Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
А. А. Козлов 371
для t ∈ ∆1∪∆2∪∆3∪∆4⊂ [t0, t0+ 3σ] и V (t) := 0 для всех
остальных значений t ∈ [t0, t0+ 3σ] .
Отметим, что множества ∆i, i = 1, 4, расположены на
отрезке [t0, t0+ 3σ] последовательно по возрастанию своих
номеров, и на каждом из них действует только одно соответствующее этому множеству управление. Подставив управление (33) в уравнение (30), с помощью равенств (28) найдем
значения решения этого уравнения с начальным условием (31)
в точках и t∗, и t0+ iσ, i = 1, 3. В результате будем иметь
равенства
Z(t∗) = [e1+ c1W
Z(t0+ σ) = [e1+ α1v1, e2+ c2W
(1)
, e2] = [e1+ α1v1, e2] =: P1,
(2)
] =
= [e1+ α1v1, e2+ α2v2] =: P2,
Z(t0+ 2σ) = [e1+ α1v1, e2+ α2v2+ c3X(t0, t0+ σ)W
(3)
] =
= [e1+ α1v1, e2+ α2v2+ α3v3] = [e1+ α1v1, H e2] =: P3,
Z(t0+ 3σ) = Z(t0+ T) =
= [e1+ α1v1+ c4X(t0, t0+ 2σ)W
(4)
, H e2] =
= [e1+ α1v1+ α4v4, H e2] = [He1, H e2] = H,
где
W
W
(1)
(3)
:=
:=
X
wj(t0, u1), W
j∈M
1
X
wj(t0+ σ, u3), W
j∈M
3
(2)
(4)
:=
:=
X
wj(t0, u2),
j∈M
2
X
wj(t0+ 2σ, u4).
j∈M
4
Так как выполняется соотношение Z (t0+ T ) = H, то най-
денное управление V является решением матричной задачи управления (30), (31), а следовательно, и задачи управления (12), (13).
Покажем теперь, что при некотором ρ > 0 для решения
Z(t) уравнения (30) с выбранным управлением (33) и всех t ∈
∈ [t0, t0+ 3σ] имеет место равномерная по t0оценка
det Z (t) > ρ. (34)
372 Дополнение
Для этого сначала докажем справедливость неравенств
det Pi> ε1(1 + α1), i = 1, 3. (35)
Поскольку для определителя произвольной матрицы
G := [g1, g2] ∈ M2, gi∈ R2, i = 1, 2,
выполняются соотношения
T
⊥
det G = g
g
2
1
⊥
= (g
)Tg2, (36)
1
то по определению матриц Pi, i = 1, 3, имеем равенства
det P1= e
det P2= (e2+ α2v2)T(e1+ α1v1)⊥,
det P3= e
T
(e1+ α1v1)⊥,
2
T
HT(e1+ α1v1)⊥.
2
(37)
Пусть величина ϕ удовлетворяет условию
ϕ 6 θ/(8π2β1), (38)
тогда в силу оценки (25) и определения ε1и β1выполняются
соотношения
v11− 2ε1> 3θ/(8π2) −2θ/(16π2) = θ/(4π2) >
> 2β1ϕ > 2α2|sin ϕ| > 2α2|sin ^(v1, v2)| =
= 2α2kv1kkv2k| sin ^(v1, v2)| = 2α2|det[v1, v2]| > 0,
то есть
v11> 2ε1+ 2α2|det [v1, v2] | > 0. (39)
Отсюда и из определения числа α1вытекают неравенства
T
e
(e1+ α1v1)⊥= 1 + α1v11> v11α1> 2ε1α1> ε1(α1+ 1),
2
устанавливающие в силу (37) первое неравенство в (35). Используя формулу (25) и определение ε1, получаем соотношения
ε16 χ1θ/(4π2) 6 2χ1v11/3 6 2h22v11/3,
А. А. Козлов 373
то есть h22v11> 3ε1/2. Тогда отсюда и из неравенств h22>
> χ1> ε1и α1> 1 следуют соотношения
α1h22v11+ h22> 3α1ε1/2 + ε1> ε1(α1+ 1).
