Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
Г л а в а V
ГЛОБАЛЬНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ
АСИМПТОТИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ
Каллен мынод — ¨жоггес вуод.
Удмурт визькыл
Блiзка вiдаць, ды далёка дыбаць.
Беларуская прыказка
При переходе к глобальной задаче использование для
конструирования управления идеи размыкания обратной связи создает проблему обхода многообразия вырожденных матриц, недопустимых в качестве значений матрицы Коши линейной системы. Достаточно большая коразмерность этого многообразия во всем пространстве матриц позволяет легко строить
(и притом многими различными способами) обходные маршруты, связывающие любые пары невырожденных матриц. Гораздо труднее выяснить, какой из этих маршрутов проходим с
помощью заданной управляемой системы. Стратегия прокладки таких маршрутов требует определенной изобретательности
в планировании непрямых действий.
§ 25. Глобальная достижимость,
глобальная ляпуновская приводимость и
глобальная управляемость асимптотических
инвариантов
Здесь введены понятия глобальной достижимости
и глобальной ляпуновской приводимости замкнутой
системы. Выяснена взаимосвязь между этими поня-
тиями и их связь с определением глобальной управ-
ляемости ляпуновских инвариантов.
Рассмотрим линейную управляемую систему
1
˙x = A(t)x + B(t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm, t ∈ R, (25.1)
с кусочно непрерывными и ограниченными на R матричными
коэффициентами A(·), B(·) . Как и прежде, будем предпола-
1
Медленно едешь — быстрее приедешь. Удмуртская пословица [206,
с. 43].
252 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
гать, что управление u(·) в системе (25.1) выбирается линейным по фазовым координатам, u = U(t)x , где функция U (·) ∈
∈ KCmn(R) играет роль матричного управления в замкнутой
системе
˙x =A(t) + B(t)Ux. (25.2)
Обозначим через X (t, s) матрицу Коши свободной си-
стемы
˙x = A(t)x, (25.3)
Q(t, s) := X(t, s)B(s) , a := sup
kA(t)k.
t∈R
Пусть задана некоторая n × n -матрица H . Поставим
задачу построения на произвольном отрезке [t0, t0+ ϑ] такого
управления U(·) , что для матрицы Коши XU(t, s) замкнутой
системы (25.2) при U = U (·) выполнено равенство
XU(t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)H. (25.4)
В отличие от рассмотренного в главе III вопроса о локальной
достижимости системы (25.1), здесь мы будем предполагать,
что H ∈ Mn— не обязательно близкая к единичной матрица.
Предположим, что требуемое управление U (·) уже по-
строено. Так как
H = X (t0, t0+ ϑ)XU(t0+ ϑ,t0),
и в силу формулы Остроградского–Лиувилля [48, с. 73] для
матрицы Коши Z(t, s) произвольной линейной однородной системы ˙z = C(t)z справедливо равенство
t
Z
det Z (t, s) = exp
Sp C (τ ) dτ,
s
то
det H = exp
t
0
Z
Sp A(t) dt ·exp
t0+ϑ
= exp
t0+ϑ
Z
t
0
t0+ϑ
Z
SpA(t) + B(t)U(t)dt =
t
0
SpB(t)U (t)dt > 0.
§ 25. Достижимость, приводимость, управляемость 253
Таким образом, необходимым условием существования
управления U (·) , для которого выполнено (25.4), является
неравенство det H > 0 .
О п р е д е л е н и е 25.1. Пусть U ⊂ Mmn— неограниченное множество. Будем говорить, что система (25.2) обладает
свойством
– глобальной достижимости на отрезке [t0, t0+ ϑ] отно-
сительно множества U , если для любой матрицы H ∈ Mn,
det H > 0 , существует ограниченное кусочно непрерывное
управление U : [t0, t0+ ϑ] → U , такое, что выполнено ра-
венство (25.4);
– равномерной глобальной достижимости относительно
множества U , если при некотором ϑ > 0 для произвольных
α > 0 и β > 0 найдется такое положительное число l , что
для любой матрицы H ∈ Mn, удовлетворяющей неравенствам
kHk 6 α и det H > β , и для любого t0∈ R существует ку-
сочно непрерывное управление U : [t0, t0+ϑ] → U , kUkC6 l ,
гарантирующее выполнение равенства (25.4);
– ϑ-равномерной глобальной достижимости относительно
множества U , если (25.2) равномерно глобально достижима
относительно множества U на отрезках длины ϑ .
