Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 21. Показатели двумерных систем 221
при i 6∈ ∆ , где
di:= κ(X(iϑ, iϑ + ϑ)) 6 e
2aϑ
.
Перемножая эти неравенства, при всех i ∈ N ∩ [m, k[ будем
иметь оценку
kx2(kϑ)k
kx2(mϑ)k
kx1(kϑ)k
6
kx1(mϑ)k
2aϑ∆(m,k)
e
(1 + γe
2aϑ)k−m−∆(m,k)
.
Переходя здесь к h(xj; [mϑ, kϑ]) , j = 1, 2 , и учитывая соотношение
ln(1 + γe
2aϑ
) 6 γe
2aϑ
,
получим требуемое.
Т е о р е м а 21.1 [139]. Пусть n = 2 . Если x1, x2— про-
извольная упорядоченная нормальная ФСР системы (19.1), и
показатели этой системы λ[x1] = λ1< λ2= λ[x2] различны,
то решение x2отчленено от решения x1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольные числа γ ∈
∈]0, π/2] и ϑ > 0 , удовлетворяющие условию
γ < ϑ(λ2− λ1)e
и возьмем множество ∆ = Γ
шение x2(·) не является ϑ-отчлененным от решения x1(·) .
Тогда для любой реализующей последовательности {kjϑ}
−2aϑ
,
γ
∪ {0}. Предположим, что ре-
2
∞
j=1
kj∈ N , решения x2(·) будет справедливо равенство
lim
g2(kj) = lim
j→∞
j→∞
N2(kj)
k
j
= 0.
Поскольку
∆(1, kj) = N2(kj− 1) 6 N2(kj),
это означает, что в силу следствия 21.1 имеют место соотношения
λ2= lim
2aN2(kj− 1) + γe
+
h(x2; [1, kjϑ]) 6 lim
j→∞
j→∞
2aϑϑ−1
(kj− N2(kj− 1))
k
j
h(x1; [1, kjϑ])+
6
,
222 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
6 lim
j→∞
6 λ1+ γe
h(x1; [1, kjϑ]) + γe
2aϑϑ−1
< λ1+ (λ2− λ1) < λ2.
2aϑϑ−1
6
Полученное противоречие доказывает теорему.
Т е о р е м а 21.2 [132, 139]. Пусть n = 2. Если систе-
ма (16.1) ϑ-равномерно вполне управляема, а показатели Ляпунова системы (19.1) λ1< λ2различны, то показатели системы (16.4) пропорционально локально управляемы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x1(·), x2(·) — произвольная
нормальная упорядоченная ФСР системы (19.1). Если решение x1отчленено от решения x2, то согласно теореме 20.1
ФСР x1, x2является расчлененной, и в силу следствия 20.3
доказываемое свойство выполнено.
Рассмотрим случай, когда решение x1(·) не отчленено
от решения x2(·) . Возьмем любые числа ν1< ν2, такие, что
|νj− λj| 6 δ0, j = 1, 2 , где выбор положительной величины
δ0< (λ2−λ1)/2 будет уточнен в ходе доказательства теоремы.
Если
ν1− λ16 ν2− λ2,
то доказываемое свойство вытекает из теоремы 20.1 при
I = {2}, η = ν1− λ1, ξ2= ν2− λ2− η.
Так как |η| = |ν1− λ1| 6 δ0, |η + ξ2| = |ν2− λ2| 6 δ0, применимость теоремы 20.1 обеспечивается неравенством δ06 δ .
Пусть теперь выполнено противоположное неравенство
ν1− λ1> ν2− λ2.
Возьмем
γ = ϑe
Так как решение x1(·) не отчленено от решения x2(·) , то
для любой реализующей последовательности {siϑ}
ния x1(·) имеет место равенство lim
стороны, в силу теоремы 21.1 решение x2(·) имеет реализующую последовательность {tiϑ}
−2aϑ
(λ2− λ1)/2.
