Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
А. А. Козлов 361
Отсюда и из включения Prξ(Uε(0)) ⊆ [−ε, ε] с учетом линейности оператора проектирования получим соотношения
Prξ(Uε(R)) = Prξ(R) + Prξ(Uε(0)) ⊂
⊂ [2ε1/3, +∞) + [−ε,ε] ⊂ [ε1/3, +∞).
Лемма 6 доказана.
Л е м м а 7. Если вектор-функция v : [0, +∞) → R2ло-
кально интегрируема, то для любого ε > 0 найдется такое
натуральное p, что для произвольного t0> 0 при всех i =
= 1, p и t ∈ [t
, ti] ⊂ [t0, t0+ σ] выполняется включение
i−1
t
R
v(τ ) dτ ∈ Uε(0).
t
i−1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любые ε > 0 и t0> 0 и
на отрезке [t0, t0+ σ] рассмотрим величину
t
µ(t) =
R
kv(τ )kdτ.
t
0
Поскольку интеграл от неотрицательной локально интегрируемой функции является неубывающей и абсолютно непрерывной [5, с. 68] функцией своего верхнего предела, то µ(t) — не
убывает и абсолютно непрерывна. Поэтому для выбранного ε
найдется δ > 0 такое, что для любых s1, s2∈ [t0, t0+ σ], удо-
влетворяющих неравенству |s1− s2| 6 δ, имеет место оценка
s
1
Z
|µ(s1) −µ(s2)| = |
kv(τ )kdτ | 6 ε.
s
2
Взяв натуральное p > σ/δ, для каждого i =
неравенства |ti− t
| 6 δ, из которых в силу монотонно-
i−1
1, p получим
сти и абсолютной непрерывности функции µ(t) при всех t ∈
∈ [t
, ti], i = 1, p , следуют соотношения
i−1
t
Z
k
v(τ ) dτ k 6
t
i−1
t
Z
kv(τ )kdτ 6
t
i−1
t
i
Z
kv(τ )kdτ 6 ε,
t
i−1
362 Дополнение
устанавливающие требуемое включение. Лемма 7 доказана.
Т е о р е м а 1. Если система (1) является σ-равномерно
вполне управляемой, то показатели Ляпунова соответствующей замкнутой системы (2) глобально управляемы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Разобьем доказательство теоремы
на два последовательных этапа. На первом из них докажем
следующее вспомогательное утверждение.
Если система (1) σ-равномерно вполне управляема и ее
матрица коэффициентов A является нижнетреугольной,
то для любых чисел λ11, λ22> 0 найдется такая величина
δ = δ(λ11, λ22) > 0 , что при всяком t0> 0 существует допустимое матричное управление U, определенное на отрезке
[t0, t0+ 3σ] , удовлетворяющее на нем оценке kU (t)k 6 δ и
обеспечивающее выполнение равенства
XU(t0+ 3σ, t0) = Λ,
в котором матрица Λ := {λij}
2
∈ M2нижнетреугольная
i,j=1
и для ее элемента λ21имеет место неравенство |λ21| 6 δ.
На втором этапе обратимся непосредственно к доказательству теоремы.
Первый этап. Пусть T = 3σ. Зафиксируем произволь-
ное t0> 0. Поскольку для всех t > 0 матрица A(t) :=
= {aij(t)}
2
нижнетреугольная, матрица Коши X(t, τ ) так-
i,j=1
же является нижнетреугольной при всех t, τ > 0. Тогда диагональные элементы xii(t, τ ), i = 1, 2, матрицы X(t, τ ) являются ее собственными значениями и поэтому в силу [226, c. 378]
и замечания 2 для i = 1, 2 и |t − s| 6 T справедливы соотношения
exp(−3a) 6 |xii(t, s)| 6 exp(3a). (11)
Возьмем произвольные числа λ11, λ22> 0 и образуем
нижнетреугольную матрицу H = {hij}
ными элементами
2
∈M2, с диагональ-
i,j=1
hii:= xii(t0, t0+T )λii,
Внедиагональный элемент h21определим позже. Рассмотрим
на отрезке [t0, t0+ T] матричную задачу управления
˙
Y = A(t)Y + B(t)V, Y ∈ M2, (12)
Y (t0) = E, Y (t0+ T) = X(t0+ T, t0)H. (13)
А. А. Козлов 363
Найдем такое решающее задачу (12), (13) измеримое и
ограниченное управление V (t), чтобы матрица Y (t) была обратимой при всех t ∈ [t0, t0+ T ]. Очевидно, что в этом случае
управление U(t) = V (t)Y−1(t) будет являться измеримой и
ограниченной для любого t ∈ [t0, t0+ T ] матричной функцией
и будет обеспечивать для матрицы Коши XU(t, s), t, s > 0,
системы (2) с этим управлением равенство
XU(t0+ T, t0) = X(t0+ T, t0)H.
