Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 29. Глобальная достижимость двумерных систем 311
поэтому H3∈H(ρ/(det H1det H2)) . Продолжая этот процесс,
получим, что каждая из матриц Hjпринадлежит множеству
j−1
Q
H
(ρ/
det Hi) . Кроме того,
i=1
= FlHlF
Λ = Pl= FlHlF
−1
F
l−1Hl−1
l
−1
F
l−1
P
l−2
−1
P
l−1
l
= . . . =
=
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть Λ представима в виде
1
Λ =
где H1∈H(ρ) , Hj∈H(ρ/
1
Y
Pk=
FjHjF
j=k
Y
j=l
j−1
Q
i=1
FjHjF
j
−1
,
j
det Hi) , j = 2, . . . , l . Положим
−1
, k = 1, . . . , l.
Тогда
1
Y
Pk= FkHkF
−1
k
FjHjF
j=k−1
−1
= FkHkF
j
−1
k
P
и
det P
k−1
k−1
=
j=1
Y
det(FjHjF
−1
j
) =
k−1
Y
j=1
1
Y
FjHjF
j=l
, k = 1, . . . , l,
k−1
det Hj,
−1
j
.
поэтому Hk∈H(ρ/ det P
законопослушность пары (P
) . Из теоремы 27.2 вытекает ρ -
k−1
, Pk) относительно базиса F
k−1
при каждом k ∈ {1, . . . , l} . Лемма доказана.
Выясним условия существования ρ -легального маршрута в двумерном пространстве.
k
312 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Пусть фиксирован базис F = {ξ1, ξ2} пространства R2,
F — матрица базиса F , то есть F = [ξ1, ξ2] . Возьмем про-
извольные матрицы P, R ∈ M2и в соответствии с формулами (27.2) построим векторы u1, u2∈ R2:
uk= (F−1)∗(RF−PF)∗ek= (R−P )∗(F−1)∗ek, k = 1, 2. (29.1)
Из (27.3) получаем вид промежуточного шага на пути от P к
R в базисе F :
S := S1= PF+ e1e
∗
= (e1e
+ e2e
1
∗
(RF− PF) = E ·PF+ e1e
1
∗
)PF+ e1e
2
ОбозначимeS = P + ξ1u
e
S = P + Fe1u
= FPF+ e1e
∗
RF− e1e
1
∗
. Тогда
1
∗
= F (F−1P F + e1u
1
∗
(RF− PF)F−1= F SF
1
∗
PF= e1e
1
∗
(RF− PF) =
1
∗
RF+ e2e
1
∗
F )F−1=
1
−1
∗
2
PF.
и
deteS = det S = det(e1e
∗
F−1RF + e2e
1
∗
F−1P F ). (29.2)
2
Согласно определению 27.1, пара (P, R) ρ -законопослушна
относительно F , если det P > ρ , det R > ρ и det S > ρ .
Обозначим J =
−1 0
0 1
— матрица поворота на угол
−π/2 в пространстве R2.
П р е д л о ж е н и е 29.1 [135]. Для любой невырожденной
2 ×2-матрицы F справедливы соотношения
JF−1e2= F∗e1/ det F, JF−1e1= −F∗e2/ det F. (29.3)
21
2
i,j=1
12
f
11
= F∗e1,
. Имеем ра-
e2=
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F = {fij}
венства
0 1
−1 0
−f
12
f
11
=
JF−1e2· det F =
0 1
=
−1 0
f22−f
−f
f
11
f
12
§ 29. Глобальная достижимость двумерных систем 313
JF−1e1· det F =
=
0 1
−1 0
f
−f
0 1
−1 0
=
22
21
f22−f
−f
−f
21
−f
22
21
= −F∗e2,
12
e1=
f
11
что и требовалось.
