Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 20. Показатели расчлененных систем 211
§ 20. Локальная управляемость
показателей Ляпунова расчлененных систем
В этом параграфе доказана локальная управляемость полного спектра показателей Ляпунова системы (16.4) при условии равномерной полной управляемости системы (16.1) и расчлененности свободной системы (19.1) (теорема 20.1 и ее следствия).
Для доказательства основных утверждений этого пара-
графа нам понадобятся две леммы.
Л е м м а 20.1 [139]. Пусть a : N → R и b : N → R+—
произвольные ограниченные отображения и
ψ(µ) := lim
(a(k) + µb(k)).
k→∞
Тогда справедливы следующие утверждения.
1) Функция ψ : R → R выпукла и липшицева на R .
2) Если существует строго возрастающая последова-
тельность натуральных чисел {kj}
lim
a(kj) = ψ(0), ρ := lim
j→∞
∞
j=1
j→∞
b(kj) > 0,
такая, что
то функция ψ (строго) монотонно возрастает на полуоси
[0, +∞[ , и при всех µ > 0 выполнена оценка ψ(µ)−ψ(0) > ρµ .
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Имеем равенство
ψ(µ) = lim
k→∞
sup
(a(m) + µb(m)).
m>k
При любом k ∈ N функция
ψk(µ) := sup
(a(m) + µb(m))
m>k
выпукла как поточечная верхняя грань семейства выпуклых
(аффинных) функций согласно теореме 5.5 из [193, с. 52] и
удовлетворяет двусторонней оценке
−∞ < inf
k∈N
6 sup
k∈N
a(k) −|µ|sup
k∈N
a(k) + |µ|sup
k∈N
b(k) 6 ψk(µ) 6
b(k) < +∞.
(20.1)
212 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
В силу ограниченности функций a(k) и b(k) предел монотонно убывающей по k последовательности выпуклых функций
ψk(µ) существует и конечен, поэтому согласно теореме 10.8
из [193, с. 107] функция ψ(µ) = lim
ψk(µ) является выпук-
k→∞
лой на R . Так как оценки (20.1) сохраняются при предельном
переходе, отсюда в силу следствия 10.5.2 из [193, с. 104] получаем, что функция ψ липшицева с константой Липшица
L 6 sup{b(k) : k ∈ N}.
2) Для любого µ > 0 имеем оценку
ψ(µ) > lim
(a(kj) + µb(kj)) = ψ(0) + µ lim
j→∞
b(kj) = ψ(0) + ρµ.
j→∞
Возьмем произвольные µ2> µ1> 0 . Тогда
ψ(µ2) > ψ(0) + ρµ2> ψ(0)
и поэтому из определения выпуклости получаем неравенство
ψ(µ1) 6 (1 − µ1/µ2)ψ(0) + (µ1/µ2)ψ(µ2) <
< (1 − µ1/µ2)ψ(µ2) + (µ1/µ2)ψ(µ2) = ψ(µ2).
Лемма доказана.
С л е д с т в и е 20.1 [139]. В условиях пункта 2 леммы 20.1
для любого s > 0 существует число µs, 0 6 µs6 ρ−1s ,
такое, что ψ(µs) = ψ(0) + s .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы имеем неравенство
ψ(ρ−1s) > ψ(0) + s.
Так как функция ψ липшицева, она непрерывна, поэтому найдется µs∈ [0, ρ−1s] такое, что ψ(µs) = ψ(0) + s .
Л е м м а 20.2 [139]. Пусть V — некоторое векторное
подпространство Rn, dim V = n − 1 и p ∈ Rn\ V — про-
извольный ненулевой вектор. Если линейный оператор H ∈
∈ End(Rn) удовлетворяет условиям H p = p и Hx = 0 при
x ∈ V , то его норма может быть вычислена по формуле
kHk = 1/ sin α , где α — угол между подпространством V и
вектором p .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как dim V = n − 1 , каждый
вектор x ∈ Rnможно представить в виде x = y + tp , где
§ 20. Показатели расчлененных систем 213
y ∈ V , t ∈ R . Применяя к обеим частям этого равенства
оператор H , получим соотношение Hx = H y + tHp = tp .
