Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 23. Необходимость равномерной полной управляемости 231
к ФСР x1(·), . . . , xn(·) системы (19.1) и к совокупности индексов I = {1, . . . , n} , найдем величины β и δ . Возьмем любое
ε > 0 и произвольный набор чисел ν1< ··· < νn, такой, что
η := max{|νi− µi| : i = 1, . . . , n} 6
1
minα,
2
ε
β
, δ.
В силу теоремы 20.1 существует управление U(·) ∈ KCn(R+) ,
kUkC6 βη < ε , обеспечивающее при каждом j ∈ {1, . . . , n}
для решения ¯xjвозмущенной системы
˙x = (A(t) + U(t))x (22.4)
с начальным условием ¯xj(0) = xj(0) равенство λ[¯xj] = νj.
Все числа νjразличны, поэтому полный спектр показателей
Ляпунова системы (22.4) состоит из чисел ν1, . . . , νn, при этом
|λ
− νi| = |λ
i
0
> |λ
− µi| − |µi− νi| > α −
i
0
Следовательно, показатель λ
С л е д с т в и е 22.1 [138]. Если показатели Ляпунова си-
− µi+ µi− νi| >
i
0
α
α
=
, i = 1, . . . , n.
2
2
системы (19.1) неустойчив.
i
0
стемы (19.1) устойчивы, то всякая ее расчлененная ФСР нормальна.
П р и м е р 22.1 (продолжение). Поскольку система (22.1)
имеет расчлененную не нормальную ФСР, ее показатели Ляпунова неустойчивы.
§ 23. Необходимость условия равномерной
полной управляемости для локальной
управляемости показателей Ляпунова
В этом параграфе вводится понятие равномерной ло-
кальной управляемости показателей замкнутой си-
стемы и изучается вопрос о необходимости условия
равномерной полной управляемости для равномерной
локальной управляемости показателей Ляпунова.
Вернемся к рассмотрению семейства линейных управляемых систем с наблюдателем
˙x = A(ftσ)x + B(ftσ)u, y = C∗(ftσ)x, (23.1)
232 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
заданных динамической системой (Σ, ft) и функцией ϕ :=
= (A, B, C) : Σ → M
n,n+m+r
. Будем предполагать, что для
каждого σ0∈ Σ функция t 7→ kϕ(ftσ0)k измерима по Лебегу,
ограничена на R и для любых ε > 0 и N > 0 найдется такое
δ > 0 , что выполнено неравенство
t+1
Z
max
|t|6N
kϕ(fsσ) −ϕ(fsσ0)kds < ε, (23.2)
t
как только ρ(σ, σ0) < δ ( ρ — метрика в Σ ). Систему (23.1)
будем отождествлять с парой (ϕ, σ) .
Пусть U : R+× Σ → Mmr— ограниченная измеримая
функция. Обозначим через λ1(σ, U ) 6 . . . 6 λn(σ, U ) полный
спектр показателей Ляпунова замкнутой системы
˙x = (A(ftσ) + B(ftσ)U C∗(ftσ))x. (23.3)
Полный спектр свободной системы
˙x = A(ftσ)x, x ∈ Rn, (23.4)
отвечающей U(t, σ) ≡ 0 , будем обозначать λ1(σ) 6 . . . 6
6 λn(σ) .
О п р е д е л е н и е 23.1 [181]. Будем говорить, что система
(ϕ, σ0) обладает свойством равномерной (относительно σ ) ло-
кальной управляемости показателей Ляпунова, если для любого
ε > 0 существует δ > 0 такое, что для каждой точки σ ∈
∈ γ+(σ0) и каждого вектора µ = (µ1, . . . , µn) ∈ Bδ(0) ⊂ Rn,
удовлетворяющего условиям
λ
i+1
(σ) + µ
> λi(σ) + µi, i = 1, . . . , n −1,
i+1
найдется управление U : R+× γ+(σ0) → Bε(0) ⊂ Mmr, обеспечивающее равенства
λi(σ, U ) = λi(σ) + µi, i = 1, . . . , n.
