенстве
XH = QR ортогональная матрица Q образована некоторой
перестановкой столбцов e
тых со знаками + или −.
, . . . , e
k
1
единичной матрицы, взя-
k
n
Равенство X H = QR выполнено тогда и только тогда,
когда X−1Q = HR−1. Предположим, что по заданной матрице X−1матрица Q = [±e
, . . . , ±e
k
1
] построена так, что
k
n
X−1Q ∈H. Тогда в силу леммы 27.4 существуют единствен-
ные матрицы: нижняя треугольная H с единичной диагональю и верхняя треугольнаяeR с положительными диагональными элементами такие, что X−1Q = HeR . Возьмем R =
=eR−1, получим требуемое равенство.
Итак, задача заключается в построении по данной невырожденной матрице Y := X−1матрицы Q = [±e
такой, что Y Q ∈H.
, . . . , ±e
k
1
k
n
По условию detY 6= 0 , поэтому ранг (n−1)×n -матрицы,
полученной из Y выбрасыванием последней строки, равен n−
− 1 . Следовательно, существует kn∈ {1, . . . , n} такое, что
матрица Y
, образованная из Y вычеркиванием последней
n−1
строки и kn-го столбца, имеет ненулевой определитель. Тогда
ранг (n − 2) × (n − 1) -матрицы, полученной из Y выбрасыванием последних двух строк и kn-го столбца, равен n − 2 .
Поэтому существует k
матрица Y
, образованная из Y вычеркиванием послед-
n−2
них двух строк и kn-го и k
∈ {1, . . . , n} , k
n−1
n−1
6= kn, такое, что
n−1
-го столбцов, имеет ненулевой
определитель. Продолжая этот процесс, получим перестановку {kn, k
, . . . , k1} индексов {1, 2, . . . , n} такую, что каж-
n−1
дая из матриц Yj, j = n − 1, n − 2, . . . , 1 , полученная из Y
вычеркиванием n-й, (n − 1)-й, . . . , (j + 1)-й строк и kn-го,
k
n−1
-го, . . . , k
-го столбцов, имеет ненулевой определитель.
j+1
Теперь построим нужную ортогональную матрицу Q =
= [q1, . . . , qn] . Обозначим Z = Y Q , Z = [z1, . . . , zn] . Возьмем
q1= ±e
. Тогда z1= Y q1= ±Y e
k
1
k
1
= ±y
, то есть z
k
1
]
1
302 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
с точностью до знака совпадает с y
до знака (Z)1совпадает с Y1. Выберем знак q1так, чтобы
det(Z)1> 0 . Положим q2= ±e
k
ков столбцов (Z)2совпадает с Y2, следовательно, |det(Z )2| =
, поэтому с точностью
k
1
. Тогда с точностью до зна-
2
= |det Y2| > 0 . Возьмем знак q2так, чтобы det(Z)2> 0 . Полагая всякий раз qi= ±e
дая из матриц (Z)jс точностью до знаков столбцов совпа-
, i = 1, . . . , n , получим, что каж-
k
i
дает с Yj, поэтому |det(Z)j| = | det Yj| > 0 . Знаки q1, . . . , q
последовательно могут быть выбраны так, что det(Zj) > 0 ,
j = 1, . . . , n , то есть Z = Y Q ∈ H , что и требовалось.
Пусть l — порядок [95, с. 150] перестановки
π =
1 2 . . . n
k1k2. . . k
.
n
Заметим, что для произвольной матрицы P = [p1, . . . , pn] ∈
∈ Mnсправедливо равенство P Q = [±p
, . . . , ±p
k
1
] , поэто-
k
n
му при всяком j ∈ N матрица Qjобразована столбцами
e
, . . . , e
s
1
, взятыми со знаками + или − , где
s
n
1 2 . . . n
s1s2. . . s
= πj.
n
Тогда с точностью до знаков столбцы матрицы Qlсовпадают
с векторами e1, . . . , en, а Q2l= E . Лемма доказана.
