Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 7. Следствия для динамической системы сдвигов 121
Н е о б х о д и м о с т ь. Возьмем любые τ ∈ R и G ∈ Mnи
построим управление VG(·) , разрешающее задачу (7.3). Пусть
Z(·) — решение этой задачи. На отрезке [τ, τ + ϑ] определим
матричное управление U(·) = UG(·) равенством
UG(t) = VG(t)X0(τ, t).
Тогда
˙
Z = A0(t)Z + B0(t)VG(t) = A0(t)Z + B0(t)UG(t)X0(t, τ ) =
= A0(t)Z + B0(t)UG(t)C
∗
(t)X0(t, τ )
0
и Z(τ ) = 0 , Z(τ + ϑ) = G . Кроме того, имеет место равномерная по τ ∈ R и G ∈ Mnоценка
kUG(t)k 6 leaϑkGk, t ∈ [τ, τ + ϑ],
где a := sup{kA0(t)k : t ∈ R}. Из определения 7.1 вытека-
ет ϑ-равномерная согласованность системы (7.1) при r = n ,
C0(t) ≡ E .
Д о с т а т о ч н о с т ь доказывается аналогично.
Таким образом, в случае линейной управляемой системы
без наблюдателя введенное понятие согласованности эквивалентно понятию полной управляемости.
В заключение этого параграфа выясним вопрос о согласованности и равномерной согласованности рекуррентных систем.
Свойство рекуррентности системы (7.1) означает, что для
любых ε > 0 и N > 0 множество
t+1
Z
{τ ∈ R : max
|t|6N
kστ(s) −σ0(s)kds < ε}
t
относительно плотно на R , где στ(s) = σ0(τ +s) , s ∈ R . Если
же для каждого ε > 0 относительно плотно на R множество
{τ ∈ R : sup
t∈R
t+1
Z
kστ(s) −σ0(s)kds < ε},
t
122 Гл. II. Управляемость и согласованность
то система σ0(·) называется почти периодической (в смысле
В. В. Степанова). Очевидно, что всякая почти периодическая
система σ0(·) рекуррентна.
Непосредственно из теоремы 6.3 вытекает
С л е д с т в и е 7.4 [176]. Пусть система (7.1) рекуррент-
на и согласованна. Тогда она равномерно согласованна.
§ 8. Согласованность и управляемость
В этом параграфе по линейной управляемой системе
с наблюдателем строится линейная управляемая система без наблюдателя б´ольшей размерности — так
называемая большая система. Показано, что согласованность исходной системы эквивалентна полной
управляемости большой системы.
Каждой системе (ϕ, σ) вида
˙x = A(ftσ)x + B(ftσ)u, y = C∗(ftσ)x, (8.1)
поставим в соответствие так называемую большую систему.
Большая система — это система вида
2
˙z = F (ftσ)z + G(ftσ)v, z ∈ R
n
, v ∈ Rmr, t ∈ R, (8.2)
с n2× n2-матрицей F (σ) = A(σ) ⊗ E − E ⊗ A∗(σ) и n2×
× mr матрицей G(σ) = B(σ) ⊗C(σ) , где символ ⊗ означает
прямое (кронекерово) произведение матриц [110, с. 235]. Напомним, что согласно определению для матриц P ∈ Mklи
Q ∈ Mrsпрямое (кронекерово) произведение P ⊗ Q определя-
ется как блочная матрица
P ⊗ Q =
p11Q p12Q . . . p1lQ
p21Q p22Q . . . p2lQ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∈ M
.
.
.
kr,ls
.
pk1Q pk2Q . . . pklQ
Т е о р е м а 8.1 [181]. Система (ϕ, σ) равномерно согла-
сованна в том и только том случае, когда большая система
равномерно вполне управляема.
§ 8. Согласованность и управляемость 123
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Γ(ϑ, σ) — матрица согласования системы (8.1), а
ϑ
Z
W (ϑ, σ) :=
Z(0, t, σ)G(ftσ)G∗(ftσ)Z∗(0, t, σ) dt
0
— матрица управляемости системы (8.2). Здесь Z(t, s, σ) —
матрица Коши однородной системы
˙z = F (ftσ)z. (8.3)
Докажем, что Γ(ϑ, σ) = W (ϑ, σ) для всех ϑ > 0 и σ ∈ Σ .
