Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 71
Через λ[y(·, y0)] обозначим характеристический показа-
тель решения y(·, y0) системы (2.21) с начальным вектором
y0∈ Uf, который будем считать равным +∞ , если это решение выходит на границу области Ufза конечное время. Число
λ(A, f ) := lim
y0→0
λ[y(·, y0)]
называется старшим показателем нелинейной системы (2.21).
Число
Ωm(A) := sup
называется m-показателем и является точной в классе F
f∈F
λ(A, f )
m
m
асимптотикой решений системы (2.21), выходящих в начальный момент из некоторой достаточно малой окрестности начала координат. Число
[
Ω
(A) := sup
1+0
λ(A, f ), где F
f∈F
1+0
1+0
:=
m>1
F
m
называется центральным показателем высшего порядка и играет аналогичную роль для класса возмущений F
затели Ω
и Ωmвычисляются по матрице Коши системы
1+0
1+0
. Пока-
(2.1) линейного приближения и являются ее ляпуновскими инвариантами.
О п р е д е л е н и е 2.11. Нулевое решение системы (2.21)
называется экспоненциально устойчивым, если оно устойчиво
по Ляпунову, а старший показатель нелинейной системы (2.21)
отрицателен.
Принято различать [84, с. 262; 84] частную и общую задачи Ляпунова об экспоненциальной устойчивости нелинейной
системы (2.21) по линейному приближению (2.1), причем под
устойчивостью системы (2.21) понимается устойчивость ее нулевого решения. Сформулируем эти задачи.
Частная задача: по системе линейного приближения (2.1)
получить необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости системы (2.21) с любым возмущением высшего порядка малости f ∈ F
и вычислить величину Ω
1+0
1+0
Общая задача: по системе линейного приближения (2.1)
получить необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости системы (2.21) с произвольным возмущением f ∈ Fmфиксированного порядка m > 1 и вычислить
соответствующий m-показатель Ωm.
.
72 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
Решение частной задачи Ляпунова по правильному линейному приближению получено самим Ляпуновым [115, с. 38]
в классе голоморфных возмущений. Значительно позднее Массера [140] решил ее для класса F
. Аналогичный результат
1+0
был независимо получен Д. М. Гробманом [45], который также
усилил результат Массеры для неправильной системы линейного приближения, заменив в достаточном условии экспоненциальной устойчивости коэффициент неправильности Ляпунова на величину σГ(A) .
Т е о р е м а 2.8 (Ляпунов). Если система первого прибли-
жения (2.1) правильна и λn(A) < 0 , то нулевое решение системы (2.21) экспоненциально устойчиво.
Т е о р е м а 2.9 (Ляпунов – Массера – Гробман). Если для
старшего показателя системы линейного приближения (2.1)
выполнено условие
(m − 1)λn(A) + σГ(A) < 0,
с некоторым m > 1 , то при любом m-возмущении f нулевое решение системы (1.1) экспоненциально устойчиво.
Заметим, что в условиях теорем 2.8 и 2.9 для старшего
показателя возмущенной системы (2.21) справедливо равенство λ(A, f) = λn(A) .
Полное решение частной задачи Ляпунова по неправильному линейному приближению содержит следующая теорема
Н. А. Изобова [79, 80, 85].
Т е о р е м а 2.10. Для экспоненциальной устойчивости
нулевого решения системы (2.21) с произвольным возмущением f ∈ F
необходима и достаточна отрицательность
1+0
старшего экспоненциального показателя ∇(A) системы линейного приближения (2.1). При этом Ω
1+0
= ∇(A) .
Решение общей задачи Ляпунова в некритическом случае (определение которого не входит в наши задачи) содержится в работах Р.Э. Винограда и Н. А. Изобова [30, 31, 72],
а ее полное решение по диагональному линейному приближению — в статье [81].
Таким образом, управляя показателями линейной системы (2.1), можно управлять ее устойчивостью, а управляя другими ляпуновскими инвариантами этой системы, можно влиять на устойчивость любых нелинейных систем (2.21), линейным приближением которых она является [68]. Эти соображения являются важным аргументом в пользу рассмотрения
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 73
разнообразных постановок задач управления асимптотическими характеристиками линейных систем, не ограничивающихся
лишь управлением их спектром.
