Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 13. Локальная достижимость относительно множества 161
и начальному условию Z(t0) = E . Следовательно, Z(t) =
= ZV(t, t0) — матрица Коши системы (13.1) с выбранным
V (·) . Из (13.3) получаем
ZV(t0+ ϑ, t0) = E + ε(Z
(t0+ ϑ, t0) −E) = E + ε(G − E) = H.
V
1
Пусть U(t) = V (t)X (t0, t) . Тогда
kUkC6 kX(t0, ·)kCkV kC6 eaϑkW kCkZ−1kC6 2eaϑkW kC=
= 2eaϑkW1kCε 6 2eaϑkV1kCkZ
6 2eaϑkU1kCkX(·, t0)kCexp(bνϑe
6 2ν exp(2aϑ + bνϑe
= 2ν exp(2aϑ + bνϑe
2aϑ)δ−1
kH − Ek =: lkH − Ek.
2aϑ
V
) ε =
(·, t0)kε 6
1
2aϑ
) ε 6
Наконец, из (13.2) вытекает, что для матрицы Коши XU(t, t0)
системы (12.5) с выбранным управлением U(·) справедливо
равенство
XU(t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)ZV(t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)H.
Лемма доказана.
Поскольку найденные при доказательстве леммы вели-
чины l и δ1не зависят от выбора t0∈ R , то имеет место
Т е о р е м а 13.1 [168]. Пусть U ⊂ Mmn— ограниченное
множество. Если система (12.5) ϑ-равномерно локально достижима относительно U , то существуют такие δ1> 0
и l > 0 , что для любых t0∈ R и H ∈ B
управление U ∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) , kU kC6 lkH − Ek , обес-
(E) найдется
δ
1
печивающее равенство (12.6).
Таким образом, из ϑ-равномерной локальной достижи-
мости системы (12.5) относительно ограниченного множества
U следует существование управляющей матрицы U (·) с липшицевой оценкой kUkCв зависимости от kH −Ek , обеспечивающей выполнение равенства (12.6).
Т е о р е м а 13.2 [168]. Для ϑ-равномерной локальной до-
стижимости системы (12.5) относительно ограниченного
множества U ⊂ Mmnнеобходимо, чтобы соответствующая система (12.1) была ϑ-равномерно вполне управляема.
162 Гл. III. Локальная достижимость
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть U ⊂ Mmn— ограниченное
множество, и система (12.5) ϑ-равномерно локально достижима относительно U . Из теоремы 13.1 вытекает существование
таких δ1> 0 и l > 0 , что для любых t0∈ R и H ∈ B
найдется матричное управление U (·) ∈ K Cmn([t0, t0+ ϑ]) ,
(E)
δ
1
kUkC6 lkH − Ek, обеспечивающее равенство (12.6). В си-
лу теоремы 12.3 из этого свойства следует ϑ-равномерная локальная достижимость системы (12.5), которая по теореме 12.2
эквивалентна ϑ-равномерной полной управляемости системы
(12.1). Теорема доказана.
Отметим, что условие ограниченности множества U в
теоремах 13.1 и 13.2 существенно.
П р и м е р 13.1. Рассмотрим систему (12.1) при n = m =
= 1 , A(t) ≡ 0 ,
B(t) =: b(t) =
1 при t 6 1,
1/t при t > 1.
Тогда X(t, s) ≡ 1 , а система (12.1) принимает вид
˙x = b(t)u, x ∈ R, u ∈ R. (13.4)
Пусть ϑ = 1 . Условие ϑ-равномерной полной управляемости
системы (13.4) имеет вид
t0+1
Z
W (t0, t0+ 1) =
b2(t) dt > α,
t
0
где α > 0 не зависит от t0. Но при t0> 1 имеет место
равенство
t0+1
Z
b2(t) dt =
t
0
1
t0(t0+ 1)
,
то есть W (t0, t0+ 1) → 0 при t0→ +∞ , поэтому система
(13.4) не является ϑ-равномерно вполне управляемой.
