Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 11. Метод поворотов и локальная достижимость 141
n−1
−1
(t0, t0+ϑ)k спра-
0
2aϑ)n−1
(ϑe
6
n
α
=: β.
=
и матрица W0(t0, t0+ϑ) обратима. Для kW
ведливы оценки [226, с. 493]
−1
kW
(t0, t0+ ϑ)k 6
0
=
kW0(t0, t0+ ϑ)k
det W0(t0, t0+ ϑ)
2aϑ)n−1
(ϑe
−2aϑ)n
(ϑe
e
=
2(2n−1)aϑ
ϑ
Т е о р е м а 11.1. Для каждого ϑ > 0 существуют такие
положительные числа δ = δ(ϑ) и l = l(ϑ) , что для любых
t0∈ R и H ∈ Bδ(E) ⊂ Mnнайдется возмущение P (·) ∈
∈ Cn([t0, t0+ ϑ]) , kP kC6 lkH − Ek, такое, что матрица
Коши Y (t, s) системы (11.2) удовлетворяет равенству
Y (t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)H. (11.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϑ > 0 — произвольно. По-
ложим
δ =
2ϑe
2aϑ
1
β(ϑ)
,
где β(ϑ) — из формулировки следствия 11.2, и возьмем любые t0∈ R и H ∈ Bδ(E) ⊂ Mn. На [t0, t0+ ϑ] определим
матричную функцию V (·) равенством
V (t) = X∗(t0, t)W
−1
(t0, t0+ ϑ)(H − E).
0
Тогда kV kC6 eaϑβ(ϑ)kH − Ek . Рассмотрим задачу Коши
˙
Z = A(t)Z + V (t), Z(t0) = E.
Решение этой задачи представимо в виде
t
Z
Z(t) = X(t, t0)E +
X(t0, s)V (s) ds, (11.4)
t
0
следовательно,
Z(t0+ ϑ) = X(t0+ ϑ,t0)E +
−1
×W
(t0, t0+ ϑ)(H − E)= X(t0+ ϑ,t0)H.
0
t0+ϑ
Z
X(t0, s)X∗(t0, s) ds×
t
0
(11.5)
142 Гл. III. Локальная достижимость
Для матрицы
t
Z
G(t) := E +
X(t0, s)V (s) ds
t
0
справедлива оценка
kG(t)−Ek 6 ϑeaϑkV kC6 ϑe
2aϑ
β(ϑ)kH −Ek 6 ϑe
2aϑ
β(ϑ)δ =
1
2
поэтому G(t) обратима на [t0, t0+ ϑ] (см. [226, с. 363] ), и
kG−1(t)k 6 1 + kG−1(t) −Ek 6
6 1 + kG−1(t)kkG(t) − Ek 6 1 + kG−1(t)k/2,
следовательно, kG−1(t)k 6 2 . Так как
Z(t) = X(t, t0)G(t),
то и матрица Z(t) обратима на этом отрезке. Положим
P (t) = V (t)Z−1(t).
Тогда P ∈ Cn([t0, t0+ ϑ]) и
kP kC6 kZ−1kCkV kC6 2eaϑeaϑβ(ϑ)kH − Ek =: l(ϑ)kH − Ek,
а из (11.4) следует равенство
t
Z
Z(t) = X(t, t0)E +
X(t0, s)P (s)Z(s) ds,
t
0
поэтому
Z(t) ≡ Y (t, t0), t ∈ [t0, t0+ ϑ],
где Y (t, s) — матрица Коши системы (11.2) с выбранной P(·) .
Из (11.5) получаем
,
Y (t0+ ϑ,t0) = Z(t0+ ϑ) = X(t0+ ϑ,t0)H.
§ 11. Метод поворотов и локальная достижимость 143
С л е д с т в и е 11.3. Для каждого ϑ > 0 существуют та-
кие положительные числа δ0= δ0(ϑ) и l0= l0(ϑ) , что для
любых t0∈ R и H ∈ B
P (·) ∈ Cn([t0, t0+ ϑ]) , kP kC6 l0kH − Ek, такое, что
(E) ⊂ Mnнайдется возмущение
δ
0
Y (t0+ ϑ,t0) = HX(t0+ ϑ,t0). (11.6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любое ϑ > 0 и обозначим
δ0(ϑ) = δ(ϑ)e
Пусть t0∈ R и H ∈ B
kGk 6 δ0. Положим
−2aϑ
, где δ(ϑ) — из формулировки теоремы 11.1.
(E) — любые. Тогда H = E + G , где
δ
0
H1= X(t0, t0+ ϑ)HX(t0+ ϑ,t0) =
= X(t0, t0+ ϑ)(E + G)X(t0+ ϑ,t0) =
= E + X(t0, t0+ ϑ)GX(t0+ ϑ,t0).