Л е м м а 29.2 [135]. Для любой матрицы Λ ∈ M2с поло-
жительным определителем и для произвольных базисов Fi=
= {ξ
, ξ2i} (i = 1, . . . , 4) пространства R2найдется число
2i−1
ρ > 0 и матрицы P1, P2, P3∈ M2, образующие ρ-легальный
маршрут от E к Λ относительно базисов F1, . . . , F4.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Fi— матрица со столбцами
ξ
, ξ2i, i = 1, . . . , 4 . Пусть κ(Fi) = kFikkF
2i−1
тральное число обусловленности матрицы Fi. Возьмем f =
= max
i=1,...,4
κ(Fi) и положим h = 2f4. Поскольку число обу-
−1
k — спек-
i
словленности всякой матрицы F удовлетворяет неравенству
κ(F ) > 1 , для величины h имеем оценку h > 2 .
Запишем Λ в произвольном из базисов Fi, полученную матрицу обозначим через M = {µkj}
−1
= F
ΛFi. Так как определители матриц Λ и M совпадают,
i
то
2
, тогда M =
k,j=1
det Λ = µ11µ22− µ12µ216 |µ11||µ22| + |µ12||µ21| 6
6 max{|µ2j| : j = 1, 2}(|µ11| + |µ12|) 6 kMk(|µ11| + |µ12|) 6
6 κ(Fi)kΛk(|µ11| + |µ12|) 6 fkΛk(|µ11| + |µ12|).
Пусть r := det Λ/(2fkΛk) = (2fkΛ−1k)−1, тогда из предыдущего неравенства получим
|µ11| + |µ12| > 2r. (29.4)
Возможны следующие три случая.
I. Хотя бы в одном из четырех базисов F1, . . . , F4мат-
рица Λ имеет элемент µ11> r/h .
II. В каждом из базисов Fi, i = 1, . . . , 4 , элемент µ11<
< r/h , при этом в F4справедливо неравенство µ116 −r/h .
III. В каждом из базисов Fi, i = 1, . . . , 4 , элемент µ11<
< r/h , при этом в F4имеет место µ11∈] −r/h, r/h[ .
314 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Для каждого из этих случаев будет построен набор матриц P1, P2, P3и найдено число ρ > 0 , обеспечивающее ρзаконопослушность пар (P
, Pi) при всех i ∈ {1, . . . , 4}.
i−1
Рассмотрим подробно эти случаи.
I. Пусть Fl— тот базис, в котором µ11> r/h . Возьмем
Pj= E при j ∈ {1, . . . , l − 1} и Pj= Λ при j ∈ {l, . . . , 3} .
Для каждой пары (P
, Pi) , i = 1, . . . , 4 , пользуясь (29.1),
i−1
построим векторы
u
= (Pi− P
2i−1
u2i= (Pi− P
и матрицыeSi= P
i 6= l имеем равенства u
e
Si= E при i < l иeSi= Λ при i > l . Пользуясь (29.2),
i−1
+ ξ
2i−1
2i−1
i−1
i−1
∗
u
2i−1
= u2i= 0 , тоeSi= P
−1
)∗(F
i
−1
)∗(F
i
, Si= F
)∗e1,
)∗e
2
−1
e
SFi. Так как при
i
i−1
(29.5)
, то есть
найдем определитель матрицы Sl:
det Sl= det(e1e
= det(e1e
∗
1
−1
∗
F
1
l
M + e2e
ΛFl+ e2e
∗
E) = µ11> r/h.
2
∗
2
F
−1
EFl) =
l
Возьмем ρ = min{1, det Λ, r/h} , тогда получим ρ -законопослушность всех пар (P
, Pi) , i = 1, . . . , 4 .
i−1
II. Положим
P1= E + αF1JF
−1
, P2= −E + αF1JF
1
−1
, P3= −E;
1
значение величины α ∈ R уточним ниже. В соответствии с
равенствами (29.5) построим векторы uj, j = 1, . . . , 8 , и, ис-
пользуя (29.2), найдем det Si, i = 1, . . . 4 .
а) Для det S1справедливы соотношения
det S1= det(e1e
∗
F
1
= det(e1e
б) Обозначим F = F
зуясь (29.3), получим
−1
(E + αF1JF
1
∗
(E + αJ) + e2e
1
−1
2
F1, ∆F= e
−1
)F1+ e2e
1
∗
2
∗
F
2
) = 1.
