Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 19. Расчлененные линейные системы 201
Это означает, что ФСР z
(1)
(·), . . . , z
(n)
(·) несжимаема
[48, с. 142] и в силу теоремы Ляпунова [48, с. 142–144] нормальна. Итак, полный спектр показателей Ляпунова системы (18.3)
состоит из чисел µ16 . . . 6 µn. Для коэффициента неправильности Ляпунова этой системы имеем равенства [74, с. 77]
t
Z
−1
t
0
Sp G(s) ds =
n
X
i=1
µi−
− lim
t→+∞
= µn+
σЛ(G) =
t
Z
−1
t
0
n
X
i=1
n
X
λi(G) − lim
i=1
n−1
X
t→+∞
(fii(s)+µi−λi(A))+fnn(s)+p(s)−λn(A)ds =
i=1
n
X
λi(A) −
^
fii−p = µn− p = µn− (µn− σ) = σ.
i=1
Теорема доказана.
§ 19. Расчлененные линейные системы
Здесь введено и изучено понятие расчлененности линейной однородной системы. Это понятие будет играть ведущую роль в формулировках достаточных
условий локальной управляемости показателей Ляпунова.
Рассмотрим линейную однородную дифференциальную
систему
˙x = A(t)x, x ∈ Rn, t ∈ R, (19.1)
с ограниченными кусочно непрерывными на R коэффициентами и матрицей Коши X(t, s) ; a := sup
kA(t)k.
t∈R
Пусть x1(·), . . . , xn(·) — фундаментальная система реше-
ний системы (19.1). Для каждых i ∈ {1, . . . , n} и t ∈ R обозначим через Vi(t) линейную оболочку векторов xj(t) , j =
= 1, . . . , n , j 6= i , а через ϕi(t) := ^(xi(t), Vi(t)) — угол между
вектором xi(t) и подпространством Vi(t) .
Возьмем произвольное ϑ > 0 . Для всяких γ ∈]0, π/2] ,
k ∈ N и i ∈ {1, . . . , n} положим
γ
Γ
(ϑ) := {j ∈ N : ϕi(jϑ) > γ}, Γ
i
γ
(k; ϑ) := Γ
i
γ
(ϑ) ∩{1, . . . , k}.
i
202 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
Пусть N
есть
γ
(k; ϑ) — число элементов множества Γ
i
γ
N
(k; ϑ) :=
i
j∈Γ
X
γ
i
1.
(k;ϑ)
γ
(k; ϑ) , то
i
Введем также обозначения
γ
g
(k; ϑ) :=
i
(k; ϑ)
i
k
, fi(k; ϑ) :=
ln kxi(kϑ)k
kϑ
.
γ
N
В тех случаях, когда числа γ и ϑ заранее фиксированы, соответствующие символы во введенных обозначениях будем опускать.
О п р е д е л е н и е 19.1 [139]. Пусть x(·) — нетривиальное
решение линейной однородной системы (17.9). Строго возрастающую к +∞ последовательность {tk}
∞
назовем реализу-
k=1
ющей последовательностью решения x(·) , если
λ[x] = lim
k→∞
−1
t
ln kx(tk)k.
k
О п р е д е л е н и е 19.2 [139]. Будем говорить, что решение xi(·) , входящее в ФСР x1(·), . . . , xn(·) , ϑ-отчленено (от
остальных решений ФСР), если при заданном ϑ > 0 найдутся
такое γ ∈]0, π/2] и такая реализующая последовательность
∞
{kjϑ}
решения xi(·) , где kj∈ N , что
j=1
γ
lim
g
(kj; ϑ) > 0.
i
j→∞
ФСР x1, . . . , xnназовем ϑ-расчлененной, если каждое входящее в нее решение ϑ-отчленено.
Изучим основные свойства введенных понятий.
Л е м м а 19.1 [139]. Пусть V — векторное подпростран-
ство Rn, dim V = n − 1 и p ∈ Rn\V — произвольный нену-
левой вектор. Если S ∈ Mn— невырожденная матрица, то
1−n
π
,
^(Sp, SV ) >
2^(p, V )(κ(S))
где κ(S) = kSkkS−1k — спектральное число обусловленности матрицы S .
