Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 27. Теорема о глобальной достижимости 291
причем U(·) кусочно непрерывна на [t0, t0+ ϑ] . Из (27.7) вытекает, что функция Y (·) на [t0, t0+ ϑ] является решением
уравнения
˙
Y = A(t)Y + B(t)V (t) = (A(t)Y + B(t)U (t))Y,
поэтому из первого условия (27.8) получаем Y (t) ≡ XU(t, t0)
при t ∈ [t0, t0+ ϑ] . Тогда из второго условия (27.8) следует
доказываемое равенство (27.6).
Будем искать V (·) в виде V (t) = V1(t) + V2(t) , где V1(·)
кусочно постоянно, а V2(·) достаточно мало по норме. Положим
Gi(t) =
t
Z
Q(t0, s)Vi(s) ds, i = 1, 2.
t
0
Тогда G(t) = E + G1(t) + G2(t) , поэтому требуемое равенство
G(t0+ ϑ) = FHF
−1
выполнено в том и только том случае, когда
E + G1(t0+ ϑ) + G2(t0+ ϑ) = FHF−1. (27.9)
С целью формирования управления V1(·) для выбранной матрицы H и найденной матрицы F построим по формулам (27.4) векторы u1, . . . , unи ломаную Γ .
Возьмем некоторое ∆ ∈]0, δ0/3] , выбор которого уточ-
ним ниже. Пусть ∆i= [τi, ϑi] , i = 1, . . . , n — произвольные
отрезки длины ∆ такие, что ti∈ ∆i. Тогда B(·) непрерывна
на каждом ∆i, а отрезки ∆iпопарно не пересекаются и содержатся в ]t0, t0+ϑ[ . Обозначим τ
= t0+ϑ ; Φj= νju
n+1
∗
/∆ ,
j
j = 1, . . . , n .
Искомое управление V1определим равенствами V1(t) ≡
≡ Φjпри t ∈ ∆j, j = 1, . . . , n , и V1(t) ≡ 0 при всех осталь-
ных t ∈ [t0, t0+ ϑ] . Тогда для kV1kCимеем оценку
kV1kC6 max{kΦjk : j = 1, . . . , n} 6
6 max{kujk : j = 1, . . . , n}/∆ 6
6 kF−1kkH − Ek/∆ 6 αkH −Ek/∆ =: α1(∆)kH − Ek.
292 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Зададим параметризацию ломаной Γ с помощью функ-
ции
E при t ∈ [t0, τ1],
j−1
X
P (t) =
i=1
∗
ξiu
+ (t − τj)ξju
i
E +
P (ϑj) при t ∈]ϑj, τ
∗
/∆ при t ∈ ∆j,
j
j+1
].
Поскольку при t ∈ ∆
∗
ξiu
= Q(t0, ti)νiu
i
i
∗
= Q(t0, ti)Φi∆ ≡ Q(t0, ti)Vi(t)∆,
i
то справедливо тождество
t
Z
Q(t0, tj)Vj(s) ds, t ∈ ∆j.
τ
j
P (t) ≡ E +
Z
j−1
X
Q(t0, ti)Vi(s) ds +
i=1
∆
i
При каждом t ∈ [t0, t0+ ϑ] обозначим
R(t) = E + G1(t) −P (t)
— отклонение E + G1(t) от ломаной Γ . Тогда
Z
j−1
R(t) =
при t ∈ ∆jи R(t) ≡ R(ϑj) при t ∈]ϑj, τ
X
(Q(t0, s) − Q(t0, ti))Φids+
i=1
∆
i
t
Z
+
(Q(t0, s) − Q(t0, tj))Φjds
τ
i
] , причем R(t0) =
j+1
= 0 . Обозначим R = R(t0+ ϑ) — «финальное» отклонение
E + G1(t) от Γ .
Пусть
q(∆) := supnkQ(t0, s) − Q(t0, t)k : t0∈ R, s, t ∈ [t0, t0+ ϑ],
o
|s − t| 6 ∆, ∃i ∈ I : s, t ∈ I
.
i
§ 27. Теорема о глобальной достижимости 293
Тогда при всех t ∈ [t0, t0+ ϑ] выполнено неравенство
kR(t)k 6 nq(∆) max{kΦik : i = 1, . . . , n}∆ 6
6 nq(∆) max{kuik : i = 1, . . . , n} 6
6 nq(∆)αkH − Ek,
в частности, kRk 6 nq(∆)αkH − Ek .