Для формулировки и доказательства достаточных условий равномерной (относительно σ ) локальной управляемости
показателей Ляпунова нам понадобится ряд утверждений о семействе однородных систем (23.4). При каждом фиксированном σ ∈ Σ всякая система вида (23.4) — это обычная линейная однородная дифференциальная система, поэтому для нее
§ 23. Необходимость равномерной полной управляемости 233
можно сформулировать обычные определения теории линейных систем.
О п р е д е л е н и е 23.2 (Б. Ф. Былов [25]). Система (23.4),
отождествляемая с σ ∈ Σ , называется системой с интегральной разделенностью, если она имеет ФСР x1(·, σ), . . . , xn(·, σ) ,
обладающую свойством: существуют такие c > 0 и d > 0 ,
что для всех 0 6 s 6 t и j ∈ {1, 2, . . . , n − 1} справедливы
неравенства
kx
kx
j+1
j+1
(t, σ)k
(s, σ)k
> de
c(t−s)
kxj(t, σ)k
kxj(s, σ)k
. (23.5)
З а м е ч а н и е 23.1. Б. Ф. Былов и Н. А. Изобов [28] доказали, что (23.4) — система с интегральной разделенностью
в том и только том случае, когда существует ляпуновское преобразование x = L(t, σ)y , приводящее ее к специальному диагональному виду
˙y = P (t, σ)y, P (t, σ) = diag(p1(t, σ), . . . , pn(t, σ)), (23.6)
в котором функции pi(·, σ), p
(·, σ) , i = 1, 2, . . . , n −1 , инте-
i+1
грально отделены, то есть существуют α > 0 и β такие, что
при всех 0 6 s 6 t выполнено неравенство
t
Z
(p
(τ, σ) − pi(τ, σ)) dτ > α(t −s) + β.
i+1
s
П р е д л о ж е н и е 23.1 [181]. Если (23.4) — система с интегральной разделенностью, то сопряженная к ней система
∗
˙
ξ = −ξA(ftσ), ξ ∈ R
n
, (23.7)
также является системой с интегральной разделенностью.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x = L(t, σ)y — ляпуновское
преобразование, приводящее систему (23.4) к диагональному
виду (23.6) с интегрально отделенными функциями pi(·, σ) ,
p
(·, σ) , i = 1, . . . , n − 1 . Тогда
i+1
A(ftσ) =˙L(t, σ)L−1(t, σ) + L(t, σ)P(t, σ)L−1(t, σ),
234 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
где˙L(t, σ) :=
d
L(t, σ) , поэтому
dt
˙
L(t, σ) = A(ftσ)L(t, σ) − L(t, σ)P (t, σ).
Применим преобразование η = ξL(t, σ) к системе (23.7), получим
˙η =˙ξL(t, σ) + ξ˙L(t, σ) =
= −ξA(ftσ)L(t, σ) + ξ(A(ftσ)L(t, σ) − L(t, σ)P (t, σ)) =
= −ξL(t, σ)P (t, σ) = −ηP(t, σ).
Таким образом, преобразование η = ξL(t, σ) приводит систему (23.7) к диагональной системе
∗
˙η = ηH(t, σ), η ∈ R
n
,
где
H(t, σ) = diag(h1(t, σ), . . . , hn(t, σ)) = −P (t, σ),
следовательно,
hi(t, σ) = −pi(t, σ), i = 1, . . . , n.
При всех i ∈ {1, . . . , n − 1} и 0 6 s 6 t справедливы неравенства
то есть функции h
t
Z
(hi(τ, σ) − h
s
(τ, σ)) dτ > α(t −s) + β,
i+1
(·, σ), hi(·, σ) , i = 1, 2, . . . , n − 1 , инте-
i+1
грально отделены. Предложение доказано.
Л е м м а 23.1 [181]. Если σ0∈ Σ — система с интеграль-
ной разделенностью, то всякая σ ∈ γ(σ0) также является
системой с интегральной разделенностью.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим фактор-отображение
Λ , которое каждой системе σ ∈ Σ ставит в соответствие функцию t 7→ F (t) = A(ftσ) , отождествляемую с системой
Обозначим
˙x = F(t)x. (23.8)
R = {F : R → Mn| ∃σ ∈ Σ : F (·) = Λσ}.