Напомним, что Γ = {Γij}
ϑ
Z
∗
γ
ijps
=
b
e
B(t, σ)bB∗(t, σ)eje
i
0
n
, Γij= {γ
i,j=1
∗
b
C(t, σ)bC∗(t, σ)esdt,
p
ijps
n
}
p,s=1
,
гдеbB(t, σ) = X (0, t, σ)B(ftσ) ,bC(t, σ) = X∗(t, 0, σ)C(ftσ) .
Найдем нормированную при t = 0 фундаментальную
матрицу Ψ(t, σ) сопряженной к (8.3) системы
˙
ψ = −ψF (ftσ).
Пусть ψij(t) =ψ
решение этой системы с начальным условием ψij(0) = νij,
где νij∈ R
2
n
исключением ν
ij
(t), . . . , ψ
11
— вектор, все координаты которого нулевые, за
ij
= 1 . Тогда матричная функция
ij
Yij(t) =ny
где y
ij
(t) := ψ
kl
ij
(t), удовлетворяет задаче Коши
kl
˙
Y = Y A∗(ftσ) −A∗(ftσ)Y, Y (0) = eie
ij
(t), . . . , ψ
1n
ij
(t)
kl
o
n
k,l=1
ij
(t), . . . , ψ
n1
,
ij
nn
∗
.
j
(t)есть
Нетрудно проверить, что
Yij(t) = X∗(0, t, σ)eie
∗
X∗(t, 0, σ).
j
124 Гл. II. Управляемость и согласованность
Таким образом,
ij
ψ
kl
(t) = e
∗
X∗(0, t, σ)eie
k
∗
X∗(t, 0, σ)el.
j
Запишем Ψ(t, σ) в блочном виде
Ψ11(t, σ) Ψ12(t, σ) . . . Ψ1n(t, σ)
Ψ21(t, σ) Ψ22(t, σ) . . . Ψ2n(t, σ)
Ψ(t, σ) =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ψn1(t, σ) Ψn2(t, σ) . . . Ψnn(t, σ)
,
где
Ψij(t, σ) = {ψ
ijps
(t, σ)}
n
p,s=1
,
при этом
ψ
ijps
(t, σ) = ψ
ip
js
(t) = e
∗
X∗(0, t, σ)eie
j
∗
X∗(t, 0, σ)es.
p
Следовательно,
Z(0, t, σ) = Ψ(t, σ) = {Zij(0, t, σ)}
Zij(0, t, σ) = {z
z
(0, t, σ) = ψ
ijps
Представим матрицу G = B ⊗ C в блочном виде G =
= {Gij}
n,m
, где Gij= {g
i,j=1
(t, σ) = e
ijps
∗
= e
X(0, t, σ)eje
i
ния прямого произведения, g
(0, t, σ)}
ijps
∗
X∗(0, t, σ)eie
j
∗
X(t, 0, σ)ep.
s
n,r
}
ijps
p,s=1
= bijcps. Пусть
ijps
. Тогда, в силу определе-
Q(t, σ) := Z (0, t, σ)G(ftσ) = {q
n
i,j=1
n
,
p,s=1
∗
X∗(t, 0, σ)es=
p
(t, σ)},
ijps
i, p = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m; s = 1, . . . , r.
Тогда
n
X
k=1
X
k,l=1
n
bkj(ftσ)e
z
(0, t, σ)bkj(ftσ)cls(ftσ) =
ikpl
n
X
k
cls(ftσ)e
l=1
∗
X(t, 0, σ)ep=
l
= e
q
ijps
∗
X(0, t, σ)
i
(t, σ) =
,
§ 8. Согласованность и управляемость 125
∗
= e
X(0, t, σ)B(ftσ)eje
i
= e
∗
b
B(t, σ)eje
i
∗
C∗(ftσ)X(t, 0, σ)ep=
s
∗
b
C∗(t, σ)ep.