Покажем, что управление V, обладающее всеми указанными
свойствами, существует.
Возьмем некоторые числа ϕ ∈ (0, θ/8] и p > 2, p ∈ N,
их выбор уточним ниже. Поскольку система (1) σ-равномерно
вполне управляема, то, используя лемму 4, для каждого s =
= 1, 3 на отрезке
Is:= [t0+ (s − 1)σ, t0+ sσ]
найдем допустимые управления ui, i = 2s − 1, 2s, при всех
t ∈ Isудовлетворяющие оценке kui(t)k 6 γ1, отыщем множе-
ства Mi⊂ {1, . . . , p} и углы Φi⊂ R2, i = 2s − 1, 2s, меры, не
превосходящей ϕ, такие, что выполняется неравенство
^(K(Φ
), K (Φ2s)) > 7θ/16 =: θ1, (14)
2s−1
а также построим векторы
wj(t0+ (s − 1)σ, ui), ζi∈ Φi, j ∈ Mi, i = 2s − 1, 2s.
Отметим, что нормы всех векторов ζkв силу леммы 4 удовлетворяют оценкам kζkk > `(ϕ) .
Очевидно, единичные векторы ξi:= ζi/kζik, i =
1, 6,
также лежат в углах Φi, а значит, выполняются включения
ξi∈ K(Φi), i = 1, 6, и, следовательно, неравенства
^(ξ
, ξ2s) > ^(K(Φ
2s−1
), K (Φ2s)) > θ1, s = 1, 3. (15)
2s−1
Из формул (14) вытекают и обратные неравенства
^(ξ
, ξ2s) 6 π − ^(K(Φ
2s−1
), K (Φ2s)) 6 π − θ1. (16)
2s−1
Для всех k = 0, 2 рассмотрим множества
Φj(k) := X(t0, t0+ kσ)Φ
2k+j
⊂ R
2
364 Дополнение
и векторы
νj(k) := X(t0, t0+ kσ)ξ
∈ R2, j = 1, 2.
2k+j
Так как справедливы включения ξi∈ Φi, i = 1, 6, то при
каждом k = 0, 2 и j = 1, 2 имеют место соотношения νj(k) ∈
∈ Φj(k). Пусть величина ϕ удовлетворяет неравенству
ϕ exp(4a) 6 1, (17)
тогда, согласно лемме 1, множества Φj(k), k = 0, 2, являются
углами, меры которых ввиду оценок ^Φi6 ϕ, i = 1, 6, не
превосходят величины
arcsin(ϕ exp(2ak)) 6 arcsin(ϕ exp(4a)) =: ϕ1, k = 0, 2.
На основании леммы 2 и неравенств (15) для векторов νj(k),
k = 0, 2, j = 1, 2, получим оценки
exp(−ak) 6 kνj(k)k 6 exp(ak), (18)
^(ν1(k), ν2(k)) > exp(−2ak) sin θ1>
> exp(−4a) sin θ1=: θ2. (19)
Из формулы (16), аналогично доказательству леммы 1,
для угла между векторами νi(k), k = 0, 2, i = 1, 2, доказы-
вается и обратное неравенство
^(ν1(k), ν2(k)) 6 π −θ2. (20)
Пусть вектор
νq(0) = X(t0, t0)ξq= ξq, q ∈ {1, 2},
таков, что выполняется равенство
|νq1(0)| = max{|ν11(0)|, |ν21(0)|}.