Пусть U = R . Система (12.5) для рассматриваемого слу-
чая имеет вид
˙x = b(t)u(t)x, (13.5)
§ 13. Локальная достижимость относительно множества 163
ее матрица Коши
t
Z
Xu(t, s) = exp
b(τ)u(τ) dτ.
s
Возьмем δ = 1/2 и любую H ∈ Bδ(1) ⊂ R , то есть H = 1+ h ,
где |h| 6 1/2 . Выберем на произвольном отрезке [t0, t0+ 1] в
качестве управления функцию
u(t) =
ln(1 + h)
b(t)
,
тогда
t0+1
Z
exp
b(τ)u(τ) dτ = 1 + h, (13.6)
t
0
поэтому равенство (12.6) выполнено.
Итак, система (13.5) является ϑ-равномерно локально
достижимой (относительно множества U = R ). Следовательно, условие ограниченности U в теореме 13.2 существенно.
Этот же пример доказывает существенность ограниченности U и в теореме 13.1, так как если бы существовало управление u(·) , гарантирующее выполнение (13.6) и удовлетворяющее оценке kukC6 l |h| с не зависящей от t0и от h величиной l , то из (13.6) при произвольном t0> 1 вытекало бы
неравенство
t0+1
Z
|ln(1 + h)| =
6 kukCmax
t∈[t0,t0+1]
t
0
b(t) =
b(τ)u(τ) dτ
kuk
6
l |h|
C
6
t
0
,
t
0
то есть
t0|ln(1 + h)|
l >
|h|
,
что невозможно.
164 Гл. III. Локальная достижимость
§ 14. Согласованность и достижимость
В этом параграфе введено понятие равномерной локальной достижимости для линейной управляемой
системы с наблюдателем и установлено, что из
равномерной согласованности вытекает равномерная
локальная достижимость, но условие равномерной
согласованности не является необходимым для равномерной локальной достижимости соответствующей замкнутой системы.
Здесь мы будем рассматривать линейную управляемую
систему с наблюдателем
˙x = A(t)x + B(t)u, y = C∗(t)x, (14.1)
где x ∈ Rn, u ∈ Rm, y ∈ Rr, t ∈ R . Замкнем систему (14.1)
управлением u = U y , линейным по наблюдаемой переменной
y , получим систему
˙x = (A(t) + B(t)UC∗(t))x. (14.2)
О п р е д е л е н и е 14.1 (В.А. Зайцев, Е.Л. Тонков [61, 246]).
Пусть U ⊂ Mmr— некоторое множество. Система (14.2) называется
а) локально достижимой (относительно множества U ) на
отрезке [t0, t0+ ϑ] , если существует δ > 0 такое, что для любой матрицы H ∈ Bδ(E) ⊂ Mnнайдется кусочно непрерывное
управление U : [t0, t0+ ϑ] → U , гарантирующее для матрицы
Коши XU(t, s) системы (14.2) с U = U(·) выполнение равенства (12.6);
б) ϑ-равномерно локально достижимой (относительно U ),
если (14.2) локально достижима (относительно U ) на всяком
отрезке [t0, t0+ ϑ] длины ϑ , причем δ не зависит от t0.
О п р е д е л е н и е 14.2 [168]. Система (14.2) называется ϑ-
равномерно локально достижимой, если эта система ϑ-равно-
мерно локально достижима (относительно U := Bε(0) ⊂ Mmr)
при каждом ε > 0 .
Из следствия 10.1 вытекает следующая теорема.
Т е о р е м а 14.1 [177]. Если система (14.1) ϑ-равномерно
согласованна, то соответствующая система (14.2) ϑ-равномерно локально достижима.
Покажем, что в отличие от управляемых систем без наблюдателя в рассматриваемом случае свойство равномерной
§ 14. Согласованность и достижимость 165
согласованности не является необходимым для свойства равномерной локальной достижимости.
Введем обозначения
Q(t, s) := X(t, s)B(s), R(t, s) := X∗(s, t)C (s), t, s ∈ R.