s
Поэтому (ikpl) -й элемент матрицы QQ∗равен
m
r
X
X
q
(t, σ)q
ijps
s=1
j=1
∗
b
= e
B(t, σ)bB∗(t, σ)eke
i
Запишем W(ϑ, σ) в блочном виде W = {Wij}
тывая равенство
ϑ
W (ϑ, σ) =
R
Q(t, σ)Q∗(t, σ) dt,
0
(t, σ) =
kjls
∗
b
C(t, σ)bC∗(t, σ)el.
p
n
i,j=1
. Учи-
для (p, s) -го элемента матрицы Wijполучим соотношения
ϑ
R
w
(ϑ, σ) =
ijps
Следовательно, w
∗
b
e
B(t, σ)bB∗(t, σ)eje
i
0
(ϑ, σ) = γ
ijps
∗
b
C(t, σ)bC∗(t, σ)esdt.
p
(ϑ, σ) , поэтому W (ϑ, σ) =
ijps
= Γ(ϑ, σ) , и равномерная полная управляемость большой системы (F, G, σ) эквивалентна равномерной согласованности
системы (ϕ, σ) . Теорема доказана.
Формулируемые ниже утверждения легко следуют из теоремы 8.1 с применением результатов работы А. Г. Иванова и
Е. Л. Тонкова [70].
С л е д с т в и е 8.1 [181]. Пусть E — компактное инвари-
антное множество в Σ . Если в каждом минимальном множестве Eα, α ∈ A , содержащемся в E , найдется точка
σαтакая, что система (ϕ, σα) согласованна, то всякая система (ϕ, σ) , σ ∈ E , равномерно согласованна. Более того,
найдутся ϑ и l ( см. определение 6.2 ) , общие для всех σ ∈
∈ E .
С л е д с т в и е 8.2 [181]. Пусть множество γ+(σ) компактно и в каждом минимальном Eαиз ω-предельного множества точки σ существует σα∈ Eαтакое, что система
(ϕ, σα) согласованна. Тогда свойства согласованности и равномерной согласованности системы (ϕ, σ) эквивалентны.
126 Гл. II. Управляемость и согласованность
С л е д с т в и е 8.3 [181]. Пусть E — объединение тех ми-
нимальных в Σ множеств, в каждом из которых найдется σ такое, что (ϕ, σ) согласованна. Тогда для любого σ ,
принадлежащего зоне притяжения Ws(E) множества E ,
система (ϕ, σ) равномерно согласованна.
§ 9. Коэффициентные признаки
согласованности
Здесь на основании результатов предыдущего параграфа получены коэффициентные признаки согласованности линейных управляемых систем с наблюдателем.
Рассмотрим систему
˙w = F(t)w, w ∈ RN, t ∈ R, (9.1)
и линейное пространство
L(t) = {w ∈ RN: H(t)w = 0}, (9.2)
где H(t) ∈ MkN, k 6 N . Будем говорить, что пространство (9.2) не содержит целых траекторий (системы (9.1) на отрезке [t0, t0+ ϑ] ), если включение w(t) ∈ L(t) при всех t ∈
∈ [t0, t0+ ϑ] , где w(·) — решение системы (9.1), возможно
только для w(t) ≡ 0 .
Предполагая достаточную гладкость F (·) и H (·) , по-
строим матричные функции
H0(t) = H(t), H
(t) =˙Hi(t) + Hi(t)F (t), i = 0, . . . , l −2,
i+1
и
Hl(t) = (H0(t), . . . , H
(t))∗∈ M
l−1
. (9.3)
kl,N
Л е м м а 9.1 [179]. Если существуют τ ∈]t0, t0+ ϑ[ и
натуральное l такие, что
rank Hl(τ) = N, (9.4)
то пространство (9.2) не содержит целых траекторий.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть w(·) — решение системы
(9.1) на отрезке [t0, t0+ ϑ] , причем на [t0, t0+ ϑ] выполнено тождество H0(t)w(t) ≡ 0 . Тогда
0 ≡ (H0(t)w(t))˙ =˙H0(t)w(t) + H0(t) ˙w(t) =
§ 9. Коэффициентные признаки согласованности 127
=˙H0(t)w(t) + H0(t)F (t)w(t) = H1(t)w(t).