∗
F F∗e1. Тогда, поль-
2
−1
EF1) =
1
det S2= det(e1e
−1
∗
F
(−E + αF1JF
1
2
1
−1
)F2+
§ 29. Глобальная достижимость двумерных систем 315
−1
∗
+e2e
F
2
2
= det(e1e
∗
(−E + αF J F−1) + e2e
1
= det(αF J F−1) −αe
= α2− αe
∗
F F∗e1/ det F − αe
2
(E + αF1JF
∗
F J F−1e2+ αe
2
−1
)F2) =
1
∗
(E + αF J F−1)) =
2
∗
F J F−1e1− 1 =
1
∗
F F∗e2/ det F − 1 =
1
= α2− 2α∆F/ det F − 1.
Выберем величину α из условия detS2= 1 . Решая уравнение
α2− 2α∆F/ det F − 1 = 1 , получим для α два возможных
значения:
α
= ∆F/ det F ±p(∆F/ det F)2+ 2,
1,2
для которых имеет место оценка
|α
| 6 |∆F/ det F|+p(∆F/ det F)2+ 2.
1,2
Так как
∆
det F
F
6
kF∗e1kkF∗e2k
|det F|
6
kF∗k
|det F|
2
=
= kF kkF−1k 6 κ(F1)κ(F2) 6 f2,
то |α| 6 f2+pf4+ 2 6 f2+pf4+ 3f4= 3f2.
в) Пусть G = F
det S3= det(e1e
= det(−e1e
= 1 −αe
∗
+ e2e
1
∗
GJG−1e2= 1 −αe
2
−1
F1, ∆G= e
3
−1
∗
F
(−E)F3+ e2e
1
3
∗
(−E + αGJ G−1)) = −e
2
∗
2
∗
GG∗e1. Тогда
2
−1
∗
F
(−E + αF1JF
2
3
∗
2
(−E + αGJ G−1)e2=
1
−1
)F3) =
GG∗e1/ det G = 1 −α∆G/ det G.
Возьмем в качестве α ту из величин α1и α2, знак которой
противоположен знаку ∆G/ det G (если ∆G= 0 , то выберем
положительную). Тогда det S3= 1 + |α||∆G|/|det G| > 1 .
г) Для det S4имеем равенства
det S4= det(e1e
= det(e1e
−1
∗
F
1
4
∗
M − e2e
1
ΛF4+ e2e
∗
) = −µ11> r/h.
2
−1
∗
F
2
4
(−E)F4) =
316 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Кроме того,
det P1= det(F1(E + αJ)F
−1
) = det(E + αJ) = 1 + α2> 1,
1
det P2= det(−E + αJ) = 1 + α2> 1, det P3= 1, det P4= det Λ.
Поэтому каждая из пар (P
, Pi) , i = 1, . . . , 4 , является ρ-
i−1
законопослушной при ρ = min{1, det Λ, r/h}.
III. Возьмем
P1= E, P2= E + αF2JF
−1
, P3= αF2JF
2
2
−1
;
выбор величины α ∈ R уточним ниже. Используя (29.5), построим векторы uj, j = 1, . . . , 8 . Найдем определители матриц Si, i = 1, . . . , 4 .
a) Так как P0= P1= E , то u1= u2= 0 , следовательно,
S1= E и det S1= 1 .
б) Вычисление det S2аналогично вычислению det S1в
случае II, поэтому det S2= 1 .
в) Положим F = F
соотношениями (29.3), получим
−1
F2, ∆F= e
3
∗
F F∗e1. Пользуясь
2
det S3=
−1
= det(e1e
∗
1
F
3
(αF2JF
= det(e1e
= det(e2e
∗
+ αFJF−1) = det(αF J F−1) + αe
2
= α2det(F J F−1) −αe
−1
)F3+ e2e
2
∗
αF J F−1+ e2e
1
∗
F F∗e2/ det F = α2− α∆F/ det F.
1
−1
∗
F
(E + αF2JF
2
3
∗
(E + αF J F−1)) =
2
∗
F J F−1e1=
1
2
−1
)F3) =
Потребуем det S3= 1 , тогда для α получим два возможных значения
α
= ∆F/(2 det F) ±p(∆F/(2 det F))2+ 1,
1,2
и оценки
|α| 6 f2/2 +pf4/4 + 1 6 (f2+pf4+ 8f4)/2 = 2f2,
|α| >p(∆F/(2 det F))2+ 1 − |∆F|/(2|det F|) =
= (p(∆F/(2 det F))2+ 1 + |∆F|/(2|det F|))−1>
§ 29. Глобальная достижимость двумерных систем 317
> (f2/2 +pf4/4 + 1)−1> (2f2)−1.