§ 23. Необходимость равномерной полной управляемости 235
Отметим, что в силу условия (23.2) отображение Λ : Σ → R
непрерывно в метрике
t+1
ρ0(F,bF ) = sup
t∈R
min
Z
|F (s) −bF (s)|ds,
t
|t|
1
.
Очевидно, что если σ ∈ Σ — система с интегральной
разделенностью, то и Λσ ∈ R обладает тем же свойством;
обратно, если для σ ∈ Σ не выполнено (23.5), то Λσ ∈ R
не является системой с интегральной разделенностью.
На R введем динамическую систему сдвигов: для каждой F ∈ R положим gτF (·) = F (·+ τ) .
Пусть σ0∈ Σ — система с интегральной разделенно-
стью. Обозначим F0= Λσ0и R0= cl {gτF0| τ ∈ R}, где
cl M — замыкание множества M в метрике ρ0. Докажем,
что всякая система F ∈ R0является системой с интегральной разделенностью.
Пусть L0: R → Mn— матрица Ляпунова такая, что
преобразование y = L0(t)x приводит систему
˙x = F0(t)x
к диагональному виду
˙y = D0(t)y, D0(t) = diag(d
причем функции d
0
(·), d
i
0
(t), . . . , d
1
0
(·), i = 1, . . . , n − 1 , интегрально
i+1
0
n
(t)),
отделены, то есть существуют такие α > 0 и β , что при всех
0 6 s 6 t выполнено неравенство
t
Z
0
(d
(τ) −d
i+1
s
Возьмем произвольную функцию F ∈ R0. Пусть последовательность {τi}
→ ∞ в метрике ρ0. Тогда [215] существуют ляпуновское пре-
∞
i=1
образование L ∈ R(L0) и подпоследовательность {τi}
кие, что L
→ L , L
τ
i
0
(τ)) dτ > α(t − s) + β. (23.9)
i
τ
такова, что g
−1
→ L−1(в метрике ρ0),˙L
τ
i
i
F0:= F
→ F при i →
τ
i
∞
i=1
сходится
τ
i
та-
слабо к˙L , последовательность
D
τ
:=˙L
i
−1
L
+ L
τ
τ
i
i
−1
F
L
τ
τ
τ
i
i
i
236 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
сходится слабо к некоторой измеримой и ограниченной функции D : R → Mn, то есть для любого ε > 0 и любой локально
интегрируемой функции t 7→ Q(t) ∈ Mnсуществует i0∈ N
такое, что
Z
|t|6ε
−1
Q(t)(D
(t) −D(t)) dt
τ
i
Докажем, что D(t) = {dkl(t)}
Отметим, что D
положим
(t) = {d
τ
i
i
kl
(t)}
< ε, i > i0. (23.10)
n
— диагональная матрица.
k,l=1
n
— диагональна. В (23.10)
k,l=1
Q(t) = q(t)E,
где q : R → R — произвольная локально интегрируемая функция. Тогда из (23.10) вытекают неравенства
Z
|t|6ε
−1
q(t)(d
i
− dkl) dt
kl
< ε
для всех k, l ∈ {1, . . . , n}, ε > 0 и i > i0(ε, q(·)) . В частности,
при всех k 6= l выполнено неравенство
Z
|t|6ε
q(t)dkl(t) dt
−1
< ε.
Возьмем q(t) = dkl(t) , получим соотношение
Z
2
d
(t) dt < ε.
kl
−1
|t|6ε
Так как для любого отрезка [t0, t1] при достаточно малых положительных ε имеет место включение [t0, t1] ⊂ [−ε−1, ε−1] ,
то
Z
t∈[t0,t1]
2
d
kl
(t) dt <
|t|6ε
Z
2
d
(t) dt < ε.
kl
−1
Устремляя здесь ε к нулю, получим dkl(t) ≡ 0 на [t0, t1] ,
и, следовательно, dkl(t) ≡ 0 на R при всех k 6= l , то есть
D(t) — диагональная матрица.