Возвращаясь к свойствам линейных систем (2.1), заметим, что правильность по Ляпунову может определяться не
только через равенство нулю коэффициентов неправильности,
но и другими способами (их обсуждение с общей точки зрения
см. в [12]). Один из таких способов, основанный на понятии
обобщенной приводимости, сыграл особую роль в возникновении представлений об асимптотических инвариантах.
О п р е д е л е н и е 2.12. Преобразование (2.9) с кусочно
непрерывно дифференцируемой матрицей L(·) будем называть обобщенным преобразованием Ляпунова, если выполнено
равенство
λ[L(t)] = λ[L−1(t)] = 0.
Матрица обобщенного преобразования Ляпунова называется обобщенной матрицей Ляпунова, а система (2.1) называется обобщенно асимптотически эквивалентной системе (2.10)
или же обобщенно приводимой к системе (2.10), если существует обобщенное преобразование Ляпунова, переводящее систему (2.1) в систему (2.10). Система (2.1) называется обобщенно
приводимой, если она обобщенно асимптотически эквивалентна некоторой автономной системе (2.10).
З а м е ч а н и е 2.12. Требования к дифференцируемости
и производной обобщенной матрицы Ляпунова определяются
кругом решаемых задач.
Как и преобразования Ляпунова, обобщенные преобразования Ляпунова образуют группу [1, с. 89; 17], но формула (2.11) уже не задает действие этой группы на множестве
систем с ограниченными и непрерывными (или же кусочно
непрерывными) коэффициентами, поскольку любая из мат-
риц L , L−1и˙L , соответствующих обобщенному ляпуновскому преобразованию, может оказаться неограниченной. В [124]
предложено называть группу обобщенных преобразований Ляпунова группой Богданова.
Т е о р е м а 2.11 (В. П. Басов [14], Ю. С. Богданов [15],
Д. М. Гробман [45]). Система (2.1) правильна тогда и только
тогда, когда она обобщенно приводима.
Этот результат позволил Ю.С. Богданову сформулировать сложившееся к началу 1960-х годов и восходящее еще к
74 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
работам Ляпунова представление о роли преобразований кинематического подобия и их инвариантов в теории линейных
систем следующим образом:
«Если не входить в чисто технические детали, то задача
качественной теории линейных дифференциальных систем состоит в распределении таких систем по классам систем, эквивалентных между собой относительно той или иной заданной
группы допустимых линейных преобразований.
Естественный путь для решения такой задачи состоит
из трех этапов. Во-первых, следует составить полный список
независимых инвариантов систем решений дифференциальной системы (именно эти инварианты мы и будем считать инвариантами системы уравнений). Во-вторых, нужно указать
способ вычисления инвариантов непосредственно по коэффи-
циентам дифференциальной системы. Наконец, в-третьих,
необходимо установить, как меняются инварианты при изменении коэффициентов» [17, с. 425].
Фактически начало осуществлению этой программы построения всеобъемлющей теории асимптотических инвариантов
линейных дифференциальных систем, понимаемых как инварианты действия некоторых специальных групп, состоящих из
преобразований вида (2.9), было положено еще самим Ляпуновым. Необходимо, однако, признать, что и сегодня она попрежнему далека от завершения, несмотря на значительные
результаты, достигнутые за последние десятилетия.
Выше уже говорилось о безнадежности задачи вычисления показателей Ляпунова по коэффициентам системы в
общем случае. Не менее проблематичным является и вычисление других инвариантов. Определенную теоретическую ясность внесло в этот вопрос предпринятое В. М. Миллионщиковым и его учениками абстрактное изучение этих зависимостей
с точки зрения дескриптивной теории множеств и функций в
рамках теории характеристических показателей семейств морфизмов метризованных векторных расслоений, являющейся
наиболее адекватным и универсальным контекстом при асимптотическом исследовании линейных уравнений и систем, в том
числе и возникающих в результате линеаризации нелинейных
эволюционных уравнений различных типов. Результаты этих
исследований подробно отражены в Хронике семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете, регулярно публикуемой в
журнале «Дифференциальные уравнения». Кроме того, сводку важнейших результатов и ссылки можно найти в завершаю-
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 75
щих работах двух больших циклов статей [148, 149], посвященных построению бэровской классификации показателей Ляпунова и изучению типичности по Бэру таких свойств линейных
систем, как условная экспоненциальная устойчивость решений
и полунепрерывность показателей Ляпунова. Установленная
при этом принадлежность показателей Ляпунова и большинства других ляпуновских инвариантов второму классу Бэра,
как на всем пространстве систем, так и на любом достаточно
общем их непрерывном семействе, вполне ясно демонстрирует
сложность вопроса о зависимости асимптотических характеристик систем от их коэффициентов.