Последовательно дифференцируя эти тождества, получим
Hi(t)w(t) = 0, t ∈ [t0, t0+ ϑ], i = 0, . . . , l − 1,
то есть
Hl(t)w(t) ≡ 0 на [t0, t0+ ϑ].
По условию, Hl(τ) имеет N линейно независимых строк, поэтому w(τ ) = 0 и, следовательно, w(t) ≡ 0 . Лемма доказана.
С л е д с т в и е 9.1 [179]. Пусть F и H постоянны. Тогда
пространство (9.2) не содержит целых траекторий в том и
только том случае, когда
rank(H, HF, . . . , HF
N−1
) = N. (9.5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Д о с т а т о ч н о с т ь. В рассматриваемом случае Hi(t) ≡ HFi, i = 0, 1, . . . , поэтому
HN(t) ≡ (H, HF, . . . , H F
N−1
),
и доказываемое утверждение следует из (9.4).
Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим противное, пусть равенство (9.5) не имеет места. Тогда существует ненулевой век-
тор w0∈ RNтакой, что для всех k = 0, 1, . . . , N − 1 справедливы равенства
HFkw0= 0. (9.6)
Из леммы Кели–Гамильтона [110, с. 126] следует, что
(9.6) выполнено при всех целых k > 0 . Умножая (9.6) на tk/k!
и суммируя по k , получим равенство
∞
X
k=0
HFkw0t
k!
k
= H
∞
X
k=0
k
Fkt
w0= H(exp F t)w0= 0, t ∈ R.
k!
Таким образом, пространство (9.2) содержит целую траекторию системы (9.1) на R . Полученное противоречие доказывает следствие.
По линейной управляемой системе с наблюдателем
˙x = A(t)x + B(t)u, y = C∗(t)x, x ∈ Rn, u ∈ Rm, y ∈ Rr, (9.7)
128 Гл. II. Управляемость и согласованность
которую будем отождествлять с тройкойA(·), B(·), C(·), построим n2× n2-матрицу
F (t) = −{aji(t)E}
n
+ diag(A(t), . . . , A(t)) (9.8)
i,j=1
и mr ×n2матрицу
H(t) =
b11(t)C∗(t) . . . bn1(t)C∗(t)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
, (9.9)
b1m(t)C∗(t) . . . bnm(t)C∗(t)
являющуюся прямым произведением матриц B∗(t) и C∗(t) .
Т е о р е м а 9.1 [179]. Пусть F (·) и H(·) определены ра-
венствами (9.8) и (9.9). Система
A(·), B(·), C(·)согласо-
ванна на отрезке [t0, t0+ ϑ] в том и только том случае,
когда пространство (9.2) не содержит целых траекторий системы (9.1) на [t0, t0+ ϑ] .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Система (9.7) согласованна на от-
резке [t0, t0+ ϑ] тогда и только тогда, когда функции
B∗(t)X∗(t0, t)eie
∗
X∗(t, t0)C(t), i, j = 1, . . . , n, (9.10)
j
линейно независимы на [t0, t0+ ϑ] (теорема 6.1). Обозначим
Y0(t) = X∗(t0, t)Y0X∗(t, t0),
тогда Y0(·) — решение матричной задачи
˙
Y = Y A∗(t) −A∗(t)Y, Y (t0) = Y0, (9.11)
и функции (9.10) линейно независимы в том и только том случае, если из равенства
B∗(t)Y0(t)C(t) = 0, t06 t 6 t0+ ϑ, (9.12)
имеем Y0= 0 .
Введем в рассмотрение вектор
w(t) =
y1(t)
.
.
.
∈ R
2
n
,
yn(t)
§ 9. Коэффициентные признаки согласованности 129
составленный из столбцов y1(t), . . . , yn(t) матрицы Y
гда w(·) удовлетворяет системе уравнений (9.1), где матри-
∗
(t) . То-
0
ца F (·) определена равенством (9.8), а (9.12) эквивалентно
соотношению H(t)w = 0 , где H (·) определена (9.9). Таким
образом, в силу леммы 6.2 и доказанной эквивалентности согласованность системы (9.7) равносильна отсутствию целых
траекторий системы (9.1), содержащихся в (9.2). Теорема доказана.