Управление V2(·) построим в виде
V2(t) = −Q∗(t0, t)W−1(t0, t0+ ϑ)R,
где W (t0, t0+ ϑ) — матрица Калмана. Тогда
t0+ϑ
Z
G2(t0+ ϑ) = −
Q(t0, s)Q∗(t0, s)ds W−1(t0, t0+ ϑ)R = −R,
t
0
поэтому
E +G1(t0+ϑ) + G2(t0+ϑ) = P (t0+ϑ) + R(t0+ϑ) + G2(t0+ϑ) =
= F HF−1+ R −R = F H F−1,
то есть (27.9) выполнено.
Из ϑ-равномерной полной управляемости системы (25.1)
следует, что найдется такое не зависящее от t0положительное
число β1, что
kW−1(t0, t0+ ϑ)k 6 β1.
Тогда
kV2kC6 kQ(t0, ·)k
C([t0,t0+ϑ])
kW−1(t0, t0+ ϑ)kkRk 6
6 b exp(aϑ)β1nq(∆)αkH − Ek= : α2(∆)kH − Ek;
t0+ϑ
Z
kG2(t)k 6
kQ(t0, ·)k
t
0
C([t0,t0+ϑ])
kV2kCds 6
6 ϑb exp(aϑ)α2(∆)kH − Ek.
294 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Поскольку
G(t) = E + G1(t) + G2(t) = P (t) + R(t) + G2(t),
имеем оценку
kG(t) −P (t)k 6 kR(t)k+ kG2(t)k 6
6 nq(∆)αkH − Ek + ϑb exp(aϑ)α2(∆)kH − Ek=:
=:α3(∆)kH − Ek 6 α3(∆)r,
то есть при всех t ∈ [t0, t0+ ϑ] выполнено включение G(t) ∈
∈ Oε(Γ) , где ε = α3(∆)r . Так как α3(∆) → 0 при ∆ → 0 ,
величину ∆ можно выбрать настолько малой, что ε < ρ(1 +
1−n
+ nγ)
/2 , где γ : =κ r . Тогда из леммы 27.3 вытекает, что
матрица G(t) при всех t ∈ [t0, t0+ϑ] обратима, и справедливы
оценки
kG−1(t)k 6
(1 + nγ)
n−1
ρ − ε(1 + nγ)
n−1
2(1 + nγ)
<
n−1
ρ
=: γ2.
В свою очередь,
kV kC6 kV1kC+kV2kC6 (α1(∆)+α2(∆))kH −Ek= : γ1kH −Ek.
Величины γ1и γ2зависят от r и ρ , но не зависят от t0.
Теорема доказана.
Пусть
H
:=
[
ρ>0
H
(ρ)
— совокупность n × n -матриц, имеющих положительные ведущие главные миноры.
Л е м м а 27.4 [171]. Матрица H ∈ Mnпринадлежит
множеству
тогда и только тогда, когда H = LG , где
H
L и G — соответственно нижняя и верхняя треугольные
матрицы с положительными диагональными элементами.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Покажем, что
всякая матрица H ∈Hоднозначно представима в виде H =
= LG , где L — нижняя треугольная матрица с единичной
диагональю, G — верхняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами gii, i = 1, . . . , n . Так
§ 27. Теорема о глобальной достижимости 295
как все ведущие главные миноры H отличны от нуля, для
H существует единственное LDU -разложение [13, с. 140], то
есть H однозначно представима в виде H = LDU , где L и
U — соответственно нижняя и верхняя треугольные матри-
цы с единичными диагоналями, D — диагональна. Положим
G = DU . Тогда G — верхняя треугольная матрица, при этом
H = LG и (H)k= (L)k(G)k, k = 1, . . . , n . Отсюда
k
det(H)k= det(L)kdet(G)k=
Y
gii,
i=1
поэтому
g11= det(H)1> 0,
gkk= det(H)k/ det(H )
> 0, k = 2, . . . , n.
k−1
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть H = LG , где L и G — нижняя и верхняя треугольные матрицы с положительными диагональными элементами. Тогда (H)k= (L)k(G)k, поэтому
det(H)k= det(L)kdet(G)k> 0
при всех k ∈ {1, . . . , n}. Лемма доказана.