Для системы (14.1) на [t0, t0+ ϑ] построим совокупность n
функций
Uij(t) = Q∗(t0, t)eie
В силу теоремы 6.1 система (14.1) согласованна на [t0, t0+ϑ] в
том и только том случае, когда функции {Uij(·)}
∗
R(t0, t), i, j = 1, . . . , n.
j
n
i,j=1
линейно
независимы на [t0, t0+ ϑ] .
Рассмотрим систему (14.1) при n = 2 , m = r = 1 ,
A(t) ≡ 0 . Тогда
X(t, s) ≡ E;
B(t) =: b(t) = (b1(t), b2(t))∗, C(t) =: c(t) = (c1(t), c2(t))
∗
— вектор-столбцы; Q(t0, t) = b(t) , R(t0, t) = c(t) и
Uij(t) = b∗(t)eie
∗
c(t) = bi(t)cj(t), i, j = 1, 2.
j
Система (14.1) в данном случае приобретает вид
˙x = b(t)u, y = c∗(t)x, x ∈ R2, u ∈ R, y ∈ R, (14.3)
а ее согласованность на отрезке [t0, t0+ ϑ] эквивалентна линейной независимости на этом отрезке совокупности функций
{bi(·)cj(·)}
2
i,j=1
.
Всюду далее будем предполагать, что b(·) и c(·) — пе-
риодические с периодом 3 вектор-функции, определенные на
[0, 3[ равенствами
2
b1(t) = c2(t) = 1, b2(t) = c1(t) = 0, при t ∈ [0, 1[,
b1(t) = c2(t) = b2(t) = 1, c1(t) = 0, при t ∈ [1, 2[,
b1(t) = c2(t) = 0, b2(t) = c1(t) = 1, при t ∈ [2, 3[.
Тогда
b1(t)c2(t) = 1, b2(t)c1(t) = 0, b2(t)c2(t) = 0, при t ∈ [0, 1[,
b1(t)c2(t) = 1, b2(t)c1(t) = 0, b2(t)c2(t) = 1, при t ∈ [1, 2[,
b1(t)c2(t) = 0, b2(t)c1(t) = 1, b2(t)c2(t) = 0, при t ∈ [2, 3[,
166 Гл. III. Локальная достижимость
в то время как
b1(t)c1(t) ≡ 0, t ∈ R,
поэтому совокупность функций {bi(·)cj(·)}
2
линейно зави-
i,j=1
сима на R , следовательно, система (14.3) не является согласованной ни на каком отрезке [t0, t0+ ϑ] . Ниже мы покажем,
что (14.3) является равномерно локально достижимой относительно множества U = [−ε, ε] на отрезках длины 12, где
ε > 0 — любое.
Построим для рассматриваемого случая систему (14.2).
Поскольку m = r = 1 , управляющая матрица U (t) ∈ M
mr
здесь превращается в скаляр u(t) , поэтому (14.2) принимает
вид
˙x = b(t)c∗(t)u(t)x =
b1(t)c1(t) b1(t)c2(t)
b2(t)c1(t) b2(t)c2(t)
u(t)x =
=
0 b1(t)c2(t)
b2(t)c1(t) b2(t)c2(t)
u(t)x. (14.4)
Обозначим через Xu(t, s) матрицу Коши этой системы.
Л е м м а 14.1 [168]. Для любого ε > 0 существует такое
m1> 0 , что для всяких α , β , γ ∈ B
найдется управление u : [3k, 3k + 3[→ R , kukC6 ε , для
которого
Xu(3k + 3, 3k) =
1 α
β 1 + γ
(0) ⊂ R и k ∈ Z
m
1
. (14.5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ε ∈ ]0, 1] — любое. Положим
m1(ε) = ε/3 , выберем произвольные α, β, γ ∈ B
(0) , k ∈ Z .
