Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
Г л а в а II
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И СОГЛАСОВАННОСТЬ
Улонэз укно пияла пыр уд ад¨зы.
Удмурт визькыл
Меней жмурышся — болей убачыш.
Беларуская прыказка
Введение наблюдателя в управляемую систему, не вызывающее принципиальных затруднений при решении задач
оптимального управления на конечных отрезках времени, заметно усложняет управление асимптотическими инвариантами. Адекватная постановка соответствующих задач требует
введения нового понятия — согласованности, распространяющего представления об управляемости на системы с наблюдателем. Детальное изучение свойств согласованных систем —
необходимый фундамент для построения теории управления
асимптотическими инвариантами, поскольку неконтролируемое искажение информации о состоянии системы несогласованным наблюдателем может полностью закрыть все возможности для управления как ее показателями, так и другими
асимптотическими характеристиками.
§ 6. Согласованность систем с наблюдателем
Здесь введены и изучены понятия согласованности и
равномерной согласованности линейных управляемых
систем с наблюдателем.
Пусть (Σ, ft) — топологическая динамическая система,
то есть Σ — полное метрическое пространство со счетной базой, ft— поток на Σ (однопараметрическая группа преобразований Σ в себя, непрерывная по (t, σ) ∈ R ×Σ [4, с. 156]).
Рассмотрим семейство линейных управляемых систем
1
˙x = A(ftσ)x + B(ftσ)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm, t ∈ R, (6.1)
с наблюдателем
y = C∗(ftσ)x, y ∈ Rr, (6.2)
1
Через стекло жизнь не увидишь. Удмуртская пословица [206, с. 125].
102 Гл. II. Управляемость и согласованность
заданных динамической системой (Σ, ft) и функцией ϕ :=
= (A, B, C) : Σ → M
n,n+m+r
. Будем предполагать, что для
каждого σ0∈ Σ функция t 7→ kϕ(ftσ0)k измерима по Лебегу,
ограничена на R и для любых ε > 0 и N > 0 найдется такое
δ > 0 , что выполнено неравенство
t+1
Z
max
|t|6N
kϕ(fsσ) −ϕ(fsσ0)kds < ε,
t
как только ρ(σ, σ0) < δ ( ρ — метрика в Σ ). Систему (6.1), (6.2)
будем отождествлять с функцией t → ϕ(ftσ) .
Обозначим через X(t, s, σ) матрицу Коши однородной
системы
˙x = A(ftσ)x.
При всех t, s, τ ∈ R имеет место равенство
X(t + τ, s + τ, σ) = X (t, s, fτσ),
а функция σ 7→ X(t, s, σ) непрерывна в каждой точке σ0∈ Σ
равномерно относительно (t, s) на любом компакте в R2.
О п р е д е л е н и е 6.1 [176]. Система ϕ(ftσ0) называет-
ся: согласованной на [0, ϑ] , если существует l > 0 такое, что
для всякой матрицы G ∈ Mnнайдется измеримое управление
UG: [0, ϑ] → Mmr, удовлетворяющее оценке
sup
kUG(t)k 6 l kGk (6.3)
t∈[0,ϑ]
и обеспечивающее разрешимость ( относительно Z(·) ) матричной задачи управления
˙
Z = A(ftσ)Z + B(ftσ)U C∗(ftσ)X(t, 0, σ), (6.4)
Z(0) = 0, Z (ϑ) = G; (6.5)
и согласованной, если найдется такое ϑ > 0 , что ϕ(ftσ0) согласованна на [0, ϑ] .
