Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 25. Достижимость, приводимость, управляемость 261
не может быть выполнено ни при каких t0∈ R и ϑ > 0 ,
если H не является верхней треугольной матрицей с положительными диагональными элементами. Таким образом, система (25.8) не является глобально достижимой относительно
множества U ни на каком отрезке [t0, t0+ ϑ] .
В то же время система (25.8) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости относительно множества
U . Действительно, рассмотрим произвольную двумерную систему (25.7) с кусочно непрерывными и ограниченными на R
коэффициентами. Перроновским преобразованием приведем
ее к верхнему треугольному виду
˙y =bC(t)y, y ∈ R2, (25.9)
гдеbC(t) = {bcij(t)}
2
, kbCkC6 bc . При всяких t, s ∈ R мат-
i,j=1
рица Коши Y (t,s) системы (25.9) — верхняя треугольная с
положительной диагональю. Для каждого k ∈ Z обозначим
(k)
Hk= Y (k + 1,k); Hk= {h
Тогда
kHkk 6 ebc, kH
следовательно, для |h
(k)
|h
| 6 kHkk16√2kHkk 6√2ebc, (25.10)
ij
−1
k 6 ebc,
k
(k)
| имеют место неравенства
ij
2
}
.
i,j=1
ij
где kHkk1— максимальная столбцовая норма [226, с. 356] матрицы Hk. Для диагональных элементов матрицы Hk, кроме
того, справедливы оценки
то есть
1
(k)
h
ii
6 kH
(k)
|h
ii
−1
k16√2kH
k
1
√
| >
2e
−1
k 6√2ebc,
k
, i = 1, 2. (25.11)
bc
Выберем матричное управление U (·) в системе (25.8) кусочно постоянным,
U(t) ≡ Uk=
αkβ
0 γ
k
, t ∈ [k, k + 1[,
k
262 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
значения αk, βk, γkуточним ниже. Тогда при каждом k ∈ Z
справедливо равенство
XU(k + 1, k) = exp Uk.
Если αk6= γk, то при каждом j ∈ N для j -й степени
матрицы Ukимеем равенство
j
j
U
k
α
=
k
0 γ
βk(α
αk− γ
j
k
j
k
− γ
j
)
k
k
,
поэтому
exp Uk=
∞
X
j=0
j
U
k
j!
=
α
k
e
0 e
βk(e
α
k
− e
αk− γ
γ
k
!
γ
k
)
k
. (25.12)
Если же αk= γk, то
j
α
j
U
=
k
jβkα
k
0 α
j−1
k
j
k
,
поэтому
exp Uk=
∞
X
j=0
j
U
k
j!
α
k
e
=
βke
0 e
α
k
. (25.13)
α
k
Пусть h
βk=
(k)
11
(k)
6= h
. В этом случае положим
22
αk= ln h
(k)
h
12
α
e
(k)
11
(αk− γk)
γ
k
k
− e
, γk= ln h
h
=
(k)
12
h
ln(h
(k)
11
(k)
22
(k)
11
− h
,
/h
(k)
22
(k)
22
)
.
Тогда из (25.12) следует, что
exp Uk= Hk.
Оценим kUkk. Для |αk| и |γk| из (25.10) имеем неравенства
|αk| 6 ln(√2ebc) 6 1 + bc, |γk| 6 1 + bc.
§ 25. Достижимость, приводимость, управляемость 263
Оценим теперь |βk|. Так как при произвольных α < γ справедливо неравенство
γ −α 6 e
γ−α
− 1 = e−α(eγ− eα),
то
γ −α
eγ− e
6 e−α,
α
поэтому из (25.11)
αk− γ
α
e
k
− e
k
γ
k
6 max{e
−α
min{h
(k)
11
1
, h
(k)
22
6√2ebc.
}
−γ
k
k
, e
} =
Отсюда и из (25.10) для |βk| получаем оценку
|βk| 6 |h
(k)
12
| ·
αk− γ
α
e
k
− e
k
γ
k
6 2e
2bc
.
