Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 14. Согласованность и достижимость 171
Отметим, что
|α| 6
|γ| 6
|h2|
1 −|h1|
|β| 6
1 −|h1|
|h1| + |h4|
1 −|h1|
|h3|
2
2ε
6
6
36
<
4ε
36
ε
<
,
3
ε
,
3
2
ε
<
,
3
поэтому на [3k, 3k + 3[ имеет место неравенство
kukC< 3 max{|α|, |β|, |γ|} < ε.
Пользуясь леммой 14.2, на [3k + 3, 3k + 9[ строим u(·)
так, чтобы
Xu(3k + 9, 3k + 3) = (1 + h1)E.
Из доказательства этой леммы следует, что
kukC< 3 · 2p|h1| = 6ε/6 = ε.
Итак, построенное на [t0, t0+12] управление u(·) удовлетворяет оценке kukC< ε и гарантирует выполнение равенства
Xu(t0+12, t0) = Xu(3k+9, 3k) =Xu(3k+9, 3k+3)Xu(3k+3, 3k) =
= (1 + h1)
=
1 h2/(1 + h1)
h3/(1 + h1) 1 + (h4− h1)/(1 + h1)
1 + h
h
3
1
1 + h1+ h4− h
h
2
= H.
1
=
Для ε > 1 полагаем δ(ε) = 1/(36√2) . Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 14.1. Таким образом, свойство равномерной согласованности системы (14.1) «с запасом» обеспечивает равномерную локальную достижимость замкнутой системы (14.2). Кажется довольно очевидным, что какие-либо достаточные легко проверяемые условия сам´ой достижимости
получить весьма непросто. С другой стороны, с достаточными условиями согласованности таких проблем не возникает
(можно, например, воспользоваться результатами § 8, 9). Отсюда следует практическая ценность полученных в главе II
172 Гл. III. Локальная достижимость
результатов о равномерной согласованности линейных управляемых систем с наблюдателем.
Вернемся к рассмотрению линейных управляемых систем без наблюдателя. Приведем пример системы вида (12.5),
ϑ-равномерно локально достижимой относительно множества
U , не содержащего нуль во внутренности выпуклой оболочки
(см. замечание 12.1).
П р и м е р 14.1. Пусть m = n = 2 , A(t) ≡ 0 . Рассмотрим
систему
˙x = B(t)u (14.7)
с 3-периодической матрицей B(·) , определенной на [0, 3[ равенствами
B(t) =
0 1
0 0
0 1
0 1
0 0
1 0
при t ∈ [0, 1[,
при t ∈ [1, 2[,
при t ∈ [2, 3[.
Здесь X(t, s) ≡ E , поэтому матрица Калмана для (14.7) имеет
вид
3
Z
W (t0+ 3,t0) = W (3, 0) =
+
1 0
=
0 0
+
1 1
1 1
B(t)B∗(t) dt =
0
=
0 0
0 1
2 1
1 2
,
поэтому для любого вектора ξ = col(ξ1, ξ2) ∈ R2имеем соотношения
ξ∗W (t0+ 3,t0)ξ = 2ξ
2
=ξ1+ ξ
2
+ ξ
2
+ ξ
1
2
+ ξ1ξ2+ ξ
1
2
> ξ
2
2
+ ξ
1
2
2
= kξk2,
2
2
=
то есть (14.7) ϑ-равномерно вполне управляема при ϑ = 3 . Таким образом, выполнено необходимое условие ϑ-равномерной
локальной достижимости замкнутой системы
˙x = B(t)U x (14.8)
§ 14. Согласованность и достижимость 173
относительно любого ограниченного множества U ⊂ M2.
Возьмем произвольное ε > 0 и в качестве U = Uεрас-
смотрим множество 2 ×2 -матриц вида
α β
α β
,
где |α| 6 ε , |β| 6 ε . Множество Uεвыпукло, так как для
всяких
Pi=
αiβ
αiβ
i
∈ Uε, i = 1, 2,
i
и для любого γ ∈ [0, 1] имеет место включение
γP1+ (1 − γ)P2=
γα1+ (1 − γ)α2γβ1+ (1 − γ)β
γα1+ (1 − γ)α2γβ1+ (1 − γ)β
2
2
∈ Uε.