Тогда
kH1−Ek = kX(t0, t0+ϑ)GX(t0+ϑ, t0)k 6 e
2aϑ
kGk 6 e
2aϑ
δ0= δ
и
HX(t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)H1.
Из теоремы 11.1 следует существование непрерывной на отрезке [t0, t0+ ϑ] матричной функции P (·) , удовлетворяющей
оценке
kP kC6 l kH1− Ek 6 l e
2aϑ
kGk = l e
2aϑ
kH − Ek =: l0kH − Ek,
и такой, что
Y (t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)H1= HX(t0+ ϑ,t0).
Следствие доказано.
З а м е ч а н и е 11.1. Величина δ0(ϑ) при каждом ϑ > 0
удовлетворяет неравенству δ0(ϑ) < 1 , так как
δ0(ϑ) =
δ(ϑ)
2aϑ
e
2ϑe
4aϑ
1
β(ϑ)
=
2ϑe
=
ϑ
4aϑe2(2n−1)aϑ
=
1
2(2n+1)aϑ
2e
.
144 Гл. III. Локальная достижимость
С л е д с т в и е 11.4. Для каждого ϑ > 0 существуют та-
кие числа δ0= δ0(ϑ) ∈]0, 1[ и l = l(ϑ) > 0 , что для любого
t0∈ R , любого нетривиального решения x(·) системы (11.1)
и любого вектора η ∈ Rn, удовлетворяющего условиям
kηk = kx(t0+ ϑ)k, ^(η, x(t0+ ϑ)) = δ 6 δ0,
существует матрица P (·) ∈ Cn([t0, t0+ ϑ]) , kPkC6 lδ , та-
кая, что решение y(·) системы (11.2) с начальным условием
y(t0) = x(t0) удовлетворяет равенству y(t0+ ϑ) = η .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдем величину δ0(ϑ) в соответствии со следствием 11.3. Возьмем любое δ ∈]0, δ0] . Пусть
H ∈ Mn— матрица, определяемая условиями:
1) Hx = x для каждого вектора x ∈ Rn, лежащего в ор-
тогональном дополнении к плоскости L(η; x(t0+ ϑ)) векторов
η, x(t0+ ϑ) ;
2) в плоскости L(η; x(t0+ ϑ)) матрица H является мат-
рицей поворота на угол δ в сторону от x(t0+ ϑ) к η .
Тогда Hx(t0+ ϑ) = η и
kH − Ek = sup
= sup{k(H−E)ξk: kξk = 1, ξ ∈ L(η; x(t0+ϑ))}= 2 sin
k(H − E)ξk =
kξk=1
δ
6 δ 6 δ0.
2
В соответствии со следствием 11.3 построим такую матрицу
P ∈ Cn([t0, t0+ ϑ]) , kPkC6 lkH − Ek 6 lδ, что выполнено
равенство (11.6). Тогда для решения y(·) системы (11.2) с этой
P (·) и с начальным условием y(t0) = x(t0) имеем равенства
y(t0+ ϑ) = Y (t0+ ϑ,t0)y(t0) = Y (t0+ ϑ,t0)x(t0) =
= HX(t0+ ϑ,t0)x(t0) = Hx(t0+ ϑ) = η.
Следствие доказано.
Таким образом, из теоремы 11.1 вытекает утверждение,
практически эквивалентное второй лемме метода поворотов
В. М. Миллионщикова (лемма 11.1). В следующем параграфе мы применим разработанный подход к равномерно вполне
управляемым системам.
§ 12. Управляемость и достижимость 145
§ 12. Управляемость и достижимость
В этом параграфе введено понятие локальной достижимости управляемой системы и доказана эквивалентность свойств равномерной полной управляемости и равномерной локальной достижимости.
Рассмотрим линейную управляемую систему
˙x = A(t)x + B(t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm, t ∈ R, (12.1)
с кусочно непрерывными ограниченными на R матричными
коэффициентами A(·) и B(·) . Как и прежде, через X(t, s)
обозначаем матрицу Коши соответствующей однородной системы (11.1). Пусть
Q(t, s) := X(t, s)B(s), t, s ∈ R;
t0+ϑ
W (t0, t0+ ϑ) =
R
Q(t0, s)Q∗(t0, s) ds
t
0
— матрица Калмана системы (12.1).
Покажем, что для равномерно вполне управляемой системы (12.1) имеет место свойство, аналогичное тому, о котором идет речь в формулировке теоремы 11.1 для системы
˙x = A(t)x + u, x ∈ Rn, u ∈ Rn.
Сначала докажем один критерий равномерной полной управляемости.
