Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
Г л а в а IV
ЛОКАЛЬНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ
АСИМПТОТИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ
Огназ сыл¨ись писпуэз т¨ол погыртэ.
Удмурт визькыл
Адна галавешка i ў печы не гарыць,
а дзве i ў полi не тухнуць.
Беларуская прыказка
Выбранное нами определение локальной управляемости
показателей делает задачу получения условий такой управляемости в большей степени принадлежащей теории показателей, чем прочие задачи, рассматриваемые в этой книге. По
сравнению с ними она значительно более сложна: нам удалось
решить ее лишь в некоторых относительно простых случаях.
Эта сложность имеет своим источником проявление взаимодействия между решениями линейной системы при попытках
изменить их асимптотическое поведение путем изменения коэффициентов. Если же решения исходной системы в определенном смысле изолированы, то построение требуемого управления сильно упрощается.
§ 16. Локальная и глобальная управляемость
асимптотических инвариантов
В этом параграфе введены понятия локальной и
глобальной управляемости ляпуновских инвариантов
линейных систем.
Рассмотрим линейную управляемую систему
˙x = A(t)x + B(t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm, t ∈ R, (16.1)
1
с наблюдателем
y = C∗(t)x, y ∈ Rr, t ∈ R, (16.2)
где матричные функции A(·), B(·), C(·) предполагаются кусочно непрерывными и ограниченными на R . Систему (16.1),
(16.2) будем отождествлять с тройкой (A, B, C ) .
1
Одинокое дерево ветер валит. Удмуртская пословица [206, с. 82].
182 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
Предположим, что управление u в системе (16.1), (16.2)
задано линейным по наблюдаемым параметрам, u = U y , где
в качестве матричного управления U (·) выбирается кусочно
непрерывная и ограниченная функция U : R → Mmr. Тогда
система (16.1), (16.2) переходит в систему
˙x =A(t) + B(t)UC∗(t)x, (16.3)
которая при всяком U = U(·) ∈ K Cmr(R) принадлежит множеству Mn. Следовательно, для системы (16.4) при выборе
произвольного управления U (·) ∈ KCmr(R) определены всевозможные инварианты преобразований Ляпунова.
Пусть ι — некоторый ляпуновский инвариант, ι(Mn) —
множество значений инварианта ι , то есть
ι(Mn) := {α| ∃D(·) ∈ Mn: ι(D) = α}.
Определим отображение ϕι: KCmr(R) → ι(Mn) , которое
ставит в соответствие произвольной функции U(·) ∈ KCmr(R)
значение ι(A + BUC∗) инварианта ι системы (16.3) при выполнении равенства U = U (·) .
О п р е д е л е н и е 16.1 [170, 171]. Будем называть ляпуновский инвариант ι глобально управляемым относительно тройки
(A, B, C) , если сюръективно соответствующее ему отображение ϕι: KCmr(R) → ι(Mn) .
Допуская некоторую вольность речи, будем говорить, что
система (16.3) обладает свойством глобальной управляемости
ляпуновского инварианта ι .
Предположим теперь, что ι(Mn) ⊂ X , где (X,ρ) — метрическое пространство.
О п р е д е л е н и е 16.2 [170, 171]. Будем называть ляпуновский инвариант ι :
– пропорционально глобально управляемым относительно
тройки (A, B, C) , если отображение ϕι: KCmr(R) → ι(Mn)
сюръективно, причем существует такое число l > 0 , что для
любого значения α ∈ ι(Mn) найдется управление U (·) ∈
∈ KCmr(R) , kUkC6 l·ρ(ι(A), α) , гарантирующее выполнение
равенства ϕι(U) = α ;
– локально управляемым относительно тройки (A, B, C) ,
если отображение ϕι: KCmr(R) → ι(Mn) открыто при U (t) ≡
≡ 0 , то есть для любого положительного ε найдется δ > 0
такое, что для любого α ∈ ι(Mn) , удовлетворяющего неравенству ρ(ι(A), α) 6 δ , существует управление U (·) ∈ KCmr(R) ,
kUkC6 ε , гарантирующее выполнение равенства ϕι(U) = α ;
§ 16. Управляемость инвариантов 183
– пропорционально локально управляемым относительно
тройки (A, B, C ) , если существуют такие положительные чис-
ла l и δ , что для любого α ∈ ι(Mn) , удовлетворяющего
неравенству ρ(ι(A), α) 6 δ , найдется матричное управление
U ∈ KCmr(R) , kU kC6 l · ρ(ι(A), α) , гарантирующее выпол-
нение равенства ϕι(U) = α .