Поэтому с учетом равенства
T
e
HT(e1+ α1v1)⊥= α1h22v11+ h
2
22
и формул (37) выполняется третье соотношение в (35). По
определению α1и β1получим неравенства
α1> 16π2(ε1+ β1)(3θ)−1> 16π2(ε1+ |α2|kv2k)(3θ)−1>
> 16π2(ε1+ |α2|v22)(3θ)−1> 16π2(ε1− α2v22)(3θ)−1.
Отсюда ввиду соотношения (25) и с учетом верного в силу
формулы (39) неравенства
v11> 2ε1− 2α2det[v1, v2]
вытекают оценки
ε1− α2v226 3α1θ/(16π2) 6 α1v11/2 =
= α1(v11− v11/2) 6 α1(v11− ε1+ α2det[v1, v2]),
то есть
α1(α2det[v1, v2] + v11) + α2v22> ε1(1 + α1),
а поскольку
(e2+ α2v2)T(e1+ α1v1)⊥= α1α2det[v1, v2] + α1v11+ α2v22+ 1 >
> α1(α2det[v1, v2] + v11) + α2v22,
то ввиду равенств (37) соотношение (35) справедливо и при
i = 2. Обозначая
P0:= E и P4:= H,
по определению ε1для определителей матриц P0и P4получаем оценки
det P0= 1 > ε1, det P4:= det H > ε1.
374 Дополнение
Положим
l := max{α1, β1, β1exp a, β2exp(2a)}.
Тогда из определения числа α1и матриц Pi, i = 0, 4, а также
из оценок для величин αi, i =
2, 4, и kvik, i = 1, 4, следуют
соотношения
k(P1− P0)e1k = ke1+ α1v1− e1k = kα1v1k 6 α16 l,
k(P2− P1)e2k = ke2+ α2v2− e2k = kα2v2k 6 β16 l,
k(P3− P2)e2k = kHe2− (e2+ α2v2)k =
= ke2+ α2v2+ α3v3− (e2+ α2v2)k = kα3v3k 6 β1exp a 6 l,
k(P4− P3)e1k = kHe1− (e1+ α1v1)k =
= ke1+ α1v1+ α4v4− (e1+ α1v1)k = kα4v4k 6 β2exp(2a) 6 l.
Пусть
ε := ε1/3, ϕ2:= arctg(2ε/l),
ϕ3:= min{θ/8, θ/(4π), θ/(8π2β1), ϕ2}, ϕ:=exp(−4a) sin ϕ3.
Тогда очевидно, что величина ϕ ∈ (0, θ/8] удовлетворяет налагаемым на нее условиям (17), (24), (38). Кроме того, выполняются равенства
ϕ1= arcsin(ϕ exp(4a)) = arcsin(exp(−4a) sinϕ3exp(4a)) = ϕ3.
Отсюда и из оценок ^Ψi6 ϕ1, i = 3, 4, получим неравенства ^Ψi6 ϕ3, i = 3, 4, которые ввиду третьего соотношения
в (21) и оценок
ϕ 6 ϕ exp(4a) 6 arcsin(ϕ exp(4a)) = ϕ
справедливы и для углов Ψ0= Ψ1= Ψ2. Обозначим через
0
Ψ
⊃ Ψi, i = 1, 4, углы меры 2ϕ3, на биссектрисах которых
i
лежат векторы αivi, и рассмотрим ромбы
R1:= R1(P0e1, P1e1, Ψ
R3:= R3(P2e2, P3e2, Ψ
0
), R2:= R2(P1e2, P2e2, Ψ
1
0
), R4:= R4(P3e1, P4e1, Ψ
3
3
0
),
2
0
).
4
По определению ε1имеют место соотношения
T
e
(P0e1) = 1 > ε1, e
1
T
(P4e1) = h11> χ1> ε1,
1
А. А. Козлов 375
T
e
(P1e1) = e
1
T
(P3e1) = e
1
T
(e1+ α1v1) = α1v11+ 1 > ε1.