§ 19. Расчлененные линейные системы 203
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем в подпространстве V
произвольный ортонормированный базис v1, . . . , v
n−1
. Тогда
объем n-мерного параллелепипеда, построенного на векторах
p, v1, . . . , v
, равен kpk sin ϕ , где ϕ — угол между p и V .
n−1
Следовательно [228, с. 280], объем n-мерного параллелепипеда, построенного на векторах Sp, Sv1, . . . , Sv
, равен вели-
n−1
чине |det S|kpksin ϕ . С другой стороны, этот объем оценивается сверху числом
kSpk kSv1k. . . kSv
ksin ψ 6 kSknkpksin ψ,
n−1
где ψ = ^(Sp, SV ) . Отсюда
sin ψ >
|det S|sin ϕ
n
kSk
.
Так как углы ϕ и ψ лежат в пределах ]0, π/2] , получаем
оценки
ψ > sin ψ >
|det S|sin ϕ
n
kSk
2ϕ|det S|
>
πkSk
.
n
Пусть 0 < s16 . . . 6 sn— сингулярные числа [226, с. 493]
матрицы S . Тогда [226, с. 519 – 525] имеют место равенства
kS−1k = s
= sns
−1
1
|det S|
kSk
−1
, kSk = sn, |det S| = s1s2. . . sn, поэтому κ(S) =
1
и
= s1s2. . . s
n
1−n
n
> (s1s
−1
n
)
n−1
= (κ(S))
1−n
,
откуда получаем требуемое.
Т е о р е м а 19.1 [139]. Если входящее в ФСР x1, . . . , x
решение xiϑ0-отчленено при некотором ϑ0> 0 , то оно
является ϑ-отчлененным при всяком ϑ > 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть число γ ∈]0, π/2] и строго
возрастающая последовательность {kj}
∞
выбраны так, что
j=1
обеспечивается выполнение условий
lim
fi(kj; ϑ0) = λ[xi], lim
j→∞
j→∞
γ
g
(kj; ϑ0) > 0.
i
n
Каждому j ∈ N поставим в соответствие целое неотрицательное число ljтакое, что
kjϑ0∈ [ljϑ, (lj+ 1)ϑ[. (19.2)
204 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
Так как последовательность {kj} строго возрастает, то {lj}
является неубывающей, при этом lim
lj= ∞. Из неравенства
j→∞
0 6 kjϑ0− ljϑ < ϑ
следует
kjϑ
ljϑ
0
= lim
j→∞
lim
j→∞
и
kX±1(ljϑ, kjϑ0)k 6 exp(aϑ).
Отсюда получаем
fi(lj; ϑ) =
1
6
ln(kX(ljϑ, kjϑ0)kkxi(kjϑ0)k) 6
ljϑ
1
ln kX (ljϑ, kjϑ0)xi(kjϑ0)k 6
ljϑ
и, с другой стороны,
fi(lj; ϑ) >
1
lnkX(kjϑ0, ljϑ)k−1kxi(kjϑ0)k>
ljϑ
1
>
−aϑ + ln kxi(kjϑ0)k.
ljϑ
Теперь, учитывая равенства
1
lim
j→∞
(±aϑ + ln kxi(kjϑ0)k) = lim
ljϑ
1 +
kjϑ0− ljϑ
ljϑ
1
(aϑ + ln kxi(kjϑ0)k),
ljϑ
1
j→∞
ljϑ
= 1
ln kxi(kjϑ0)k =
j→∞
1
ln kxi(kjϑ0)k · lim
kjϑ
0
j→∞
= lim
будем иметь соотношение lim
fi(lj; ϑ) = λ[xi] .
j→∞
kjϑ
ljϑ
0
= λ[xi],
Пусть ϑ1= max{ϑ0, ϑ}/2 . При любых t,τ ∈ R линейное
подпространство Vi(t) решений xj(t) , j 6= i , можно предста-
вить в виде
Vi(t) = X(t, τ )Vi(τ),
§ 19. Расчлененные линейные системы 205
поэтому в силу леммы 19.1 при любых |t − τ| 6 ϑ1имеем
оценки
ϕi(t) = ^(xi(t), Vi(t)) = ^(X(t, τ )xi(τ), X(t, τ )Vi(τ)) >
1−n
> 2κ
(X(t, τ ))ϕi(τ)/π > 2 exp(−2a(n−1)ϑ1)ϕi(τ)/π =:cϕi(τ).