Положим
b
B(t, σ) := X(0, t, σ)B(ftσ),bC(t, σ) := X∗(t, 0, σ)C(ftσ)
§ 6. Согласованность 103
и для каждых i, j, p, s ∈ {1, . . . , n} обозначим
ϑ
Z
γ
ijps
(ϑ, σ) =
∗
b
e
B(t, σ)bB∗(t, σ)eje
i
0
∗
b
C(t, σ)bC∗(t, σ)esdt.
p
Построим n ×n -матрицы
Γij(ϑ, σ) = {γ
ijps
(ϑ, σ)}
n
, i, j = 1, . . . , n,
p,s=1
и n2× n2-матрицу
Γ(ϑ, σ) = {Γij(ϑ, σ)}
n
i,j=1
,
которую будем называть матрицей согласования системы (6.1),
(6.2) на [0, ϑ] .
Л е м м а 6.1 [176]. Матрица согласования обладает сле-
дующими свойствами:
а) Γ(ϑ, σ) = Γ∗(ϑ, σ);
б) µ(ϑ, σ) > 0 ( µ(ϑ, σ) — наименьшее собственное зна-
чение матрицы Γ(ϑ, σ) );
в) µ(ϑ1, σ) > µ(ϑ1, σ) при ϑ1> ϑ .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение а) вытекает из равенств
γ
ijps
= γ
jips
= γ
ijsp
= γ
jisp
.
Для доказательства утверждения б) достаточно показать, что
для любого вектора
h = col(h11, . . . , h1n, . . . , hn1, . . . , hnn)
справедливо неравенство h∗Γh > 0 . Нетрудно проверить, что
n
h∗Γh =
X
i,j,p,s=1
hijhpsγ
ijps
.
Для произвольных i ∈ {1, . . . , n}, v ∈ {1, . . . , m}, q ∈ {1, . . . , r}
обозначим
bi(t) =bB∗(t, σ)e
i
— i-й столбец матрицыbB∗(t, σ) , bvi(t) — v-я координата вектора bi(t) ,
ci(t) =bC∗(t, σ)e
i
104 Гл. II. Управляемость и согласованность
— i-й столбец матрицыbC∗(t, σ) , cqi(t) — q-я координата вектора ci(t) . Тогда, с учетом структуры γ
, имеем равенства
ijps
h∗Γ(ϑ, σ)h =
ϑ
Z
=
=
Z
0
i,j,p,s=1
0
ϑ
m
X
v=1
n
X
X
q=1
hijh
r
i,j=1
=
m
X
ps
v=1
n
X
hijbvi(t)cqj(t)
ϑ
Z
m
r
X
X
v=1
q=1
0
bvi(t)bvp(t)
n
X
hijbvi(t)cqj(t)
i,j=1
r
X
cqj(t)cqs(t)dt =
q=1
n
X
hpsbvp(t)cqs(t)dt=
p,s=1
2
dt, (6.6)
из которых вытекает, что
h∗Γ(ϑ, σ)h > 0
и
h∗Γ(ϑ1, σ)h > h∗Γ(ϑ, σ)h
2
при каждых h ∈ R
n
и ϑ1> ϑ > 0 . Отсюда следуют утвер-
ждения б) и в). Лемма доказана.
Введем в рассмотрение функции Uij: [0, ϑ] ×Σ → Mmr,
определенные равенствами
∗
Uij(t, σ) =bB∗(t, σ)eie
b
C(t, σ), i, j = 1, . . . , n. (6.7)
j
Л е м м а 6.2 [176]. Для того чтобы совокупность функ-
ций Uij(·, σ) , i, j = 1, . . . , n , была линейно независима на
[0, ϑ] , необходимо и достаточно, чтобы µ(ϑ, σ) > 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Предполо-
жим противное, пусть функции Uij(·, σ) , i, j = 1, . . . , n , ли-
нейно независимы на [0, ϑ] , но µ(ϑ, σ) = 0 . Тогда существует
ненулевой вектор
2
h = col(h11, . . . , h1n, . . . , hn1, . . . , hnn) ∈ R
n
,
§ 6. Согласованность 105
такой, что Γ(ϑ, σ)h = 0 , поэтому h∗Γ(ϑ, σ)h = 0 . Из (6.6)
следуют равенства
n
X
hijbvi(t)cqj(t) = 0, v = 1, . . . , m, q = 1, . . . , r. (6.8)
i,j=1
Поскольку
∗
bvi(t) = e
cqj(t) = e
∗
b
C∗(t, σ)ej= e
q
b
B∗(t, σ)ei,
v
∗
b
C(t, σ)eq,
j
равенства (6.8) эквивалентны соотношениям
n
X
∗
e
v
hijUij(t, σ)eq= 0, t ∈ [0, ϑ], v = 1, . . . , m, q = 1, . . . , r.
