Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 51
формула Остроградского– Лиувилля
t
Z
det X (t) = det X(t0) exp
Sp A(τ )dτ,
t
0
из которой обычно выводят невырожденность ФМ при всех
t ∈ R , хотя в действительности это свойство является непо-
средственным следствием существования и единственности решений системы (2.1).
Каждой системе (2.1) можно сопоставить сопряженную
систему
˙y = −A∗(t)y, y ∈ Rn, t ∈ R. (2.6)
Если x — решение исходной системы (2.1), а y — решение сопряженной системы (2.6), то их скалярное произведение
постоянно:
(x(t), y(t)) = (x(0), y(0)), (2.7)
что легко проверяется дифференцированием. Действительно,
(x(t), y(t))
0
= ( ˙x(t), y(t)) + (x(t), ˙y(t)) =
t
= (A(t)x(t), y(t)) −(x(t), A∗(t)y(t)) = 0.
Равенство (2.7) влечет за собой соотношение
Y∗(t, s)X (t, s) = E
для матриц Коши исходной и сопряженной систем.
З а м е ч а н и е 2.2. В более ригористическом духе сопряженную систему можно записать как систему в пространстве
вектор-строк (Rn)∗, сопряженном к пространству Rn:
˙η = −ηA(t), η ∈ (Rn)∗, t ∈ R.
Иногда такая интерпретация бывает полезной.
Из оценки (2.2) следует, что каждое ненулевое решение x
системы (2.1) имеет конечный показатель, удовлетворяющий
двусторонней оценке −a 6 λ[x] 6 a . Поэтому все, что говорилось в §1 относительно показателя на пространстве X , может
быть отнесено к пространству X(A) решений системы (2.1).
В частности, нормальный базис этого пространства называется нормальной ФСР системы (2.1), а его полный спектр показателей называется совокупностью (или же полным спектром)
52 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
показателей системы (2.1). Элементы полного спектра системы — показатели системы — обозначаются λi(A) , i = 1, . . . , n
и выписываются по возрастанию λ1(A) 6 . . . 6 λn(A) . Число
λn(A) называется старшим, а λ1(A) — младшим показателем
системы (2.1).
З а м е ч а н и е 2.3. Нумерация показателей по возрастанию — это ленинградская (или же белорусская) нумерация. В
работах московских математиков показатели нумеруются по
убыванию: λ1(A) > . . . > λn(A) (см., например, [146]).
На начальных этапах развития теории характеристических показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем значительное внимание уделялось изучению зависимости
показателей и других асимптотических характеристик решений от коэффициентов рассматриваемой системы, в частности
от их аналитической структуры (см., например, [115, 49, 50],
а также [17]). Как правило, эти зависимости очень сложны и
плохо поддаются исследованию, за исключением небольшого
количества простейших случаев. В общем же случае вычисление характеристических показателей системы (1.2) по матрице
ее коэффициентов практически невозможно.
Впоследствии выяснилось, что решения широкого круга
задач могут быть относительно просто выражены в терминах
матрицы Коши. Например, для старшего показателя справедлива формула
λn(A) = λ[X(t, t0)] = lim
t→+∞
1
ln kX (t, t0)k, (2.8)
t
вытекающая из предложения 1.4. Аналога этой формулы для
младшего показателя нет, но своеобразный ее вариант справедлив в случае нижних показателей (см. [86, с. 41] или [89]).
По этим причинам в современной теории показателей
Ляпунова именно матрица Коши во многих случаях олицетворяет исследуемую систему, часто полностью заменяя ее фактически. По тем же причинам в работах по теории показателей активно эксплуатируются системы различных специальных типов: стационарные, кусочно постоянные, диагональные,
треугольные и др.
Стационарные системы имеют постоянные коэффициенты и могут быть проинтегрированы в явном виде. Матрица
Коши стационарной системы представима в виде матричной
экспоненты X(t, s) = e
(t−s)A
. Примером нормального бази-
са для стационарной системы служит ФСР, отвечающая ве-
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 53
щественному жорданову базису матрицы ее коэффициентов.
Полный спектр показателей Ляпунова такой системы состоит из набора вещественных частей собственных значений ее
матрицы коэффициентов A [48, с. 138].