Рассмотрим теперь вполне управляемую систему (25.1)
с ω-периодическими и кусочно непрерывными на R матричными коэффициентами A(·) и B(·) . Тогда (25.1) является
ϑ-равномерно вполне управляемой при ϑ = nω [231, 211], а
функция t 7→ B(t) кусочно равномерно непрерывна. Известно
[48, с. 183], что для каждого t ∈ R матрица Коши однородной
ω-периодической системы (25.3) удовлетворяет равенству
n
X(t + ω, 0) = X (t, 0)X(ω, 0),
поэтому
X(t+ lω, 0) = X(t + (l −1)ω + ω, 0) = X(t + (l −1)ω, 0)X(ω, 0) =
= X(t+(l−2)ω+ω, 0)X(ω, 0) = X(t+(l−2)ω, 0)X(ω, 0)X(ω, 0) =
= X(t + (l − 2)ω, 0)X2(ω, 0) = . . . = X(t, 0)Xl(ω, 0)
§ 28. Глобальная приводимость периодических систем 303
и
X(t + lω, s + lω) = X(t + lω, 0)(X(s + lω, 0))−1=
= X(t, 0)Xl(ω, 0)(X(s, 0)Xl(ω, 0))−1= X(t, 0)X(0, s) = X(t, s)
при всех t, s ∈ R и l ∈ N .
З а м е ч а н и е 28.1. Пусть ϑ := nω . Пользуясь теоремой 26.2, на отрезке [0, ϑ] построим матрицу базиса чистых
движений
F = [Q(0, t1)ν1, . . . , Q(0, tn)νn],
где νi∈ Rm, kνik = 1 , tj∈ [δ0, ϑ − δ0] , tj− t
j−1
> δ0и
B(·) непрерывна на каждом ]tj−δ0/2, tj+δ0/2[ . Зафиксируем
любое k ∈ Z и рассмотрим матрицу
Fk= [Q(kϑ, kϑ + t1)ν1, . . . , Q(kϑ, kϑ + tn)νn].
Все моменты времени kϑ+tjпринадлежат [kϑ+δ0, (k + 1)ϑ −
− δ0] , удовлетворяют оценкам (kϑ + tj) − (kϑ + t
) > δ0и
j−1
B(·) непрерывна на ]kϑ+tj−δ0/2, kϑ+ tj+δ0/2[ . Кроме того,
Q(kϑ, kϑ + tj)νj= X(kϑ, kϑ + tj)B(kϑ + tj)νj=
= X(0, tj)B(tj)νj= Q(0, tj)ν
j
при каждом j ∈ {1, . . . , n} , поэтому Fk= F . Следовательно,
матрица F образует базис чистых движений для ω-периодической системы (25.1) на каждом из отрезков [kϑ, (k + 1)ϑ] ,
k ∈ Z .
Т е о р е м а 28.1 [171]. Пусть (25.1) — система с кусочно
непрерывными ω-периодическими коэффициентами. Для того чтобы (25.1) была вполне управляема, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая замкнутая система (25.2)
обладала свойством глобальной ляпуновской приводимости.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Возьмем ϑ =
= nω и в соответствии с замечанием 28.1 построим матрицу
F , образующую базис чистых движений для системы (25.1)
на каждом из отрезков [kϑ, (k + 1)ϑ] . Так как матрица Коши
X((k + 1)ϑ, kϑ) = X(ϑ, 0) однородной периодической системы (25.3) не зависит от k , введем обозначение
X := F−1X((k + 1)ϑ, kϑ)F.
304 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
В соответствии с леммой 28.1 построим такую нижнюю треугольную матрицу H с единичной диагональю, что XH =
= QR , где Q — ортогональная матрица, удовлетворяющая
равенству Ql= E при некотором l ∈ N , а верхняя треуголь-
ная матрица R имеет положительные диагональные элементы. Тогда матрица R−1— верхняя треугольная с положительными диагональными элементами. Пользуясь следствием 27.1,
на каждом из отрезков [kϑ, (k + 1)ϑ] построим такое кусочно
непрерывное ограниченное управление U(·) , что матрица Коши XU(t, s) системы (25.2) удовлетворяет равенству
XU((k + 1)ϑ, kϑ) = X((k + 1)ϑ, kϑ)F (HR−1)F−1=
= F XF−1F HR−1F−1= F (XH)R−1F−1=
= F QRR−1F−1= F QF−1.
Заметим, что функция U (t), t ∈ R может быть выбрана ϑ-периодической. К построенной системе (25.2) применим постоянное преобразование x = Fy , получим систему с ϑ-периодическими кусочно непрерывными коэффициентами
˙y = F−1˙x = F−1(A(t) + B(t)U(t))x =
(28.1)
= F−1(A(t) + B(t)U(t))F y,
матрица Коши Y (t, s) которой при всех t, s ∈ R удовлетворяет равенству Y (t, s) = F−1XU(t, s)F . Следовательно,
Y (ϑ, 0) = F−1XU(ϑ, 0)F = F−1F QF−1F = Q.