m
1
Возьмем u(t) ≡ ujпри t ∈ [3k + j −1, 3k + j[ , j = 1, 2, 3
(выбор ujуточним ниже) и обозначим v2= exp(u2)−1 . Тогда
матрица коэффициентов системы (14.4) имеет вид
b(t)c∗(t)u(t) =
0 u
0 0
0 u
0 u
0 0
u30
1
при t ∈ [3k, 3k + 1[,
2
при t ∈ [3k + 1, 3k + 2[,
2
при t ∈ [3k + 2, 3k + 3[,
§ 14. Согласованность и достижимость 167
поэтому для ее матрицы Коши справедливы равенства
Xu(3k + 3, 3k) =
= X
=
1 0
u31
(3k + 3, 3k + 2)X
u
3
= exp
0 0
u30
1 v
2
0 1 + v
2
(3k + 2, 3k + 1)X
u
2
· exp
1 u
1
0 1
(3k + 1, 3k) =
u
0 u
0 u
2
· exp
2
1
0 u
0 0
=
1 u1+ v
u31 + v2+ u1u3+ v2u
1
=
2
3
Следовательно, для нахождения чисел ujпо заданным α, β, γ
получаем систему уравнений
α = u1+ v2,
β = u3,
γ = v2+ u1u3+ v2u3.
.
Отсюда
u1= α − γ + αβ,
u3= β,
v2= γ −αβ.
то есть
u2= ln(1 + γ − αβ).
Оценим |uj|. Имеем
|u1| 6 |α|+ |γ| + |α||β| 6 ε/3 + ε/3 + ε/3 ·1/3 < ε,
|u3| = |β| 6 ε/3 < ε.
Для оценки |u2| воспользуемся неравенствами 0 6 ln(1+x) 6
6 x при x > 0 и 0 > ln(1 + x) > x/(1 + x) при x ∈] − 1, 0[ .
Следовательно,
|ln(1 + x)| 6
|x|
1 −|x|
при x ∈] −1, 1[,
поэтому
|u2| 6
|γ −αβ|
1 −|γ − αβ|
|γ| + |α||β|
6
1 −|γ| − |α||β|
6
168 Гл. III. Локальная достижимость
ε/3 + ε/3 · 1/3
6
1 −1/3 − 1/9
< 2(ε/3 + ε/3 · 1/3) = 8ε/9 < ε.
Итак, норма построенного управления u(·) удовлетворяет неравенству kukC< ε .
При ε > 1 берем m1(ε) = 1/3 . Лемма доказана.
Л е м м а 14.2 [168]. Для любого ε > 0 существует такое
m2> 0 , что для всяких λ ∈ B
ся управление u : [3k, 3k + 6[→ R , kukC6 ε , для которого
(1) ⊂ R и k ∈ Z найдет-
m
2
Xu(3k + 6, 3k) = λE .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ε ∈]0, 1] — любое. Положим
m2(ε) = ε2/36 , выберем произвольные k ∈ Z , λ ∈ B
Тогда имеет место включение λ ∈ [1 −1/36, 1 + 1/36] , из кото-
(1) .
m
2
рого 1/2 < λ < 2 . В соответствии с леммой 14.1 построим на
[3k, 3k+6[ управление u(·) так, чтобы выполнялись равенства
Xu(3k + 3j, 3k + 3(j − 1)) = Hj, (14.6)
где
Hj=
1 α
βj1 + γ
j
j
, j = 1, 2,
выбор αj, βj, γjуточним ниже. Тогда
Xu(3k + 6, 3k) = Xu(3k + 6, 3k + 3)Xu(3k + 3, 3k) =
= H2H1=
1 + α2β
1
α1+ α2(1 + γ1)
β2+ β1(1 + γ2) 1 + α1β2+ γ1+ γ2+ γ1γ
.
2
Следовательно, для нахождения величин αj, βj, γjпо заданному λ получаем систему уравнений
α2β1= λ − 1,
α1+ α2(1 + γ1) = 0,
β2+ β1(1 + γ2) = 0,
α1β2+ γ1+ γ2+ γ1γ2= λ − 1.
Возьмем
α2=p|λ − 1|, β1=p|λ − 1| sign(λ − 1),
тогда первое уравнение этой системы выполнено, а из второго
и третьего уравнений получаем
α1= −α2(1 + γ1) = −p|λ − 1|(1 + γ1),
§ 14. Согласованность и достижимость 169
β2= −β1(1 + γ2) = −p|λ − 1|(1 + γ2) sign(λ −1),
поэтому
α1β2= (λ − 1)(1 + γ1)(1 + γ2) = λ − 1 + (λ −1)(γ1+ γ2+ γ1γ2).