Л е м м а 12.1 [133]. Система (12.1) ϑ-равномерно вполне
управляема в том и только том случае, когда существует
такое положительное число γ , что для произвольных t0∈ R
и H ∈ Mnнайдется функция V ∈ KCmn([t0, t0+ϑ]) , kV kC6
6 γkH − Ek , разрешающая матричную задачу управления
˙
Z = Q(t0, t)V (t), (12.2)
Z(t0) = E, Z(t0+ ϑ) = H. (12.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть система (12.1) ϑ-равномерно вполне управляема. Возьмем любые
t0∈ R и H ∈ Mn. В силу критерия равномерной полной
управляемости Е. Л. Тонкова (теорема 5.1) для каждого из
векторов
zj= (H − E)ej, j = 1, . . . , n,
146 Гл. III. Локальная достижимость
существует управление uj∈ KC
([t0, t0+ ϑ]) , удовлетворя-
m,1
ющее оценке kujkC6 βkzjk, такое, что решение задачи Коши
для уравнения (12.1) с этим управлением и с начальным усло-
вием x(t0) = zjпопадает в начало координат в момент времени t0+ϑ . Поскольку решение этой задачи Коши записывается
в виде
t
Z
x(t) = X(t, t0)zj+
Q(t0, s)uj(s) ds,
t
0
получаем равенство
t0+ϑ
Z
(E −H)ej+
Q(t0, t)uj(t) dt = 0.
t
0
Пусть V (t) = [u1(t), . . . , un(t)] . Тогда
t0+ϑ
Z
(E −H)ej+
Q(t0, t)V (t)ejdt = 0, j = 1, . . . , n,
t
0
поэтому
t0+ϑ
Z
E −H +
Q(t0, t)V (t) dt = 0.
t
0
С другой стороны, решение уравнения (12.2) с началь-
ным условием Z(t0) = E имеет вид
t
Z
Z(t) = E +
Q(t0, s)V (s) ds, (12.4)
t
0
следовательно, при выбранном управлении V (·) выполнено
равенство
Z(t0+ ϑ) = H.
§ 12. Управляемость и достижимость 147
Кроме того, для всех t ∈ [t0, t0+ϑ] и x =
место соотношения
kV (t)xk =
n
X
6 kxk
j=1
V (t)
n
X
=
xjuj(t)
j=1
kuj(t)k 6 kxk
n
X
j=1
xje
j
6
n
X
j=1
X
j=1
n
X
=
j=1
n
|xj|kuj(t)k 6
βkzjk 6 kxknβkH − Ek.
Возьмем γ = nβ , тогда
kV kC= suptsup
x6=0
kV (t)xk
kxk
6 γkH − Ek.
n
X
xjej∈ Rnимеют
j=1
j
x
j
V (t)e
=
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть для любых t0∈ R и H ∈ M
существует функция V ∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) , разрешающая
задачу управления (12.2), (12.3) и такая, что выполнена оценка
kV kC6 γkH − Ek .
Возьмем любые x0∈ Rnи t0∈ R . Проинтегрируем
равенство (12.2) в пределах от t0до t0+ ϑ , тогда из (12.3)
получим
t0+ϑ
Z
Q(t0, s)V (s) ds = H − E.
t
0
Пусть H − E = [−x0, 0, . . . , 0] . Выберем u(t) = V (t)e1. Решение задачи Коши для уравнения (12.1) с управлением u = u(·)
и начальным условием x(t0) = x0записывается в виде
t
Z
x(t) = X(t, t0)x0+
Q(t0, s)u(s) ds,
t
0
поэтому
t0+ϑ
Z
x(t0+ ϑ) = X(t0+ ϑ,t0)−H + E +
Q(t0, s)V (s) dse1= 0.
t
0
n
148 Гл. III. Локальная достижимость
Для kukCимеем оценку
kukC6 kV kC6 γkH − Ek = γk(H − E)e1k = γkx0k.
Следовательно, система (12.1) является ϑ-равномерно вполне
управляемой.
Т е о р е м а 12.1 [133]. Если система (12.1) ϑ-равномерно
вполне управляема, то найдутся такие α > 0 и r > 0 , что
для любых t0∈ R и H ∈ Br(E) существует управление
U(·) ∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) , удовлетворяющее оценке kUkC6
6 αkH − Ek и обеспечивающее для матрицы Коши XU(t, s)
системы
˙x = (A(t) + B(t)U)x, x ∈ Rn, (12.5)
с U = U (·) выполнение равенства
XU(t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)H. (12.6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любые H ∈ Mnи t0∈ R .
Пользуясь леммой 12.1, найдем V ∈ K Cmn([t0, t0+ ϑ]) , удовлетворяющее оценке kV kC6 γkH − Ek и разрешающее за-
дачу управления (12.2), (12.3). Из (12.4) следует, что при всех
t ∈ [t0, t0+ ϑ] имеет место неравенство
kZ(t) − Ek 6 ϑkQ(t0, ·)kCkV kC6 ϑγb exp(aϑ)kH − Ek.