Возьмем произвольный вектор q, kqk = 1 , ортогональный
подпространству V . Учитывая равенства (q, x) = t(q, p) и
(q, p) = kpksin α , справедливые по построению, будем иметь
представление
Hx = (kpksin α)−1(q, x)p.
Отсюда следуют оценка kHk 6 (sin α)−1для нормы H и
равенство kHqk = 1/ sin α , означающее ее достижимость.
Т е о р е м а 20.1 [139]. Пусть система (16.1) ϑ-равномер-
но вполне управляема и x1(·), . . . , xn(·) — произвольная ФСР
соответствующей свободной системы (19.1). Пусть также
I ⊂ {1, . . . , n} — совокупность индексов i , для каждого из
которых решение xi(·) является отчлененным. Тогда существуют такие β > 0 и δ > 0 , что для любых ξi∈ [0, δ] ,
i ∈ I , и любого η ∈ [−δ, δ] найдется матричное управление
U ∈ KCmn(R+) , kU kC6 β max{|η|; |η + ξi| : i ∈ I} , обес-
печивающее для решений ¯x1(·), . . . , ¯xn(·) замкнутой системы (16.4) с начальными условиями ¯xj(0) = xj(0), j = 1, . . . , n ,
равенства
λ[¯xi] = λ[xi] + η + ξiпри i ∈ I,
λ[¯xi] = λ[xi] + η при i /∈ I.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из отчлененности решений xi, i ∈
∈ I , следует существование такого γ ∈ ]0, π/2] и таких реа-
лизующих последовательностей {kj(i)ϑ}
решений, что
ρi:= lim
j→∞
γ
g
(kj(i)) > 0
i
∞
, kj(i) ∈ N , этих
j=1
для всякого i ∈ I . Заметим, что при этом всегда выполнено
неравенство ρi6 1 , поскольку
sup{gi(k) : k ∈ N, i ∈ I} 6 1.
Отсюда в силу леммы 20.1 и следствия 20.1 вытекает, что каждая из функций
γ
Λ
(µ) := lim
i
k→∞
(fi(k) + µg
γ
i
(k))
214 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
удовлетворяет оценке
λ[xi] + µ > Λ
γ
(µ) > λ[xi] + ρµ,
i
где ρ := min{ρi: i ∈ I}, и для любого s > 0 существует
i
µ
∈ [0, ρ−1s] такое, что
s
γ
i
Λ
(µ
) = λ[xi] + s.
s
i
Так как до конца доказательства число γ будет предполагаться фиксированным, верхний индекс γ далее будем опускать.
Поскольку система (16.1) является ϑ-равномерно вполне
управляемой, в силу теоремы 12.1 найдутся такие α > 0 и
r > 0 , что для любых t0∈ R и H ∈ Br(E) существует кусочно непрерывное управление U (·) , удовлетворяющее оценке kU kC6 αkH − Ek и обеспечивающее для матрицы Коши
XU(t, s) замкнутой системы (12.5) при U = U (·) выполнение
равенства
XU(t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)H.
Определим положительную величину δ1из условия
±ϑδ
|e
1
− 1| < L1:=
r sin γ
n
и положим L := max{ϑ, L1/δ1}. Тогда для всех s ∈] −∞, δ1]
справедливо неравенство |eϑs− 1| 6 L|s|. Действительно, в
силу выпуклости экспоненциальной функции при s 6 0 выполнено соотношение
|eϑs− 1| = 1 −eϑs6 −ϑs = ϑ|s|,
а при 0 < s 6 δ1— соотношение
ϑδ
|eϑs− 1| 6 |e
1
− 1|s/δ1< L1s/δ1.
Положим δ = δ1ρ/6 . Возьмем произвольные величины
η ∈ [−δ, δ] и ξi∈ [0, δ] , i ∈ I . Пусть
ε := max{|η|; |η + ξi| : i ∈ I}.