∞
i=1
g2(si) = 0 . С другой
i→∞
, для которой lim
i→∞
∞
i=1
g2(ti) >
реше-
> 0 . Поэтому всегда можно указать такие реализующие по-
следовательности {siϑ} и {tiϑ} решений x1(·) и x2(·) соответственно, что при всех i ∈ N будут выполнены условия
§ 21. Показатели двумерных систем 223
ti< si< t
и g2(ti) > ρ с некоторым ρ > 0 . Тогда справед-
i+1
ливы соотношения
N2(ti) 6 N2(si) 6 N2(t
i+1
)
и
ρ 6 g2(ti) =
N2(ti)
t
N2(si)
6
i
t
g2(si)s
=
i
i
.
t
i
Поэтому имеет место стремление
t
g2(si)
i
0 6
6
s
i
→ 0
ρ
и
t
0 6
siτ
g2(si)
i
6
ρτ
i
τ
i
6
→ 0
ρ
i
при i → ∞, где τi:=pg2(si) . Отсюда, в частности, следует,
что при всех достаточно больших i ∈ N выполнены неравенства ti< τisi< si. Без ограничения общности можно считать,
что они выполнены при всех i ∈ N .
Для всякого k ∈ N определим индекс i = i(k) ∈ N таким
образом, что k ∈ [τisi, τ
i+1si+1
[ . Оценим вспомогательную ве-
личину
R(ti, k) := h(x2; [tiϑ, kϑ]) −h(x1; [tiϑ, kϑ]),
используя следствие 21.1. При k 6 si, полагая ∆ = Γ2∪ {0} ,
будем иметь соотношения
∆(ti, k) = N2(k −1) −N2(ti− 1) 6 N2(k)
и оценку
2aϑϑ−1
k −t
k −t
(k −ti− ∆(ti, k))
i
2aϑϑ−1
i
k
.
6
R(ti, k) 6
2a∆(ti, k) + γe
2aN2(k) + γe
6
Если же k > si, то, полагая ∆ = Γ2∪ [si, k] ∪ {0} , получим
неравенство
R(ti, k) 6
R(ti, si)(si− ti) + 2a(k − si)
k −t
i
,
224 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
которое при дополнительном условии k < csi, где
τ
1 < c <
i+1si+1
s
i
,
дает оценку
2aϑϑ−1
si− t
k + 2a(c − 1)s
i
i
.
R(ti, k) 6
2aN2(si) + γe
Так как ti/si→ 0 и g2(si) → 0 при i → ∞, то существуют точные пределы
s
lim
i→∞
i
si− t
= 1
i
и
N2(si)
lim
i→∞
si− t
= lim
i
i→∞
g2(si) = 0.
Кроме того, поскольку k > τisiи i(k) → ∞ при k → ∞ , то
имеют место соотношения
0 6 lim
k→∞
0 6 lim
k→∞
N2(si)
k −t
t
k
= lim
i
i
6 lim
k→∞
i→∞
t
i
τis
i
N2(si)
k
= 0, lim
6 lim
i→∞
k→∞
N2(si)
τis
k −t
k
i
i
= 1,
= lim
i→∞
τi= 0,
где всюду i = i(k) .
Это означает, что для любой последовательности {kj},
удовлетворяющей условию kj6 csi, где i = i(kj) и
τ
1 < c < lim
i→∞
i+1si+1
s
i
= +∞,
выполнено неравенство
lim
R(ti, kj) 6 γe
j→∞
Пусть N — совокупность всех натуральных чисел, при-
надлежащих
∞
[
[τjsj, sj− 1] . Для каждого k ∈ N обозначим
j=1
2aϑϑ−1
+ 2a(c − 1).
§ 21. Показатели двумерных систем 225
через N(k) количество элементов множества N , не превосходящих k , и положим
b(k) :=
N(k)
k
.
Тогда, очевидно, 0 6 b(k) 6 1 .