С л е д с т в и е 9.2 [179]. Пусть матричные функции F (·)
и H (·) определены равенствами (9.8) и (9.9). Предположим,
что эти функции настолько гладкие, что по ним в соответствии с (9.3) можно построить матрицу H
2
(t) , t ∈
n
∈ [t0, t0+ ϑ] . Если существует τ ∈ [t0, t0+ ϑ] такое, что
rank H
2
(τ) = n2, то системаA(·), B(·), C(·)согласован-
n
на на [t0, t0+ ϑ] .
С л е д с т в и е 9.3 [179]. Система
˙xi= bi(t)u, y = c1(t)x1+ ···+ cn(t)xn,
где x = col(x1, . . . , xn) ∈ Rn, y ∈ R , u ∈ R , согласованна
на [t0, t0+ ϑ] в том и только том случае, когда совокупность функций bi(·)cj(·) , i, j = 1, . . . , n , линейно независима
на [t0, t0+ ϑ] .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В рассматриваемом случае A(t) ≡
≡ 0 ∈ Mn, поэтому F (t) ≡ 0 ∈ M
2
, C(t) = col(c1(t), . . . , cn(t)),
n
следовательно,
H(t) = (b1(t)C∗(t), . . . , bn(t)C∗(t)) =
= (b1(t)c1(t), . . . , b1(t)cn(t), . . . , bn(t)c1(t), . . . , bn(t)cn(t)).
2
Равенство H (t)w = 0 , w = const ∈ R
n
, w 6= 0 , t ∈ [t0, t0+ϑ] ,
возможно только в случае линейной зависимости на [t0, t0+ϑ]
элементов вектор-строки H (t) , а это равносильно доказываемому.
С л е д с т в и е 9.4 [179]. Пусть A ∈ Mn— постоянная
матрица, b, c ∈ Rn— постоянные векторы. Тогда система
(A, b, c) не является согласованной.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственные вычисления показывают, что для каждого вектора
2
w = col(w1, . . . , wn) ∈ R
n
,
130 Гл. II. Управляемость и согласованность
где wi∈ Rn, справедливы равенства
HFkw = c∗Wkb, k = 0, 1, . . . .
Здесь Wk∈ Mn, W
= WkA∗− A∗Wk, а столбцы матрицы
k+1
W0образованы векторами w1, . . . , wn.
Следующие три случая исчерпывают всевозможные по-
стоянные A, b, c .
I. Пусть c∗b = 0 . Построим вектор w = col(e1, . . . , en) ∈
2
n
∈ R
, где ei— i-й единичный вектор пространства Rn. То-
гда W0= E и Wk= 0 при всех натуральных k . Следовательно, H w = c∗W0b = c∗b = 0 и HFkw = c∗Wkb = 0 при
всех k ∈ N .
II. Пусть c∗b 6= 0 и A 6= βE ни при каком β ∈ R . Тогда
в качестве wiвозьмем столбцы матрицы A∗− c∗A∗bE/c∗b .
Непосредственно проверяется, что и в этом случае справедли-
вы равенства HFkw = 0 , k = 0, 1, . . . .
III. Наконец, пусть A = βE при некотором β ∈ R . То-
гда Wk= 0 при всех k ∈ N , поэтому в качестве w достаточно
взять любой ненулевой вектор такой, что построенная по нему
матрица W0гарантирует выполнение равенства W0b = 0 . То-
гда HFkw = 0 при всех k = 0, 1, . . . .
Итак, в каждом из этих случаев имеет место неравенство
rank(H, HF, . . . , HF
n2−1
) < n2.
Из теоремы 9.1 и следствия 9.1 вытекает, что тройка (A, b, c)
не является согласованной. Следствие доказано.
§ 10. Метод поворотов Миллионщикова
для согласованных систем
В этом параграфе доказаны утверждения о возмущениях матрицы Коши, на основании которых становится возможным применять метод поворотов
В. М. Миллионщикова к согласованным системам.
Рассмотрим линейную управляемую систему с наблюда-
телем
˙x = A(t)x+B(t)u, y = C∗(t)x, (x, u, y) ∈ Rn×Rm×Rr. (10.1)
Эту систему отождестим с функцией σ : R → M
n,n+m+r
,
σ(·) :=A(·), B(·), C(·).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]