Возьмем r = (2ϑγb exp(aϑ))−1, тогда для любой H ∈ Br(E)
при всех t ∈ [t0, t0+ ϑ] выполнено неравенство kZ(t) −Ek 6
6 1/2 , поэтому матрица Z(t) обратима и kZ−1(t)k 6 2 . Пусть
V1(t) := V (t)Z−1(t).
Тогда
kV1kC6 kV kCkZ−1kC6 2γkH − Ek,
а матричная функция Z(·) удовлетворяет уравнению
˙
Z = Q(t0, t)V1(t)Z
и условиям (12.3). Полагая
Y (t) = X(t, t0)Z(t), U (t) = V1(t)X(t0, t),
§ 12. Управляемость и достижимость 149
получим равенства
˙
Y =˙X(t, t0)Z(t) + X(t, t0)˙Z(t) =
= A(t)X(t, t0)Z(t) + X(t, t0)Q(t0, t)V1(t)Z(t) =
= A(t)Y (t) + B(t)V1(t)X(t0, t)Y (t) = (A(t) + B(t)U(t))Y,
то есть независимо от t0функция Y (·) является фундаментальной матрицей системы (12.5) с выбранным управлением
U(·) . Кроме того, она удовлетворяет условиям
Y (t0) = X(t0, t0)Z(t0) = E,
Y (t0+ ϑ) = XU(t0+ ϑ,t0) =
= X(t0+ ϑ,t0)Z(t0+ ϑ) = X(t0+ ϑ,t0)H,
а управление U(·) — оценке
kUkC6 exp(aϑ)kV1kC6 2γ exp(aϑ)kH − Ek,
совпадающей с требуемой при α = 2γ exp(aϑ) . Теорема доказана.
О п р е д е л е н и е 12.1 (В.А. Зайцев, Е.Л. Тонков [61, 246]).
Пусть U ⊂ Mmn— некоторое множество. Система (12.5) называется
а) локально достижимой (относительно множества U ) на
отрезке [t0, t0+ϑ] , если существует δ > 0 такое, что для любой
матрицы H ∈ Bδ(E) ⊂ Mnсуществует кусочно непрерывное
управление U : [t0, t0+ ϑ] → U , гарантирующее для матрицы
Коши XU(t, s) системы (12.5) с U = U(·) выполнение равенства (12.6);
б) ϑ-равномерно локально достижимой (относительно U ),
если (12.5) локально достижима (относительно U ) на всяком
отрезке [t0, t0+ ϑ] длины ϑ , причем δ не зависит от t0.
З а м е ч а н и е 12.1. Как правило, когда говорят о достижимости системы (12.5) относительно множества U ⊂ Mmn,
требуют, чтобы 0 ∈ U , или 0 ∈ conv U , или 0 ∈ intconv U
(см. [61, 246]). Покажем на примере, что существуют системы вида (12.5), локально достижимые относительно множества U , не содержащего нуль в своей выпуклой оболочке.
П р и м е р 12.1. Рассмотрим скалярное линейное управляемое уравнение
˙x = (sin t)u, t ∈ R, x ∈ R, u ∈ U ⊂ R, (12.7)
150 Гл. III. Локальная достижимость
в качестве множества U возьмем любой отрезок [α, β] , где
α < β . Замкнем (12.7) управлением u = u(t)x , получим урав-
нение
˙x = (sin t)u(t)x, (12.8)
для которого
t
Z
Xu(t, s) = exp
u(τ) sin τ dτ .
s
Поскольку уравнение (12.7) не содержит однородной ча-
сти, имеем равенство X(t, s) ≡ 1 . В роли матрицы H в данном случае выступает скаляр, близкий к единице, поэтому положим H = 1 + h , где h близко к 0 . Таким образом, равенство (12.6) здесь приобретает вид
t0+ϑ
Z
exp
u(τ) sin τ dτ = 1 + h.
t
0
Покажем, что для любого t0∈ R и любого h ∈ R , |h| 6
β −α
6
1 + β − α
тирующее выполнение равенства
, найдется управление u : [t0, t0+2π] → U , гаран-
t0+2π
Z
u(τ) sin τ dτ = ln(1 + h). (12.9)
t
0
Этим будет установлена (2π)-равномерная локальная достижимость уравнения (12.8) относительно множества U .
Возьмем произвольное t0∈ R и рассмотрим множества
A1:= {t ∈ [t0, t0+ 2π] : sin t > 0},
A2:= {t ∈ [t0, t0+ 2π] : sin t < 0}.
Каждое из множеств A1, A2измеримо по Лебегу и
mes A1= mes A2= π,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]