Тогда
ε 6 2δ, |η| 6 ε, 0 6 ξi= ξi+ η − η 6 |ξi+ η|+ |η| 6 2ε
§ 20. Показатели расчлененных систем 215
при всех i ∈ I . Пусть величины µi, i ∈ I , определяются
из условий Λi(µi) = λ[xi] + ξi. Поскольку ξi> 0 , числа µ
определены корректно и при всех i ∈ I имеем оценки
µi> Λ(µi) −λ[xi] = ξi> ρµi> 0.
При каждом k ∈ N определим линейный оператор Hk∈
∈ End(Rn) равенствами
Hkxi(kϑ) = xi(kϑ) exp si(k)ϑ, i = 1, . . . , n, (20.2)
где si(k) = η + µiпри i ∈ I , k ∈ Γiи si(k) = η во всех
остальных случаях. Тогда имеем оценки
i
|si(k)| = |η| 6 ε 6 2δ < δ
1
при i /∈ I , k ∈ N , и
|si(k)| 6 |η| + µi6 |η| + ρ−1ξi6
6 (1 + 2ρ−1)ε 6 2(1 + 2ρ−1)δ = 2(ρ + 2)δ1/6 6 δ
1
при i ∈ I , k ∈ N . По выбору δ1отсюда следует, что
ϑsi(k)
|e
|e
ϑsi(k)
− 1| 6 L|si(k)| 6 (2ρ−1+ 1)Lε.
− 1| 6 L1,
Векторы x1(kϑ), . . . , xn(kϑ) при каждом k ∈ N линейно
независимы по определению ФСР и в силу (20.2) являются собственными векторами оператора Hk. Это означает, что Hk—
оператор простой структуры, и поэтому согласно теореме 2.5.1
из [110, с. 64] он может быть представлен в виде суммы
n
X
Hk=
в которой корневые проекторы P
i
P
xj(kϑ) =
k
i
P
exp ϑsi(k),
k
i=1
i
определяются условиями
k
xi(kϑ) при j = i,
0 при j 6= i,
216 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
n
X
причем
оценку kP
kHk−Ek = k
i
P
= E при всех k ∈ N . В силу леммы 20.2 имеем
k
i=1
i
k 6 1/ sin γ и, следовательно, неравенства
k
n
X
(exp ϑsi(k)−1)P
i=1
i
k
k 6
n
X
|exp ϑsi(k)−1|kP
i=1
6 n|exp ϑδ1− 1|/ sin γ < nL1/ sin γ = r
и, кроме того,
kHk− Ek 6 n| exp ϑδ1− 1|/ sin γ 6 (n/ sin γ)(2ρ−1+ 1)Lε.
Из теоремы 12.1 теперь получаем существование такого
управления U (·) ∈ KCmn(R+) , что имеет место оценка
i
k 6
k
kUkC< α sup
kHk− Ek 6 βε,
k∈N
где
nα(2ρ−1+ 1)L
β =
sin γ
,
и при всех k ∈ N выполнено равенство
XU(kϑ + ϑ, kϑ) = X(kϑ + ϑ, kϑ)Hk.
Для системы (16.4) с таким управлением рассмотрим ФСР
¯x1(·), . . . , ¯xn(·) , состоящую из решений с начальными данными ¯xj(0) = xj(0) . Для показателей этой ФСР справедливы
соотношения
λ[¯xi]= lim
k→∞
= lim
k→∞
kϑ
1
k→∞
1
ln k¯xi(kϑ)k= lim
kϑ
k→∞
(fi(k) + µiNi(k)/k + η) = lim
= Λi(µi) + η = λ[xi] + η + ξ
ln kxi(kϑ)k+ϑ
(fi(k) + µigi(k)) + η =
i
k
X
j=1
si(j)=
при i ∈ I и
λ[¯xi] = lim
k→∞
1
ln kxi(kϑ)k + ϑ
kϑ
k
X
j=1
si(j)=
§ 20. Показатели расчлененных систем 217
= lim
(fi(k) + η) = λ[xi] + η
k→∞
при i /∈ I . Теорема доказана.