Свойства периодических систем в определенной степени
близки к свойствам систем стационарных. Если матрица коэффициентов системы (2.1) имеет период ω , то, как известно из
теории Флоке – Ляпунова [48, с. 183], при всех k ∈ N справед-
ливо равенство X(kω, 0) = Xk(ω, 0) , которое, с учетом теоремы 1.1 о вычислении показателей по медленно растущим последовательностям, позволяет заключить, что показатели такой системы выражаются по формуле λi(A) = ω−1ln |ρi(A)|
через собственные значения ρi(A) , i = 1, . . . , n , матрицы мо-
нодромии X (ω, 0) при их надлежащем упорядочении. Величи-
ны ρi(A) , i = 1, . . . , n , называются мультипликаторами перио-
дической системы (2.1). В качестве нормального базиса для такой системы можно использовать ФСР, отвечающую при t = 0
вещественному жорданову базису матрицы X(ω, 0) .
Если же коэффициенты системы кусочно постоянны (но
не периодичны), то ее матрица Коши на любом отрезке легко
вычисляется в явном виде как произведение матричных экспонент, соответствующих промежуткам постоянства коэффициентов. Однако это представление не позволяет в сколь-нибудь
общем случае сделать выводы о показателях и других асимптотических характеристиках системы. Объяснение этому факту дает теорема 2.4.
Диагональная система имеет диагональную матрицу коэффициентов
A(t) = diaga1(t), . . . , an(t)
и может быть проинтегрирована в квадратурах, поскольку
распадается на n независимых скалярных уравнений первого
порядка. Матрица Коши диагональной системы имеет вид
X(t, s) = diagexp
t
Z
a1(τ)dτ, . . . , exp
s
t
Z
an(τ)dτ
s
и также представима в виде матричной экспоненты
t
Z
X(t, s) = exp
A(τ)dτ.
s
54 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
Для любой функции p : [0, +∞[ → R величины
p := lim
t→+∞
t
Z
1
p(s) ds, p := lim
t
0
^
p
:= lim
t→+∞
1
t
t
Z
p(s) ds
0
t→+∞
1
t
t
Z
p(s) ds,
0
называются соответственно ее верхним, нижним и точным
средними значениями.
П р е д л о ж е н и е 2.1. Показатели диагональной систе-
мы совпадают с верхними средними ее диагональных коэффициентов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
t
Z
ri(t) := exp
ai(τ)dτ.
0
Для любого решения y диагональной системы (2.1) имеет место представление y(t) = c1r1(t)ei+ . . . + cnrn(t)enс некоторыми вещественными константами c1, . . . , cn. Поэтому для
его нормы имеем неравенство
ky(t)k2= c
2
r
(t) + . . . + c
1
1
2
2
r
(t) > max
n
n
ci6=0
2
2
c
r
(t),
i
i
2
из которого вытекает оценка
λ[y] > max
ci6=0
λ[ri].
Отсюда и из определения нормальной системы решений получаем, что ФСР r1(t)e1, . . . , rn(t)enдиагональной системы
(2.1) является нормальной. Поскольку показатели этой ФСР
совпадают с величинами r1(t), . . . , rn(t) , имеем требуемое.
Треугольные системы, то есть системы с треугольной
(верхней или нижней) матрицей коэффициентов, также интегрируемы в квадратурах, но по значительно более сложным
формулам [27, с. 78 – 80, 542 – 546]. Показатели треугольной системы можно относительно легко указать лишь в случае ее
правильности по Ляпунову, о чем будет еще сказано ниже.
Значение треугольных систем для теории характеристических
показателей определяется теоремой Перрона о триангуляции
линейной системы [244] (см. также [48, с. 180]).
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 55
Перроновским преобразованием называется любое преоб-
разование вида y = U(t)x с матрицей U , ортогональной (или
унитарной в комплексном случае) при всех t ∈ R , приводящее заданную линейную систему (2.1) к некоторой треугольной системе. При этом матрица U должна удовлетворять еще
некоторому дополнительному условию гладкости, достаточному для применения преобразования к дифференциальной системе и обеспечивающему принадлежность преобразованной
системы к заданному классу линейных систем.
Для класса Mnтаким дополнительным условием явля-
ется кусочная непрерывная дифференцируемость.