г) Обозначим G = F
−1
det S4= det(e1e
∗
F
1
4
= det(e1e
= µ11αe
= α(µ11e
∗
GJG−1e2− µ12αe
2
∗
GG∗e1/ det G + µ12e
2
−1
F2, ∆G= e
4
ΛF4+ e2e
∗
M + αe2e
1
∗
GG∗e1. Тогда
2
−1
∗
F
(αF2JF
2
4
∗
GJG−1) =
2
∗
GJG−1e1=
2
∗
GG∗e2/ det G) =
2
2
−1
)F4) =
= α(µ11∆G+ µ12kG∗e2k2)/ det G.
Так как в рассматриваемом случае |µ11| < r/h , причем h >
> 2 , то из (29.4) следует, что |µ12| > r . Возьмем в качестве
α ту из величин α1и α2, знак которой совпадает со знаком
µ12/ det G . Тогда из неравенства κ(G) 6 κ (F2)κ(F4) 6 f2и
оценки снизу для |α| вытекает, что
det S4> |α|(|µ12|kG∗e2k2− |µ11||∆G|)/|det G| >
> |α|(|µ12| min
kG∗xk2− |µ11| max
kxk=1
kG∗xk2)/|det G| >
kxk=1
> r|α|(kG−1k−2− kGk2/h)/|det G| =
= r|α|(h −kG−1k2kGk2)/(h|det G|kG−1k2) >
> r|α|(2f4− f4)/(2f4kG−1k2|det G|) =
= r|α||det G|/(2kG−1kkGk |det G|) =
= r|α|/(2kG−1kkGk) > r|α|/(2f2) > r/(4f4).
Кроме того,
det P1= 1, det P2= 1 + α2> 1,
det P3= α2det J = α2> (4f4)−1, det P4= det Λ,
поэтому все пары (P
, Pi) при i = 1, . . . , 4 являются ρ -за-
i−1
конопослушными при ρ = min{det Λ, r/(4f4), 1/(4f4)}.
Возьмем ρ = min{det Λ, det Λ/(8f5kΛk), 1/(4f4)}. В каж-
дом из трех возможных случаев построен ρ -легальный маршрут от E к Λ . Лемма доказана.
318 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
С л е д с т в и е 29.1 [135]. Для любых обратимых матриц
F1, F2, F3, F4∈ M2и для любой матрицы Λ ∈ M2с положи-
тельным определителем существуют такие 2 ×2-матрицы
1
H1, H2, H3, H4∈H, что Λ =
Y
FjHjF
j=4
j
−1
.
С л е д с т в и е 29.2 [135]. Для любого γ > 1 существуют
такие r > 0 и ρ > 0 , что для произвольных обратимых
матриц Fi∈ M2, kFik 6 γ , kF
любой матрицы Λ ∈ M2с положительным определителем,
−1
k 6 γ , i = 1, 2, 3, 4 , и для
i
kΛk 6 γ , kΛ−1k 6 γ , найдутся 2 ×2-матрицы Hi∈H(r, ρ) ,
i = 1, 2, 3, 4 , такие, что
1
Λ =
Y
FjHjF
j=4
j
−1
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть γ > 1 . Возьмем любые F1,
F2, F3, F4∈ M2такие, что kFik 6 γ , kF
вольную матрицу Λ ∈ M2с положительным определителем,
−1
k 6 γ , и произ-
i
kΛk 6 γ , kΛ−1k 6 γ . Тогда
kΛk−16 kΛ−1k 6 γ, kΛ−1k−16 kΛk 6 γ,
поэтому
det Λ =
kΛk
kΛ−1k
6 γ2, det Λ >
1
.
2
γ
Для величины f := maxiκ(Fi) имеем оценку f 6 γ2.
