Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 61
возможность исследования решений, неустойчивых по Ляпунову и устойчивых по Пуассону [86, с. 30]. Очевидно, характеристические показатели непригодны для выявления неасимптотической устойчивости, что же касается асимптотической,
то их роль для линейных систем в этом вопросе определяется
следующим простым утверждением.
Т е о р е м а 2.5. Для асимптотической устойчивости
линейной системы (2.1) достаточно, чтобы ее старший показатель λn(A) был отрицательным.
Действительно, в этом случае для фундаментальной мат-
рицы X(t, t0) системы (2.1) при любом ε > 0 справедливо
представление kX (t, t0)k = o(e
(λn(A)+ε)t
) , t → +∞ , обеспе-
чивающее стремление kX(t, t0)k → 0 при t → +∞. Так как
это стремление мажорируется экспонентой e
(λn(A)+ε)t
, такая
устойчивость называется экспоненциальной. В силу формулы
(2.8) неравенство λn(A) < 0 необходимо и достаточно для
экспоненциальной устойчивости системы (2.1).
Устойчивость, обеспечиваемая равенством
kX(t, t0)k = o(e
(λn(A)+ε)t
),
может быть неравномерной по начальному моменту t0. Для
выявления экспоненциальной устойчивости, равномерной по
t0, служит верхний особый (генеральный) показатель
Ω0(A) := lim
T →+∞
1
supkln kX ((k + 1)T, kT )k,
T
введенный впервые П. Болем [230], и, много позднее, но независимо от него, К. П. Персидским [158] (см. также [46]). Этот
показатель обеспечивает равномерную оценку
kX(t, s)k 6 Dεexp((Ω0(A) + ε)(t −s)),
и поэтому его отрицательность означает наличие равномерной
асимптотической (экспоненциальной) устойчивости.
За устойчивость при постоянно действующих малых возмущениях (то есть равномерно малых на полуоси) отвечает
старший (верхний) центральный показатель
k
X
Ω(A) := lim
T →+∞
k→+∞
lim
kT
1
ln kX (jT, (j − 1)T )k, (2.13)
j=1
62 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
введенный Р. Э. Виноградом [29] для оценки сверху старшего
показателя системы
˙x = A(t)x + Q(t)x, x ∈ Rn, t > 0, (2.14)
с малыми возмущениями. Достижимость этой оценки в классе
малых возмущений доказана В. М. Миллионщиковым [146]. Из
этих двух работ вытекает, что
Ω(A) = lim
sup{λn(A + Q) : kQkC6 ε}, (2.15)
ε→0
и поэтому отрицательность показателя Ω(A) влечет за собой
асимптотическую устойчивость всех систем (2.14) с достаточно малыми по норме возмущениями Q , поскольку он представляет собой точную верхнюю границу подвижности старшего показателя этих систем при таких возмущениях.
В. М. Миллионщиковым [146] получена также формула
для вычисления младшего центрального показателя
k
X
ω(A) := lim
T →+∞
k→+∞
lim
1
kT
ln kX ((j − 1)T , jT)k−1,
j=1
совпадающего с достижимой нижней границей младшего показателя системы (2.14) в классе малых возмущений. Позднее
И. Н. Сергеевым [194] показано, что оба центральных показателя достижимы также в классе бесконечно малых возмущений, то есть справедливы равенства
ω(A) = inf{λ1(A + Q) : lim
Ω(A) = sup{λn(A + Q) : lim
t→+∞
t→+∞
kQ(t)k = 0},
kQ(t)k = 0}.
В свою очередь Ω0, как показано Р. Э. Виноградом [247],
является достижимой верхней границей для верхних равномер-
ных показателей
1
β[x] := lim
t−s→+∞
t − s
ln
kx(t)k
kx(s)k
П. Боля [230] — ляпуновских инвариантов, имеющих большое
значение в теории почти периодических систем.