Функцию f , определенную на промежутке I ⊂ R и при-
нимающую значения в некотором нормированном пространстве F , будем называть кусочно непрерывно дифференцируе-
мой, если она представима в виде
t
f(t) = f(t0) +
R
ϕ(τ)dτ, t0∈ I,
t
0
где ϕ — некоторая кусочно непрерывная функция.
Нетрудно проверить, что f непрерывна всюду на I и
дифференцируема на внутренности множества точек непрерывности функции ϕ , дополнение которого конечно на каждом отрезке по определению кусочной непрерывности. При
этом f0совпадает с ϕ на всей своей области определения.
Совокупность всех кусочно непрерывно дифференцируемых функций f : I → F , производные которых ограничены
на I , то есть тех, для которых ϕ ∈ KC(I, F ) , будем обозна-
чать через KC1(I, F ) , а если F = Mn, то через KC
С использованием введенных определений теорема о три-
1
n
(I) .
ангуляции применительно к классу Mnможет быть сформулирована в следующем виде.
Т е о р е м а 2.1. Для всякой системы (2.1) из класса M
существует сохраняющее принадлежность системы этому
классу перроновское преобразование с матрицей U ∈ KC
1
n
(I) .
Построение перроновского преобразования в доказательстве теоремы 2.1 основано на применении процесса ортогонализации Грама – Шмидта к произвольно выбранной ФСР исходной системы и в основных чертах повторяет построение
QR -разложения произвольной матрицы (то есть разложения
в произведение ортогональной и треугольной матриц, см. [13,
с. 152]), отличаясь лишь дополнительной необходимостью до-
n
56 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
казывать требуемые функциональные свойства зависимости
получаемых матриц от времени.
З а м е ч а н и е 2.4. Использование теоремы Перрона позволяет находить идейно простые решения многих сложных задач теории показателей, но, как правило, приводит к громоздким выкладкам и рассуждениям, что вызывает нарекания и
критику, отчасти справедливую (см. например [46, с. 213; 86,
с. 22]). С другой стороны, в нашем случае доказательства основных теорем об управлении показателями в последующих
главах явно или неявно основаны на теореме Перрона, и альтернативных доказательств, ее не использующих, пока нет.
Линейные преобразования фазового пространства вида
y = L(t)x, x, y ∈ Rn, (2.9)
с невырожденной непрерывной матрицей L(·) являются одним из важнейших инструментов теории характеристических
показателей. Преобразование (2.9) переводит матрицу Коши
X(t, s) системы (2.1) в матрицу Y (t, s) = L(t)X(t, s)L−1(s) ,
которая будет являться матрицей Коши системы
˙y = G(t)y, y ∈ Rn, t ∈ R, (2.10)
где
G(t) = L(t)A(t)L−1(t) +˙L(t)L−1(t), (2.11)
при условии, что матрица L(·) дифференцируема в какомлибо подходящем смысле, в частности, кусочно непрерывно
дифференцируема, если системы (2.1) и (2.10) предполагаются
принадлежащими классу Mn.
Матрицы A и G , связанные соотношением (2.11), называются кинематически подобными [1, с. 62]. В том случае,
когда матрица преобразования L(·) постоянна, кинематическое подобие называется статическим и совпадает с обычным
подобием матриц.
Если на матрицу L(·) не накладывать никаких дополнительных условий, то кинематически подобными окажутся
любые две матрицы A и G , лишь бы для соответствующих
им систем (2.1) и (2.10) имела место глобальная теорема существования и единственности решений задачи Коши. Действительно, тогда их можно связать преобразованием (2.9) с мат-
рицей L(t) = Y (t)X−1(t) , где X и Y — произвольные ФМ
систем (2.1) и (2.10) соответственно. Поэтому первоначально
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 57
термин «кинематическое подобие», введенный, по-видимому,
Л. Маркусом [242], связывался исключительно с матрицами и
преобразованиями Ляпунова [115, с. 42].
Примером матрицы Ляпунова является матрица перроновского преобразования. Так как при любом ортогональном
преобразовании пространства Rnсохраняются длины векторов, то при перроновском и вообще при любом преобразовании
с ортогональной при всех t матрицей сохраняются показатели
Ляпунова и Перрона. Очевидно, совокупность всех таких преобразований, имеющих кусочно непрерывно дифференцируемую матрицу, образует группу, действующую на множестве систем Mnи может использоваться для их классификации. Однако такая классификация будет слишком дробной, поскольку
ортогональные преобразования слишком «бережно» относятся
к свойствам систем.