Пусть
ψ(µ) := lim
(f2(k) + µb(k)).
k→∞
Тогда
ψ(µ) > ψ(0) = lim
ψ(µ) 6 lim
(f2(k) + µ) 6 λ2+ µ.
k→∞
k→∞
f2(k) = λ2,
Оценим функцию ψ сверху более точно. С этой целью
рассмотрим произвольную реализующую последовательность
∞
{kjϑ}
венство
Если lim
решения x2(·) . Тогда при всех µ > 0 имеем нера-
j=1
ψ(µ) > lim
b(kj) = 1 , то в силу предыдущих оценок ψ(µ) ≡
j→∞
f2(kj) + µ lim
j→∞
j→∞
b(kj).
≡ λ2+ µ . Покажем, что в наших предположениях этот случай
невозможен. Без ограничения общности будем считать, что существует точный предел lim
b(kj) = 1 и, следовательно, для
j→∞
любого ε ∈]0, 1[ существует номер m(ε) такой, что при всех
j > m(ε) выполнены неравенства 1 > b(k) > 1 − ε .
Для всякого k ∈ N имеем оценку N(k) 6 N(s
i(k)
) , по-
этому при ε ∈]0, 1[ из неравенства b(k) > 1 − ε вытекает
соотношение
k =
N(k)
b(k)
N(s
6
i(k)
1 −ε
)
s
i(k)
6
1 −ε
.
Таким образом, при каждом ε ∈]0, 1[ последовательность {kj}
удовлетворяет условию kj6 csi(где i = i(kj) ) при всех j >
> m(ε) с величиной c = (1 − ε)−1. Отсюда по доказанному
выше имеем
λ2= lim
f2(kj) = lim
j→∞
h(x2; [0, kjϑ]) = lim
j→∞
h(x2; [tiϑ, kjϑ]) 6
j→∞
226 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
6 lim
h(x1; [tiϑ, kϑ]) + lim
j→∞
6 λ1+ γe
2aϑϑ−1
R(ti, kj) 6
j→∞
+ 2a((1 − ε)−1− 1),
где всюду i = i(kj) . По выбору γ и в силу произвольности ε
имеем противоречие
λ26 λ1+ (λ2− λ1)/2 = (λ1+ λ2)/2 < λ2,
означающее, что ψ(µ) 6≡ λ2+ µ , то есть существует µ0> 0
такое, что
ψ(µ0) < λ2+ µ0.
Положим ψ(µ0) = λ2+ qµ0, где 0 < q < 1 . Согласно лемме 20.1 функция ψ выпукла, поэтому на отрезке [0, µ0] справедлива оценка
ψ(µ) 6 ψ(0) + (ψ(µ0) −ψ(0))µ/µ0= λ2+ qµ.
На [0, µ0] рассмотрим функцию
ζ(µ) := µ + λ2− ψ(µ).
Из леммы 20.1 следует, что функция ζ непрерывна на [0, µ0] ,
причем ζ(0) = 0 , и по доказанному выше ζ(µ) > (1 −q)µ при
всех µ ∈ [0, µ0] . Следовательно, для каждого ξ ∈ [0, (1 −q)µ0]
существует µ ∈ [0, µ0] такое, что ζ(µ) = ξ .
Положим η = ν2−λ2, ξ = ν1−λ1−η , ε = max
j=1,2
|νj−λj|.
Тогда
ε 6 δ0, |η| = |ν2− λ2| 6 ε 6 δ0, |ξ + η| = |ν1− λ1| 6 ε 6 δ0,
0 6 ξ 6 |ν1− λ1| + |η| 6 2ε 6 2δ0.
Потребуем δ0< (1 −q)µ0/2 , тогда ξ ∈ [0, (1 −q)µ0] , поэтому
найдется µ ∈ [0, µ0] такое, что ζ(µ) = ξ , причем ξ = ζ(µ) >
> (1 − q)µ , то есть
0 6 µ 6 (1 − q)−1ξ 6 2(1 −q)−1ε.
Для каждого k ∈ N определим n ×n -матрицы Hkравенствами
Hk=
(ξ+η)ϑ
e
(ξ+η−µ)ϑ
e
E при k ∈ N,
E при k /∈ N.