§ 23. Необходимость равномерной полной управляемости 237
Покажем, что для матрицы D(t) = diag(d1(t), . . . , dn(t))
справедливы неравенства (23.9). Действительно, для всех матриц
D
(t) := diag(d
τ
i
i
(t), . . . , d
1
i
n
(t))
они выполнены. Зафиксируем произвольные 0 6 s 6 t и возьмем любое ε > 0 , такое, что [s, t] ⊂ [−ε−1, ε−1]. Тогда
α(t−s) + β 6
t
Z
+
s
Z
6
−1
|t|6ε
t
Z
+
(d
k+1
s
t
Z
i
(d
k+1
s
|dk(τ) −d
i
|d
(t) −d
k+1
(τ)−d
i
(τ)|dτ +
k
k+1
i
(τ)) dτ 6
k
(t)|dt +
(τ) −dk(τ)) dτ 6 2ε +
Z
s
t
Z
|d
s
t
(d
(τ) −dk(τ)) dτ 6
k+1
Z
−1
|t|6ε
t
Z
(d
k+1
s
i
(τ)−d
k+1
|dk(t) −d
k+1
i
(t)|dt+
k
(τ) −dk(τ)) dτ.
(τ)|dτ+
Устремляя ε к нулю в доказанном неравенстве
t
Z
α(t − s) + β 6 2ε +
(d
(τ) −dk(τ)) dτ,
k+1
s
получим, что диагональная матрица D(·) удовлетворяет соотношениям (23.9), поэтому (23.8) — система с интегральной
разделенностью.
Покажем, что если σ ∈ γ(σ0) , то Λσ ∈ R0. Действительно, из включения σ ∈ γ(σ0) следует существование по-
следовательности {τi}
∞
i=1
lim
i→∞
такой, что
τ
i
ρ(σ, f
σ0) = 0.
С другой стороны, отображение Λ : Σ → R непрерывно, поэтому
lim
i→∞
ρ0(Λσ, Λ(f
τ
i
σ0)) = 0,
238 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
следовательно,
lim
i→∞
ρ0(Λσ, g
τ
i
(Λσ0)) = lim
i→∞
ρ0(Λσ, g
τ
i
F0) = 0,
а это означает, что Λσ ∈ R0.
В силу доказанного, всякая система σ из γ(σ0) есть система с интегральной разделенностью. Это следует из включения
Λ(γ(σ0)) ⊂ R
0
и интегральной разделенности всех систем, расположенных в
R0. Лемма доказана.
Л е м м а 23.2 [181]. Если (23.8) — система с интеграль-
ной разделенностью, то для всякой нормальной ФСР x1(·) ,
x2(·), . . . , xn(·) системы (23.8), упорядоченной по возрастанию показателей Ляпунова, выполнено свойство: существуют T > 0 , c > 0 , d > 0 , такие, что для всех t > T ,
s ∈ [0, t] и j ∈ {1, . . . , n −1} выполнено неравенство
kx
kx
j+1
j+1
(t)k
(s)k
> de
c(t−s)
kxj(t)k
kxj(s)k
. (23.11)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как (23.8) — система с интегральной разделенностью, то она имеет ФСР y1(·), . . . , yn(·)
такую, что найдутся c > 0 и d > 0 , обеспечивающие при всех
0 6 s 6 t и j ∈ {1, . . . , n −1} неравенства
ky
ky
j+1
j+1
(t)k
(s)k
> de
c(t−s)
kyj(t)k
kyj(s)k
.
Зафиксируем k ∈ {1, . . . , n} и рассмотрим разложение решения xk(·) по базису y1(·), . . . , yn(·) :
k
xk(t) =
X
αjyj(t), αk6= 0.
j=1
То, что суммирование здесь производится только до k , следует из нормальности фундаментальных систем x1(·), . . . , xn(·)
§ 23. Необходимость равномерной полной управляемости 239
и y1(·), . . . , yn(·) и из упорядоченности этих ФСР по возрастанию показателей. Из [25] вытекает существование такого положительного Bk, что для всех 0 6 s 6 t выполнено неравенство
kxk(t)k
kxk(s)k
6 B
kyk(t)k
k
kyk(s)k
,
поэтому
ky
(t)k
ky
k+1
k+1
(s)k
kxk(t)k
:
kxk(s)k
ky
(t)k
k+1
>
ky
(s)k
k+1
: B
kyk(t)k
k
kyk(s)k
> e
c(t−s)
d
.