Возможны 2 случая.
1) ϑ < ϑ0. Пусть p := [ϑ0/ϑ] — целая часть числа ϑ0/ϑ .
Возьмем j ∈ N такое, что kj> 2 . Из (19.2) получаем
lj6 kjϑ0/ϑ < kj([ϑ0/ϑ] + 1) = kj(p + 1),
то есть kj/lj> 1/(p + 1) .
Пусть m пробегает множество точек Γ
γ
(kj−2; ϑ0) . По-
i
луинтервал [(m − 1/2)ϑ0, (m + 1/2)ϑ0[ при каждом таком m
содержит не менее p точек, кратных ϑ . Во всех этих точках
угол ϕiне меньше cγ . Кроме того, все эти точки на числовой
прямой находятся левее
(kj− 2 + 1/2)ϑ0< kjϑ0− ϑ0< ljϑ + ϑ − ϑ0< ljϑ,
то есть левее ljϑ . Значит, все они принадлежат множеству
cγ
Γ
(lj; ϑ) . Следовательно, общее количество элементов мно-
i
жества Γ
cγ
(lj; ϑ) не меньше
i
γ
pN
(kj− 2; ϑ0) > p(N
i
γ
(kj; ϑ0) −2).
i
Таким образом,
cγ
N
(lj; ϑ) > p(N
i
и
cγ
g
(lj; ϑ) =
i
γ
pN
i
=
N
(kj; ϑ0)
k
j
cγ
i
·
(lj; ϑ)
l
j
k
l
j
γ
(kj; ϑ0) −2)
i
γ
p(N
(kj; ϑ0) −2)
i
>
2p
j
−
>
l
j
pg
l
j
γ
(kj; ϑ0)
i
p + 1
=
2p
−
.
l
j
Поэтому
lim
j→∞
cγ
g
(lj, ϑ) > lim
i
j→∞
γ
pg
(kj, ϑ0)
i
p + 1
2p
−
=
l
j
206 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
=
p
p + 1
· lim
j→∞
γ
g
(kj, ϑ0) > 0.
i
2) ϑ > ϑ0. Обозначим q = [ϑ/ϑ0] . Пусть j ∈ N таково,
что lj> 1 . Из (19.2) имеем неравенства
kj/lj> ϑ/ϑ0> [ϑ/ϑ0] = q.
Возьмем какое-либо натуральное l < lj. Тогда
(l + 1/2)ϑ < (l + 1)ϑ 6 ljϑ 6 kjϑ0.
В полуинтервале [(l − 1/2)ϑ, (l + 1/2)ϑ[ содержится не более
q + 1 точек, кратных ϑ0. Если хотя бы одна из этих точек
принадлежит Γ
и
γ
(kj; ϑ0) , то l ∈ Γ
i
γ
N
(kj; ϑ0) 6 (q + 1)N
i
cγ
g
(lj; ϑ) =
i
γ
N
(kj; ϑ0)
i
=
k
j
N
cγ
i
·
(lj; ϑ)
l
j
k
j
(q + 1)l
cγ
(lj; ϑ) . Следовательно,
i
cγ
(lj; ϑ)
i
γ
N
(kj; ϑ0)
i
>
j
(q + 1)l
g
i
>
γ
(kj; ϑ0)q
q + 1
=
j
.
Поэтому
γ
g
lim
j→∞
cγ
g
(lj, ϑ) > q · lim
i
j→∞
(kj, ϑ0)
i
q + 1
> 0.
Выберем теперь из последовательности {lj}
возрастающую подпоследовательность {l
реализуется lim
справедливы соотношения
lim
m→∞
cγ
g
(lj; ϑ) . Для этой подпоследовательности
i
j→∞
fi(l
; ϑ) = λ[xi], lim
j
m
m→∞
cγ
g
i
}
j
m
(l
j
m
∞
j=1
∞
, на которой
m=1
; ϑ) > 0,
строго
то есть решение xi(·) ϑ-отчленено. Теорема доказана.
С л е д с т в и е 19.1 [139]. Если ФСР x1(·), . . . , xn(·) си-
стемы (19.1) ϑ0-расчленена при некотором ϑ0> 0 , то она
является ϑ-расчлененной при всяком ϑ > 0 .