Нулевая матрица принадлежит множеству Uε, но 0 /∈int Uε,
так как rank P 6 1 для каждой P ∈ Uε.
Покажем, что система (14.8) ϑ-равномерно локально до-
стижима относительно множества Uεпри ϑ = 12 .
Пусть k ∈ Z — произвольно. Выберем в качестве управ-
ления U (·) кусочно постоянную матричную функцию
U(t) =
0 u
0 u
0 u
0 u
u30
u30
1
при t ∈ [3k, 3k + 1[,
1
2
при t ∈ [3k + 1, 3k + 2[,
2
при t ∈ [3k + 2, 3k + 3[,
где |uj| 6 ε , j = 1, 2, 3 . Тогда U(t) ∈ Uεи
B(t)U (t) =
0 u
0 0
0 u
0 u
0 0
u30
1
при t ∈ [3k, 3k + 1[,
2
при t ∈ [3k + 1, 3k + 2[,
2
при t ∈ [3k + 2, 3k + 3[,
174 Гл. III. Локальная достижимость
то есть матрица коэффициентов системы (14.8) с выбранным
управлением U(·) совпадает с матрицей коэффициентов системы (14.4) с управлением, построенным в лемме 14.1, поэтому матрица Коши XU(3k + 3,3k) системы (14.8) совпадает с
матрицей Коши Xu(3k + 3, 3k) системы (14.4). Из леммы 14.1
следует, что для выбранного ε > 0 существует m1> 0 та-
кое, что для всяких α, β, γ ∈ B
управление U : [3k, 3k + 3] → Uε, для которого
XU(3k + 3, 3k) =
(0) ⊂ R и k ∈ Z найдется
m
1
1 α
!
.
β 1 + γ
Далее, из леммы 14.2 вытекает существование такого положительного m2, что для всяких λ ∈ B
найдется U : [3k, 3k + 6] → Uε, при котором
(1) ⊂ R и k ∈ Z
m
2
XU(3k + 6, 3k) = λE.
Наконец, из доказательства теоремы 14.2 вытекает следующее
свойство: для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для
произвольной матрицы H ∈ M2, kH − Ek 6 δ , и любого
t0∈ R найдется управление U : [t0, t0+ 12] → Uε, гарантиру-
ющее выполнение равенства
XU(t0+ 12,t0) = H.
Таким образом, система (14.8) ϑ-равномерно локально
достижима относительно множества Uεпри ϑ = 12 .
§ 15. Некоторые следствия из свойства
достижимости
В этом параграфе показано, что равномерно локально
достижимые системы, замкнутые обратной связью
с матричным управлением, ограниченным некоторой
величиной, неотличимы по своим асимптотическим
свойствам от совокупности возмущенных систем с
достаточно малым возмущением.
Вновь рассмотрим линейную управляемую систему
˙x = A(t)x + B(t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm, (15.1)
с наблюдателем
y = C∗(t)x, y ∈ Rr. (15.2)
§ 15. Следствия из свойства достижимости 175
Будем предполагать, что матричные функции A(·), B(·), C(·)
кусочно непрерывны и ограничены на R ; a := kAkC, b :=
= kB(t)kC, c := kC(t)kC. Сформируем управление u в си-
стеме (15.1) линейным по наблюдаемому вектору y , то есть в
виде u = U(t)y , в итоге получим замкнутую систему
˙x =A(t) + B(t)UC∗(t)x. (15.3)
Пусть матричное управление U(·) ∈ KCmr(R) в системе (15.3)
выбирается достаточно малым по норме, kU kC6 ε . Множе-
ство всех систем вида (15.3) с такими U(·) обозначим Nε(A) .
Всякую систему из этого множества можно рассматривать как
возмущенную по отношению к свободной системе
˙x = A(t)x, x ∈ Rn, (15.4)
но возмущения здесь выбираются не произвольные, а имеющие вид B(t)U (t)C∗(t) , где kU kC6 ε .