Недостаточно определенным остается и само абстрактное понятие асимптотического инварианта. Сделанная в работах [19, 125] попытка дать общее определение асимптотической группы не привела к успеху: построенный в них класс
групп преобразований оказался чрезмерно широким и включающим в себя группы, использование которых при асимптотическом исследовании дифференциальных систем заведомо затруднительно. Общая методология применения произвольных
групп преобразований кинематического подобия, в том числе
и весьма отличных от групп Ляпунова и Богданова (например,
задаваемых невырожденными полиномиальными матрицами)
для классификации линейных нестационарных систем развита
И. В. Гайшуном в [34 – 40]. В ряде работ (например, [124, 121]
и др.) изучались конкретные виды асимптотических групп и
способы их построения, которые варьировались от априорного
задания шкалы роста, аналогичной экспоненциальной шкале
eαt, α ∈ R , используемой при определении показателей Ляпу-
нова, до рафинированных аксиоматических подходов. Тем не
менее, асимптотическая теория линейных систем была и остается главным образом теорией ляпуновских инвариантов. Повидимому, это обстоятельство имеет принципиальный смысл.
Очень серьезные трудности возникли при решении задачи построения минимальной полной совокупности асимптотических инвариантов — «полного списка независимых инвариантов систем решений дифференциальной системы», которая
должна была позволить идентифицировать и однозначно закодировать (проиндексировать) каждый класс эквивалентности относительно заданной группы. Уже к концу 1960-х (см.,
например, [16]) рассматривалась более реалистичная задача
построения систем-представителей для каждого такого класса, в решении которой были достигнуты большие успехи [121].
Однако и до сих пор на этой основе не удалось создать какого-
76 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
либо аппарата, пригодного хотя бы для теоретического использования и применения к другим задачам теории показателей, что свидетельствует не о недостаточности приложенных
усилий, а скорее о сложности проблемы.
Наибольшие продвижения удалось получить в решении
последнего из сформулированных выше вопросов: «как меняются инварианты при изменении коэффициентов»? Именно
этому вопросу всегда было посвящено наибольшее количество
работ по теории показателей. К середине 1960-х возможности
традиционных методов, применявшихся ранее к этим задачам,
оказались в основном исчерпанными и исследования в этой
области в сильной степени затормозились из-за нерешенности
целого ряда существенно важных задач, касающихся достижимости получаемых оценок различных величин, в частности, показателей возмущенных систем. Их решение стало возможным лишь после появления работ [144, 146], в которых
В. М. Миллионщиков впервые сформулировал свой, ставший
ныне уже классическим, метод поворотов и применил его к доказательству достижимости центральных показателей, а также к теории систем с интегральной разделенностью.
В настоящее время метод поворотов В. М. Миллионщикова играет ведущую роль во всех разделах теории показателей. Благодаря ему за последние 40 лет в асимптотической
теории дифференциальных уравнений решены многие ранее
неприступные задачи и получены новые, весьма существенные и значительные результаты (см. обзорные статьи [74, 84,
42, 238]). Детальное изложение основ метода поворотов и его
применения к конкретным задачам содержится в монографии
[86], а также в более кратком виде — в обзоре [74].
В своей первоначальной формулировке метод поворотов
основан на двух леммах, вторая из которых дает конструкцию
и оценку нормы возмущения Q , для которого матрица Коши
возмущенной системы (2.14) имеет вид
Y (t0+ T, t0) = UX(t0+ T, t0),
где T > 0 , U — заданная матрица поворота, X(t, s) — матрица Коши невозмущенной системы (2.1), а первая позволяет построить матрицу поворота, обеспечивающую выбранному
решению достаточно быстрый рост на рассматриваемом отрезке. Однако содержание метода поворотов, как постоянно напоминает своим ученикам Н. А. Изобов, значительно шире этой
исходной формулировки:
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 77
«Следует отметить, что название «метод поворотов» несколько условно: оно исходит из типа возмущений, в то время
как истинная его сущность состоит в схеме блуждания решений возмущенной системы по соответствующим образом подобранным решениям исходной. Это неоднократно подчеркивалось самим автором метода» [86, с. 78].