Следовательно,
kUkk 6√2kUkk1=√2 max{|αk|; |βk|+ |γk|} 6√2(1 + bc + 2e
Пусть теперь h
αk= γk= ln h
(k)
11
(k)
= h
. В этом случае положим
22
(k)
(k)
, βk=
11
h
12
α
k
e
(k)
h
12
=
.
(k)
h
11
Из (25.13) следует равенство exp Uk= Hk, а из (25.10) и
(25.11) — оценка
kUkk 6√2kUkk1=
(k)
=√2(|αk| + |βk|) 6√2bc + |h
(k)
|/|h
12
|6√2(1 + bc + 2e
11
2bc
).
2bc
).
Итак, построенное кусочно постоянное управление U (·)
принимает значения во множестве U , удовлетворяет оценке
kUkC6√2(1 + bc + 2e
2bc
)
и при каждом k ∈ Z обеспечивает выполнение равенств
XU(k + 1, k) = exp Uk= Hk= Y (k + 1,k),
264 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
следовательно, система (25.9) и система (25.8) с выбранным
U(·) асимптотически эквивалентны. Но (25.7) и (25.9) связаны перроновским преобразованием, поэтому (25.7) и (25.8) при
U = U(·) асимптотически эквивалентны. Таким образом, система (25.8) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости относительно множества U .
В заключение этого параграфа выясним связь между
свойствами глобальной ляпуновской приводимости и глобальной управляемости ляпуновских инвариантов.
Т е о р е м а 25.4.Если система (25.2) обладает свойством
глобальной ляпуновской приводимости, то всякая совокупность ляпуновских инвариантов (ι1, . . . , ιk) при любом k ∈ N
глобально управляема относительно пары (A, B) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любое k ∈ N и зафиксируем произвольную совокупность ляпуновских инвариантов
(ι1, . . . , ιk) . Пусть α = (α1, . . . , αk) принадлежит множеству
(ι1, . . . , ιk)(Mn) . Тогда, в силу определения этого множества,
найдется система C(·) ∈ Mn, для которой выполнены равенства ιj(C) = αjпри всех j ∈ {1, . . . , k}. В соответствии
со свойством глобальной ляпуновской приводимости системы
(25.2) построим управление U (·) ∈ KCmn(R) , гарантирующее асимптотическую эквивалентность системы C(·) и системы (25.2) при U = U (·) . Преобразования Ляпунова не изменяют ляпуновские инварианты, поэтому
ιj(A + BU ) = ιj(C) = αj, j = 1, . . . , k.
Теорема доказана.
§ 26. Критерии равномерной полной
управляемости
В этом параграфе получены критерии равномерной
полной управляемости системы (25.1) в предположе-
нии кусочной равномерной непрерывности матрицы
B(·) . Основную роль в дальнейших построениях иг-
рает теорема 26.2, на основании которой вводится и
обсуждается понятие базиса чистых движений си-
стемы (25.1).
О п р е д е л е н и е 26.1 [171]. Будем говорить, что матричная функция B : R → Mnmкусочно равномерно непрерывна
на R , если B ∈ KCnm(R) ; существует такое ∆0> 0 , что
длина каждого интервала непрерывности Ii, i ∈ I , функции
§ 26. Критерии равномерной полной управляемости 265
B(·) удовлетворяет неравенству |Ii| > ∆0; для любого ε > 0
найдется такое ∆ = ∆(ε) > 0 , что для каждого i ∈ I и всех
t, s ∈ Ii, удовлетворяющих неравенству |t−s| 6 ∆ , выполнено
соотношение kB(t) − B(s)k 6 ε .
Рассмотрим линейную управляемую систему (25.1) с
ограниченными и кусочно непрерывными коэффициентами.
При каждых t, s ∈ R определим матрицу Q(t, s) ∈ Mnmравенством
Q(t, s) = X (t, s)B(s),
где X(t, s) — матрица Коши однородной системы (25.3).