Функция t 7→ Y (t, 0) имеет период lϑ , так как
Y (t + lϑ, 0) = Y (t, 0)Yl(ϑ, 0) = Y (t, 0)Ql= Y (t, 0), t ∈ R.
Покажем, что матрица Y (t, 0) является матрицей Ляпу-
нова. Действительно,
1) kY (·, 0)k
C(R)
= kY (·, 0)k
C([0,lϑ])
κ(F )(a+bkU kC)lϑ
6 e
< ∞;
2) Y∗(0, t) является нормированной в нуле lϑ-периоди-
ческой фундаментальной матрицей сопряженной системы
˙
ξ = −F∗(A∗(t) + U∗(t)B∗(t))(F−1)∗ξ,
<
§ 28. Глобальная приводимость периодических систем 305
поэтому
kY−1(·, 0)k
= kY∗(0, ·)k
= kY (0, ·)k
C(R)
C([0,lϑ])
= kY∗(0, ·)k
C(R)
C(R)
=
6 exp(κ(F )(a + bkU kC)lϑ) < ∞;
3) для˙Y (t, 0) справедлива оценка
sup
k˙Y (t, 0)k = sup
t∈R
kF−1(A(t) + B(t)U(t))F Y (t, 0)k 6
t∈R
6 κ(F )(a + bkU kC) exp(κ (F )(a + bkUkC)lϑ) < ∞.
Отметим (см. теоремы 5.2 и 5.3), что система
˙y = F−1(A(t) + B(t)U(t))F y + F−1B(t)u
ϑ-равномерно вполне управляема, а ее коэффициенты ϑ -пе-
риодические и кусочно непрерывные на R . Применим к этой
системе ляпуновское преобразование y = Y (t, 0)η , получим
˙y =˙Y (t, 0)η + Y (t, 0) ˙η =
= F−1(A(t) + B(t)U(t))F Y (t, 0)η + Y (t, 0) ˙η =
= F−1(A(t) + B(t)U(t))F y + Y (t, 0) ˙η,
поэтому
˙η = Y (0, t)F−1B(t)u.
Это ϑ-равномерно вполне управляемая (и, следовательно, lϑравномерно вполне управляемая) и lϑ-периодическая система
с нулевой матрицей при η и с кусочно непрерывной матрицей
при u . Пользуясь замечанием 28.1, построим матрицу F1,
образующую базис для этой системы на каждом из отрезков
[klϑ, (k + 1)lϑ] , k ∈ Z .
Покажем, что для любой системы (25.7) с кусочно непрерывной и ограниченной на R матрицей коэффициентов C(·)
существует такое управление V (·) ∈ KCmn(R) , что замкнутая
система
˙η = Y (0, t)F−1B(t)V (t)η (28.2)
асимптотически эквивалентна системе (25.7).
Поскольку всякая система (25.7) перроновским преобразованием приводится к треугольному виду, без ограничения
306 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
общности будем считать, что матрица C(t) = {cij(t)}
n
i,j=1
—
верхняя треугольная. Пусть Z(t, s) — матрица Коши системы (25.7), c := kC (t)kC. Матрица Z((k + 1)lϑ,klϑ) при каждом k ∈ Z — верхняя треугольная с положительными диагональными элементами
(k+1)lϑ
Z
exp
cjj(τ) dτ, j = 1, . . . , n.
klϑ
Имеем равномерные по k ∈ Z оценки
kZ((k + 1)lϑ, klϑ) −Ek 6 exp(clϑ) + 1,
(k+1)lϑ
Z
j
det(Z((k + 1)lϑ, klϑ))j= exp
j
X
> exp
> exp(−lϑ
> exp(−lϑnkCk
lϑ(−max{|cii(t)| : t ∈ [klϑ, (k + 1)lϑ]}) >
i=1
j
X
max{kC(t)eik : t ∈ [klϑ, (k + 1)lϑ]}) >
i=1
) = exp(−cnlϑ), j = 1, . . . , n.
C(R)
X
i=1
cii(τ) dτ >
klϑ
Следовательно, каждая из матриц Z((k +1)lϑ, klϑ) принадлежит множествуH(r, ρ) , где r = exp(clϑ)+1 , ρ = exp(−cnlϑ) .
В соответствии со следствием 27.2 построим кусочно непрерывное на R управление V (·) , обеспечивающее для матрицы
Коши ηV(t, s) системы (28.2) равенства
ηV((k + 1)lϑ, klϑ) = F1Z((k + 1)lϑ, klϑ)F
при этом
kV k
= sup{kV k
C(R)
C([klϑ,(k+1)lϑ])
6 sup{βkZ((k + 1)lϑ, klϑ) − Ek : k ∈ Z} 6 βr,
где величина β не зависит от k .