§ 19. Расчлененные линейные системы 207
Основываясь на теореме 19.1 и следствии 19.1, будем называть входящее в ФСР x1(·), . . . , xn(·) решение xi(·) отчле-
ненным, если оно ϑ-отчленено при некотором ϑ > 0 . Соответ-
ственно, ФСР системы (19.1) называем расчлененной, если все
ее решения отчленены.
О п р е д е л е н и е 19.3 [139]. Систему (19.1), обладающую
расчлененной нормальной ФСР, будем называть расчлененной.
З а м е ч а н и е 19.1. Существуют нерасчлененные системы, в том числе и такие, у которых нет ни одной расчлененной
ФСР. Например, любая ФСР стационарной системы
˙x =
0 1
0 0
x, x ∈ R2,
не является расчлененной, поскольку угол ϕ(t) между любыми двумя решениями x1(t) и x2(t) этой системы при t → +∞
монотонно стремится либо к 0 , либо к π .
Для произвольных T > 1 , α ∈ ]0, π/2] и i ∈ {1, . . . , n}
обозначим
Так как функция t 7→ ϕi(t) непрерывна на R+, то множество
α
G
(T ) измеримо по Лебегу.
i
α
G
(T ) = {t ∈ [0, T ] : ϕi(t) > α}.
i
Т е о р е м а 19.2 [138]. Решение xi(·) отчленено в том
и только том случае, когда существуют такое α ∈]0, π/2]
и такая реализующая последовательность {tj}
шения, что
lim
j→∞
mes G
α
(tj)
i
t
> 0.
j
∞
j=1
этого ре-
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть решение xiотчленено от остальных решений ФСР x1, . . . , xn. Выберем ϑ = 1 и реализующую последовательность {kj}
решения xiтакую, что lim
j→∞
γ
g
(kj; 1) > 0 при некотором γ ∈
i
∞
j=1
⊂ N
∈]0, π/2] .
Если t ∈ [l − 1, l[ , где l ∈ N , то в силу леммы 19.1
ϕi(t) > 2 exp(−2a(n −1))ϕi(l)/π =: cϕi(l),
следовательно, если l ∈ Γ
да вытекают неравенство
mes G
γ
(kj; 1) , то [l −1, l[⊂ G
i
cγ
(kj) > N
i
γ
(kj; 1)
i
cγ
(kj) . Отсю-
i
208 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
и оценки
cγ
lim
j→∞
mes G
(kj)
i
k
> lim
j
j→∞
Положив α = cγ и выбрав в качестве {tj}
тающую подпоследовательность последовательности {kj}
на которой реализуется lim
емое утверждение.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть при некотором α ∈]0, π/2] су-
ществует реализующая последовательность {tj}
xi(·) такая, что
lim
j→∞
Положим kj= [tj] , j ∈ N , и выберем из последовательности
∞
{kj}
строго возрастающую подпоследовательность, кото-
j=1
j→∞
mes G
γ
N
i
mes G
t
j
(kj; 1)
k
j
cγ
i
k
j
α
(tj)
i
= lim
(kj)
γ
g
(kj; 1) > 0.
i
j→∞
∞
строго возрас-
j=1
, получим доказыва-
∞
j=1
> 0.
∞
j=1
решения
рую снова будем обозначать {kj}. Она является реализующей
для решения xi, так как
kxi(kj)k = kX(kj, tj)xi(tj)k 6 eakxi(tj)k,
kxi(kj)k > e−akxi(tj)k
и
ln kxi(kj)k
lim
j→∞
lim
j→∞
k
j
= lim
ln kxi(kj)k
k
j
= lim
j→∞
> lim
j→∞
6 lim
j→∞
ln kxi(tj)k
t
j→∞
ln kxi(tj)k
t
a + ln kxi(tj)k
t
j
= λ[xi],
j
−a + ln kxi(tj)k
t
j
= λ[xi],
j
t
j
·
=
k
j
t
j
·
=
k
j
то есть существует точный предел
,
lim
j→∞
ln kxi(kj)k
k
j
= λ[xi].