Тогда для него в силу леммы 2 справедливы неравенства
2|νq1(0)| > |ν11(0)| + |ν21(0)| > sin θ1.
А. А. Козлов 365
Положив
κ1:= sign νq1(0), v0:= κ1νq(0), Ψ0:= κ1Φq(0) = κ1Φq,
имеем соотношения
2v01> sin θ1, v0∈ Ψ0, ^Ψ06 ϕ. (21)
Обозначим через u0∈ {u1, u2} и M0∈ {M1, M2} те
управление и множество, которые определяют вектор νq(0), а
следовательно, и вектор v0. Разобьем множество M0на две
непересекающиеся части M1и M2так, чтобы выполнялись
неравенства
max
s∈M
s < min
1
s, kWikkW0k−1>
s∈M
2
1
, (22)
3
где i = 1, 2 и
X
Wi:=
wj(t0, u0), i = 0, 1, 2.
j∈M
i
Докажем, что такое разбиение возможно. Пусть N ∈
∈ {1, . . . , p} — мощность множества M0. Обозначим тогда че-
рез mj, j = 1, N , элементы множества M0, упорядоченные
по возрастанию, а через Nj— множество {i ∈ M0: i 6 mj}.
Для любого J ⊂ {1, . . . , p} положим
X
S(J ) := kW0k
−1
ws(t0, u0).
s∈J
Поскольку kS(NN)k = kS(M0)k = 1 > 1/2, то множество
e
J := {j : kS(Nj)k > 1/2}
непусто и, следовательно, существует e := mineJ. Пусть
M1:= Ne, M2:= M0\ M1.
Из леммы 7 вытекает, что найдется натуральное p > 2, при
котором выполняются неравенства
kwj(t0, u0)k 6 `(ϕ)/6 6 kW0k/6
366 Дополнение
для всех j = 1, p. Тогда по определению e имеют место соот-
ношения
1/2 < kS(M1)k 6 kS(N
e−1
)k + kw
(t0, u0)kkW0k−16 2/3.
m
e
Отсюда следует оценка
kS(M2)k > kS(M0)k − kS(M1)k > 1/3,
и поэтому выполняется второе неравенство в (22). Первое соотношение в (22) вытекает из определения величины e и мно-
жеств Mi, i = 1, 2.
Определим управления u1(t) и u2(t), полагая их равны-
ми u0(t) для всех t ∈ [t0, t0+ σ]. Пусть
Ψ1= Ψ2:= Ψ0, κ2:= κ1, vi:= κikWik−1Wi, i = 1, 2.
Тогда справедливы соотношения kvik = 1, i = 1, 2. Посколь-
ку для всех j ∈ M0имеют место включения wj(t0, u0) ∈
∈ Φq, то κ1wj(t0, u0) ∈ Ψ0, j ∈ M0. Отсюда, используя свойство выпуклости углов, определение векторов viи включения
Mi⊂ M0, i > 0, получаем соотношения vi∈ Ψ0= Ψi, i =
= 1, 2, из которых ввиду второй и третьей из формул (21)
следуют оценки
^(vi, vj) 6 ϕ, i, j = 0, 2. (23)
З а м е ч а н и е 4. Разбиение вектора v0на векторы v
и v2проводится для того, чтобы иметь для величины угла
^(v1, v2) неравенство (23). Если бы векторы v1и v2стро-
ились на разных отрезках длины σ, то для величины угла
между этими векторами мы могли бы получить только оценку снизу, а получение оценки сверху, подобной формуле (23),
было бы невозможным.
Пусть ψ := ^(v0, e1), тогда, полагая
1
ϕ 6 θ/(4π), (24)
с учетом первой оценки из (21), неравенства sin φ > 2φ/π,
верного для любого φ ∈ [0, π/2], и соотношения θ 6 π/2 получаем оценки
cos(ψ + ϕ) = cos ϕ cos ψ −sin ϕ sin ψ >
А. А. Козлов 367
1
>
π
sin
2
>
− ϕsin θ1− sin ϕ >
2
7θ
16π
=
1 −
θ
2
2π
7
−
2
7
8π
− ϕ >
− 2
7θ
16π
θ
8π
2θ
π
1
− ϕ− ϕ >
2
π
2
1 −
θ
>
8π
1
4π
>
8π
3θ
θ
−
=
4π
.