−1
, k ∈ Z, (28.3)
1
: k ∈ Z} 6
§ 28. Глобальная приводимость периодических систем 307
К системе (25.7) применим постоянное преобразование
ξ = F1z , получим систему
˙
ξ = F1C(t)F
с матрицей Коши F1Z(t, s)F
ремы 2.12 вытекает, что системы (28.2) и˙ξ = F1C(t)F
асимптотически эквивалентны, следовательно, в этом отноше-
−1
ξ
1
−1
. Тогда из (28.3) в силу тео-
1
1
−1
нии находятся также и системы (25.7) и (28.2). К системе (28.2)
применим обратное ляпуновское преобразование y = Y (t, 0)η ,
получим
˙y =˙Y (t, 0)η + Y (t, 0) ˙η = F−1(A(t) + B(t)U(t))F Y (t, 0)η+
+Y (t, 0)Y (0, t)F−1B(t)V (t)η =
= F−1(A(t) + B(t)U(t))F y + F−1B(t)V (t)Y (0, t)y =
= F−1(A(t) + B(t)(U(t) + V (t)Y (0, t)F−1))F y.
Возьмем в качестве матричного управления кусочно непрерывную и ограниченную на R функцию
U1(t) = U(t) + V (t)Y (0, t)F−1,
тогда системы (25.7) и
ξ
˙y = F−1(A(t) + B(t)U1(t))F y
асимптотически эквивалентны. К последней системе применим обратное преобразование x = F y , получим систему
˙x = (A(t) + B(t)U1(t))x,
асимптотически эквивалентную системе (25.7).
Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим противное, пусть система (25.1) не является вполне управляемой. Тогда [231] линейное подпространство N := {ξ ∈ Cn: ξ∗Q(0, t) = 0 ∀t ∈
∈ R} имеет размерность не меньше 1 и является X∗(0, ω)инвариантным, то есть если ξ ∈ N , то и X∗(0, ω)ξ ∈ N . Сле-
довательно [226, с. 68], N содержит по меньшей мере один
собственный вектор ξ ∈ Cnматрицы X∗(0, ω) . Пусть λ ∈
∈ C — соответствующее ему собственное значение ( λ 6= 0 ,
так как det X∗(0, ω) 6= 0 ).
308 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Возьмем произвольную матрицу C(·) ∈ KCn(R) и в со-
ответствии со свойством глобальной ляпуновской приводимости построим управление U (·) ∈ K Cmn(R) , обеспечивающее
асимптотическую эквивалентность систем (25.2) и (25.7). Тогда сопряженные к (25.2) и (25.7) системы
˙y = −(A(t) + B(t)U (t))∗y (28.4)
и ˙η = −C∗(t)η тоже асимптотически эквивалентны [27, с. 244].
Матрица Коши XU(t, s) системы (25.2) при всех t, s ∈ R
удовлетворяет равенству
t
Z
XU(t, s) = X (t, s)E +
X(s, τ )B(τ)U(τ )XU(τ, s) dτ,
s
поэтому
ξ∗XU((k −1)ω, kω) = ξ∗X((k − 1)ω, kω)×
(k−1)ω
Z
× E +
−ω
Z
× E +
0
∗
= λξ
= λξ∗− λ
при каждом k ∈ Z . Матрица Коши YU(t, s) системы (28.4)
удовлетворяет равенству YU(t, s) = X
∈ R , поэтому
YU(kω, (k −1)ω)ξ = X
X(kω, τ )B(τ)U(τ)XU(τ, kω) dτ!= ξ∗X(0, ω)×
kω
X(kω, s+kω)B(s+ kω)U(s+kω)XU(s+kω, kω) ds!=
0
Z
E −
X(0, s)B(s)U(s + kω)XU(s + kω, kω) ds!=
−ω
0
Z
ξ∗Q(0, s)U (s + kω)XU(s + kω, kω) ds) = λξ
−ω
∗
(s, t) при всех s, t ∈
U
∗
((k −1)ω, kω)ξ = λξ, k ∈ Z.
U
∗
§ 28. Глобальная приводимость периодических систем 309
Следовательно, при каждом k ∈ N
YU(kω, 0)ξ = YU(kω, ω)YU(ω, 0)ξ = λYU(kω, ω)ξ =
= λYU(kω, 2ω)YU(2ω, ω)ξ = λ2YU(kω, 2ω)ξ = . . . = λkξ.