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 63
З а м е ч а н и е 2.9. Число Ω(A) введено в статье [29] под
именем верхнего центрального показателя. Вместе с ним в
этой же работе Р. Э. Виноградом введен нижний центральный
показатель
k
X
ω(A) := lim
T →+∞
k→+∞
lim
kT
1
ln kX ((j − 1)T , jT)k−1,
j=1
также являющийся ляпуновским инвариантом. Долгое время
оставалась недоказанной гипотеза о том, что ω(A) совпадает с достижимой границей подвижности вниз для младшего
показателя системы (2.14). В своей знаменитой работе [146]
В. М. Миллионщиков показал, что эта гипотеза ошибочна и
что такой границей служит не нижний, а младший центральный показатель ω(A) , формула для которого отличается заменой внутреннего нижнего предела на верхний. В связи с этим в
1970-е годы Н. А. Изобовым было предложено называть величину Ω(A) старшим центральным показателем по аналогии со
старшим экспоненциальным и старшим сигма-показателями
(см. ниже). При этом становится мотивированным и название «нижний» для ω(A) , поскольку этот показатель непосредственно связан с подвижностью нижних показателей, на что
указывал сам Р. Э. Виноград [27, с. 119].
Приведенные результаты относятся к одной из основных
задач, решавшихся в теории показателей в последние десятилетия — задаче об отыскании достижимых границ подвижности показателей системы (2.14), то есть величин
γk(A) := infQλk(A + Q),
Γk(A) := supQλk(A + Q),
где Q(·) предполагается принадлежащим какому-либо классу малости. Наиболее полно изучены границы подвижности
вверх старшего показателя λn. Прочие границы подвижности исследованы значительно хуже.
Если рассматриваемые возмущения инвариантны относительно действия преобразований Ляпунова, то числа γk(A)
и Γk(A) являются ляпуновскими инвариантами, и на этом пу-
ти могут быть построены многие из известных инвариантов.
64 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
Некоторые из них имеют важное значение для решения задач
асимптотической теории дифференциальных уравнений, значение других пока остается неясным. Далеко не для всех из
них известны конструктивные определения — формулы, выражающие их через матрицу Коши невозмущенной системы.
З а м е ч а н и е 2.10. Возмущенная система (2.14) с матрицей коэффициентов A(t)+Q(t) под действием преобразования
(2.9) переходит в возмущенную же систему с матрицей коэф-
фициентов G(t)+ L(t)Q(t)L−1(t) , где G(t) определяется формулой (2.11). Таким образом, преобразования (2.9) действуют
на возмущения обычным сопряжением.
Примерами классов возмущений, инвариантных относительно преобразований Ляпунова, являются бесконечно малые
на бесконечности, то есть удовлетворяющие условию Q(t) → 0
при t → +∞ ; экспоненциально малые, ограниченные сверху
по норме экспонентой с отрицательным показателем; возмущения, суммируемые на полуоси, а также многие другие.
В отличие от перечисленных классов, малые возмущения, упоминаемые выше в связи с центральными показателями, не являются некоторым фиксированным множеством
возмущающих матриц-функций. Термин «малые возмущения»
вполне аналогичен выражению «малые приращения», активно
используемому в классическом математическом анализе. Рассмотрение систем с малыми возмущениями означает, что при
произвольном δ > 0 в систему вводятся возмущения, удовлетворяющие условию kQkC6 δ , выполняются необходимые
оценки показателей и других изучаемых величин, а затем производится предельный переход при δ → 0 .
Приведем еще несколько примеров ляпуновских инвариантов, возникающих при построении достижимых границ подвижности показателей возмущенных систем. Старший и млад-
ший экспоненциальные показатели
k
X
∇0(A) = lim
t→1+0
lim
k→∞
−k
t
ln kX (tj, t
j=1
j−1
)k,
k
X
∆0(A) = lim
t→1+0
lim
k→∞
−k
t
ln kX (t
j=1
j−1
, tj)k−1,
Н. А. Изобова [73, 78,84] являются достижимыми внешними
границами крайних (то есть старшего и младшего) показате-
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 65
лей при экспоненциально убывающих возмущениях. Старший
экспоненциальный показатель ∇0(A) играет важную роль в
решении частной задачи Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Он вычислен Н. А. Изобовым в статье [78],
где получена также и формула для младшего экспоненциального показателя ∆0(A) .