С л е д с т в и е 27.1 [171]. Если система (25.1) ϑ-равно-
мерно вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то для каждого t0∈ R найдется обратимая матрица
F ∈ Mnтакая, что для произвольных матриц с положи-
тельными диагональными элементами, нижней треугольной
L и верхней треугольной G , существует управление U ∈
∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) , обеспечивающее выполнение равенства
XU(t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)F LGF−1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любые матрицы с положительными диагональными элементами, нижнюю треугольную L и верхнюю треугольную G . Из леммы 27.4 следует,
что LG ∈H. Положим
r = kLG − Ek, ρ = min{1; det(L)jdet(G)j: j = 1, . . . , n}.
Тогда LG ∈ H(r, ρ) , и утверждение следствия вытекает из
теоремы 27.3.
296 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
С л е д с т в и е 27.2 [171]. Если система (25.1) ϑ-равно-
мерно вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то существуют такие обратимые матрицы Fk∈ Mn,
k ∈ Z , что для всяких последовательностей n ×n-матриц с
положительными диагональными элементами,нижних треугольных {Lk}
что sup
kLkk, kL
k
и верхних треугольных {Gk}
k∈Z
−1
k, kGkk, kG
k
−1
k< ∞ , найдется управле-
k
k∈Z
, таких,
ние U ∈ KCmn(R) , для которого
XU(kϑ, (k −1)ϑ) = X(kϑ, (k − 1)ϑ)FkLkGkF
−1
, k ∈ Z.
k
Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с теоремой 26.2 при
каждом k ∈ Z построим матрицу Fk:= F ((k − 1)ϑ) , образующую базис чистых движений для системы (25.1) на отрезке [(k − 1)ϑ, kϑ] . Возьмем произвольные последовательности n ×n -матриц с положительными диагональными элементами, нижних треугольных {Lk}
{Gk}
, такие, что sup
k∈Z
kLkk, kL
k
Тогда для диагональных элементов l
цы Lkпри каждом k ∈ Z справедливы неравенства
(k)
1/l
ii
то есть 1/γ 6 l
(k)
l
ii
(k)
= |l
ii
(k)
= |1/l
ii
(k)
6 γ, i = 1, . . . , n, k ∈ Z . Такие же оценки
ii
∗
| = |e
Lkei| 6 kLkk 6 γ,
i
∗
| = |e
L
i
имеют место для диагональных элементов g
и верхних треугольных
k∈Z
−1
k, kGkk, kG
k
(k)
ii
−1
ei| 6 kL
k
−1
k
, i = 1, . . . , n , матри-
−1
k 6 γ,
k
(k)
, i = 1, . . . , n ,
ii
k=: γ < ∞.
матриц Gk. Следовательно, при всех k ∈ Z и j ∈ {1, . . . , n}
det(Lk)j=
j
Y
i=1
(k)
l
> γ−j, det(Gk)j=
ii
j
Y
i=1
g
(k)
ii
> γ−j.
Пусть Hk:= LkGk, k ∈ Z . Тогда из леммы 27.4 вытекает, что
Hk∈H, при этом
kHk− Ek 6 kHkk + 1 6 kLkkkGkk + 1 6 γ2+ 1,
det(Hk)j= det(Lk)jdet(Gk)j> γ
−2j
−2n
> γ
, k ∈ Z, j = 1, . . . , n.
§ 27. Теорема о глобальной достижимости 297
Поэтому Hk∈H(γ2+ 1, γ
−2n
) . Из теоремы 27.3 следует, что
на каждом из отрезков [(k − 1)ϑ, kϑ] можно построить кусочно непрерывное управление Uk(·) , kUkk
− Ek 6 (γ2+ 1)β , где β := β(γ2+ 1,γ
X
(kϑ, (k −1)ϑ) = X(kϑ, (k − 1)ϑ)FkHkF
U
k
−2n
C[(k−1)ϑ,kϑ]
) , такое, что
6 βkHk−
−1
.
k
Положим
U(t) ≡ Uk(t), t ∈ [(k − 1)ϑ, kϑ[, k ∈ Z.