B
k
Далее,
kxk(t)k 6 B
kxk(0)k
k
kyk(0)k
kyk(t)k =: Ckkyk(t)k,
следовательно,
k
kyk(t)k
>
Ckkyk(s)k
kxk(t)k
kxk(s)k
|αk| −
P
j=1
>
Ckkyk(s)k
k−1
X
|αj|kyj(t)k
j=1
αjyj(t)
kyk(t)k
>
kyk(t)k
> d
k
kyk(s)k
,
здесь dk> 0 не зависит от t и s , а последнее неравенство
выполнено при достаточно больших t . Это следует из соотношения λ[yj] < λ[yk] при j = 1, . . . , k − 1 , которое влечет
равенство
k−1
X
lim
t→∞
|αj|kyj(t)k
j=1
kyk(t)k
= 0.
Поэтому
kxk(t)k
kxk(s)k
ky
(t)k
k−1
:
ky
(s)k
k−1
> d
kyk(t)k
k
kyk(s)k
ky
(t)k
k−1
:
ky
(s)k
k−1
> dkde
c(t−s)
для всех достаточно больших t и всех s ∈ [0, t] .
Повторяя доказательство для j 6= k , где вместо базиса
y1(·), . . . , yn(·) рассматривается базис y1(·), . . . , y
(·), xk(·) ,
k−1
240 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
y
(·), . . . , yn(·) , и продолжая этот процесс преобразования
k+1
базиса, можно убедиться в справедливости неравенств (23.11).
Лемма доказана.
З а м е ч а н и е 23.2 [181]. Используя метод доказательства
диагонализируемости систем с интегральной разделенностью
(Б. Ф. Былов [25]), можно проверить, что для всякой нормальной ФСР x1(·), . . . , xn(·) системы (23.8) выполнены неравенства
βij(t) := ^(xi(t), xj(t)) > β
с некоторой константой β > 0 при всех i 6= j и t ∈ R+.
Т е о р е м а 23.1 [181]. Если система (ϕ, σ) равномерно
согласованна, свободная система (23.4) диагонализируема и
множество γ+(σ) — компакт, то система (ϕ, σ) обладает
свойством равномерной локальной управляемости показателей Ляпунова.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как система (23.4) диагонализируема, то каждая из систем σ0∈ γ+(σ) некоторым ляпу-
новским преобразованием также приводится к диагональному
виду. Это можно проверить, используя метод доказательства
леммы 23.2.
Зафиксируем произвольное σ0∈ γ+(σ) . Из теоремы 17.5
вытекает, что система (ϕ, σ0) обладает свойством локальной
управляемости показателей Ляпунова, то есть для любого ε >
> 0 существует такое δ = δ(ε, σ0) > 0 , что для каждого вектора µ = (µ1, . . . , µn) ∈ Bδ(0) ⊂ Rn, удовлетворяющего условиям
λ
i+1
(σ) + µ
> λi(σ) + µi, i = 1, . . . , n −1,
i+1
найдется управление U : R+→ Bε(0) ⊂ Mmr, обеспечивающее
выполнение равенств
λi(σ0, U ) = λi(σ0) + µi, i = 1, . . . , n.
Но все системы (ϕ,σ0) , σ0∈ γ+(σ) равномерно согласованны
с одними и теми же константами ϑ и l (см. определение 6.2),
поэтому величина δ(ε, σ0) в действительности от σ0не зависит и может быть выбрана одной и той же для всех σ0∈
∈ γ+(σ) . Следовательно, система (ϕ, σ) обладает свойством
равномерной локальной управляемости показателей Ляпунова. Теорема доказана.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]