2
Так как v0∈ R+×R, то ψ ∈ [0, π/2], и поэтому ϕ+ψ 6 π/2+
+ θ/(4π) 6 π/2 + 1/8 < π. Отсюда и из формулы (23) получим
оценки
0 6 ^(v1, e1) 6 ^(v0, e1) + ^(v1, v0) 6 ψ + ϕ < π,
из которых в силу монотонного убывания функции косинус на
промежутке [0, π) и равенства kv1k = 1 следуют соотношения
v11= v
T
e1= cos ^(v1, e1) > cos(ψ + ϕ) > 3θ/(8π2). (25)
1
Из неравенств (19) и (20) вытекает, что среди векторов
νi(1) ∈ Φi(1), i = 1, 2, найдется такой вектор (обозначим
его v3), для которого выполняется соотношение
θ2/4 6 ^(v2, v3) 6 π − θ2/4, (26)
то есть sin ^(v2, v3) > sin(θ2/4). Действительно, предположив противное, будем иметь соотношения sin ^(v2, νi(1)) <
< sin(θ2/4), i = 1, 2, из которых в силу неравенства треугольника для синусов углов между векторами получим оценки
sin θ26 sin ^(ν1(1), ν2(1)) 6
6 sin ^(v2, ν1(1)) + sin ^(ν2(1), v2) 6
< 2 sin(θ2/4) 6 θ2/2. (27)
Поскольку 0 < θ2= exp(−4a) sin θ16 θ1= 7θ/16 6 θ =
= arcsin(4γ1b exp a)−16 π/2, то с учетом неравенства (27)
имеем противоречивое соотношение
2θ2/π 6 sin θ2< θ2/2.
Таким образом, справедлива оценка (26).
368 Дополнение
Обозначим через u3∈ {u3, u4} и M3∈ {M3, M4} соответственно управление и множество, определяющие вектор v3.
Пусть Ψ3— тот из углов Φi(1), i = 1, 2, которому принад-
лежит вектор v3, тогда справедливо неравенство
^Ψ36 arcsin(ϕ exp(4a)) = ϕ1.
Так как верно соотношение (26), найдутся такие α2, α3∈ R,
при которых выполняется равенство α2v2+ α3v3= h2− e2,
где h2:= (0, h22)T∈ R2. Коэффициенты αi, i = 2, 3, легко
вычисляются по формулам Крамера
α2= (1 −h22)v31(det F )−1, α3= (h22− 1)v21(det F )−1,
где F := [v2, v3] ∈ M2. Положим
χ1:= exp(−3a) min{λ11, λ22}, χ2:= exp(3a) max{λ11, λ22}.
Тогда из выбора h11и h22и соотношений (11) имеем оценки
χ16 |hii| 6 χ2, i = 1, 2.
Поскольку v3= νi(1), i ∈ {1, 2}, в силу формулы (18) спра-
ведливы неравенства
exp(−a) 6 kv3k 6 exp a.
Отсюда ввиду соотношений kv2k = 1 и (26) получим оценки
|det F| = kv2kkv3k| sin ^(v2, v3)| > exp(−a) sin(θ2/4),
|α2| 6 (1 + |h22|)
|v31|
|det F|
6 ea(1 + χ2)kv3ksin−1(θ2/4) 6
6 e2a(1 + χ2) sin−1(θ2/4) =: β1,
|α3| 6 (|h22| + 1) |v21|| det F|−16
6 (χ2+ 1)kv2ksin−1(θ2/4) exp a 6 β1.
В силу леммы 2 и оценки (15) найдется такой вектор
νr(2) ∈ Φr(2), r ∈ {1, 2}, что справедливо соотношение
2|νr1(2)| > exp(−2a) sin θ1.
А. А. Козлов 369
Обозначим управление и множество, определяющие этот вектор, соответственно через u4∈ {u5, u6} и M4∈ {M5, M6}.