Допуская вольность речи, в этих случаях будем говорить, что система (16.3) обладает свойством пропорциональной глобальной (соответственно локальной и пропорциональной локальной) управляемости ляпуновского инварианта ι .
Рассмотрим теперь произвольный упорядоченный конечный набор (ι1, . . . , ιk) ляпуновских инвариантов. Пусть
(ι1, . . . , ιk)(Mn) :=
= {(α1, . . . , αk)| ∃D(·) ∈ Mn: ιj(D) = αj∀j = 1, . . . , k}
— множество значений набора инвариантов (ι1, . . . , ιk) , а отображение ϕ
равенством
ι1,...,ι
: KCmr(R) → (ι1, . . . , ιk)(Mn) определено
k
ϕ
(U) = (ι1(A + BU C∗), . . . , ιk(A + BU C∗)).
ι1,...,ι
k
О п р е д е л е н и е 16.3 [170, 171]. Совокупность ляпуновских инвариантов (ι1, . . . , ιk) называется глобально управляе-
мой относительно тройки (A, B, C), если отображение ϕ
ι1,...,ι
k
KCmr(R) → (ι1, . . . , ιk)(Mn) сюръективно.
Допустим теперь, что при каждом j ∈ {1, . . . , k} имеет
место включение ιj(Mn) ⊂ Xj, где (Xj, ρj) — метрическое
пространство.
О п р е д е л е н и е 16.4 [170, 171]. Совокупность ляпуновских инвариантов (ι1, . . . , ιk) называется
– пропорционально глобально управляемой относительно
тройки (A, B, C) , если отображение ϕ
ι1,...,ι
: KCmr(R) →
k
→ (ι1, . . . , ιk)(Mn) сюръективно, при этом существует такое
число l > 0 , что для любого значения α = (α1, . . . , αk) ∈
∈ (ι1, . . . , ιk)(Mn) найдется управление U(·) ∈ K Cmr(R) , удовлетворяющее оценке kU kC6 l · max
j=1,...,k
тирующее выполнение равенства ϕ
ρj(ιj(A), αj) и гаран-
(U) = α ;
ι1,...,ι
k
– локально управляемой относительно тройки (A, B, C) ,
если отображение ϕ
ι1,...,ι
: KCmr(R) → (ι1, . . . , ιk)(Mn) от-
k
крыто при U(t) ≡ 0 , то есть для любого ε > 0 найдется такое
:
184 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
δ > 0 , что для любого α = (α1, . . . , αk) ∈ (ι1, . . . , ιk)(Mn) ,
удовлетворяющего неравенству max
j=1,...,k
ρj(ιj(A), αj) 6 δ, су-
ществует управление U(·) ∈ KCmr(R) , kUkC6 ε , гарантиру-
ющее выполнение равенства ϕ
ι1,...,ι
(U) = α ;
k
– пропорционально локально управляемой относительно
тройки (A, B, C ) , если существуют такие l > 0 и δ > 0 , что
для любого α = (α1, . . . , αk) ∈ (ι1, . . . , ιk)(Mn) , удовлетворяющего неравенству max
j=1,...,k
управление U(·) ∈ KCmr(R) , kU kC6 l · max
гарантирующее выполнение равенства ϕ
ρj(ιj(A) − αj) 6 δ, существует
j=1,...,k
ι1,...,ι
ρj(ιj(A), αj) ,
(U) = α .
k
В частности, если k = n , а ιj= λj— j -й показатель
Ляпунова, то совокупность инвариантов (ι1, . . . , ιn) представляет собой полный спектр показателей Ляпунова. Тогда
(λ1, . . . , λn)(Mn) =
∗
= {(α1, . . . , αn) ∈R
= {(α1, . . . , αn) ∈ R
n
|∃D(·) ∈ Mn:λj(D) = αj∀j = 1, . . . , n} =
∗
n
| α16 . . . 6 αn}.
Применяя к этой совокупности инвариантов определения 16.3
и 16.4, получим следующее определение.