Пусть δ > bcε . Рассмотрим семейство Mδ(A) произ-
вольных возмущенных систем вида
˙z =A(t) + P (t)z, z ∈ Rn, (15.5)
где P ∈ KCn(R) , kPkC6 δ . Очевидно, что имеет место вклю-
чение Nε(A) ⊂ Mδ(A) , причем «чаще всего» оно строгое (исключение составляет, например, случай n = m = r , B(t) =
= C(t) ≡ E , ε = δ ). Но оказывается, что при условии равно-
мерной локальной достижимости системы (15.3) для каждого
ε > 0 найдется δ > 0 такое, что эти два множества неотличимы с точки зрения асимптотического поведения решений
систем, входящих в эти множества (см. ниже следствие 15.1).
Напомним (см. определение 2.3), что две системы из мно-
жества Mnлинейных однородных систем n-го порядка с кусочно непрерывными и ограниченными на R коэффициентами называются асимптотически эквивалентными, если существует связывающее эти системы преобразование Ляпунова.
Т е о р е м а 15.1 [172]. Если система (15.3) равномерно ло-
кально достижима относительно множества U ⊂ Mmr, то
существует δ > 0 такое, что для любой системы вида (15.5)
из множества Mδ(A) найдется кусочно непрерывное управление U : R → U , обеспечивающее асимптотическую эквивалентность системы (15.5) и системы (15.3) с U = U(·) .
176 Гл. III. Локальная достижимость
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть система (15.3) ϑ-равномерно
локально достижима относительно множества U . Согласно
определению 12.1, существует δ0> 0 такое, что для каждо-
го k ∈ Z и любой H ∈ B
U : [(k − 1)ϑ, kϑ] → U , обеспечивающее для матриц Коши
(E) ⊂ Mnнайдется управление
δ
0
XU(t, s) и X(t, s) систем (15.3) и (15.4) выполнение равенства
XU(kϑ, (k −1)ϑ) = X(kϑ, (k − 1)ϑ)H.
Определим δ > 0 из условия
δ
0
δeδϑ=
ϑe
2aϑ
.
Так как функция δ 7→ δeδϑнепрерывна и монотонно возрастает на [0, +∞[ от 0 до +∞ , то такое значение δ существует.
Возьмем любую кусочно непрерывную функцию P : R → Mn,
такую, что kP kC6 δ , и рассмотрим систему (15.5) с функци-
ей P (·) . Для матрицы Коши этой системы имеем равенство
Z(kϑ, (k − 1)ϑ) =
kϑ
Z
= X(kϑ, (k−1)ϑ)E+
X((k−1)ϑ, s)P (s)Z(s, (k−1)ϑ) ds=
(k−1)ϑ
=:X(kϑ, (k − 1)ϑ)Hk,
при этом
kHk− Ek 6 ϑeaϑkP kCe
(a+kP kC)ϑ
6 ϑeaϑδe
(a+δ)ϑ
= δ0.
Следовательно, существует такое кусочно непрерывное
управление U : R → U , что при каждом k ∈ Z имеет место
равенство
XU(kϑ, (k −1)ϑ) = X(kϑ, (k − 1)ϑ)Hk= Z(kϑ, (k − 1)ϑ).
Отсюда в силу теоремы 2.12 вытекает асимптотическая эквивалентность систем (11.2) и (12.5) при U = U (·) . Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 15.1. Утверждения, близкие по смыслу к
теореме 15.1, были получены Е. Л. Тонковым [219, 246].
§ 15. Следствия из свойства достижимости 177
С л е д с т в и е 15.1 [172]. Если система (15.3) равномерно
локально достижима, то для каждого ε > 0 существует
δ > 0 такое, что для любой системы вида (15.5) из мно-
жества Mδ(A) найдется кусочно непрерывное управление
U(·) ∈ KCmr(R) , kU kC6 ε , обеспечивающее асимптотическую эквивалентность системы (15.5) и системы (15.3) с
U = U(·) .
Д о к а з а т е л ь с т в о следует непосредственно из теоремы 15.1 и определения 14.2 равномерной локальной достижимости.
Обозначим
N(A) =
[
Nε(A).