Принципиальной особенностью метода поворотов является его дискретность. При его использовании возмущения сосредоточиваются вблизи точек некоторой последовательности
моментов времени, в которые происходит переход между различными решениями невозмущенной системы, а вычисление
характеристических показателей и других асимптотических
инвариантов возмущенных систем осуществляется по значениям, принимаемым решениями в точках последовательности.
При этом, за исключением свойств коэффициентов, необходимых для существования решений системы, метод явно использует только их ограниченность, а вся прочая информация о
системе представлена лишь ее матрицей Коши. Естественно,
возможность такого устранения коэффициентов из рассмотрения полностью обусловлена дискретностью, характерной для
асимптотических инвариантов линейных дифференциальных
систем и являющейся одним из немногих действительно общих
свойств, им присущих.
О п р е д е л е н и е 2.13 [124]. Будем называть инвариант
дискретизуемым по последовательности tk, k ∈ N , если его
значение на системе (2.1) однозначно определяется значениями X (tk) произвольной фундаментальной матрицы X этой
системы в точках последовательности tk.
Наряду с системой (2.1) зафиксируем какую-либо другую систему
˙y = C(t)y, y ∈ Rn, t ∈ R, (2.22)
тоже принадлежащую классу Mn.
Т е о р е м а 2.12 [124]. Пусть во всех точках некоторой
бесконечной монотонно возрастающей неограниченной последовательности моментов времени tk, для каких-либо двух
фундаментальных матриц X и Y систем (2.1) и (2.22) соответственно, выполнены равенства X(tk) = Y (tk) . Тогда:
a) если существует такое ρ > 0 , что t
k+1
− tk< ρ
при всех k ∈ N , то системы (2.1) и (2.22) асимптотически
эквивалентны, то есть приводятся одна к другой с помощью
ляпуновского преобразования;
78 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
б) если t
−1
k
t
→ 1 при k → ∞, то системы (2.1)
k+1
и (2.22) обобщенно асимптотически эквивалентны, то есть
приводятся одна к другой с помощью обобщенного ляпуновского преобразования.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любое M > 0 такое, что
kA(t)k 6 M и kC(t)k 6 M при всех t > 0 . Тогда для матриц
Коши систем (2.1) и (2.22) при любых t, s > 0 имеем оценки
kX(t, s)k 6 e
M|t−s|
, kY (t, s)k 6 e
M|t−s|
. Рассмотрим матрицу
L(t) = Y (t)X−1(t) . По условию теоремы для нее выполнены
равенства L(tk) = Y (tk)X−1(tk) = E , поэтому при всех t > 0
имеем соотношения
Y (t, tk)X(tk, t) = Y (t)Y−1(tk)X(tk)X−1(t) =
= Y (t)X−1(t) = L(t)
и, аналогично, X(t, tk)Y (tk, t) = L−1(t) , из которых получа-
k+1−tk
2M|t−tk|
)
.
, справедливые при любых
] , получим неравен-
k+1
2Mρ
ются оценки kL±1(t)k 6 e
t > 0, k ∈ N . Выбирая теперь t ∈ [tk, t
ства kL±1(t)k 6 e
2M(t
Для случая а) отсюда имеем оценку kL±1(t)k 6 e
при всех t > t1, которая, с учетом непрерывности матричных функций L и L−1, обеспечивает ограниченность величин kL(t)k и kL−1(t)k на [0, +∞[ . По построению матрицафункция L кусочно непрерывно дифференцируема, а в силу
соотношения˙L(t) = C(t)L(t) − L(t)A(t) и вытекающего из
него неравенства k˙L(t)k 6 2MkL(t)k 6 2M e
2Mρ
норма k˙L(t)k
ограничена на [0, +∞[ . Таким образом, в случае а) матрица
L является матрицей Ляпунова.
В случае б) при t ∈ [tk, t
−2M(t
k+1
− tk)t
−1
k
6 t−1ln kL(t)k 6 2M (t
], k ∈ N , имеем оценки
k+1
6 t−1ln kL−1(t)k−16
−1
k+1
− tk)t
,
k
в силу которых справедливы равенства
λ[L] = λ[L−1] = 2M lim
k→+∞
(t
k+1
− tk)t
−1
k
= 0.
Следовательно, в случае б) матрица L является обобщенной
матрицей Ляпунова. При этом она, как и в случае а), кусочно
непрерывно дифференцируема.
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 79
Доказательство завершается непосредственной проверкой того, что матрицы L и L−1осуществляют переход между
системами (2.1) и (2.22).