Системой диагонального приближения для системы (2.1)
называется диагональная система с матрицей коэффициентов
Ad:= diag(a11, . . . , ann) . Она получается из матрицы коэффициентов исходной системы путем обнуления всех внедиагональных элементов.
Т е о р е м а 2.6. Старшие и младшие особые, централь-
ные и экспоненциальные показатели треугольной системы и
системы ее диагонального приближения совпадают:
Ω0(A) = Ω0(Ad), ω0(A) = ω0(Ad) (2.16)
Ω(A) = Ω(Ad), ω(A) = ω(Ad) (2.17)
∇0(A) = ∇0(Ad), ∆0(A) = ∆0(Ad). (2.18)
Д о к а з а т е л ь с т в о всех утверждений теоремы 2.6 проводится по одной и той же схеме с помощью понятий, не рассматриваемых в этой книге. Оно не использует достижимость
центральных и иных показателей. Это доказательство можно
найти в монографии [86, с. 70 – 75]. Равенства (2.16) и (2.17)
впервые доказаны в статье [29] (см. также [27, с. 120 – 121]),
равенства (2.18) — в работе [153].
Алгоритм вычисления старшего сигма-показателя ∇σ(A),
который является достижимой границей старшего показателя
при действии σ-возмущений, то есть возмущений, удовлетворяющих неравенству
kQ(t)k 6 NQe
−σt
, t > 0,
где NQ— некоторая положительная константа, зависящая от
Q(·) , предложен Н. А. Изобовым [73] в 1969 году. В соответ-
ствии с этим алгоритмом для ∇σ(A) имеет место рекуррентное представление
k→∞
1
ξk(σ),
k
ξk(σ) = max
i<k
∇σ(A) = lim
{ln kX (k, i) + ξi(σ) −σik}, k ∈ N; ξ0(σ) = 0.
66 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
Существует целый ряд ляпуновских инвариантов, вычисляемых сходным образом и соответствующих различным классам возмущений, определяемых как равномерными условиями
вида kQ(t)k 6 ϕ(t) , где ϕ : R → R+— некоторая заданная функция, так и разнообразными интегральными условиями [9 – 11, 127– 129]. Общая схема их вычисления называется
алгоритмом Изобова.
И. Н. Сергеевым [194 – 196] построены достижимые границы подвижности вверх для всех промежуточных показателей при малых и бесконечно малых возмущениях, а также для
возмущений, малых в среднем. В работах Н. А. Изобова [75 –
77] введено понятие минимального показателя линейной дифференциальной системы, представляющего собой достижимую
границу подвижности вниз старшего показателя при малых
возмущениях, дана формула для его вычисления в случае двумерной системы и оценка снизу в общем случае. В работах
И. Н. Сергеева [197 – 202] вычислен минимальный показатель
трехмерной системы, а также найдена достижимая граница
подвижности вниз ее промежуточного показателя при малых
возмущениях.
Обобщением задачи о вычислении достижимых границ
подвижности показателей является задача о построении спек-
трального множества линейной дифференциальной системы, то
есть совокупности значений спектрального вектора
(λ1(A + Q), . . . , λn(A + Q)),
принимаемых им на всем множестве систем (2.14) с возмущениями из рассматриваемого класса. Впервые спектральное
множество было полностью вычислено в работе М. И. Рахимбердиева и Н. Х. Розова [191] для стационарной системы с малыми в среднем периодическими возмущениями. Спектральные множества систем с гробмановскими возмущениями вычислялись Н. А. Изобовым в [82, 83]. Ряд результатов о спектральных множествах линейных сингулярных систем с экспоненциальными возмущениями получен в работах Н. А. Изобова и С. Г. Красовского [88,103, 237]. Для случая малых возмущений весьма серьезные продвижения достигнуты в работах
М. И. Рахимбердиева [184 – 190].