П р е д л о ж е н и е 26.1. Если матрица B(·) кусочно рав-
номерно непрерывна на R , то для любых ε > 0 и T > 0
существует такое положительное число δ = δ(ε, T ) , что
при каждом t0∈ R и всех t, s ∈ [t0, t0+ T ] , принадлежащих одному и тому же интервалу непрерывности Ii, i ∈ I ,
функции B(·) и удовлетворяющих неравенству |t − s| 6 δ ,
выполнено соотношение
kQ(t0, t) − Q(t0, s)k 6 ε.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть t0∈ R и T > 0 — произ-
вольны. Матричная функция X(t0, ·) является нормирован-
ной при t = t0фундаментальной матрицей системы
∗
˙
ξ = −ξA(t), ξ ∈ R
n
,
поэтому по формуле Коши
t
Z
X(t0, t) = E −
X(t0, s)A(s) ds, t ∈ R.
t
0
Из леммы Гронуолла–Беллмана [48, с. 108] вытекает, что
kX(t0, t)k 6 e
aT
при всех t ∈ [t0, t0+ T ] , а для kX(t0, t2) −X(t0, t1)k при про-
извольных t1, t2∈ [t0, t0+ T] справедлива оценка
t
2
Z
kX(t0, t2) −X (t0, t1)k =
E −
X(t0, s)A(s) ds−
t
0
266 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
t
1
Z
−E +
t
0
6 |t2− t1| sup
s∈[t0,t0+T ]
X(t0, s)A(s) ds
kX(t0, s)k sup
t
Z
=
t
1
s∈[t0,t0+T ]
2
X(t0, s)A(s) ds
kA(s)k 6 aeaT|t2− t1|.
6
Для произвольных ε > 0 и T > 0 положим
δ(ε, T ) = minn∆e
−aT
ε/2; e
−aT
ε/(2ab)o,
где ∆(·) — из определения 26.1. Пусть s, t ∈ [t0, t0+ T ] ∩
∩ Iiпри некотором фиксированном i ∈ I , и |s −t| 6 δ(ε, T ) .
Тогда |t−s| 6 ∆e
−aT
ε/2, поэтому kB(t)−B(s)k 6 e
−aT
ε/2 .
Следовательно,
kQ(t0, t) − Q(t0, s)k = kX(t0, t)B(t) −X(t0, s)B(s)k 6
6 kX(t0, t)k kB(t) −B(s)k + kB(s)kkX(t0, t) − X(t0, s)k 6
6 eaTe
−aT
ε/2 + baeaT|t − s| 6 ε/2 + ε/2 = ε.
Предложение доказано.
Л е м м а 26.1 [135]. Система (25.1) ϑ-равномерно вполне
управляема тогда и только тогда, когда существует такое
α > 0 , что для любых t0∈ R и ξ ∈ Rn, kξk = 1 , найдется
ν ∈ Rm, kνk = 1 , обеспечивающее выполнение неравенства
t0+ϑ
Z
(ξ∗Q(t0, s)ν )2ds > α. (26.1)
t
0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что система (25.1) ϑ-равномерно вполне управляема. Тогда, согласно определению, найдется такое β > 0 , что при
каждом t0∈ R для матрицы Калмана
t0+ϑ
Z
W (t0, t0+ ϑ) =
Q(t0, s)Q∗(t0, s) ds
t
0
§ 26. Критерии равномерной полной управляемости 267
системы (25.1) при всех ξ ∈ Rn, kξk = 1 , справедливо соотно-
шение ξ∗W (t0, t0+ϑ)ξ > β , которое эквивалентно неравенству
t0+ϑ
Z
kξ∗Q(t0, s)k2ds > β. (26.2)
t
0
Зафиксируем произвольное ξ ∈ Rn, kξk = 1 , и возьмем в
качестве ν тот из векторов ei∈ Rm, i = 1, . . . , m , на котором
достигается
t0+ϑ
Z
max
i=1,...,m
(ξ∗Q(t0, s)ei)2ds.
t
0
Тогда имеем оценки
t0+ϑ
Z
m
(ξ∗Q(t0, s)ν )2ds >
t
0
t0+ϑ
Z
=
kξ∗Q(t0, s)k2ds > β,
t
0
m
X
i=1
t0+ϑ
Z
(ξ∗Q(t0, s)ei)2ds =
t
0
то есть при выбранном ν ∈ Rm, kνk = 1 , неравенство (26.1)
выполнено с α = β/m .