С л е д с т в и е 2.1 [124]. Пусть преобразование (2.9) пере-
водит какую-либо систему (2.1) класса Mnв систему (2.22),
принадлежащую тому же классу, и на некоторой монотонно возрастающей к +∞ последовательности tk, k ∈ N для
задающей его матрицы-функции L справедливы равенства
L(tk) = E . Тогда:
а) если существует такое ρ > 0 , что t
k+1−tk
< ρ при
всех k ∈ N , то это преобразование является ляпуновским;
б) если t
является обобщенным преобразованием Ляпунова.
−1
k
t
→ 1 при k → ∞, то это преобразование
k+1
З а м е ч а н и е 2.13. Идея, положенная в основу доказательства теоремы 2.12 и следствия 2.1, достаточно хорошо известна. В литературе имеются утверждения, в той или иной
мере сходные с доказанными выше. В частности, в [219] имеется утверждение (теорема 1), аналогичное пункту а) теоремы 2.12, но относящееся к существенно более сложной ситуации (см. также теорему 6 в [246]), а леммы 1.3 и 1.4 в монографии [121, с. 22] весьма близки к следствию 2.1. Похожие
рассуждения используются при доказательстве основной теоремы в статье [152]. Тем не менее, в приведенной выше общей
форме эти утверждения далеко не всегда используются там,
где это необходимо.
Д о к а з а т е л ь с т в о следствия 2.1 в основном повторяет
доказательство теоремы 2.12. Отметим лишь, что в случае а)
матрица L удовлетворяет всем трем пунктам определения 2.1,
причем требование кусочной непрерывной дифференцируемо-
сти L и ограниченности производной˙L в силу соотношения
˙
L(t) = C(t)L(t) − L(t)A(t) оказываются выполненными автоматически, просто в силу того факта, что преобразование (2.9)
с матрицей L связывает некоторые две системы из рассматриваемого нами класса Mn.
Последовательности, удовлетворяющие условию пункта
б) теоремы 2.12 и следствия 2.1, выше (с. 35) были названы последовательностями медленного роста. Последовательности, удовлетворяющие условию пункта а) естественно назвать последовательностями с ограниченными приращениями.
С л е д с т в и е 2.2. а) Все ляпуновские инварианты си-
стем класса Mnдискретизуемы по любой монотонно воз-
80 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
растающей к +∞ последовательности с ограниченными приращениями.
б) Все инварианты группы Богданова на множестве си-
стем Mnдискретизуемы по любой монотонно возрастающей к +∞ последовательности медленного роста.
Таким образом, если существует некий способ (или же
алгоритм) вычисления какого-либо ляпуновского инварианта,
применимый к любой системе (2.1) с кусочно непрерывными
ограниченными коэффициентами, то должен существовать и
алгоритм его вычисления лишь по значениям X(tk) (при соответствующей последовательности tk), хотя конкретный вид
этого алгоритма может быть найден лишь из конкретного рассмотрения вычисляемого инварианта. Например, для характеристического показателя Ляпунова фиксированного решения
системы (2.1) общий алгоритм дает определение 1.1, а алгоритм вычисления по значениям X(tk) в точках последовательности медленного роста tk, k ∈ N , — теорема Изобова
(теорема 1.1). Такое соответствие между общим и дискретным алгоритмами не обязано в любом случае быть столь же
простым и прозрачным, как в этом. Хорошим контрпримером
здесь может служить дискретная формула (2.13) для вычисления центрального показателя в сопоставлении с его априорным определением (2.15) и непрерывными алгоритмами его
вычисления по способу верхних функций и стекловских усреднений [27, с. 103 – 106].
§ 3. Управляемые состояния. Матрица Калмана
В любой момент времени все состояния управляемой
системы разделяются на управляемые и неуправляе-
мые. Здесь показано, как различать такие состояния
и как их отыскивать.
Рассмотрим линейную управляемую систему
˙x = A(t)x + B(t)u, t ∈ R, x ∈ Rn, u ∈ Rm, (3.1)
с кусочно непрерывными и ограниченными на R матричными коэффициентами A(·), B(·) . В качестве управлений u(·)
в системе (3.1) будем рассматривать измеримые по Лебегу и
ограниченные на своей области определения функции.
О п р е д е л е н и е 3.1 (Р. Калман [239]). Состояние x0∈
∈ Rnсистемы (3.1) называется управляемым в момент времени t0, если его можно перевести за конечное время [t0, t1] в
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]