Рассмотрим вообще говоря комплексное решение y(t) =
= YU(t, 0)ξ системы (28.4). Для его характеристического по-
казателя имеем равенства
λ[y] = lim
= lim
k→∞
t−1ln ky(t)k = lim
t→∞
(kω)−1ln kλkξk = lim
k→∞
(kω)−1ln ky(kω)k =
k→∞
(kω)−1ln |λ|k= ln |λ|/ω.
Тогда [48, с. 136–137] система (28.4) имеет вещественное решение с тем же показателем Ляпунова, то есть число ln |λ|/ω
входит в полный спектр показателей Ляпунова системы (28.4),
а потому и в полный спектр системы ˙η = −C∗(t)η . Это про-
тиворечит произвольности C(·) . Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 28.2. Из доказанной теоремы вытекает,
что если ω -периодическая система (25.1) вполне управляема, то мультипликаторы соответствующей замкнутой системы (25.2) глобально управляемы в следующем смысле: для любой матрицы Λ ∈ Mnс положительным определителем найдутся управление U (·) ∈ KCmn(R) и ляпуновское преобразование z = L(t)x такие, что система (25.2) с управлением U(·)
приводится этим преобразованием к ω-периодической системе (25.7), имеющей своими мультипликаторами собственные
значения матрицы Λ . При этом матрицы U (·) и L(·) не обязательно периодические, так как при перроновском преобразовании к треугольному виду периодическая система (25.7) переходит в общем случае в рекуррентную систему (В. М. Миллионщиков [142]).
З а м е ч а н и е 28.3. В ходе доказательства теоремы 28.1
построено управление U (·) такое, что система (28.1) имеет
матрицу Коши Y (t, s) , имеющую при каждом фиксированном s ∈ R период nlω по переменной t . Поскольку матрицы Коши Y (t, s) и XU(t, s) связаны равенством XU(t, s) =
= F Y (t, s)F−1, где F — постоянная матрица, то имеет место
С л е д с т в и е 28.1. Если (25.1) — вполне управляемая система с кусочно непрерывными ω-периодическими коэффициентами, то существует управление U(·) ∈ KCmn(R) такое,
310 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
что при некотором l ∈ N матрица Коши XU(t, s) системы (25.2) имеет период nlω по переменной t при каждом
фиксированном s ∈ R .
§ 29. Глобальная достижимость двумерных
систем
В этом параграфе доказана глобальная достижимость произвольной двумерной замкнутой системы
вида (25.2) при условии равномерной полной управляемости соответствующей открытой системы (25.1)
(теорема 29.1).
О п р е д е л е н и е 29.1 [171]. Пусть F1, . . . , Fl— базисы
пространства Rn, Λ ∈ Mn. Будем говорить, что упорядоченная совокупность n × n -матриц P1, . . . , P
образует ρ -
l−1
легальный маршрут от E к Λ относительно базисов F1, . . . , Fl,
если при каждом i ∈ {1, . . . , l} пара (P
, Pi) ρ -законопо-
i−1
слушна относительно Fi; здесь P0:= E , Pl:= Λ .
Л е м м а 29.1 [171]. Пусть ρ ∈]0, 1] . Для того чтобы ρ -
легальный маршрут от E к Λ относительно базисов F1,
F2. . . , Flсуществовал, необходимо и достаточно, чтобы на-
j−1
шлись матрицы H1∈H(ρ) , Hj∈H(ρ/
Q
det Hi) , j =
i=1
= 2, . . . , l , такие, что Λ представима в виде
1
Λ = (FlHlF
−1
l
)(F
l−1Hl−1
−1
F
) . . . (F1H1F
l−1
1
−1
) =:
Y
j=l
FjHjF
j
−1
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть матри-
цы P1, . . . , P
образуют ρ -легальный маршрут от E к Λ
l−1
относительно базисов F1, . . . , Fl. Поскольку при каждом j ∈
∈ {1, . . . , l} пара (P
Fj, в силу теоремы 27.2 имеем равенство Pj= FjHjF
где Hj— некоторая матрица из множестваH(ρ/ det P
, Pj) ρ -законопослушна относительно
j−1
j
−1
P
j−1
j−1
) .
Так как P0= E , то H1∈H(ρ) . Следовательно,
det P1= det(F1H1F
−1
P0) = det H
1
1
и H2∈H(ρ/ det H1) . Далее,
det P2= det(F2H2F
−1
P1) = det H2det P1= det H1det H2,
2
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]