О п р е д е л е н и е 16.5 [176, 170, 171]. Полный спектр пока-
зателей Ляпунова системы (16.3) называется:
– глобально управляемым, если для любого набора чисел
α16 . . . 6 αnсуществует управление U (·) ∈ KCmr(R) такое,
что λj(A + BU C∗) = αj, j = 1, . . . , n ;
– пропорционально глобально управляемым, если при не-
котором l > 0 для всякого набора чисел α16 . . . 6 αnсуществует управление U(·) ∈ K Cmr(R) такое, что kUkC6
6 l · max
j=1,...,n
|λj(A) −αj| и λj(A + BU C∗) = αj, j = 1, . . . , n ;
– локально управляемым, если для каждого ε > 0 суще-
ствует δ > 0 такое, что для любого набора чисел α16 . . . 6
6 αn, удовлетворяющего неравенству max
j=1,...,n
|λj(A)−αj| 6 δ ,
найдется управление U(·) ∈ KCmr(R) , kU kC6 ε , для кото-
рого λj(A + BU C∗) = αj, j = 1, . . . , n ;
– пропорционально локально управляемым, если найдутся
δ > 0 и l > 0 такие, что для любого набора α16 . . . 6
6 αn, удовлетворяющего неравенству max
j=1,...,n
|λj(A)−αj| 6 δ ,
§ 16. Управляемость инвариантов 185
существует матричное управление U (·) ∈ KCmr(R) , kU kC6
6 l · max
j=1,...,n
|λj(A) − αj|, для которого λj(A + BU C∗) = αj,
j = 1, . . . , n .
В случае отсутствия наблюдателя, то есть в случае r =
= n , C(t) ≡ E , систему (16.1) отождествляем с парой (A,B) ,
а управление формируем линейным по фазовым переменным,
u = U(t)x , где матричная функция U : R → Mmnтакже
предполагается кусочно непрерывной и ограниченной. В этом
случае вместо системы (16.3) рассматривается замкнутая система
˙x =A(t) + B(t)Ux, (16.4)
и все приведенные выше определения остаются в силе (только
всюду вместо фразы «относительно тройки (A, B, C)» говорим «относительно пары (A, B)»).
Непосредственно из определений следует, что если система (16.3) обладает свойством пропорциональной глобальной управляемости совокупности ляпуновских инвариантов,
то для нее выполнено и свойство глобальной управляемости
этих инвариантов. Неизвестно, верно ли обратное утверждение. В главе V при определенных условиях установлена глобальная управляемость некоторых инвариантов преобразований Ляпунова системы (16.4) — полного спектра показателей Ляпунова (теорема 31.4), коэффициентов неправильности
(теорема 30.2), особых показателей П. Боля (теорема 31.1),
центральных показателей Р. Э. Винограда и В. М. Миллионщикова (теорема 31.2) и экспоненциальных показателей
Н. А. Изобова (теорема 31.3), а также глобальная управляемость любого конечного набора инвариантов двумерных (теорема 29.1) и периодических (теорема 28.1) систем. Но во всех
этих утверждениях сколь угодно малому изменению инварианта может отвечать достаточно большое по норме управление
U(·) . Поэтому из глобальной управляемости ляпуновских инвариантов системы (16.3) их локальная управляемость непосредственно не следует. В случае же пропорциональной управляемости, очевидно, имеет место
Л е м м а 16.1. Если совокупность ляпуновских инвариан-
тов (ι1, . . . , ιk) пропорционально глобально управляема относительно тройки (A, B, C) , то эта совокупность пропорционально локально управляема относительно тройки (A, B, C).
В следующем параграфе установлено, что в случае равномерной полной управляемости системы (16.1) вопрос о про-
186 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
порциональной локальной управляемости совокупности ляпуновских инвариантов относительно пары (A, B) может быть
сведен к вопросу о пропорциональной глобальной управляемости этой совокупности относительно пары (A, E) , где E —
единичная n ×n -матрица.
§ 17. Пропорциональная управляемость
полного спектра показателей Ляпунова
Основные результаты этого параграфа — теоремы 17.4 и 17.5, где установлены достаточные условия локальной и пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова.