О п р е д е л е н и е 25.2. Система (25.2) называется
– глобально достижимой на отрезке [t0, t0+ ϑ] , если эта
система глобально достижима на [t0, t0+ϑ] относительно множества U = Mmn;
– равномерно глобально достижимой, если система (25.2)
равномерно глобально достижима относительно множества
U = Mmn;
– ϑ-равномерно глобально достижимой, если она равномерно глобально достижима на отрезках длины ϑ .
Т е о р е м а 25.1. Пусть U ⊂ Mmn— неограниченное мно-
жество. Если система (25.2) глобально достижима на отрезке [t0, t0+ ϑ] относительно множества U , то соответствующая система (25.1) вполне управляема на [t0, t0+ ϑ] .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что система (25.1)
не является вполне управляемой на [t0, t0+ϑ] . Тогда по теореме 4.2 строки матрицы Q(t0, t) линейно зависимы на отрезке
[t0, t0+ ϑ] , то есть существует вектор ξ ∈ Rn, kξk = 1 , такой,
что ξ∗Q(t0, t) ≡ 0 на [t0, t0+ ϑ] .
Возьмем произвольную матрицу H ∈ Mnс положительным определителем и в соответствии со свойством глобальной
254 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
достижимости построим управление U : [t0, t0+ ϑ] → U , га-
рантирующее выполнение равенства (25.4). По формуле Коши
t0+ϑ
Z
XU(t0+ϑ, t0) = X(t0+ϑ, t0)E +
Q(t0, s)U (s)XU(s, t0) ds,
t
0
поэтому
t0+ϑ
Z
Q(t0, s)U (s)XU(s, t0) ds = H − E.
t
0
Умножим это равенство слева на ξ∗, получим
t0+ϑ
Z
t0+ϑ
Z
∗
Q(t0, s)U (s)XU(s, t0) ds=
t
0
(ξ∗Q(t0, s))U (s)XU(s, t0) ds = 0.
t
0
ξ∗(H − E) = ξ
=
Следовательно, ξ∗H = ξ∗, то есть H имеет собственное значение, равное 1. Это противоречит произвольности H . Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 25.1. Из полной управляемости системы
(25.1) на [t0, t0+ ϑ] не следует глобальная достижимость системы (25.2) на этом отрезке.
П р и м е р 25.1. Рассмотрим систему
˙x =
b1(t)
b2(t)
u, x = col(x1, x2) ∈ R2, u ∈ R, (25.5)
где
b1(t) =
b2(t) =
1 при t ∈ [2k, 2k + 1[,
0 при t ∈ [2k + 1, 2(k + 1)[,
0 при t ∈ [2k, 2k + 1[,
1 при t ∈ [2k + 1, 2(k + 1)[,
§ 25. Достижимость, приводимость, управляемость 255
k ∈ Z . Тогда X(t, s) ≡ E , а матрица Калмана системы (25.5)
имеет вид
W (t0, t0+ ϑ) = diag
t0+ϑ
Z
2
b
1
t
0
(t) dt,
t0+ϑ
Z
t
0
2
b
(t) dt.
2
Поскольку при каждом t0∈ R выполнено неравенство
t0+1+ε
Z
2
b
(t) dt > min{ε, 1} =: ε0, i = 1, 2,
i
t
0
то для любого вектора ξ = col(ξ1, ξ2) ∈ R2, kξk = 1 , получаем
оценку
t0+1+ε
Z
ξ∗W (t0, t0+ 1 + ε)ξ = ξ
t0+1+ε
Z
+ξ
2
2
t
0
2
b
(t) dt > ε0(ξ
2
2
1
2
b
(t) dt+
1
t
0
2
2
+ ξ
) = ε0.
1
2
Это означает, что система (25.5) является (1 + ε)-равномерно
вполне управляемой при любом ε > 0 . Возьмем ε = 1 , то есть
ϑ = 2 , и рассмотрим систему (25.5) на [0, 2] . Из вышеприве-
денных рассуждений вытекает, что (25.5) вполне управляема
на [0, 2] . Покажем, что система (25.5) не является глобально
достижимой на отрезке [0, 2] .