§ 19. Расчлененные линейные системы 209
Пусть t ∈ G
венства
α
(tj) . Тогда для l = [t] имеют место нера-
i
ϕi(l) > 2 exp(−2a(n −1))ϕi(t)/π = cϕi(t) > cα =: γ
j
γ
(kj; 1) ∪ {0} . Следовательно,
i
α
(tj)
i
γ
N
(kj; 1)
j→∞
i
j→∞
= lim
γ
g
i
mes G
j→∞
(kj; 1) , получим утверждение
>
k
j
α
(tj)
i
t
j
> 0.
и l 6 [tj] = kj, поэтому l ∈ Γ
γ
N
(kj; 1) + 1 > mes G
i
и
γ
lim
g
(kj; 1) = lim
i
j→∞
α
> lim
j→∞
mes G
(tj) −1
i
k
Выбирая из последовательности {kj} подпоследовательность,
на которой реализуется lim
теоремы.
Т е о р е м а 19.3 [139]. Ляпуновское преобразование сохра-
няет свойство отчлененности решения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть входящее в ФСР x1, . . . , x
системы (19.1) решение xiотчленено. Применим к (19.1) преобразование Ляпунова y = L(t)x и покажем, что в ФСР
yj(t) = L(t)xj(t), j = 1, . . . , n,
n
преобразованной системы решение yiявляется отчлененным.
Зафиксируем любое ϑ > 0 . Обозначим через ψi(t) угол
между yi(t) и линейной оболочкой L(t)Vi(t) векторов yk(t) ,
k 6= i . Из леммы 19.1 имеем неравенство
ψi(t) > 2ϕi(t)κ
Так как L(t) — матрица Ляпунова, существует c > 0 такое,
что 2kL(t)k
1−n
1−nkL−1
(L(t))/π = 2ϕi(t)kL(t)k
1−n
(t)k
/π > c при всех t ∈ R . Следова-
1−nkL−1
(t)k
1−n
/π.
тельно,
ψi(t) > cϕi(t), t ∈ R.
Для α ∈]0, π/2] обозначим
α
LΓ
:= {j ∈ N : ψi(jϑ) > α},
i
210 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
LΓ
Если j ∈ Γ
Следовательно, Γ
ком k ∈ N .
α
, то ψi(jϑ) > cϕi(jϑ) > cα , то есть j ∈ LΓ
i
α
i
Пусть γ ∈]0, π/2] и {kj}
ln kxi(kjϑ)k
lim
j→∞
α
(k) := LΓ
i
α
Lg
(k) :=
i
(k) ⊂ LΓ
kjϑ
α
∩ {1, . . . , k},
i
X
1
k
α
j∈LΓ
(k)
i
cα
(k) и g
i
∞
j=1
= λ[xi], lim
α
i
таковы, что
j→∞
1.
(k) 6 Lg
γ
g
(kj) > 0.
i
cα
(k) при вся-
i
cα
i
Тогда
ln kyi(kjϑ)k
lim
j→∞
kjϑ
= λ[yi], lim
j→∞
Возьмем подпоследовательность {k
сти {kj}
∞
, на которой реализуется lim
j=1
lim
m→∞
ln kyi(k
ϑ)k
j
m
ϑ
= λ[yi], lim
k
j
m
Lg
cγ
i
j
m
m→∞
(kj) > lim
j→∞
∞
}
последовательно-
m=1
cγ
Lg
Lg
i
cγ
(k
i
j→∞
γ
g
(kj) > 0.
i
(kj) . Тогда
) > 0.
j
m
Эти соотношения означают ϑ-отчлененность решения yi(·) .
Теорема доказана.
С л е д с т в и е 19.2 [139]. Свойство расчлененности си-
стемы сохраняется при всяком ляпуновском преобразовании,
при этом расчлененная ФСР переходит в расчлененную.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что система (19.1)
расчленена, и x1, . . . , xn— расчлененная нормальная ФСР
этой системы. Применим к (19.1) ляпуновское преобразование
y = L(t)x . Тогда ФСР yj(t) = L(t)xj(t) , j = 1, . . . , n , преобразованной системы нормальна, а ее расчлененность следует
непосредственно из теоремы 19.3.
П р и м е р 19.1 [139]. Всякая диагонализируемая линейная однородная система является расчлененной, так как нормированная при каком-либо t0∈ R ФСР диагональной систе-
мы нормальна, а входящие в нее решения сохраняют между
собой постоянные углы (равные π/2 ).
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]