Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 1. Характеристические показатели Ляпунова 41
Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно проверить, что величи-
ны max
|zij| и, для любой нормы на пространстве Rn, maxikzik
i,j
являются векторными нормами на линейном пространстве вещественных n×n -матриц. В силу следствия 1.5 отсюда имеем
требуемое.
Свойства показателя достаточно жестко ограничивают
совокупность значений, которые он может принимать на конечномерном пространстве функций, а также конфигурацию
и расположение соответствующих множеств уровня. Понятия
спектра и нормального базиса служат инструментами для раскрытия структуры этих ограничений, основанных на связи
между показателями функций и их линейной независимостью.
Т е о р е м а 1.2. Любые функции xi, взятые в произволь-
ном конечном числе и имеющие попарно различные конечные
показатели, линейно независимы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть λ[xi] = βi, i = 1, . . . , m , и
для определенности β1< . . . < βm. Предположим, что
c1x1(t) + . . . + cmxm(t) ≡ 0, ci∈ R,
причем не все ciравны нулю. Найдем наибольшее k ∈ {1, . . .
. . . , m}, такое что ck6= 0 . Тогда xk(t) = −((c1/ck)x1(t) + . . . +
+ (c
k−1/ck)xk−1
неравенство βk= λ[xk] 6 max{β1, . . . , β
(t)) . Отсюда по свойству неповышения имеем
k−1
} = β
, противо-
k−1
речащее предположению β1< . . . < βm. Теорема доказана.
О п р е д е л е н и е 1.4. Конечное семейство функций x1, . . .
. . . , xm, имеющих конечные показатели, обладает свойством
несжимаемости и называется несжимаемым, если характеристический показатель любой нетривиальной линейной комбинации c1x1+ . . . + cmxm, c
λ[xi] , максимальному среди показателей всех функций, входя-
2
+ . . . + c
1
2
> 0 , равен показателю
m
щих в эту комбинацию с ненулевым коэффициентом, то есть
λ[c1x1+ .. . + cmxm] = max
ci6=0
λ[xi].
Т е о р е м а 1.3. Несжимаемое семейство функций с конечными показателями линейно независимо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть некоторое семейство функций x1, . . . , xmнесжимаемо и пусть существует нетривиальная аннулирующая комбинация c1x1(t)+. . .+cmxm(t) ≡ 0, ci∈
∈ R. По условию λ[xi] > −∞ для всех i , поэтому, вычисляя
42 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
показатели обеих частей этого тождества, получаем противоречие −∞ = λ[0] = λ[c1x1+ .. . + cmxm] = max
λ[xi] > −∞.
ci6=0
З а м е ч а н и е 1.9. Простейшим примером несжимаемой
системы является система, состоящая из функций xi, имеющих попарно различные конечные показатели. Действительно, в любой их существенной линейной комбинации лишь одно слагаемое имеет наибольший показатель, что и гарантирует
несжимаемость в силу равенства (1.4). Таким образом, теорема 1.2 является частным случаем теоремы 1.3.
Пусть X — конечномерное линейное пространство размерности dim X = n , состоящее из функций, определенных
на фиксированном промежутке [t0, +∞[ и имеющих конечные
показатели (за исключением нулевого элемента в X ). Как правило, всякое такое пространство, если оно рассматривается в
теории показателей — это пространство решений некоторой
линейной эволюционной системы: обыкновенной дифференциальной системы [48], уравнения в банаховом пространстве
[46], функционально-дифференциальной [24] или же дискретной [41] системы. Из теоремы 1.2 вытекает, что в пространстве
X не может быть более n ненулевых элементов с попарно
различными показателями, то есть существует только m 6 n
конечных значений
Λ1< . . . < Λm, (1.5)
принимаемых показателем на пространстве X .
Набор чисел (1.5) называется спектром пространства X
или же спектром той системы уравнений, решения которой
составляют рассматриваемое пространство X . Несобственное
значение Λ0:= −∞ , принимаемое показателем на нулевом
элементе, в спектр не включается.
О п р е д е л е н и е 1.5. Базис x1, . . . , xnпространства X
называется нормальным, если сумма показателей входящих в
него элементов λ[x1] + . . . + λ[xn] минимальна во всем множестве базисов пространства X .
Существование нормального базиса обеспечено тем, что
имеется лишь конечное число возможных значений суммы показателей n ненулевых элементов пространства X , заведомо
не превосходящее mn, где n = dim X , m — количество элементов в спектре пространства X .