Пусть u1(·) и u2(·) — произвольные кусочно непрерывные и ограниченные на [0, 2] скалярные функции. Замкнем систему (25.5) обратной связью u = U (t)x , U (t) = (u1(t), u2(t)) ,
получим систему
b1(t)u1(t) b1(t)u2(t)
˙x =
b2(t)u1(t) b2(t)u2(t)
x. (25.6)
Обозначим
ϕi(t, s) = exp
t
Z
ui(τ) dτ, t, s ∈ [0, 2], i = 1, 2.
s
256 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
При t ∈ [0, 1[ система (25.6) принимает вид
˙x1= u1(t)x1+ u2(t)x2,
˙x2= 0,
поэтому для матрицы Коши XU(t, s) системы (25.6) имеет место равенство
XU(1, 0) =
ϕ1(1, 0)
1
Z
u2(t)ϕ1(1, t) dt
0
,
0 1
а при t ∈ [1, 2[ из (25.6) получаем
˙x1= 0,
˙x2= u1(t)x1+ u2(t)x2,
следовательно,
XU(2, 1) =
Z
1
1 0
2
u1(t)ϕ2(2, t) dt ϕ2(2, 1)
.
Перемножая найденные матрицы Коши, получим
XU(2, 0) = XU(2, 1)XU(1, 0)
— матрица, на пересечении первой строки и первого столбца
которой находится элемент ϕ1(1, 0) .
Возьмем произвольную матрицу H = {hij}
2
i,j=1
∈ M2,
определитель которой больше нуля, такую, что h116 0 . По-
скольку для любой функции u1(·) величина
1
Z
ϕ1(1, 0) = exp
u1(t) dt
0
положительна, невозможно добиться выполнения равенства
XU(2, 0) = X (2, 0)H = H,
§ 25. Достижимость, приводимость, управляемость 257
то есть система (25.5) не является глобально достижимой на
отрезке [0, 2] .
Выясним теперь, как соотносятся понятия равномерной
глобальной достижимости системы (25.2) и равномерной полной управляемости системы (25.1).
Т е о р е м а 25.2. Пусть U ⊂ Mmn— неограниченное мно-
жество. Если система (25.2) ϑ-равномерно глобально достижима относительно множества U , то соответствующая
система (25.1) ϑ-равномерно вполне управляема.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что система (25.1)
не является ϑ-равномерно вполне управляемой. Тогда (см.
определение 5.1) для каждого k ∈ N найдутся момент времени tkи вектор ξk∈ Rn, kξkk = 1 , такие, что
tk+ϑ
Z
∗
kξ
Q(tk, s)k2ds 6
k
t
k
1
.
k
Пустьbξ — предельная точка последовательности {ξk}. Без
ограничения общности будем считать, что последовательность
{ξk} имеет пределbξ . В силу непрерывности функции
t+ϑ
Z
ξ 7→
kξ∗Q(t, s)k2ds,
t
равномерной по t ∈ R , для каждого ε > 0 найдется номер
K = K(ε) , начиная с которого будет выполнено неравенство
tk+ϑ
Z
kbξ∗Q(tk, s)k2ds 6 ε.
t
k
Возьмем Hk= H = 2E . В силу свойства ϑ-равномерной гло-
бальной достижимости найдется такое l > 0 , что при каждом k ∈ N существует кусочно непрерывное управление U :
[tk, tk+ ϑ] → U , удовлетворяющее оценке kUkC6 l и обеспе-
чивающее выполнение равенства
XU(tk+ ϑ,tk) = X(tk+ ϑ,tk)H.
258 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Как и в доказательстве теоремы 25.1, отсюда получаем равенство
tk+ϑ
Z
Q(tk, s)U (s)XU(s, tk) ds = H − E = E.
t
k
Умножая его слева наbξ∗и переходя к нормам, при всех k >
> K(ε) получим
tk+ϑ
(a+l)ϑ
6 e
При ε <
1 = kbξ∗Ek =
tk+ϑ
Z
6
kbξ∗Q(tk, s)k kU (s)k kXU(s, tk)kds 6
t
k
6 e
l√ϑ
1
2(a+l)ϑl2
e
Z
b
ξ∗Q(tk, s)U (s)XU(s, tk) ds
t
k
tk+ϑ
(a+l)ϑ
tk+ϑ
Z
t
k
ϑ
Z
l
kbξ∗Q(tk, s)k ds 6
t
k
1/2
kbξ∗Q(tk, s)k2ds
6 e
получаем противоречие, которое завер-
(a+l)ϑ
6
l√ϑ√ε.
шает доказательство теоремы.