Пусть κ4:= sign νr1(2), v4:= κ4νr(2), Ψ4:= κ4Φr(2). Тогда
имеют место неравенства 2v41> exp(−2a) sin θ1и ^Ψ46 ϕ1.
Полагая ε1:= min{1, θ/(16π2), χ1θ/(4π2), χ1, det H} и затем
α1:= max{1, 16π2(ε1+ β1)/(3θ)}, α4:= (h11−1 −α1v11)/v41,
будем иметь равенство α1v11+α4v41= h11−1 , а также оценку
|α4| 6 (χ2+1+α1kv1k)/|v41| 6 6 2e2a(α1+χ2+1)/ sin θ1=: β2.
Определим элемент h21:= α1v12+ α4v42. В силу равенства
v4= νr(2), r ∈ {1, 2}, и формулы (18) имеем неравенство
kv4k 6 exp(2a), из которого, используя соотношение kv1k = 1,
для элемента h21получаем оценку
|h21| 6 |α1|kv1k+|α4|kv4k = α1+|α4|kνr(2)k 6 α1+β2e2a=: β3.
Таким образом, для h21, αi∈ R и vi∈ R2, i = 1, 4,
справедливы равенства
e2+ α2v2+ α3v3= (0, h22)T= He2,
e1+ α1v1+ α4v4= (h11, h21)T= He1.
Положим λ21:= h11x21(t0+ T , t0) + h21x22(t0+ T , t0), то-
гда для нижнетреугольной матрицы Λ = {λij}
соотношение
2
i,j=1
(28)
получим
Λ = X(t0+ T, t0)H. (29)
При этом элемент λ21удовлетворяет оценке
|λ21| 6 |h11||x21(t0+ T, t0)| + |h21||x22(t0+ T, t0)| 6
6 (β3+√2 χ2) exp(3a) =: δ1,
которая следует из формулы (11), неравенств |h21| 6 β3и
|h11| 6 χ2и соотношений
2
|x21(t0+ T, t0)| 6 max
j=1,2
X
|xij(t0+ T, t0)| 6
i=1
370 Дополнение
6√2 kX (t0+ T, t0)k 6√2 exp(3a),
полученных с помощью неравенства между максимальной
столбцовой и спектральной нормами матрицы [226, с. 378] и
замечания 2.
Вводя на отрезке [t0, t0+ T] замену переменных Z(t) =
= X(t0, t)Y (t), от задачи (12), (13) перейдем к следующей матричной задаче управления:
˙
Z = Q(t0, t)V, Z ∈ M2, t ∈ [t0, t0+ T], (30)
Z(t0) = E, Z(t0+ T) = H, (31)
в которой матричный коэффициент Q(t0, t) = X (t0, t)B(t),
t ∈ [t0, t0+T ], является локально интегрируемым и интеграль-
но ограниченным и удовлетворяет ввиду замечания 2 не зависящей от t0оценке
t0+T
Z
kQ(t0, τ )kdτ 6 e
t
0
Пусть ∆i:=
S
j∈M
3a
[t
j−1
i
t0+iσ
Z
3
X
kB(τ )k dτ 6 3be3a. (32)
i=1
t0+(i−1)σ
, tj], i = 1, 2, тогда в силу фор-
мул (22) найдется такая точка t∗∈ [t0, t0+ σ], что выполня-
ются включения ∆1⊂ [t0, t∗] и ∆2⊂ [t∗, t0+ σ]. Положим
X
κ3:= 1, ci:= κiαik
wj(t0, ui)k−1, i = 1, 2,
j∈M
i
X
cs:= κsαsk
wj(t0+ (s − 2)σ, us)k−1,
j∈M
s
[
∆s:=
j∈M
[t
+ (s − 2)σ, tj+ (s − 2)σ], s = 3, 4,
j−1
s
и определим матричное управление V равенствами
[c1u1(t), 0], t ∈ ∆1⊂ [t0, t∗],
V (t) :=
[0, c2u2(t)], t ∈ ∆2⊂ [t∗, t0+ σ],
[0, c3u3(t)], t ∈ ∆3⊂ [t0+ σ, t0+ 2σ],
[c4u4(t), 0], t ∈ ∆4⊂ [t0+ 2σ, t0+ 3σ],
(33)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]