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть при некотором α > 0 для
всех ξ ∈ Rn, kξk = 1 , и t0∈ R существует ν ∈ Rm, kνk = 1 ,
такое, что выполнено неравенство (26.1). Тогда, поскольку
(ξ∗Q(t0, s)ν )26 kξ∗Q(t0, s)k2kνk2= kξ∗Q(t0, s)k2,
будет справедливо и соотношение (26.2) при β = α . Лемма
доказана.
С л е д с т в и е 26.1 [135]. Если система (25.1) ϑ-равно-
мерно вполне управляема, то существует β > 0 , позволяющее при всяком t0∈ R для любого ξ ∈ Rn, kξk = 1 , отыскать
такие ν ∈ Rm, kνk = 1 , и tν∈ [t0, t0+ ϑ] , что выполнено
неравенство
|ξ∗Q(t0, tν)ν| > β. (26.3)
268 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь леммой 26.1, найдем величину α . Пусть t0∈ R и ξ ∈ Rn, kξk = 1 , — произвольны.
Построим вектор единичной длины ν ∈ Rn, гарантирующий
выполнение неравенства (26.1). Функция t 7→ Q(t0, t) ограни-
чена на [t0, t0+ ϑ] , поэтому существует tν∈ [t0, t0+ ϑ] такое,
что
2(ξ∗Q(t0, tν)ν)2> sup{(ξ∗Q(t0, t)ν )2: t ∈ [t0, t0+ ϑ]}.
Следовательно,
t0+ϑ
Z
2ϑ(ξ∗Q(t0, tν)ν)2>
(ξ∗Q(t0, t)ν )2dt > α,
t
0
то есть |ξ∗Q(t0, tν)ν| >pα/(2ϑ) =: β .
Т е о р е м а 26.1 [135]. Пусть B(·) кусочно равномерно
непрерывна. Тогда система (25.1) ϑ-равномерно вполне управляема в том и только том случае, когда существуют β > 0
и δ > 0 такие, что для любых t0∈ R и ξ ∈ Rn, kξk = 1 ,
найдутся векторы ν ∈ Rm, kνk = 1 , и моменты времени
tν∈]t0+ δ, t0+ ϑ − δ[ , для которых функция Q(t0, ·) непре-
рывна на [tν− δ, tν+ δ] и выполнено неравенство (26.3).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть система (25.1) ϑ-равномерно вполне управляема. Возьмем произвольные t0∈ R и ξ ∈ Rn, kξk = 1 , и в соответствии с лем-
мой 26.1 найдем ν ∈ Rm, kνk = 1 , обеспечивающее выполне-
ние неравенства (26.1) с подходящим α > 0 .
Обозначим через I0⊂ N совокупность индексов i ∈ I ,
для которых множество Ji:=Ii∩]t0, t0+ϑ[ непусто. Поскольку
|Ii| > ∆0при каждом i ∈ I , количество элементов множества
I0не превосходит [ϑ/∆0] + 2 =: k . Из (26.1) следует, что
α 6
t0+ϑ
Z
(ξ∗Q(t0, t)ν )2dt =
t
0
6 k max
i∈I
X
i∈I
Z
(ξ∗Q(t0, t)ν )2dt,
0
J
i
Z
(ξ∗Q(t0, t)ν )2dt 6
0
J
i
§ 26. Критерии равномерной полной управляемости 269
поэтому при некотором i0∈ I0справедливо неравенство
Z
(ξ∗Q(t0, t)ν )2dt >
J
i
0
α
.
k
Так как
Z
(ξ∗Q(t0, t)ν )2dt 6 |J
J
i
0
6 |J
| max
i
0
t∈[t0,t0+ϑ]
то длина интервала J
i
0
|J
Из ограниченности на J
кает существование s ∈ J
| max
i
0
t∈[t0,t0+ϑ]
kQ(t0, t)k26 |J
(ξ∗Q(t0, t)ν )26
|b2e
i
0
удовлетворяет оценке
| >
i
0
i
0
α
.