1
Отсюда ввиду равенства ke1k = 1 и определения величин ε
и ϕ3, используя лемму 6, получаем, что для произвольного
элемента η1∈ Uε(R1)∪Uε(R4) будет выполняться неравенство
T
e
η1> ε. (40)
1
В силу формул (35)–(37) при i = 1, 3 справедливы соотношения
((P1e1)⊥)T(Pie2) = ((Pie1)⊥)T(Pie2) = det Pi> ε1(1 + α1),
k(P1e1)⊥k = kP1e1k = ke1+ α1v1k 6 1 + α1kv1k = 1 + α1.
Полагая
v = (P1e1)⊥/k(P1e1)⊥k,
получаем оценки
vT(Pie2) > ε1, i = 1, 3,
из которых с учетом неравенства ϕ36 arctg(2ε/l) и леммы 6
вытекает, что для любого η2∈ Uε(R2) ∪ Uε(R3) имеет место
неравенство vTη2> ε. Применяя соотношения
k(P1e1)⊥k = kP1e1k = ke1+ α1v1k > |1+ α1v11| = 1 + α1v11> 1,
верные в силу оценки (39) и определения α1, последнее неравенство преобразуем к виду
((P1e1)⊥)Tη2> ε. (41)
Для всех k = 0, 2, i = 1, 2, j ∈ M
2k+i
включения
wj(t0+ kσ,u
2k+i
) ∈ Φ
2k+i
,
поэтому ввиду определения векторов wj(t0+kσ, u
Φi(k) имеем соотношения
Φi(k) = X(t0, t0+ kσ)Φ
= X(t0, t0+ kσ)
3 X(t0, t0+ kσ)wj(t0+ kσ, u
2k+i
t
j
Z
Q(t0+ kσ,τ )u
t
j−1
2k+i
(τ) dτ =
выполняются
) и углов
2k+i
) =
2k+i
376 Дополнение
t
j
Z
=
где t
j−1
wj(t0, u
Q(t0, τ )u
t
j−1
, tj∈ [t0+ kσ, t0+ (k + 1)σ], то есть верно включение
) ∈ Φi(k). Отсюда и из определения углов Ψi, мно-
2k+i
(τ) dτ = wj(t0, u
2k+i
2k+i
),
жеств Mi, управлений ui, а также чисел ci, следуют включения ciwj(t0, ui) ∈ Ψi, j ∈ Mi, i = 1, 4. Пусть qi, — мощность
множества Mi. Обозначим через m
, j = 1, qi, i = 1, 4, эле-
i,j
менты множества Mi, упорядоченные по возрастанию. Тогда
из последних включений, соотношений vi∈ Ψi, i = 1, 4, и
леммы 5 следуют включения
s
1
P0e1+ c
P1e2+ c
P2e2+ c
P3e1+ c
P
w
1
j=1
s
2
P
2
j=1
s
3
P
3
j=1
s
4
P
4
j=1
(t0, u1) ∈ R1,
m
1,j
w
(t0, u2) ∈ R2,
m
2,j
w
(t0, u3) ∈ R3,
m
3,j
w
(t0, u4) ∈ R4,
m
4,j
(42)
si= 1, qi, i = 1, 4.
По построению функции ui, i = 1, 4, являются измеримыми и ограниченными в своих областях определения, поэтому ввиду формулы (33) матричная функция V также измерима и ограничена на [t0, t0+ T]. Тогда, поскольку матричная
функция Q(t, τ ) локально интегрируема при всех t, τ > 0,
вектор-функции Q(t0, t)V (t)ej, j = 1, 2, локально интегриру-
емы на [t0, t0+ T]. Используя лемму 7, найдем такое p1> p,
p1∈ N, при котором для всех i = 1, p1, k = 1, 3, j = 1, 2
и t ∈ [t
включения
, ti] ⊂ [t0+ (k − 1)σ, t0+ kσ] будут выполняться
i−1
t
R
k
Q(t0, τ )V (τ )ejdτk ∈ Uε(0).