Пример 25.1 показывает, что свойство ϑ-равномерной
полной управляемости системы (25.1) не является достаточным для ϑ-равномерной глобальной достижимости соответствующей замкнутой системы (25.2). Но оказывается (см. теорему 29.1), что для любой двумерной ϑ-равномерно вполне
управляемой системы вида (25.1) с кусочно равномерно непрерывной B(·) соответствующая замкнутая система (25.2)
обладает свойством 4ϑ-равномерной глобальной достижимости.
О п р е д е л е н и е 25.3. Пусть U ⊂ Mmn— неограниченное множество. Будем говорить, что система (25.2) обладает
§ 25. Достижимость, приводимость, управляемость 259
свойством глобальной ляпуновской приводимости относительно
множества U , если для любой матрицы C(·) ∈ KCn(R) най-
дется кусочно непрерывное ограниченное управление U : R →
→ U , обеспечивающее асимптотическую эквивалентность си-
стемы
˙z = C(t)z, z ∈ Rn, (25.7)
и системы (25.2) при U = U(·) , то есть существует преобразование Ляпунова, связывающее эти системы.
О п р е д е л е н и е 25.4 [135]. Будем говорить, что система (25.2) обладает свойством глобальной ляпуновской приводи-
мости, если она обладает свойством глобальной ляпуновской
приводимости относительно множества U = Mmn.
Выясним, как связаны свойства глобальной достижимости и глобальной ляпуновской приводимости системы (25.2).
Т е о р е м а 25.3. Если система (25.2) равномерно глобаль-
но достижима относительно множества U , то она обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости относительно U .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любую систему (25.7) с
кусочно непрерывной и ограниченной на R матрицей коэффициентов C(·) и матрицей Коши Z(t, s) ; c := sup
kC(t)k.
t∈R
Пусть ϑ > 0 — число, обеспечивающее ϑ-равномерную глобальную достижимость системы (25.2) относительно множества U . Для каждого k ∈ Z обозначим
Hk= X(kϑ, (k + 1)ϑ)Z((k + 1)ϑ, kϑ).
Тогда имеют место равномерные по k ∈ Z оценки
(a+c)ϑ
,
−n(a+c)ϑ
.
det Hk= exp
kHkk 6 e
(k+1)ϑ
Z
Sp(C(t) − A(t)) dt > e
kϑ
В силу свойства ϑ-равномерной глобальной достижимости системы (25.2) относительно множества U существует l >
> 0 такое, что при каждом k ∈ Z можно построить управле-
ние Uk: [kϑ, (k + 1)ϑ] → U , kUkkC6 l , обеспечивающее для
260 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
матрицы Коши системы (25.2) при U = Uk(·) равенство
X
((k + 1)ϑ, kϑ) = X((k + 1)ϑ, kϑ)Hk= Z((k + 1)ϑ, kϑ).
U
k
Положим
U(t) ≡ Uk(t) при t ∈ [kϑ, (k + 1)ϑ[.
Тогда U(t) ∈ U при каждом t ∈ R , kU k
XU((k + 1)ϑ, kϑ) = X
((k + 1)ϑ, kϑ) = Z((k + 1)ϑ, kϑ), k ∈ Z.
U
k
C(R)
6 l и
Отсюда в силу теоремы 2.12 вытекает асимптотическая эквивалентность системы (25.7) и системы (25.2) с построенным U (·) . Следовательно, система (25.2) обладает свойством
глобальной ляпуновской приводимости относительно множества U .
З а м е ч а н и е 25.2. Из свойства глобальной ляпуновской
приводимости системы (25.1) относительно множества U в общем случае не следует ее равномерная глобальная достижимость относительно U .
П р и м е р 25.2. Рассмотрим линейную управляемую систему (25.1) при m = n = 2 , A(t) ≡ 0 , B(t) ≡ E . В этом
случае замкнутая система (25.2) имеет вид
˙x = U(t)x, x ∈ R2. (25.8)
Предположим, что управление U (t) в системе (25.8) при каждом t ∈ R принимает значение во множестве U верхних треугольных 2×2 -матриц. Тогда при всех t, s ∈ R матрица Коши
XU(t, s) системы (25.8) — верхняя треугольная с положительными диагональными элементами
t
Z
exp
uii(τ) dτ, i = 1, 2.
s
Следовательно, равенство (25.4), которое в рассматриваемом
случае имеет вид
XU(t0+ ϑ,t0) = H,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]