2aϑ
kb2e
функции t 7→ Q(t0, t) выте-
i
0
такого, что
2aϑ
,
2(ξ∗Q(t0, s)ν )2> sup
(ξ∗Q(t0, t)ν )2,
t∈J
i
0
поэтому имеем соотношения
2ϑ(ξ∗Q(t0, s)ν )2> 2|J
|(ξ∗Q(t0, s)ν )2>
i
0
Z
> |J
| sup
i
(ξ∗Q(t0, t)ν )2>
0
t∈J
i
0
из которых следует неравенство (ξ∗Q(t0, s)ν )2>
(ξ∗Q(t0, t)ν )2dt >
J
i
0
2kϑ
Так как при всех t, τ ∈ [t0, t0+ ϑ] ; ξ ∈ Rn, kξk = 1 ;
ν ∈ Rm, kνk = 1 , справедлива оценка
|(ξ∗Q(t0, t)ν )2− (ξ∗Q(t0, τ )ν)2| =
= |ξ∗(Q(t0, t) + Q(t0, τ ))ν| |ξ∗(Q(t0, t) − Q(t0, τ ))ν| 6
6 kQ(t0, t) + Q(t0, s)k kQ(t0, t) − Q(t0, τ )k 6
6 2beaϑkQ(t0, t) − Q(t0, τ )k,
α
,
k
α
.
(26.4)
270 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
то из предложения 26.1 следует существование такого положительного числа
δ <
что при всех τ ∈ J
6 2δ , имеют место соотношения
, удовлетворяющих неравенству |s −τ | 6
i
0
α
2kb2e
2aϑ
|J
|
i
0
6
,
2
(ξ∗Q(t0, τ )ν)2=
= (ξ∗Q(t0, s)ν )2+(ξ∗Q(t0, τ )ν)2− (ξ∗Q(t0, τ )ν)
> (ξ∗Q(t0, s)ν )2−
>
(ξ∗Q(t0, τ )ν)2− (ξ∗Q(t0, τ )ν)
α
2kϑ
− 2be
aϑ
α
8kϑbe
aϑ
=
α
4kϑ
.
2
>
2
>
Возьмем произвольный отрезок длины 2δ , принадлежащий J
этого отрезка. Тогда [tν−δ, tν+ δ] ⊂ J
tν∈]t0+ δ, t0+ ϑ −δ[ , а функция t 7→ Q(t0, t) непрерывна на
и содержащий в себе точку s . Пусть tν— середина
i
0
⊂]t0, t0+ ϑ[ , поэтому
i
0
[tν−δ, tν+ δ] . Поскольку |s −tν| 6 2δ , то выполнено неравен-
ство
Полагая β =
r
(ξ∗Q(t0, tν)ν)2>
α
, получим требуемую оценку (26.3).
4kϑ
α
4kϑ
.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Возьмем любые t0∈ R , ξ ∈ Rn,
kξk = 1 , и найдем такие ν ∈ Rm, kνk = 1 , и tν∈ [t0+ δ,t0+
+ϑ−δ] , что функция t 7→ Q(t0, t) непрерывна на [tν−δ, tν+δ]
и выполнено (26.3). Выберем в соответствии с предложением 26.1 величину δ1∈]0, δ] настолько малой, чтобы при всех
t ∈ [tν− δ1, tν+ δ1] выполнялось неравенство
2
kQ(t0, tν) −Q(t0, t)k 6
4be
β
.
aϑ
Тогда для каждого t ∈ [tν− δ1, tν+ δ1] из (26.4) следует
2
|(ξ∗Q(t0, tν)ν)2− (ξ∗Q(t0, t)ν )2| 6
β
. (26.5)
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]