t
i−1
Тогда отсюда с учетом включений (42) для первого столбца
решения системы (30) с начальным условием (31) и управле-
нием (33) при любом i = 1, p1и t ∈ [t
, ti] ⊂ [t0, t∗] получим
i−1
соотношения
=P0e1+ c
= P0e1+ c
= P0e1+ c
Z(t)e1=E +
t
Z
=e1+ c
X
1
j=1
1
t
0
s
w
(t0, u1) + c
m
1,j
s
X
w
1
1
j=1
X
i=1
m
1,j
s
w
m
1,i
∈ R1+ Uε(0) = Uε(R1),
А. А. Козлов 377
t
Z
Q(t0, τ )V (τ ) dτe1=
t
0
Q(t0, τ )u1(τ) dτ, e
t
Z
Q(t0, τ )u1(τ) dτ, e
1
t
m
1,s
t
Z
(t0, u1) + c
(t0, u1) +
1
t
m
1,s
t
Z
Q(t0, τ )V (τ )e1dτ ∈
t
i
e1=
2
2
Q(t0, τ )u1(τ) dτ =
e1=
где m
6 i 6 p1, s ∈ {1, . . . , q1}. В силу произвольности
1,s
i ∈ {1, . . . , p1} для всех t ∈ [t0, t∗] имеет место включение
Z(t)e1∈ Uε(R1).
Рассуждая аналогичным образом, можно получить следующие включения:
Z(t)e2∈ Uε(R2), t ∈ [t∗, t0+ σ],
Z(t)e2∈ Uε(R3), t ∈ [t0+ σ, t0+ 2σ],
Z(t)e1∈ Uε(R4), t ∈ [t0+ 2σ, t0+ 3σ].
Так как один из столбцов каждой матрицы управления
в (33) нулевой, то, используя последние включения, неравенства (40) и (41), а также равенства P1e1= e1+ α1v1и (36),
имеем следующие соотношения:
det Z (t) = det[Z(t)e1, e2] = e
T
Z(t)e1> ε, t ∈ [t0, t∗],
1
378 Дополнение
det Z (t) = det[e1+ α1v1, Z (t)e2] = e
T
ZT(t)(e1+ α1v1)⊥=
2
= (((P1e1)⊥)TZ(t)e2)T> ε, t ∈ [t∗, t0+ σ],
det Z (t) = det[e1+ α1v1, Z (t)e2] = e
T
ZT(t)(e1+ α1v1)⊥=
2
= (((P1e1)⊥)TZ(t)e2)T> ε, t ∈ [t0+ σ, t0+ 2σ],
и ввиду того, что H — нижнетреугольная матрица,
det Z (t) = det[Z(t)e1, H e2] =
T
= h22e
Z(t)e1> h22ε > χ1ε, t ∈ [t0+ 2σ, t0+ 3σ].
1
Положив ρ := min{ε, χ1ε}, докажем для всех t ∈ [t0, t0+ 3σ]
выполнение неравенства (34).
Из определения чисел α1и ci, i = 1, 4, леммы 4, второ-
го соотношения в формулах (22), а также оценок для величин
|αi|, i = 2, 4, вытекают неравенства
|c1| 6 |α1|
|c2| 6 |α2|
|c3| 6 |α3|
|c4| 6 |α4|
X
j∈M
X
j∈M
wj(t0, u1)
1
wj(t0, u2)
2
X
j∈M
X
j∈M
−1
6
−1
6
wj(t0+ σ, u3)
3
wj(t0+ 2σ, u4)
4
α
1
kW0k−16
3
β
1
kW0k−16
3
−1
−1
α
1
,
3`
β
1
,
3`
β
1
6
,
`
β
2
6
,
`
где ` := `(ϕ). Обозначив c := max{α1/(3`), β1/`, β2/`}, из
определения управлений ui, i = 1, 4, и формулы (33) получим
равномерную по t0оценку
kV (t)k 6 max
|ci|kui(t)k 6 cγ1=: δ2, t ∈ [t0, t0+ T].