i,j=1
Это противоречит линейной независимости функций Uij(·, σ)
на [0, ϑ] .
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть µ(ϑ, σ) > 0 . Предположим,
что функции Uijлинейно зависимы, тогда найдется такой
ненулевой вектор h ∈ R
рого
2
n
, h = col(h11, . . . , hnn) , для кото-
n
X
hijUij(t, σ) = 0
i,j=1
при всех t ∈ [0, ϑ] . Тогда для всех t ∈ [0, ϑ] , v = 1, . . . , m ,
q = 1, . . . , r , выполнены равенства (6.8), поэтому в силу (6.6)
имеем h∗Γ(ϑ, σ)h = 0 . Отсюда следует, что µ(ϑ, σ) = 0 . Полученное противоречие доказывает лемму.
З а м е ч а н и е 6.1. Матрица Γ(ϑ, σ) представляет собой
аналог матрицы Грама для совокупности функций Uij(·, σ) ,
i, j = 1, . . . , n .
Т е о р е м а 6.1 [176]. Следующие условия эквивалентны:
а) система ϕ(ftσ) согласованна на [0, ϑ];
б) матрица согласования Γ(ϑ, σ) положительно опреде-
лена ;
в) совокупность функций {Uij(·, σ)}
n
, определенных
i,j=1
соотношениями (6.7), линейно независима на [0, ϑ] .
106 Гл. II. Управляемость и согласованность
Д о к а з а т е л ь с т в о. Условия б) и в) эквивалентны в си-
лу леммы 6.2.
Покажем, что из б) следует а). Пусть µ(ϑ, σ) > 0 . Реше-
ние матричного уравнения (6.4) с произвольным измеримым
ограниченным управлением U (·) , удовлетворяющее первому
условию (6.5), по формуле Коши записывается в виде
t
Z
Z(t, σ) =
X(t, s, σ)B(fsσ)U (s)C∗(fsσ)X(s, 0, σ) ds.
0
Возьмем любую матрицу G ∈ Mn. Для того чтобы было выполнено второе условие (6.5), достаточно построить управление UG(·) такое, что
ϑ
Z
X(t, s, σ)B(fsσ)UG(s)C∗(fsσ)X(s, 0, σ) ds = G,
0
или, эквивалентно,
ϑ
Z
b
B(t, σ)UG(t)bC∗(t, σ) dt = G(ϑ, σ), (6.9)
0
где G(ϑ, σ) := X(0, ϑ, σ)G . Управление UG(·) будем искать в
виде
UG(t) =
где Ujpопределены равенствами (6.7). Подставляя это управление в (6.9) и умножая (6.9) слева на e
n
X
hjpUjp(t), t ∈ [0, ϑ],
j,p=1
∗
, а справа на es,
i
получим систему n2алгебраических уравнений относительно
неизвестных hjp:
n
X
где gis= e
γ
ijpshjp
j,p=1
∗
G(ϑ, σ)es. Решение
i
= gis, i, s = 1, . . . , n, (6.10)
h = col(h11, . . . , h1n, . . . , hn1, . . . , hnn)
§ 6. Согласованность 107
системы (6.10) удовлетворяет оценке
khk 6 kΓ−1(ϑ, σ)kkg(ϑ, σ)k, (6.11)
где g:= col(g11, . . . , g1n, . . . , gn1, . . . , gnn) , из которой вытекают
неравенства
n
kUG(t)k 6
X
kUij(t)k|hij| 6 khk
i,j=1
6 kΓ−1(ϑ, σ)kkG(ϑ, σ)k
n
X
i,j=1
n
X
kUij(t)k 6
i,j=1
kUij(t)k.