Наряду с системой (16.1) рассмотрим систему
˙x = A(t)x + u, x ∈ Rn, u ∈ Rn, (17.1)
имеющую вид (16.1) при m = n , B(t) ≡ E ∈ Mn. Отождествляем систему (17.1) с парой (A(·), E) . Напомним (см. следствие 11.1), что система (17.1) ϑ-равномерно вполне управляема при каждом ϑ > 0 .
Л е м м а 17.1 [170]. Пусть система (16.1) равномерно
вполне управляема. Если совокупность ляпуновских инвариантов (ι1, . . . , ιk) пропорционально глобально управляема относительно пары (A, E) , то эта совокупность пропорционально локально управляема относительно пары (A, B) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как совокупность ляпуновских
инвариантов (ι1, . . . , ιk) пропорционально глобально управляема относительно пары (A, E) , то существует число l > 0 такое, что для любого набора α = (α1, . . . , αk) ∈ (ι1, . . . , ιk)(Mn)
найдется управление V (·) ∈K Cnn(R), удовлетворяющее оцен-
ке kV kC6 l · max
ние равенств
j=1,...,k
ρj(ιj(A), αj) и обеспечивающее выполне-
ιj(A + V ) = αj, j = 1, . . . , k. (17.2)
Система (16.1) равномерно вполне управляема, следовательно
(теорема 15.5) найдутся такие l1> 0 и δ1> 0 , что для любой
матричной функции V (·) ∈ KCn(R) , норма которой удовлетворяет оценке kV kC6 δ1, существует управление U(·) ∈
∈ KCmn(R) , kU kC6 l1kV kC, такое, что системы
˙x = (A(t) + V (t))x (17.3)
§ 17. Пропорциональная управляемость спектра 187
и (16.4) с этим U (·) асимптотически эквивалентны.
Возьмем произвольный набор чисел
α = (α1, . . . , αk) ∈ (ι1, . . . , ιk)(Mn),
такой, что
δ
max
j=1,...,n
ρj(ιj(A), αj) 6
1
.
l
В соответствии со свойством пропорциональной глобальной
управляемости совокупности (ι1, . . . , ιk) относительно пары
(A, E) найдем управление V (·) ,
kV kC6 l · max
j=1,...,k
ρj(ιj(A), αj) 6 δ1,
такое, что выполнены равенства (17.2). Для этого V (·) в силу
равномерной полной управляемости системы (16.1) найдется
U(·) , kUkC6 l1kV kC6 l · l1· max
j=1,...,k
ρj(ιj(A), αj), обеспечи-
вающее асимптотическую эквивалентность системы (17.3) и
системы (16.4) с найденным U (·) . Ляпуновские инварианты
этих систем совпадают, поэтому
ιj(A + BU ) = αj, j = 1, . . . , n.
Лемма доказана.
Л е м м а 17.2 [170]. Если система (16.3) равномерно ло-
кально достижима, а совокупность ляпуновских инвариантов (ι1, . . . , ιk) пропорционально глобально управляема относительно тройки (A, E, E) , то эта совокупность локально
управляема относительно тройки (A, B, C) .
Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству леммы
17.1, нужно только заменить ссылку на теорему 15.5 ссылкой
на следствие 15.1.
Выясним условия, при которых полный спектр показателей Ляпунова системы (17.3) глобально управляем. Докажем
предварительно одну лемму, касающуюся систем с устойчивыми показателями Ляпунова.
Л е м м а 17.3 [170]. Пусть
˙z = F (t)z, z ∈ Rk, (17.4)
188 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
— система с нижней треугольной матрицей F (·) такая,
что
ω(F ) = Ω(F ) =: λ.
Тогда для любых µ1> . . . > µkполный спектр показателей
Ляпунова возмущенной системы
˙z = (F (t) + diag(µ1, . . . , µk))z (17.5)
состоит из чисел λ + µk, . . . , λ + µ1.
З а м е ч а н и е 17.1. Из критерия устойчивости показателей Ляпунова (Б. Ф. Былов, Н. А. Изобов [28]; В. М. Миллионщиков [147]) вытекает, что полный спектр показателей Ляпунова системы (17.4) состоит из k чисел λ , причем показатели
этой системы устойчивы.
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 17.3. Так как центральные
показатели произвольной треугольной системы полностью
определяются ее диагональными элементами и совпадают с
центральными показателями системы диагонального приближения [27, с. 120 – 121], для системы (17.4) справедливы равенства
ω(diag(f11, . . . , fkk)) = Ω(diag(f11, . . . , fkk)) = λ.