О п р е д е л е н и е 1.6. Пусть x1, . . . , xn— нормальный базис пространства X . Система n чисел
λ[x1] 6 . . . 6 λ[xn]
§ 1. Характеристические показатели Ляпунова 43
называется полным спектром (или же совокупностью) показателей пространства X . Число λ[xn] называется старшим, а
λ[x1] — младшим показателем.
З а м е ч а н и е 1.10. По определению система отличается
от множества тем, что среди чисел, входящих в систему, могут быть совпадающие. Каждое такое значение характеризуется своей кратностью, равной количеству его вхождений в
систему. В этом смысле полный спектр показателей аналогичен спектру матрицы.
Т е о р е м а 1.4. Произвольный базис x1, . . . , xnпростран-
ства X является нормальным тогда и только тогда, когда
он несжимаем.
Ляпунов принимал это утверждение в качестве определения нормальной системы [115, с. 34]. Различные доказательства теоремы 1.4 можно найти в [1, с. 55; 48, с. 142; 86, с. 16].
Мы докажем ее чуть позже.
С л е д с т в и е 1.6. Если показатели ненулевых элемен-
тов x1, . . . , xnпространства X попарно различны, то эти
элементы составляют нормальный базис в X .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейная независимость рассматриваемых элементов x1, . . . , xnвытекает из теоремы 1.2, а
несжимаемость — из замечания 1.9.
В соответствии с определением спектр пространства X
является образом отображения x 7→ λ[x] , заданного на X ,
и тем самым определен однозначно. Напротив, из определения полного спектра совсем не очевидно, что минимум суммы
показателей не может достигаться на нескольких несовпадающих системах функций из X , скажем, при наличии некоторых специальных соотношений между элементами спектра.
Для выяснения этого вопроса разберем геометрический смысл
введенных понятий.
Рассмотрим множества Xα:= {x ∈ X : λ[x] 6 α} , α ∈ R .
В силу свойств однородности и неархимедовости показателя
каждое из них замкнуто относительно сложения элементов и
умножения их на скаляр и поэтому является линейным подпространством в X . По построению эти множества связаны
включениями Xα⊂ Xβпри α 6 β . С другой стороны, для
любого α ∈ [Λi, Λ
[ при 1 6 i < n из неравенства λ[x] 6 α ,
i+1
выполненного для некоторого x ∈ X , в соответствии с теоремой 1.2 и определением спектра имеем равенство λ[x] = Λi. В
силу произвольности x отсюда получаем, что Xα⊂ X
скольку при этом α > Λi, то выполнено и обратное включение
Λ
. По-
i
44 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
Xα⊃ X
образом, вся непрерывная шкала пространств Xαсводится к
, то есть справедливо равенство Xα= X
Λ
i
. Таким
Λ
i
конечной последовательности
{0} = X0⊂ Xi⊂ . . . ⊂ Xm= X, (1.6)
где обозначено Xi:= X
гие (собственные). В теории характеристических показателей
, i = 0, . . . , m , и все включения стро-
Λ
i
семейство вложенных подпространств (1.6), определяемых показателем на линейном пространстве, называется пирамидой
[27, с. 25]. Каждое множество Xi\ X
пирамиды Xα, причем для любого x ∈ Xi\X
i−1
называется ступенью
i−1
справедливо
равенство λ[x] = Λi.
Из сказанного легко видеть, что целозначная функция
NX(α) := dim Xα, соответствующая семейству Xα, определена
при всех α ∈ R , принимает значения от нуля до n , монотонно возрастает и непрерывна справа всюду на R . Как и всякая
такая функция, она кусочно постоянна и имеет m 6 n точек
разрыва, которые в нашем случае совпадают со спектральными значениями Λi, i = 1, . . . , m . Положим Ni:= NX(Λi) .
Разность ni= Ni−N
называется весом ступени Xi\X
i−1
i−1
Она равна наибольшему числу линейно независимых элементов X , показатель которых равен Λi.
Пусть X := {x1, . . . , xn} — некоторый базис простран-
ства X . Через Xk, k = 0, . . . , m , обозначим подмножество
X , состоящее из векторов, лежащих в Xk, а через Xk— его
дополнение в X , включающее в себя все элементы базиса X ,
лежащие вне Xk. Очевидно, X0= Xm= ∅ , X0= Xm=
= X и XktXk= X при любом k = 0, . . . , m . По построению
λ[x] 6 Λkдля y ∈ Xkи λ[y] > Λkдля y ∈ Xk.
Л е м м а 1.2. Базис X несжимаем тогда и только то-
гда, когда Xkпри всяком k = 1, . . . , m является базисом
соответствующего подпространства Xk.