Из равномерной ограниченности на множестве (t, s) ∈ [0, ϑ] ×
× [0, ϑ] функций B(ftσ) , C(ftσ) и X(t, s, σ) следует огра-
ниченность на [0, ϑ] функций Uij(t) , поэтому найдется константа l > 0 (не зависящая от G , но зависящая от ϑ ) такая,
что
kUG(t)k 6 lkGk, 0 6 t 6 ϑ.
В силу определения 6.1 система ϕ(ftσ) согласованна на [0, ϑ] .
Докажем, что из а) следует в). Для этого достаточно
показать, что если уравнение (6.9) разрешимо относительно
UG(·) для любой матрицы G , то функции Uij(·, σ) , i, j =
= 1, . . . , n , линейно независимы на [0, ϑ] . Предположим противное, пусть существует ненулевой вектор
2
h = col(h11, . . . , h1n. . . , hn1. . . , hnn) ∈ R
n
,
такой, что
n
X
hijUij(t) ≡ 0, t ∈ [0, ϑ].
i,j=1
Тогда
b
B∗(t, σ)HbC(t, σ) = 0, t ∈ [0, ϑ], (6.12)
где H := {hij}
n
∈ Mn. Для выбранной матрицы H суще-
i,j=1
ствует функция U (t) ∈ Mmr, U (t) = {ups(t)}
ϑ
Z
b
B(t, σ)U (t)bC∗(t, σ) dt = H,
0
m,r
p,s=1
, такая, что
108 Гл. II. Управляемость и согласованность
поэтому для всех i, j = 1, . . . , n
ϑ
Z
∗
b
e
B(t, σ)U (t)bC∗(t, σ)ejdt = hij.
i
0
Умножая каждое из этих равенств на hijи суммируя по i, j =
= 1, . . . , n , получим
ϑ
n
X
i,j=1
X
2
h
=
ij
i,j=1
Z
n
h
m
r
X
X
∗
b
e
ij
p=1
0
B(t, σ)epups(t)e
i
s=1
∗
b
C∗(t, σ)ejdt =
s
ϑ
Z
m
r
X
X
=
p=1
s=1
0
ups(t)
n
X
i,j=1
hije
∗
b
B(t, σ)epe
i
∗
b
C∗(t, σ)e
s
dt. (6.13)
j
Из (6.12) следует, что для всех p = 1, . . . , m и s = 1, . . . , r
n
∗
b
e
B∗(t, σ)HbC(t, σ)es=
p
X
i,j=1
hije
∗
b
B∗(t, σ)eie
p
∗
b
C(t, σ)es= 0
j
при t ∈ [0, ϑ] , поэтому
n
X
i,j=1
и из равенств (6.13) получаем
hije
∗
b
B(t, σ)epe
i
∗
b
C∗(t, σ)ej= 0, t ∈ [0, ϑ],
s
n
X
2
h
= 0 , что противоречит
ij
i,j=1
предположению h 6= 0 . Теорема доказана.
С л е д с т в и е 6.1 [176]. Если система ϕ(ftσ) согласован-
на на [0, ϑ] , то она согласованна на [0, ϑ1] при любом ϑ1> ϑ .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть система ϕ(ftσ) согласованна на [0, ϑ] при некотором ϑ > 0 . Из утверждения б) теоремы 6.1 вытекает положительность величины µ(ϑ, σ) . Возьмем
любое ϑ1> ϑ , тогда из утверждения в) леммы 6.1 следует
неравенство
µ(ϑ1, σ) > µ(ϑ, σ) > 0.