Тогда управление U(·) кусочно непрерывно на каждом отрезке [(k − 1)ϑ, kϑ] , причем точки разрыва U (·) равномерно по
k ∈ Z разделены между собой и отделены от концов отрезков
[(k −1)ϑ, kϑ] . Для нормы U(·) имеет место оценка kU k
C(R)
6
6 (γ2+ 1)β , следовательно, U ∈ KCmn(R) . Кроме того,
XU(kϑ, (k −1)ϑ) = X(kϑ, (k − 1)ϑ)FkLkGkF
−1
, k ∈ Z.
k
Следствие доказано.
З а м е ч а н и е 27.1. Матрицы Fkиз следствия 27.2 обладают тем свойством, что kFkk и kF
в совокупности. Действительно, kFkk 6√n max{kFkeik : i =
= 1, . . . , n} 6√neaϑb , kF
мы 26.2.
−1
k 6 α , k ∈ Z , где α — из теоре-
k
−1
k, k ∈ Z , ограничены
k
В качестве иллюстрации применения полученных утверждений установим пропорциональную глобальную управляемость верхнего особого показателя системы (25.2) и равномерную стабилизируемость этой системы.
Т е о р е м а 27.4 [136]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
верхний особый показатель системы (25.2) пропорционально
глобально управляем на множестве {µ ∈ R : |µ| 6 µ0} при
каждом µ0> 0 , то есть для всякого µ0> 0 существует
l = l(µ0) > 0 такое, что для любого µ ∈ R , |µ| 6 µ0, най-
дется управление Uµ(·) ∈ KCmn(R) , удовлетворяющее оцен-
ке kUµkC6 l|µ| и гарантирующее для верхнего особого пока-
зателя Ω0(A + BUµ) системы (25.2) с U = Uµ(·) выполнение
равенства
Ω0(A + BUµ) = Ω0(A) + µ.
298 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϑ > 0 — число, обеспечива-
ющее ϑ-равномерную полную управляемость системы (25.1).
Возьмем произвольное µ0> 0 . Функция µ 7→ eµϑ− 1 выпук-
ла, поэтому при всех µ ∈ [0, µ0] выполнено неравенство
|eµϑ− 1| = eµϑ− 1 6
µ
µ0ϑ
(e
µ
0
− 1) =
e
µ0ϑ
− 1
|µ|.
µ
0
При µ ∈ [−µ0, 0] справедливы оценки
|eµϑ− 1| = 1 −eµϑ6 −µϑ = ϑ|µ|.
µ0ϑ
e
µ
Так как e
0
ϑ > 1 + µ0ϑ , то ϑ 6
имеет место неравенство
|eµϑ− 1| 6
e
µ0ϑ
− 1
|µ|, µ ∈ [−µ0, µ0].
µ
0
− 1
, следовательно,
µ
0
Возьмем любое µ ∈ [−µ0, µ0] и положим Hµ:= eµϑE ∈
∈ Mn. Тогда
kHµ− Ek = |eµϑ− 1| 6
j
det(Hµ)j=
Y
eµϑ= e
k=1
µjϑ
> e
µ0ϑ
e
−µ0jϑ
− 1
|µ| 6
µ
0
−µ0nϑ
> e
µ0ϑ
e
− 1
,
µ
0
, j = 1, . . . , n,
поэтому матрица Hµпринадлежит множествуH(r, ρ) , где
ρ = e
−µ0nϑ
, r = (e
µ0ϑ
− 1)/µ0. Из теоремы 27.3 следует, что
существует управление Uµ∈ KCmn(R) , kUµkC6 βkHµ−Ek,
такое, что при каждом k ∈ Z
X
(kϑ, (k −1)ϑ) = X(kϑ, (k − 1)ϑ)FkHµF
U
µ
k
−1
=
= eµϑX(kϑ, (k − 1)ϑ),
где Fk— матрица базиса чистых движений системы (25.1) на
отрезке [(k −1)ϑ, kϑ] , а величина β > 0 зависит только от r
§ 27. Теорема о глобальной достижимости 299
и ρ (то есть только от µ0). Следовательно, для kUµkCимеем
оценку
µ0ϑ
e
kUµkC6 βkHµ− Ek = β|eµϑ− 1| 6 β
− 1
µ
0
|µ| =: l|µ|.