Верхние средние значения каждой из функций fii(·) заключены между ω(diag(f11, . . . , fkk)) и Ω(diag(f11, . . . , fkk)) , поэтому
fii= λ, i = 1, . . . , k.
Наряду с системой (17.4) рассмотрим систему
˙ϕ =eF (t)ϕ, ϕ ∈ Rk, (17.6)
где
F (t) =
f11(t) 0 . . . 0
1 f22(t) . . . 0
e
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 1 . . . fkk(t)
Из совпадения диагональных элементов матриц F (·) иeF (·)
вытекает равенство
ω(eF ) = Ω(eF ) = λ.
§ 17. Пропорциональная управляемость спектра 189
Зафиксируем какое-либо j ∈ {1, . . . , k} и рассмотрим решение
ϕ(·) = col(ϕ1(·), . . . , ϕk(·))
системы (17.6) с начальным условием ϕ(0) = ej∈ Rk. Так как
показатель Ляпунова всякого нетривиального решения систе-
мы (17.6) заключен между ω(eF ) и Ω(eF ) (В. М. Миллионщи-
ков [146]), имеем равенство λ[ϕ] = λ . Координаты решения
ϕ(·) удовлетворяют скалярным уравнениям
˙ϕ1(t) = f11(t)ϕ1(t),
i−1
˙ϕi(t) = fii(t)ϕi(t) +
X
ϕm(t), i = 2, . . . , k,
m=1
и начальным условиям ϕi(0) = δij, поэтому
0 при i ∈ {1, . . . , j − 1},
hj(t) при i = j,
ϕi(t) =
hi(t)
t
Z
h
0
−1
i
(s)
i−1
X
ϕm(s) ds при i ∈ {j + 1, . . . , k},
m=j
(17.7)
t
Z
где hi(t) := exp
fii(τ) dτ .
0
Пусть
α := max{1; kfil(·)kC: i, l = 1, . . . , k}.
Покажем, что для решения z(·) = col(z1(·), . . . , zk(·)) системы
(17.5) с начальным условием z(0) = ejпри всех i ∈ {1, . . . , k}
справедливы оценки
|zi(t)| 6 α
i−jeµjt
ϕi(t), t > 0. (17.8)
Действительно, при i ∈ {1, . . . , j − 1} имеем тождества
zi(t) ≡ 0 , то есть (17.8) выполнено. Функция zj(·) удовлетворяет линейному однородному уравнению
˙zj(t) = (fjj(t) + µj)zj(t)
190 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
и начальному условию zj(0) = 1 , поэтому
zj(t) = e
µjt
hj(t) = e
µjt
ϕj(t),
то есть при i = j неравенство (17.8) обращается в строгое
равенство. Предположим, что (17.8) доказано для всех i =
= j, . . . , l − 1 , где l ∈ {j + 1,. . . , k} . Тогда
ϕi(t) > α
j−ie−µjt
|zi(t)| > 0, t > 0, i = j, . . . , l −1.
Докажем (17.8) для i = l . Координата zl(·) является решением задачи Коши
l−1
˙zl(t) = (fll(t) + µl)zl(t) +
X
flm(t)zm(t), zl(0) = 0,
m=j
поэтому
t
zl(t) = hl(t)e
µlt
Z
−1
h
(s)e
l
0
−µls
l−1
X
flm(s)zm(s) ds,
m=j
следовательно, при t > 0
t
|zl(t)| 6 hl(t)e
Z
6 hl(t)e
µlt
6 hl(t)e
0
µlt
Z
−1
µlt
h
(s)e
l
0
t
−1
h
−µls
(s)e
l
t
Z
−1
h
(s)e
l
0
l−1
X
−µls
m=j
l−1
X
m=j
(µj−µl)sαl−j
α · α
m−jeµjs
|flm(s)||zm(s)|ds 6
ϕm(s) ds 6
l−1
X
ϕm(s) ds.
m=j
Так как µj> µl, а подынтегральная функция здесь неотрицательна, с учетом (17.7) имеем оценку
t
|zl(t)| 6 hl(t)e
µlt
Z
0
(µj−µl)t
e
−1
h
(s)α
l
l−j
l−1
X
ϕm(s) ds =
m=j
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]