ε>0
Пользуясь следствием 15.1, докажем несколько утверждений
о локальных свойствах асимптотических инвариантов системы (15.4) относительно возмущений, принадлежащих множеству N(A) .
Т е о р е м а 15.2 [178]. Если система (15.3) равномерно
локально достижима, то для каждого ε > 0 существует
такое управление U(·) ∈ KCmr(R) , kUkC6 ε , что систе-
ма (15.3) при U = U (·) является системой с интегральной
разделенностью.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии со следствием 15.1
для произвольного ε > 0 найдем величину δ > 0 . Из теоремы
В. М. Миллионщикова [145] о плотности множества систем с
интегральной разделенностью во множестве всех систем M
вытекает существование такого возмущения P(·) ∈ K Cn(R) ,
kP kC6 δ , что соответствующая система (15.5) является си-
стемой с интегральной разделенностью. Построим управление
U(·) ∈ KCmr(R) , kU kC6 ε , гарантирующее асимптотиче-
скую эквивалентность системы (15.3) при U = U(·) и найденной системы (15.5). Свойство интегральной разделенности
является ляпуновским инвариантом, поэтому система (15.3)
с построенным управлением U (·) является системой с интегральной разделенностью.
Т е о р е м а 15.3 [177]. Если система (15.3) равномерно ло-
кально достижима, то для каждого ε > 0 существует такое управление U (·) ∈ KCmr(R) , kU kC6 ε , что старший
показатель Ляпунова λn(A+BU C∗) системы (15.3) при U =
= U(·) удовлетворяет неравенству
n
λn(A + BU C∗) > Ω(A) − ε,
178 Гл. III. Локальная достижимость
где Ω(A) — верхний центральный показатель системы (15.4).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь следствием 15.1, для любого ε > 0 найдем величину δ . Пусть δ1:= min{ε, δ} . Из
теоремы В. М. Миллионщикова [146] о достижимости верхнего центрального показателя следует существование P (·) ∈
∈ KCn(R) , kP kC6 δ1, такого, что для старшего показателя
Ляпунова λn(A+P ) возмущенной системы (15.5) имеет место
неравенство λn(A + P ) > Ω(A) −δ1. Так как kP kC6 δ16 δ ,
то найдется управление U (·) ∈ K Cmr(R) , kU kC6 ε , гаран-
тирующее асимптотическую эквивалентность построенной системы (15.5) и системы (15.3) при U = U (·) . Для старшего
показателя Ляпунова этой системы справедливо неравенство
λn(A + BU C∗) = λn(A + P) > Ω(A) −δ1> Ω(A) − ε.
Теорема доказана.
О п р е д е л е н и е 15.1 (см., например, [74, с. 72]). Показатели Ляпунова λ1(A) 6 . . . 6 λn(A) системы (15.4) называются устойчивыми, если для любого ε > 0 найдется такое
δ > 0 , что показатели Ляпунова λ1(A + P) 6 . . . 6 λn(A + P)
произвольной возмущенной системы вида (15.5) из множества
Mδ(A) удовлетворяют неравенству
max
i=1,...,n
|λi(A + P) −λi(A)| 6 ε.
Понятие устойчивости показателей Ляпунова появилось
из работы О. Перрона [243], впервые установившего, что показатели могут быть неустойчивыми.
О п р е д е л е н и е 15.2 [178]. Показатели Ляпунова системы (15.4) называются устойчивыми относительно возмущений
из класса N(A) , если для любого ε > 0 найдется δ > 0 та-
кое, что показатели λ1(A + BUC∗) 6 . . . 6 λn(A + BUC∗)
произвольной возмущенной системы вида (15.3) из множества
Nδ(A) удовлетворяют неравенству
max
i=1,...,n
|λi(A + BU C∗) −λi(A)| 6 ε.
Т е о р е м а 15.4 [177]. Если система (15.3) равномерно локально достижима, то устойчивость показателей Ляпунова однородной системы (15.4) эквивалентна их устойчивости
относительно возмущений из класса N(A) .