i=1,4
А. А. Козлов 379
Тогда с учетом соотношений (32) для решения Z(t) при всех
t ∈ [t0, t0+ T] выполняются неравенства
T
Z
kZ(t)k 6 1 +
kQ(t0, τ )kkV (τ)kdτ 6 1 + 3bexp(3a)δ2=: ρ1.
t
0
Отсюда в силу замечания 2 и формулы (34) получаем равномерную по t0> 0 оценку
kZ(t)−1k = kZ(t)k |det Z(t)|−16 ρ1ρ−1,
из которой в силу равенства Z(t) = X(t0, t)Y (t) следует обратимость матрицы Y (t) для всех t ∈ [t0, t0+ T ], при этом
выполняются соотношения
kY−1(t)k 6 kZ−1(t)kkX(t0, t)k 6 ρ1ρ−1exp(3a) =: ρ2.
Таким образом, взяв U (t) = Y−1(t)V (t), с учетом форму-
лы (29) получим равенства XU(t0+T, t0) = X(t0+T, t0)H = Λ
и независимую от t0> 0 оценку
kU(t)k 6 kY−1(t)kkV (t)k 6 δ2ρ2.
Положив δ := max{δ1, δ2ρ2}, устанавливаем справедливость
всех утверждений, требуемых на первом этапе доказательства
теоремы.
Второй этап. Применив к системе (1) с нулевым управлением преобразование Перрона [48, с. 182-185]
x = O(t)y, (43)
получим систему ˙y = D(t)y с нижнетреугольной локально-
интегрируемой и интегрально ограниченной матрицей коэффициентов D(t) . Система (1) таким же преобразованием переводится в систему
˙y = D(t)y + O−1(t)B(t)u. (44)
Возьмем произвольные числа µ16 µ2и положим di:=
= exp(µiT ), i = 1, 2. Известно (см. теорему 5.3), что свойство
380 Дополнение
σ -равномерной полной управляемости инвариантно относительно преобразований Ляпунова. Поскольку преобразование
Перрона является ляпуновским и система (1) σ -равномерно
вполне управляема, это означает, что система (44) также обладает этим свойством. Применяя к системе (44) утверждение,
установленное на первом этапе доказательства теоремы, для
каждого k ∈ N и некоторого δ = δ(d1, d2) > 0 найдем на
отрезках [(k − 1)T, kT ] такие допустимые управления U1(t),
kU1(t)k 6 δ, t ∈ [(k − 1)T, kT], которые обеспечивают для
матрицы Коши Y
(t, τ ), t, τ > 0, замкнутой системы
U
1
˙y = (D(t) + O−1(t)B(t)U1(t))y (45)
выполнение равенства
Y
(kT, (k − 1)T) = Λk,
U
1
k
где Λk= {λ
диагональными элементами которых являются числа di, i =
= 1, 2, а для их элементов λ
2
}
ij
, k ∈ N, — нижнетреугольные матрицы,
i,j=1
k
имеет место оценка
21
k
|λ
| 6 δ, k ∈ N. (46)
21
Дальнейшее доказательство будем проводить в соответ-
ствии с подходом, описанным в доказательстве леммы 31.1.
Поскольку для всех k ∈ N матрицы Λkнижнетреугольные,
то каждая из них представляется в виде
Λk=
−1
diag(d1, d2)Lk,
k
d 0
k
λ
d
21
,
Λk= L
где Lk, L
выполнено условие µ16= µ2, и
−1
, k ∈ N, — нижнетреугольные матрицы, если
k
где d = exp(µT), если µ1= µ2= µ. При этом непосредствен-
ным вычислением можно убедиться в том, что матрицы L
k ∈ N, имеют вид
Lk=
d1− d20
k
λ
21
и L
1
−1
k
=
(d1− d2)
k
−λ
21
−1
/(d1− d2) 1
±1
k
!
0
.
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]