В большей степени соответствуют задачам теории показателей и играют в ней ключевую роль общие преобразования
Ляпунова.
О п р е д е л е н и е 2.1. Определенная и непрерывная при
всех t ∈ R матрица L(·) называется матрицей Ляпунова, если
она удовлетворяет условиям:
1) sup
kL(t)k < ∞;
t>0
2) при каждом t ∈ R матрица L(t) обратима, причем
sup
kL−1(t)k < ∞.
t>0
Как сам Ляпунов, так и подавляющее большинство других авторов [1, с. 62; 48, с. 153; 86, с. 138; 74; 121, с. 16] включают в определение матрицы Ляпунова условие дифференцируемости матрицы L(·) и ограниченности ее производной. В
нашем случае для класса Mnоно должно иметь вид
3) функция L(·) кусочно непрерывно дифференцируема
на R , причем sup
k˙L(t)k < ∞.
t>0
З а м е ч а н и е 2.5. В работах [16] и [46, с. 226] такое условие не накладывается.
Роль условия 3) и аналогичных ему условий заключается, как уже указывалось, в обеспечении принадлежности преобразованной системы классу Mn, что делает определяемое
множество преобразований группой [1, с. 62; 17]. Поэтому, если во главу угла ставятся вопросы, связанные с групповым
58 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
действием, условие 3) должно учитываться. Но оно не влияет ни на асимптотические свойства, ни на возможный набор
инвариантов, поскольку выполняется автоматически всякий
раз, когда рассматриваемое преобразование, удовлетворяющее
условиям 1) и 2) определения 2.1, связывает две системы класса Mn(см. даже несколько более сильное утверждение следствия 2.1 ниже). Кроме того необходимо отметить, что преобразования вида (2.9) с матрицами, подчиненными лишь условиям 1) и 2) определения 2.1, тоже образуют группу.
О п р е д е л е н и е 2.2. Линейное преобразование (2.9) на-
зывается преобразованием Ляпунова, если его матрица L(·) является матрицей Ляпунова.
О п р е д е л е н и е 2.3. Пусть (2.9) — преобразование Ляпунова. Любые две системы (2.1) и (2.10), связанные преобразованием (2.9), называются асимптотически эквивалентными
(по Богданову) [18].
З а м е ч а н и е 2.6. В некоторых работах (см., например,
[27, с. 12; 48, с. 159]) можно встретить иное определение асимптотической эквивалентности. На протяжении всей книги мы
будем придерживаться определения Ю. С. Богданова.
З а м е ч а н и е 2.7. Отношение асимптотической эквивалентности накладывает ограничения на поведение эквивалентных между собой систем в некоторой окрестности +∞ . В
окрестности же −∞ их асимптотические свойства могут быть
совершенно иными. Поэтому в определении 2.1 мы требуем,
чтобы матрица Ляпунова, обратная к ней и, возможно, ее производная были ограничены при t > 0 , то есть в окрестности
+∞, но не на всей прямой. С другой стороны, преобразование
вида (2.9) должно быть применимо к преобразуемой системе
на всей ее области определения, которая для систем класса
Mnсовпадает с R . Поэтому в определении 2.1 мы требуем,
чтобы матрица Ляпунова была определена, непрерывна и обратима всюду на R . Когда, как это делается обычно, рассматриваются системы, заданные лишь при t > 0 , то есть в окрестности +∞ , не являющейся окрестностью −∞, все свойства
матриц Ляпунова можно предполагать выполненными на одном и том же множестве значений времени, совпадающем с
областью определения коэффициентов систем, подвергаемых
преобразованиям.
О п р е д е л е н и е 2.4. Система (2.1) называется приводи-
мой к системе (2.10), если она асимптотически эквивалентна
этой системе. Система (2.1) называется приводимой, если она
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 59
асимптотически эквивалентна некоторой автономной системе.