Пусть F1, . . . , F4— базисы пространства R2, матрицы
которых совпадают с F1, . . . , F4. Из леммы 29.2 вытекает существование ρ0-легального маршрута от E к Λ относитель-
,
det Λ
8f5kΛk
1
4
4f
>
4γ
но базисов F1, . . . , F4, где ρ0= mindet Λ,
скольку
1
det Λ >
det Λ
,
2
γ
8f5kΛk
1
>
13
8γ
1
,
1
8
4f
. По-
4
,
справедливо неравенство
ρ0> min
1
1
,
2
13
γ
8γ
1
,
8
4γ
1
=
8γ
13
=: ρ1,
§ 29. Глобальная достижимость двумерных систем 319
поэтому построенные при доказательстве леммы 29.2 матрицы
P1, P2, P3в каждом из случаев I – III образуют ρ1-легальный
маршрут от E к Λ .
1
Из леммы 29.1 следует, что Λ =
j−1
j
−1
Q
i=1
PjP
∈H(ρ1) , Hj∈H(ρ1/
= FjHjF
j
−1
P
, j = 1, . . . , 4 , следовательно,
j−1
Hj= F
Y
FjHjF
j=4
det Hi) , j = 2, 3, 4 , при этом Pj=
−1
Fj, j = 1, . . . , 4.
j−1
−1
, где H1∈
j
Отсюда при каждом j ∈ {1, 2, 3, 4}
kHj− Ek 6 kHjk + 1 6 κ(Fj)kPjP
det Hj=
det P
det P
−1
k + 1 6 γ2kPjP
j−1
j
.
j−1
−1
j−1
k + 1,
Найдем зависящие от γ величины r и ρ , такие, что Hj∈
∈H(r, ρ) , j = 1, . . . , 4 . Для этого вновь рассмотрим случаи
I – III.
I. а) При j < l : P
= Pj= E , поэтому kPjP
j−1
−1
j−1
k = 1 ,
det Hj= 1 .
б) При j = l : P
= E , Pl= Λ , поэтому kPlP
l−1
−1
l−1
k =
= kΛk, det Hl= det Λ .
в) При j > l : P
= Pj= Λ , поэтому kPjP
j−1
−1
j−1
k = 1 ,
det Hj= 1 .
Следовательно, в случае I
kHj− Ek 6 γ2max{1, kΛk} + 1 6 γ3+ 1, j = 1, 2, 3, 4,
j−1
Y
det Hi6 max{1, det Λ}6 γ2, j = 2, 3, 4,
i=1
то есть
Hj∈
H
8γ
1
15
, j = 2, 3, 4,
ρ
1
=
H
2
γ
320 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
H1∈H(ρ1) ⊂
H
8γ
1
.
15
II. а) det H1= det P1= 1 + α2,
−1
kP1P
k = kP1k 6 1 + |α|κ(F1)kJk 6
0
6 1 + |α|f 6 1 + 3f36 1 + 3γ66 4γ6.
2
1 + α
1 + α
2
= 1 ,
(1 + |α|f)
2
1 + α
2
6
б) det H2=
−1
kP2P
k 6 kP2kkP
1
det P
det P
det(−E + αJ)
2
=
det(E + αJ)
1
−1
k =
1
kP2kkP1k
|det P1|
=
6
6 (1 + |α|f)26 (1 + 3f3)26 (1 + 3γ6)26 (4γ6)2= 16γ12.
в) det H2=
−1
kP3P
2
det P
det P
k = kP
3
2
det(−E)
=
det(−E + αJ)
k =
kP2k
|det P2|
2
−1
=
1 + |α|f
6
1 + α
1 + α
1
,
2
6
2
6 1 + |α|f 6 1 + 3f36 1 + 3γ66 4γ6.
г) kP4P
−1
k = kP4k = kΛk 6 γ .
3
Таким образом, в случае II
kHj−Ek 6 γ2max{4γ6, 16γ12, γ}+ 1 = 16γ14+1, j = 1, 2, 3, 4,
j−1
Y
det Hi6 max{1 + α2, 1} = 1 + α26
i=1
6 1 + 9f46 1 + 9γ86 10γ8, j = 2, 3, 4,
то есть
Hj∈
H
ρ
10γ
1
=
H
8
80γ
1
, j = 2, 3, 4,
21
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]