О п р е д е л е н и е 20.1 [139]. Будем говорить, что показатели системы (16.4) некратно пропорционально локально управ-
ляемы, если при некоторых β > 0 и δ > 0 для любого набора
чисел ν = (ν1, . . . , νn) ∈ R
∗
n
, такого, что ν1< . . . < νnи |νi−
−λi| 6 δ , i = 1, . . . , n , найдется управление U ∈ KCmn(R+) ,
удовлетворяющее оценке kUkC6 β maxi|νi−λi| и обеспечива-
ющее равенство λ(U) = ν .
С л е д с т в и е 20.2 [139]. Пусть система (16.1) ϑ-равно-
мерно вполне управляема. Если свободная система (19.1) расчленена, то показатели системы (16.4) некратно пропорционально локально управляемы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x1, . . . ,xn— нормальная расчлененная ФСР системы (19.1), λ[xi] = λi, i = 1, . . . , n . Для
этой ФСР справедливо утверждение теоремы 20.1 при I =
= {1, . . . , n}. Возьмем произвольный набор чисел ν1< . . . <
< νn, такой что |νi− λi| 6 δ/2 , где δ — из формулировки
теоремы 20.1. Положим
η = min{νi−λi: i = 1, . . . , n}, ξi= νi−λi−η, i = 1, . . . , n.
Тогда η + ξi= νi−λi; |η| 6 δ/2 < δ ; 0 6 ξi6 |νi−λi|+ |η| 6
6 2δ/2 = δ . Из теоремы 20.1 следует существование управле-
ния U ∈ KCmn(R+) , удовлетворяющего оценке
kUkC6 β max{|η|; |η + ξi| : i = 1, . . . , n} =
= β max{|νi− λi| : i = 1, . . . , n}
и обеспечивающего для ФСР ¯x1, . . . , ¯xnсистемы (16.4) с этим
U(·) равенства
λ[¯xi] = λ[xi] + η + ξi= λi+ νi− λi= νi.
Поскольку все νiразличны, ФСР ¯x1, . . . , ¯xnявляется нормальной, а числа ν1< . . . < νnпредставляют собой показатели системы (16.4). Следствие доказано.
П р е д л о ж е н и е 20.1 [139]. Если показатели λi, i =
= 1, . . . , n , системы (19.1) попарно различны, то некратная
218 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
пропорциональная локальная управляемость показателей системы (16.4) эквивалентна их пропорциональной локальной
управляемости.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
δ0:= min{λ
− λi: i = 1, . . . , n −1}.
i+1
Тогда для любого ν ∈ Rnтакого, что |νi− λi| 6 δ0/3 , имеем
неравенства
ν
i+1−νi
= λ
i+1−λi
+(ν
i+1−λi+1
)−(νi−λi) > λ
i+1−λi
−2δ0/3 > 0,
справедливые при всех i = 1, . . . , n − 1 . Полагая в определении пропорциональной локальной управляемости показателей
δ < δ0/3 , получим требуемое.
С л е д с т в и е 20.3 [139]. Пусть система (16.1) ϑ-равно-
мерно вполне управляема. Если система (19.1) расчленена и
все ее показатели λi, i = 1, . . . , n , различны, то показатели
системы (16.4) пропорционально локально управляемы.
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из следствия 20.2 и пред-
ложения 20.1.
§ 21. Пропорциональная локальная
управляемость показателей Ляпунова
двумерных систем
Основной результат этого параграфа — теорема 21.2, в которой установлена пропорциональная
локальная управляемость показателей Ляпунова двумерной системы при условии некратности показателей свободной системы.
Л е м м а 21.1 [139]. Пусть S ∈ Mn— невырожденная
матрица. Тогда для любых x, y ∈ Rn\ {0} выполнено неравенство
kSxk
kxk
6 κ(S)
kSyk
kyk
.