Система (2.1) называется диагонализируемой, если она
приводима к некоторой диагональной системе. Система (2.1)
диагонализируема тогда и только тогда, когда она имеет ФМ
X(t) = [x1(t), . . . , xn(t)] , удовлетворяющую условию
|det X(t)| > ρkx1(t)k. . . kxn(t)k (2.12)
для всех t > 0 при некотором ρ > 0 [27, с. 270].
З а м е ч а н и е 2.8. В некоторых случаях (см. например
теорему 5.3) оказывается удобным и даже необходимым рассмотрение преобразований, матрицы которых удовлетворяют
условиям определения матрицы Ляпунова на всей числовой
оси, а не только при t > 0 . Такие преобразования мы будем называть двусторонними преобразованиями Ляпунова, а
их матрицы — двусторонними матрицами Ляпунова. Соответственно, как двусторонние будут определяться и все относящиеся сюда понятия. При этом большинство утверждений, касающихся двустороннего случая, в основном сохранит свой вид.
В частности, система (2.1) двусторонне диагонализируема тогда и только тогда, когда она имеет ФМ, удовлетворяющую
условию (2.12) для всех t ∈ R при некотором ρ > 0 .
Введенное выше понятие асимптотической эквивалентности позволяет дать точную формулировку высказанным в
начале параграфа утверждениям о совпадении асимптотических свойств классов систем с коэффициентами, обладающими различными функциональными свойствами.
Т е о р е м а 2.2 [97; 121, с. 96]. Для любой системы (2.1)
с ограниченными локально суммируемыми коэффициентами
существует асимптотически эквивалентная ей система с
бесконечно дифференцируемыми и ограниченными вместе со
всеми своими производными коэффициентами.
Измеримая и локально суммируемая функция p : R → R
называется интегрально ограниченной [27, с. 252], если при всех
t ∈ R выполнено неравенство
t+1
Z
|p(τ)|dτ 6 K < +∞.
Для систем с такими коэфициентами из теоремы 29.2.1 [27,
t
с. 400] и замечаний, сделанных в [121, с. 109, 24], вытекает еще
одно утверждение такого же типа.
60 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
Т е о р е м а 2.3. Для любой системы (2.1) с интегрально
ограниченной матрицей коэффициентов существует асимптотически эквивалентная ей система с непрерывно дифференцируемыми и ограниченными коэффициентами.
Отказ от обязательного сохранения непрерывности коэффициентов систем, принадлежащих универсальному классу, делает излишним их изменение между точками разрыва.
Т е о р е м а 2.4 [15, 45]. Для любой системы (2.1) класса
Mnсуществует асимптотически эквивалентная ей систе-
ма с кусочно постоянными коэффициентами.
Целый ряд уточнений этого утверждения и дополнений
к нему можно найти в монографии [121], а также в работах
[116 — 120], посвященных построению кусочно постоянных систем-представителей для классов асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных систем.
Величины и свойства, сохраняющиеся под действием ляпуновских преобразований, называются ляпуновскими инвари-
антами. Значения всех ляпуновских инвариантов на асимптотически эквивалентных системах совпадают. Ляпуновские инварианты — наиболее важный класс асимптотических инвариантов. К ним относятся полный спектр показателей Ляпунова системы, ее показатели Перрона, свойства приводимости
и диагонализируемости, а также большое количество других
величин и свойств, часть из которых перечислена ниже. Все
асимптотические инварианты, управление которыми рассматривается в этой книге, являются ляпуновскими.
Наиболее практически значимым из всех ляпуновских
инвариантов является, по-видимому, свойство устойчивости в
различных его видах. Инвариантность устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости для линейных систем
вытекает из оценки kY (t)k 6 kL(t)kkX (t)k , справедливой для
произвольной ФМ преобразованной системы (2.10) и того, что
для линейных систем устойчивость по Ляпунову эквивалентна ограниченности ее ФМ, а асимптотическая устойчивость —
стремлению kX(t)k → 0 при t → +∞ . Ляпуновская инвариантность этих видов устойчивости для общих дифференциальных систем также проверяется несложно.
Большинство ляпуновских инвариантов, когда-либо привлекавших внимание математиков, связано так или иначе с задачей об устойчивости. Устойчивость по Ляпунову естественным образом ассоциируется с характеристическими показателями Ляпунова, а использование показателей Перрона дает
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]