§ 21. Показатели двумерных систем 227
При любых v > 0 , u ∈] −∞, v] имеет место неравенство
|eu− 1| 6 (ev− 1)|u|/v.
Поскольку
|ξ + η −µ| 6 |ξ + η| + µ 6 ε(1 + 2(1 − q)−1) =: εL 6 Lδ0,
при всех k ∈ N имеем оценку
kHk− Ek 6 |e
|ξ+η|+µ
− 1| 6 (e
Lδ
0
− 1)δ
−1
0
ε 6 e
Lδ
0
− 1.
Определив r в соответствии с теоремой 12.1 и потребовав
δ06 L−1ln(1 + r),
получим
kHk− Ek 6 rδ
−1
0
ε 6 r
при всех k ∈ N , откуда в силу той же теоремы следует существование управления U ∈ K Cm2(R+) , обеспечивающего
равенства
XU((k + 1)ϑ, kϑ) = X((k + 1)ϑ, kϑ)Hk, k ∈ N,
и удовлетворяющего оценке
kUkC6 α max{kHk− Ek : k ∈ N} 6 αrδ
−1
0
ε =
= β0max{|νj− λj| : j = 1, 2},
где β0:= αrδ
Вычислим показатели Ляпунова решений ¯x1(·), ¯x2(·) си-
−1
0
.
стемы (16.4) с построенным U(·) и с начальными условиями
¯xj(0) = xj(0) , j = 1, 2 .
Для решения ¯x1(·) имеем равенство
h(¯x1; [τkskϑ, skϑ]) = h(x1; [τkskϑ, skϑ]) + ξ + η.
Так как {skϑ}
ния x1(·) , а lim
∞
— реализующая последовательность реше-
k=1
(τkskϑ)/(skϑ) = 0 , существует
k→∞
lim
h(x1; [τkskϑ, skϑ]) = lim
k→∞
h(x1; [0, skϑ]) = λ1,
k→∞
228 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
поэтому
lim
h(¯x1; [τkskϑ, skϑ]) = lim
k→∞
h(¯x1; [0, skϑ]) =
k→∞
= lim
h(¯x1; [τkskϑ, skϑ]) = λ1+ ξ + η = ν1,
k→∞
то есть λ[¯x1] > ν1. С другой стороны, при всяком k ∈ N имеет
место неравенство
k¯x1(kϑ)k 6 e
k(ξ+ν )ϑ
kx1(kϑ)k,
поэтому
λ[¯x1] 6 ξ + η + λ[x1] = ν1.
Итак, λ[¯x1] = ν1.
Для решения ¯x2(·) при каждом k ∈ N имеем равенство
¯x2(kϑ) = e
k(ξ+η−µ)ϑeµN (k)ϑ
x2(kϑ),
следовательно,
λ[¯x2] = lim
h(¯x2; [0, kϑ]) = lim
k→∞
(h(x2; [0, kϑ])+µb(k))+ξ+η−µ =
k→∞
= ψ(µ) + ζ(µ) + η − µ = λ2+ η = ν2.
Поскольку ν1< ν2, ФСР ¯x1(·), ¯x2(·) системы (16.4) нормальна, и поэтому λi(A + BU ) = νi, i = 1, 2 . Теорема доказана.
§ 22. Необходимое условие устойчивости
показателей линейной однородной системы
Здесь получено необходимое условие устойчивости
показателей Ляпунова линейной однородной систе-
мы, выраженное в терминах расчлененности ФСР.
Покажем на примере, что cуществуют системы, обладающие расчлененной не нормальной ФСР.
П р и м е р 22.1 [138]. Рассмотрим систему
˙x = A(t)x, x ∈ R2, t > 1, (22.1)
с матрицей коэффициентов
A(t) =
−(sin ln t + cosln t) 0
0 2(sin ln t + cos ln t)
.