З а м е ч а н и е 1.11. Базис с такими свойствами, очевид-
но, существует и, если заданы пространства Xk, k = 1, . . . , m ,
легко может быть построен как объединение базисов прямых
дополнений X
k−1
до Xkпо всем k = 1, . . . , m .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Skи Sk— линейные обо-
лочки Xkи Xkсоответственно. Тогда S0= Sm= {0},
S0= Sm= X и Sk⊕ Sk= X при любом k = 0, . . . , m .
Зафиксируем произвольное k ∈ {0, . . . , m} . Поскольку Xk⊂
.
§ 1. Характеристические показатели Ляпунова 45
⊂ Xk, имеем включение Sk⊂ Xkи поэтому Sk+ Xk= X .
С другой стороны, если базис X несжимаем, то Sk∩ Xk=
= {0}, так как в противном случае каждый ненулевой вектор
y ∈ Sk∩Xkимеет показатель λ[y] 6 Λkи является линейной
комбинацией векторов из Xk, то есть векторов базиса с показателями, большими Λk. Отсюда получаем, что Sk⊕Xk= X
и, следовательно, dim Xk= dim Sk. Тогда, поскольку Sk⊂
⊂ Xk, справедливо равенство Xk= Sk, означающее, что X
является базисом Xk.
Обратно, пусть Xkявляется базисом Xkпри любом k =
= 1, . . . , m . Возьмем любой вектор y ∈ X , то есть произволь-
ную линейную комбинацию векторов базиса X . Если в нее с
ненулевым коэффициентом входит некоторый элемент из Xl,
то y 6∈ Xkпри любом k < l , поскольку в противном случае y
будет иметь два различных разложения по базису X , в одно
из которых элементы Xlвходят, а в другое не входят. Таким
образом, λ[y] > Λl. Если же Λl— наибольший из показателей
элементов базиса, участвующих в разложении y с ненулевым
коэффициентом, то λ[y] = Λl, так как в этом случае неравенство λ[y] > Λlневозможно. Лемма доказана.
С л е д с т в и е 1.7. Базис X несжимаем тогда и только
тогда, когда при всех k = 1, . . . , m −1 выполнены равенства
Sk⊕ Xk= X .
С л е д с т в и е 1.8. Базис X несжимаем тогда и только
тогда, когда в Xkпри всяком k = 1, . . . , m входит ровно
Nk= dim Xkэлементов.
З а м е ч а н и е 1.12. Так как Xk⊂ Xk, число элементов
множества Xkво всяком случае не превосходит Nk.
Л е м м а 1.3. Базис X является нормальным тогда и
только тогда, когда в Xkпри всяком k = 1, . . . , m входит
ровно Nk= dim Xkэлементов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Lk— число элементов множества Xk. Тогда число элементов множества Xk\X
но Lk−L
. Всякий x ∈ Xk\X
k−1
лежит в ступени Xk\X
k−1
k−1
рав-
k−1
и поэтому имеет показатель Λk. Отсюда, поскольку Lk6
6 dim Xk= Nk, имеем соотношения
n
X
σX:=
λ[xi] =
i=1
k
46 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
m
X
=
Λj(Lj− L
j=1
> Λmn −
m−1
X
j=1
(Λ
j−1
j+1
) = Λmn −
− Λj)Nj=
m−1
X
j=1
m
X
j=1
(Λ
− Λj)Lj>
j+1
Λj(Nj− N
j−1
),
из которых следует, что наименьшей суммой показателей обладает, в частности, тот базис X , у которого Lk= Nkпри
всех значениях k . В силу замечания 1.11 этот минимум достижим. Покажем, что он достижим только на базисе с указанным свойством. Для любого базиса X имеем неравенство
Так как Λ
∆ :=
=
j+1−Λj
n
X
λ[xi] −
i=1
m−1
X
(Λ
j=1
> 0 и Lj−Nj> 0 , разность ∆ равна нулю
m
X
Λj(Nj− N
j=1
− Λj)(Lj− Nj) > 0.
j+1
j−1
) =
только при Lj= Nj.
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1.4 теперь вытекает непо-
средственно из леммы 1.3 и следствия 1.8.
С л е д с т в и е 1.9. Кратность значения в полном спек-
тре пространства X равна весу ступени Xi\ X
i−1
.
С л е д с т в и е 1.10. Полный спектр любого пространства
X определен однозначно.
§ 2. Асимптотические инварианты
и устойчивость
Здесь рассказывается о том, что такое асимптотические инварианты, какие они бывают и зачем нужны. Кроме всего прочего описана связь устойчивости
линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с их асимптотическими инвариантами.