Вычислим верхний особый показатель Ω0(A + BUµ) си-
стемы (25.2) с управлением U = Uµ(·) . С этой целью возьмем
последовательность Tj= jϑ , j ∈ N . Тогда
Ω0(A + BUµ) = lim
= lim
j→∞
= lim
j→∞
1
j→∞
jϑ
sup
µjϑ + ln kX((k + 1)jϑ, kjϑ)k= µ + Ω0(A).
k
= lim
j→∞
= lim
1
jϑ
T →+∞
1
T
j
1
jϑ
supklnkX((k + 1)jϑ, kjϑ)ke
1
T
supkln kX
supkln kX
supkln kX
((k + 1)Tj, kTj)k =
U
µ
((k + 1)jϑ, kjϑ)k =
U
µ
((k + 1)T, kT)k =
U
µ
µjϑ
=
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 27.2. Аналогичное утверждение получено
В. А. Зайцевым в работе [62] без предположения кусочной равномерной непрерывности матрицы B(·) (достаточна кусочная
непрерывность этой матрицы).
О п р е д е л е н и е 27.2 (Е. Л. Тонков [213]). Система (25.2)
называется равномерно стабилизируемой, если для каждого
α > 0 найдется такое управление U (·) ∈ KCmn(R) , что верх-
ний показатель Боля β[x] всякого нетривиального решения
x(·) системы (25.2) при U = U (·) удовлетворяет неравенству
β[x] < −α .
С л е д с т в и е 27.3 [136]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
система (25.2) равномерно стабилизируема.
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает непосредственно из теоре-
мы 27.4 с учетом того факта, что верхний особый показатель
300 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
ограничивает сверху верхние показатели Боля всех нетривиальных решений линейной системы.
З а м е ч а н и е 27.3. Из теоремы 27.4 следует также, что
если выполнены ее условия, то систему (25.2) выбором матричного управления U (·) можно сделать равномерно (относительно начального момента времени) асимптотически устойчивой (К. П. Персидский [158]).
§ 28. Глобальная ляпуновская приводимость
периодических систем
В этом параграфе доказано, что полная управляемость периодической системы (25.1) с кусочно непрерывными коэффициентами равносильна глобальной
ляпуновской приводимости соответствующей системы (25.2).
П. Бруновским [231] доказано, что для полной управляемости (см. определение 4.1) ω-периодической системы (25.1)
с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами необходима и достаточна глобальная управляемость мультипликаторов [48, с. 185] системы (25.2), то есть существование для
произвольной наперед заданной вещественной n×n -матрицы
Λ с положительным определителем такого ω-периодического
управления U(·) , что система (25.2) с этим управлением имеет своими мультипликаторами собственные значения матрицы Λ . В [231] отмечено, что примененный там метод доказательства необходимости глобальной управляемости мультипликаторов системы (25.2) для полной управляемости системы (25.1) не позволяет уменьшить гладкость коэффициентов
системы (25.1). Методы, развитые нами в предыдущих параграфах, дают возможность доказать эквивалентность полной
управляемости и глобальной ляпуновской приводимости для
произвольных периодических систем (25.1) с кусочно непрерывными коэффициентами.
Пусть P ∈ Mn— произвольная матрица с ненулевым
определителем. Напомним (см. [226, с. 139]), что QR-разложе-
нием матрицы P называется разложение вида P = QR , где
Q — ортогональная, а R — верхняя треугольная веществен-
ные матрицы. Диагональные элементы R можно выбрать положительными, и в этом случае Q и R определяются однозначно. Докажем предварительно один результат, касающийся
QR-разложения.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]