Из последнего уравнения выписанной системы имеем
λ − 1 + (λ − 1)(γ1+ γ2+ γ1γ2) + (γ1+ γ2+ γ1γ2) = λ − 1,
то есть λ(γ1+ γ2+ γ1γ2) = 0 . Так как λ 6= 0 , то
γ1+ γ2+ γ1γ2= 0.
Выберем
γ1= λ − 1,
тогда
γ2= −γ1/(1 + γ1) = (1 −λ)/λ,
α1= −λp|λ − 1|, β2= −p|λ − 1|sign(λ − 1)/λ.
Оценим величины |αj|, |βj|, |γj|. Посколькуp|λ − 1| 6 ε/6 ,
то
|α1| = λp|λ − 1| < 2ε/6 = ε/3, |α2| =p|λ − 1| 6 ε/6,
|β1| =p|λ − 1| 6 ε/6, |β2| =p|λ − 1|/λ < 2ε/6 = ε/3,
|γ1| = |λ−1| 6 ε2/36 6 ε/36, |γ2| = |λ−1|/λ 6 2ε2/36 6 ε/18.
Из доказательства леммы 14.1 следует, что норма управ-
ления u(·) , обеспечивающего равенства (14.6) с найденными
αj, βj, γj, удовлетворяет неравенству
kukC< 3 max{|αj|, |βj|, |γj| : j = 1, 2},
поэтому kukC< 3ε/3 = ε .
При ε > 1 берем m2(ε) = 1/36 . Лемма доказана.
Т е о р е м а 14.2 [168]. Свойство ϑ-равномерной согласо-
ванности системы (14.1) не является необходимым для ϑравномерной локальной достижимости системы (14.2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выше было отмечено, что 3-периодическая система (14.3) не является ϑ-равномерно согласованной ни при каком ϑ > 0 . Покажем, что (14.3) равномерно
170 Гл. III. Локальная достижимость
локально достижима относительно множества U = [−ε, ε] на
отрезках длины 12 при любом ε > 0 . Надо доказать следующее утверждение: для любого ε > 0 существует δ > 0 такое,
что для всякой матрицы H ∈ Bδ(E) ⊂ M2и всякого t0∈ R
найдется управление u : [t0, t0+ 12] → R , kukC6 ε , гаранти-
рующее выполнение равенства Xu(t0+ 12,t0) = H .
Пусть ε ∈]0, 1] — любое. Обозначим δ(ε) = ε2/(36√2) ,
возьмем произвольные t0∈ R и
H =
1 + h
1
h
3
h
2
1 + h
∈ Bδ(E).
4
Оценим величины |hj|. Пусть
kP k1= max{|p11| + |p21|, |p12| + |p22|}
— максимальная столбцовая норма [226, с. 356] 2×2 -матрицы
P = {pij}
2
. Тогда [226, с. 366]
i,j=1
max
P 6=0
kP k
kP k
1
=√2,
поэтому kP k16√2kP k для любой P ∈ M2. Следовательно,
для каждого j ∈ {1, 2, 3, 4} выполнено неравенство
|hj| 6 max{|h1| + |h3|, |h2| + |h4|} = kH −Ek16
6√2kH − Ek 6√2δ(ε) = ε2/36.
Пусть k ∈ Z таково, что 3k ∈ [t0, t0+ 3[ . Тогда справед-
ливы включения
[3k, 3k + 9[ ⊂ [t0, t0+ 3 + 9[ ⊂ [t0, t0+ 12].
Положим
u(t) ≡ 0, t ∈ [t0, t0+ 12] \ [3k, 3k + 9[.
В соответствии с леммой 14.1 на [3k, 3k + 3[ построим управление u(·) так, чтобы было выполнено (14.5) с
α =
h
1 + h
2
1
, β =
h
3
1 + h
, γ =
1
h4− h
1 + h
1
.
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]