§ 15. Следствия из свойства достижимости 179
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь очевидна.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Возьмем любое α > 0 . В силу свойства устойчивости показателей системы (15.4) относительно
возмущений из класса N(A) существует ε > 0 такое, что для
произвольной системы вида (15.3) из множества Nε(A) справедливо неравенство
max
i=1,...,n
|λi(A + BU C∗) −λi(A)| 6 α.
По этому ε в соответствии со следствием 15.1 найдем величину δ > 0 . Возьмем произвольную возмущенную систему вида (15.5) из множества Mδ(A) (то есть произвольную матрицу
P (·) ∈ KCn(R) , kP kC6 δ ). Для нее существует асимптотиче-
ски эквивалентная ей система из класса Nε(A) (то есть матрица U(·) ∈ KCmr(R) , kUkC6 ε ) такая, что все ляпуновские
инварианты системы (15.5) и системы (15.3) при U = U(·) совпадают. В частности, λi(A+ P ) = λi(A+ BUC∗), i = 1, . . . , n.
Следовательно, max
i=1,...,n
|λi(A + P ) − λi(A)| 6 α. Это означает
устойчивость показателей Ляпунова системы (15.4). Теорема
доказана.
Рассмотрим теперь линейную управляемую систему вида (15.1) без наблюдателя. Управление u в этой системе выбираем линейным по фазовым координатам, u = U(t)x , где
U(·) ∈ KCmn(R) . Матрицу Коши замкнутой системы
˙x = (A(t) + B(t)U)x, x ∈ Rn, (15.6)
с выбранным управлением U (·) будем обозначать XU(t, s) .
Ясно, что для системы (15.1) имеют место все утверждения этого параграфа, доказанные выше. Но оказывается, что
следствие 15.1 для линейной управляемой системы без наблюдателя можно доказать в более сильной форме, с липшицевой оценкой нормы матричного управления U (·) относительно нормы возмущения P (·) .
Т е о р е м а 15.5 [172]. Если система (15.1) равномерно
вполне управляема, то существуют δ > 0 и l > 0 такие,
что для произвольной системы вида (15.5) из множества
Mδ(A) найдется матричное управление U (·) ∈ KCmn(R) ,
kUkC6 lkP kC, гарантирующее асимптотическую эквива-
лентность системы (15.5) и системы (15.6) при U = U(·) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϑ — число, обеспечивающее
ϑ-равномерную полную управляемость системы (15.1). В силу теоремы 12.1 существуют такие δ0> 0 и l0> 0 , что для
180 Гл. III. Локальная достижимость
любого k ∈ Z и любой n × n -матрицы H , удовлетворяющей оценке kH − Ek 6 δ0, найдется матричное управление
U(·) ∈ KCmn([(k − 1)ϑ, kϑ]) , kU kC6 l0kH −Ek , гарантирующее для матрицы Коши XU(t, s) системы (15.6) выполнение
равенства
XU(kϑ, (k −1)ϑ) = X(kϑ, (k − 1)ϑ)H.
Пусть положительное число δ таково, что δϑeδϑ= δ0e
−2aϑ
Возьмем произвольную матрицу P (·) ∈ KCn(R) , kP kC6 δ ,
и обозначим через Z(t, s) матрицу Коши возмущенной системы (15.5). Тогда так же, как в доказательстве теоремы 15.1,
получим существование такого управления U (·) ∈ K Cmn(R) ,
что при каждом k ∈ Z имеет место равенство
XU(kϑ, (k −1)ϑ) = X(kϑ, (k − 1)ϑ)Hk= Z(kϑ, (k − 1)ϑ),
причем
kσ
Z
kHk− Ek 6
kX((k − 1)σ,s)kkP (s)kkZ(s, (k − 1)σ)kds 6
(k−1)σ
6 σeaσe
(a+δ)σ
kP kC.
Отсюда вытекают два факта: во-первых, асимптотическая эквивалентность систем (15.5) и (15.6) с U = U (·) , во-вторых,
справедливость оценки нормы управления
kUkC6 l0sup{kHk− Ek : k ∈ Z} 6 l0ϑe
(2a+δ)ϑ
kP kC=: lkPkC.
Теорема доказана.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]