Если же угол между прямыми, на которых лежат векторы
x и y , не превосходит некоторого γ ∈ [0, π/2] , то выполнено
неравенство
kSxk
6 (1 + γκ(S))
kxk
kSyk
kyk
.
§ 21. Показатели двумерных систем 219
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любых x, y ∈ Rnимеем оценки
kSxk 6 kSkkxk, kyk 6 kS−1kkSyk,
из которых при x 6= 0 , y 6= 0 следует первое неравенство.
Если же угол между векторами x и y не превосходит γ ∈
∈ [0, π/2] , то, полагая
z = kxk−1x − kyk−1y,
будем иметь соотношения
x = kxkz + kxkkyk−1y
и
kzk26 2(1 − cos γ) 6 γ2.
Отсюда следуют неравенства
kSxk
6 kSzk+ kyk−1kSyk 6
kxk
6
kSyk
kyk
1 + γ
kSzkkyk
kSykkzk
kSyk
6
(1 + γκ(S)),
kyk
дающие требуемое. Наконец, если угол между x и y находится в пределах [π/2 + γ, π] , где γ ∈ [0, π/2] , то, поскольку
величина kSxk/kxk не меняется при замене x на −x , требуемая оценка получается из рассмотрения пары векторов −x и
y , угол между которыми не превосходит γ ∈ [0, π/2] . Лемма
доказана.
О п р е д е л е н и е 21.1 (И. Н. Сергеев [195]). Пусть [α, β] ⊂
⊂ R — произвольный отрезок, x(·) — любое нетривиальное
решение линейной однородной системы вида (19.1) с ограниченной кусочно непрерывной на R матрицей коэффициентов.
Ростом решения x(·) на отрезке [α, β] будем называть величину
h(x; [α, β]) =
ln(kx(β)k/kx(α)k)
β −α
.
Отметим, что для любого γ ∈ R имеет место равенство
h(x; [α, β])(β −α) = h(x; [α, γ])(γ −α) + h(x; [γ, β])(β − γ).
220 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
Следовательно, для произвольных числовых последовательностей {τk}, {ξk} справедливы соотношения
h(x; [0, τk]) = h(x; [0, ξk])ξk/τk+ h(x;[ξk, τk])(1 −ξk/τk).
В частности, если lim
«длинные», то
lim
k→∞
ξk/τk= 0 , то есть отрезки [ξk, τk] —
k→∞
h(x; [0, τk]) = lim
h(x; [ξk, τk]).
k→∞
Если, кроме того, последовательность {τk} — реализующая
для решения x , то существует точный предел
lim
h(x; [ξk, τk]) = lim
k→∞
h(x; [0, τk]) = λ[x].
k→∞
С л е д с т в и е 21.1 [139]. Пусть x1, x2— любые нетри-
виальные решения системы (19.1), ϑ > 0 — некоторое число.
Если множество ∆ ⊂ N ∪{0} таково, что при всяком i /∈ ∆
угол между прямыми, на которых лежат векторы x1(iϑ) и
x2(iϑ) , не превосходит γ ∈ [0, π/2] , то при любых m, k ∈
∈ N ∪ {0} имеет место оценка
h(x2; [mϑ, kϑ]) 6 h(x1; [mϑ, kϑ])+
2a∆(m, k) + γe
+
2aϑϑ−1
(k −m − ∆(m, k))
k −m
,
где ∆(m, k) — число элементов множества ∆ ∩ [m, k[ .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как
xj(iϑ + ϑ) = X(iϑ + ϑ, iϑ)xj(iϑ), j = 1, 2,
то из леммы 21.1 получаем неравенства
kx2(iϑ + ϑ)k
kx2(iϑ)k
kx1(iϑ + ϑ)k
6 d
i
kx1(iϑ)k
при всех i ∈ N ∪ {0} и
kx2(iϑ + ϑ)k
kx2(iϑ)k
6 (1 + γdi)
kx1(iϑ + ϑ)k
kx1(iϑ)k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]