Вычисление точных границ характеристических показателей и построение спектральных множеств линейных дифференциальных систем с ограниченными возмущениями, не являющимися малыми, но удовлетворяющими некоторым допол-
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 67
нительным ограничениям, производилось в работах А. Ф. Филиппова [222], С. А. Гришина [44], Н. А. Изобова [79], Н. А. Изобова и Т. Е. Зверевой [87], А. Г. Суркова [207– 210], П. Колониуса и В. Климана [233 – 235]. Эти границы и спектральные
множества не инвариантны относительно ляпуновских преобразований, поскольку не инвариантны порождающие их классы возмущений, но они служат хорошим примером решения в
рамках теории характеристических показателей задач, наиболее близких по своей постановке к задачам управления асимптотическими инвариантами.
Кроме уже перечисленных, к инвариантам преобразований Ляпунова относятся, например, и такие менее известные
величины, как нижний равномерный показатель
1
β[x] := lim
t−s→+∞
t − s
ln
kx(t)k
kx(s)k
,
П. Боля [230]; нижний особый и младший особый показатели
ω0(A) := lim
ω0(A) := lim
T →+∞
T →+∞
1
infkln kX (kT, (k + 1)T)k−1,
T
1
supkln kX (kT, (k + 1)T)k−1,
T
характеристические степени Б. П. Демидовича [47]
−αt
ν[x] = lim
t→+∞
ln ke
ln t
x(t)k
,
где α = λ[x] 6= ±∞ , и обобщающие их характеристические
векторы Хоанг Хыу Дыонга [223, 224, 225].
Ляпуновским инвариантом является также и свойство
интегральной разделенности решений системы (2.1) (Б. Ф. Былов, [25]), заключающееся в существовании у этой системы такой ФСР x1(·), . . . , xn(·) , для которой при всех t > s выполняются неравенства
kx
(t)k
(s)k
kxk(t)k
:
kxk(s)k
> de
c(t−s)
, k = 1, . . . , n − 1,
kx
k+1
k+1
с некоторыми положительными постоянными c и d . Системы
с таким свойством всюду плотны во множестве систем Mn,
68 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
снабженном топологией равномерной сходимости [145], и обладают свойством устойчивости показателей, которое также
является ляпуновским инвариантом.
О п р е д е л е н и е 2.5. Показатели системы (2.1) называ-
ются устойчивыми, если вектор (λ1(A+Q), . . . , λn(A+Q)) ∈ R
непрерывно зависит от возмущения Q ∈ KCn(R+) .
Это определение дано О. Перроном [243] и К. П. Персидским [159] и является общепринятым. Оно присутствует,
например, в учебном пособии [1, с. 163]. В работах [74, с. 72;
84; 86, с. 23] приводится несколько иное определение.
О п р е д е л е н и е 2.6. Показатели системы (2.1) называются устойчивыми, если для любого ε > 0 найдется такое δ >
> 0 , что для показателей произвольной системы класса M
с матрицей коэффициентов C(t) , удовлетворяющей условию
kC − Ak
6 δ , выполнены неравенства
C(R+)
min
|λi(C) − λk(A)| 6 ε, i = 1, . . . , n. (2.19)
16k6n
Условие (2.19), левая часть которого представляет собой
полуотклонение Хаусдорфа спектров исходной и возмущенной систем, задает довольно своеобразное отношение близости
на множестве всевозможных упорядоченных наборов чисел.
Например, системы чисел (1, 1, 1) и (0, 1, 2) удовлетворяют
этому условию при любом ε > 0 . По сути дела, определением 2.5 вводится не понятие устойчивости спектра, а значительно более широкое понятие, которое можно назвать устойчивостью подмножеств спектра. Тем не менее, из критерия устойчивости показателей Миллионщикова – Былова – Изобова вытекает, что эта устойчивость и устойчивость в смысле определения 2.5 эквивалентны.
Связанные с вопросом об устойчивости показателей результаты имеют достаточно длительную историю развития,
краткое изложение которой можно найти в §1 и §10 книги
[86], а также в обзоре [74]. Линейные системы с неустойчивыми
показателями были впервые обнаружены О. Перроном [243].
Им же была доказана устойчивость показателей стационарных
систем и диагональных систем с разделенной диагональю, то
есть удовлетворяющих условию aii(t) −akk> a с некоторым
a > 0 при всех t > 0 , i > k . Впоследствии эти результаты
неоднократно усиливались и обобщались. В частности, устойчивость показателей систем с интегральной разделенностью
n
n
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 69
решений и их приводимость к диагональному виду доказана
Б. Ф. Быловым [25].