В современной теории характеристических показателей
принято рассматривать однородные линейные системы с кусочно непрерывными и ограниченными при t > 0 коэффициентами вида (1.2). Несмотря на упомянутую в § 1 возможность
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 47
применения первого метода Ляпунова к эволюционным системам различной природы, обыкновенные дифференциальные
системы остаются здесь основным объектом исследования.
Для некоторых из используемых нами подходов к решению задач управления асимптотическими инвариантами важно, чтобы рассматриваемая линейная система была определена при всех t ∈ R . С другой стороны, а именно с точки зрения
теории показателей, поведение системы (1.2) и ее решений на
любом конечном отрезке времени, а также, поскольку речь
идет об асимптотике при t → +∞ , и на всей отрицательной
полуоси — не имеет никакого значения. Поэтому фиксация начальной точки t0= 0 в (1.2) условна. В частности, всегда
можно считать, что система (1.2) определена всюду на R , полагая A(t) ≡ 0 при t < 0 .
Конкретный выбор функциональных свойств коэффициентов рассматриваемых систем определяется кругом решаемых задач. При этом, как правило, использование систем с
коэффициентами более общего вида вносит лишь технические
затруднения, но не приводит к существенно более общим результатам. Из фундаментальных теорем теории показателей
[27, с. 400; 121, с. 96] вытекает тождественность асимптотических свойств систем с ограниченными гладкими коэффициентами и систем, коэффициенты которых всего лишь измеримы и интегрально ограничены. Сам Ляпунов, в соответствии с принятыми в его время постановками основных задач
теории устойчивости, рассматривал системы с непрерывными
коэффициентами [115, с. 31]. В монографии [121] в контексте
исследования преобразований, сохраняющих асимптотические
свойства для наиболее общих систем, допускаются почти всюду конечные локально суммируемые коэффициенты. Класс систем с кусочно непрерывными1коэффициентами, занимающий промежуточное положение между этими крайностями,
удобен своей гибкостью. Он обеспечивает достаточно большое разнообразие систем, не связанных какими-либо жест-
кими условиями типа обязательной для классов Ckгладкой
сшивки между интервалами с различными способами задания
коэффициентов. Это удобно, если необходимо построить систему, имеющую какие-либо заданные асимптотические свойства, например, реализующую экстремальные значения пока-
1
Напомним, что функция f : R → R называется кусочно непрерывной
на R , если она имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода на
любом отрезке и непрерывна во всех остальных точках числовой прямой
[90, с. 179].
48 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
зателей при доказательстве достижимости их оценок. При доказательстве же общих теорем в этом классе отсутствует необходимость рассмотрения явно патологических случаев, встречающихся в более широких пространствах коэффициентов.
Совсем иной статус имеет требование ограниченности,
которое гарантирует конечность показателей всех ненулевых
решений и, тем самым, обеспечивает содержательность утверждений о показателях систем (1.2). Класс систем с ограниченными коэффициентами является в определенном смысле универсальным для теории показателей. В этом отношении характерно, что многие попытки построения аналогов показателей
Ляпунова для систем с неограниченными коэффициентами в
конечном счете сводятся к классическим конструкциям.
В силу сказанного мы в дальнейшем будем рассматривать системы
˙x = A(t)x, x ∈ Rn, t ∈ R, (2.1)
с ограниченными и кусочно непрерывными всюду на R коэффициентами, а совокупность всех таких систем будем попрежнему обозначать через Mn.
Хорошо известно [23, с. 231], что для линейных систем
из семейства Mnсправедлива глобальная теорема существования и единственности: при любых t0∈ R , x0∈ Rnрешение
x(t; t0, x0) задачи Коши для системы (2.1) с начальным условием x(t0) = x0существует и единственно всюду на R . При
каждом t ∈ R это решение удовлетворяет достаточно очевидной оценке [48, с. 135]
kx0ke
−a|t−t0|
6 kx(t; t0, x0)k 6 kx0ke
a|t−t0|
, (2.2)
в которой a := kA(·)kC.
Благодаря линейности системы (2.1) множество всех ее
решений X(A) имеет структуру вещественного линейного пространства, изоморфного фазовому пространству Rnв силу
теоремы существования и единственности. Этот изоморфизм
задается естественным соответствием между решениями системы (2.1) и их значениями в произвольный фиксированный
момент времени s . В координатной записи он имеет вид
x(t) = X(t, s)x(s), (2.3)
где X(t, s) — невырожденная при каждом t ∈ R квадратная
матрица-функция размерности n × n со столбцами xi(t) =
§ 2. Асимптотические инварианты и устойчивость 49
= x(t; s, ei) , отвечающими векторам ei, i = 1, . . . , n , канонического базиса в Rn, поскольку X(t, s)ei= xi(t) . Таким образом, набор столбцов x1(t), . . . , xn(t) матрицы X(t, s) является образом канонического базиса e1, . . . , enпри изоморфизме
(2.3) и поэтому образует базис всего пространства решений
линейной системы (2.1).