§ 6. Согласованность 109
Вновь пользуясь эквивалентностью а) и б) (теорема 6.1), получаем, что система ϕ(ftσ) согласованна на [0, ϑ1] .
С л е д с т в и е 6.2 [176]. Если система ϕ(ftσ) согласован-
на на [0, ϑ] , то система (6.1) вполне управляема на [0, ϑ] , а
система
˙x = −A∗(ftσ)x, y = C∗(ftσ)x, (6.14)
вполне наблюдаема [102, с. 304] на [0, ϑ] .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Система (6.1) вполне управляема
на [0,ϑ] в том и только том случае (С.Ю. Култышев, Е.Л. Тонков [109]), когда существует l1> 0 такое, что каждой матрице
G ∈ Mnотвечает измеримое управление VG: [0, ϑ] → Mmn,
kVG(t)k 6 l1kGk, 0 6 t 6 ϑ , обеспечивающее разрешимость
матричной задачи управления
˙
Z = A(ftσ)Z + B(ftσ)V, Z(0) = 0, Z(ϑ) = G. (6.15)
Пусть система ϕ(ftσ) согласованна на [0, ϑ] . Возьмем про-
извольную матрицу G ∈ Mnи в качестве управления VG(·) ,
разрешающего задачу (6.15), выберем
VG(t) = UG(t)C∗(ftσ)X(t, 0, σ),
где UG(·) — управление, разрешающее (6.4), (6.5). Из (6.3)
следует, что
kVG(t)k 6 kUG(t)kkC∗(ftσ)kkX(t, 0, σ)k 6
6 ceaϑlkGk =: l1kGk, t ∈ [0, ϑ].
Итак, согласованность влечет за собой полную управляемость
системы (6.1).
Докажем, что из согласованности ϕ(ftσ) следует полная
наблюдаемость системы (6.14). В силу теоремы двойственности (Н. Н. Красовский [102, с. 304]) свойство полной наблюдаемости системы (6.14) эквивалентно свойству полной управляемости системы
˙x = −A∗(ftσ)x + C(ftσ)u,
что, в свою очередь [109], эквивалентно существованию для
произвольной G ∈ Mnуправления VG: [0, ϑ] → Mrn, удовлетворяющего оценке
kVG(t)k 6 l2kGk, 0 6 t 6 ϑ,
110 Гл. II. Управляемость и согласованность
с не зависящей от G положительной величиной l2, и обеспечивающего разрешимость задачи
˙
Z = −A∗(ftσ)Z + C(ftσ)V, Z(0) = 0, Z(ϑ) = G.
Разрешимость этой задачи эквивалентна разрешимости относительно VG(·) уравнения
ϑ
Z
X∗(t, 0, σ)C(ftσ)VG(t) dt = X∗(ϑ, 0, σ)G.
0
Транспонируя его, получим
ϑ
Z
∗
V
(t)bC∗(t, σ) dt = G∗X(ϑ, 0, σ).
G
0
Если система ϕ(ftσ) согласованна, то управление
VG(t) = U
∗
(t)bB∗(t, σ)
G
является одним из решений этого уравнения. Следствие доказано.
З а м е ч а н и е 6.2. Одновременное выполнение условий
полной управляемости системы (6.1) и полной наблюдаемости системы (6.14) на [0, ϑ] не обеспечивает согласованности
ϕ(ftσ) на этом отрезке.
П р и м е р 6.1 [176]. Рассмотрим систему с наблюдателем
˙x = b(t)u, y = b(t − 1)x, n = 1,
где
b(t) =
1 при t ∈ [2k, 2k + 1[,
0 при t ∈ [2k + 1, 2k + 2[,
k ∈ Z . Эта система вполне управляема и вполне наблюдаема
на отрезке [0, 2] , но не является согласованной ни на каком
отрезке [0, ϑ] , поскольку при каждом ϑ > 0
ϑ
Z
Γ(ϑ) = γ
1111
(ϑ) =
b2(t)b2(t − 1) dt = 0.
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]