Простейшим и наиболее исследованым случаем неустойчивости показателей является неустойчивость старшего показателя системы вверх, которая имеет место для всякой системы, у которой Ω(A) 6= λn(A) . Критерием отсутствия такой неустойчивости является равенство Ω(A) = λn(A) . Далеко идущим развитием этого простого утверждения и является критерий устойчивости показателей, состоящий в приводимости системы ляпуновским преобразованием к специальному
блочно-треугольному виду, который был получен В. М. Миллионщиковым, Б. Ф. Быловым и Н. А. Изобовым [147, 28].
Интересный класс ляпуновских инвариантов, во многом
отличный от рассмотренных выше, образуют коэффициенты
неправильности и сходные с ними величины.
О п р е д е л е н и е 2.7. Число
t
Z
σЛ(A) := λ1(A) + . . . + λn(A) − lim
t→+∞
1
t
0
Sp A(s) ds
называется коэффициентом неправильности Ляпунова.
О п р е д е л е н и е 2.8. Число
σП:= max
{λi(A) + µi(A)},
16i6n
где µ1(A) > . . . > µn(A) есть совокупность показателей сопряженной системы (2.6), называется коэффициентом непра-
вильности Перрона.
З а м е ч а н и е 2.11. Совокупность показателей сопряженной системы принято упорядочивать способом, обратным способу упорядочения показателей исходной.
О п р е д е л е н и е 2.9. Дефектом или же коэффициентом
неправильности Гробмана называется число
σГ:= infXmax
16i6n
{λi+ δi},
где λiи δiсуть показатели соответственно i-го столбца ФМ
X системы (2.1) и i-й строки обратной ей матрицы X−1, при-
чем инфимум вычисляется по всем ФМ системы (2.1) и является минимумом, так как достигается на ФМ, соответствующей
нормальной ФСР [45; 86, с. 20].
70 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
Имеют место соотношения
0 6 σП6 σГ6 σЛ6 nσП, (2.20)
и оценка σГ6 2a . Неравенство σЛ> 0 вытекает из неравен-
ства Адамара [226, с. 565]
n
|det X(t)| 6
Y
kxi(t)k.
i=1
Неравенство σГ> 0 следует из равенства (2.7). Соотношение
σГ6 2a немедленно получается из общей оценки (2.2). До-
казательство остальных неравенств между коэффициентами
неправильности можно найти в [27, с. 53 – 55; 86, с. 21 – 22].
О п р е д е л е н и е 2.10. Линейная система (2.1) называется правильной, если ее коэффициент неправильности Ляпунова равен нулю.
В силу неравенств (2.20) обращение в нуль любого из
коэффициентов неправильности влечет за собой правильность
системы.
Т е о р е м а 2.7 (Ляпунов [115, с. 39]). Треугольная систе-
ма (2.1) класса Mnправильна тогда и только тогда, когда
все ее диагональные коэффициенты имеют точные средние
значения ¯aii= aii= ˘aii, i = 1, . . . , n . Если треугольная
система правильна, то числа ˘aii, i = 1, . . . , n образуют ее
полный спектр.
Кроме коэффициентов неправильности известны также
угловая неправильность σw[86, с. 202], число σ0[86, с. 218],
представляющее собой наименьшее σ , при котором соответствующие сигма-возмущения не изменяют величины старшего
показателя системы (вычислено в [126]), величина Р.А. Прохоровой σλ[86, с. 283] и др. Все эти величины тесно связаны с
вопросом об устойчивости нулевого решения нелинейной возмущенной системы
˙y = A(t)y + f(t, y), y ∈ Rn, t > 0. (2.21)
По определению к классу m-возмущений Fm, m > 1 ,
относят кусочно непрерывные по t и непрерывные по x в
некоторой окрестности нуля Ufвозмущения f(t, x) , удовле-
творяющие условиям kf(t, x)k 6 cfkxkmпри (t,x) ∈ [0, +∞[×
×Ufс постоянной cf> 0 .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]