§ 22. Необходимое условие устойчивости 229
Нормальная фундаментальная матрица системы (22.1) может
быть записана в виде
exp(−t sin lnt) 0
0 exp(2t sin lnt)
,
а ее полный спектр показателей Ляпунова состоит из чисел
1 и 2. Рассмотрим ФСР системы (22.1), образуемую решениями
x1(t) =
exp(−t sin lnt)
exp(2t sin lnt)
, x2(t) =
0
exp(2t sin lnt)
.
Поскольку λ[x1] = λ[x2] = 2 , выбранная ФСР не является
нормальной. Покажем, что эта ФСР расчленена.
Обозначим через ϕ(t) угол между x1(t) и x2(t) . Так как
векторы x1(t) и x2(t) не покидают первой четверти, ϕ(t) одновременно является и углом между линейными подпространствами решений x1(t) и x2(t) . Имеем равенства
cos ϕ(t) =
=
exp(2t sin lnt)(exp(4t sin ln t) + exp(−2t sin ln t))
= (1 + exp(−6t sin lnt))
(x1(t), x2(t))
kx1(t)kkx2(t)k
exp(4t sin lnt)
−1/2
=
=
1/2
.
Зафиксируем произвольное число
c ∈]√2/2, 1[. (22.2)
Пусть γ := arccos c , тогда γ ∈]0, π/4[ . Обозначим
Gγ(T ) = {t ∈ [1, T ] : ϕ(t) > γ}.
Отметим, что t ∈ Gγ(T ) в том и только том случае, когда
t ∈ [1, T ] и cos2ϕ(t) 6 c2, то есть
1 + exp(−6t sin lnt) >
1
.
2
c
Последнее неравенство эквивалентно тому, что
6t sin lnt 6 ln
c
1 −c
2
. (22.3)
2
230 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
Из (22.2) вытекает, что c2/(1 −c2) > 1 , поэтому
ln
2
c
1 −c
> 0.
2
Следовательно, все те значения t , для которых sin ln t 6 0 ,
заведомо удовлетворяют неравенству (22.3). Это означает, что
Gγ(T ) ⊃ {t ∈ [1, T ] : sin lnt 6 0}
и
mes Gγ(T ) > mes{t ∈ [1, T ] : sin lnt 6 0}.
Возьмем tk= exp(π/2 + 2kπ) , k ∈ N . Тогда {tk}
∞
k=1
—
реализующая последовательность решений x1(·) и x2(·) . Покажем, что
lim
k→∞
−1
t
mes Gγ(tk) > 0.
k
В силу теоремы 19.2 это будет означать расчлененность ФСР
x1(·), x2(·) .
Действительно, пусть k > 1 — произвольно. Тогда при
каждом t ∈ [e
(2k−1)π
2kπ
, e
]=:Jkимеем неравенства sin ln t 6 0
и 1 < t < tk, поэтому Jk⊂ Gγ(tk) и
lim
k→∞
−1
t
mes Gγ(tk) > lim
k
k→∞
−1
t
mes Jk=
k
= lim
k→∞
exp 2kπ − exp(2k − 1)π
exp(π/2 + 2kπ)
1 −exp(−π)
=
exp(π/2)
> 0,
что и требовалось.
Т е о р е м а 22.1 [138]. Если линейная однородная систе-
ма (19.1) имеет не нормальную расчлененную ФСР, то ее показатели Ляпунова неустойчивы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x1, . . . , xn— расчлененная
не нормальная ФСР системы (19.1), λ[xi] = µi, i = 1, . . . , n .
Обозначим через λ1, . . . , λnполный спектр показателей Ляпунова системы (19.1). Тогда хотя бы один из этих показателей
не входит в набор чисел {µ1, . . . , µn}. Пусть это показатель
λ
. Обозначим α = min{|λ
i
0
Применив теорему 20.1 к равномерно вполне управляе-
− µi| : i = 1, . . . , n} , α > 0 .
i
0
мой системе
˙x = A(t)x + u, x ∈ Rn, u ∈ Rn,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]