Формально-алгебраические рассуждения, обосновывающие сказанное, могут выглядеть примерно следующим образом. Из линейности системы (2.1) вытекает, что отображение
сужения φ(s) : x( ·; s, ξ) 7→ ξ — гомоморфизм пространств
X(A) → Rn. Из существования решения задачи Коши в точ-
ке t = s для любого начального значения ξ ∈ Rnследует
сюръективность отображения φ(s) , а из единственности такого решения для ξ = 0 — его инъективность. Следовательно, гомоморфизм φ(s) является изоморфизмом. При всяком
t ∈ R матрица X(t, s) соответствует в базисе e1, . . . , enавто-
морфизму φ(t) ◦φ−1(s) : Rn→ Rnи поэтому невырождена.
Матрица X(t, s) , рассматриваемая как функция двух
аргументов, называется матрицей Коши системы (2.1). Она
определяется единственным образом и обладает следующими
характеристическими свойствами, непосредственно вытекающими из равенства (2.3):
1) рефлексивность X(t, t) = E ,
2) симметричность X(t, s)X (s, t) = E ,
3) транзитивность X(t, τ )X (τ, s) = X (t, s) ,
при всех t, s, τ ∈ R . Каждое из них выражает соответствующее свойство бинарного отношения эквивалентности ∼ на
множестве пар (t, x) ∈ R×Rn, состоящего в принадлежности к
графику одного и того же решения системы (2.1): (t, ξ) ∼ (s, η)
при x( ·; t, ξ) = x( ·; s, η) .
З а м е ч а н и е 2.1. «Цепное правило»
X(t, τ )X (τ, s) = X (t, s)
часто называют полугрупповым свойством, хотя такое название может иметь смысл лишь для стационарных систем, у которых семейство матриц X (t, 0) = exp At при t > 0 образует
матричную полугруппу.
В соответствии с общей терминологией линейных систем,
одинаковой для уравнений любой природы, всякий базис пространства решений называется фундаментальной системой ре-
шений (ФСР). Матрица, столбцы которой образуют ФСР системы (2.1), то есть базис пространства X(A) , называется фун-
50 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
даментальной матрицей (ФМ) системы (2.1). При всяком фиксированном s ∈ R имеется взаимно однозначное соответствие
между базисами в Rnи X(A) : каждому базису c1, . . . , cnв
Rnпри изоморфизме (2.3) соответствует ФСР X(t, s)c1, . . .
. . . , X(t, s)cnи фундаментальная матрица X (t, s)C , где C =
= [c1, . . . , cn] . Обратно, любая ФМ X системы (2.1) предста-
вима в таком виде с некоторой невырожденной C ∈ Mn, так
как столбцы матрицы C в этом случае образуют базис в Rn,
а столбцы матрицы X — базис в X(A) . Отсюда, в частности,
следует, что для любой ФМ X при всех t ∈ R справедливо
неравенство det X(t) 6= 0 .
Если для ФМ X при некотором s ∈ R выполнено равен-
ство X(s) = E , то эта ФМ называется нормированной при t =
= s . Например, в (2.3) матрица X(t, s) является ФМ системы
(2.1), нормированной при t = s . Для всякой ФМ X матрица
X(t)X−1(s) при фиксированном s ∈ Rn— тоже ФМ, причем
нормированная при t = s . Поэтому матрица Коши системы
(2.1) представима в виде
X(t, s) = X(t)X−1(s) (2.4)
с произвольной ФМ X и, очевидно, не зависит от выбора ФМ
в этом представлении.
Нетрудно проверить, что всякая ФМ системы (2.1) удо-
влетворяет матричному дифференциальному уравнению
˙
X = A(t)X, X ∈ Mn, t ∈ R, (2.5)
которое, благодаря конечномерности пространства Rn, эквивалентно системе n векторных уравнений (2.1) относительно
столбцов матрицы X . Отсюда следует, что решение задачи
Коши для уравнения (2.5) с начальным условием X(t0) = C
имеет вид X(t) = X(t, t0)C , причем C ∈ Mnможет быть как
невырожденной, так и вырожденной. В последнем случае решение X(t) не будет ФМ. Таким образом, эволюция решений
системы (2.5) описывается равенством
X(t) = X(t, s)X(s),
эквивалентным представлению (2.4).
Для решений матричного уравнения (2.5) справедлива
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]