Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 29. Глобальная достижимость двумерных систем 321
H1∈H(ρ1) ⊂
H
III. а) det H1= det P1= 1 , kP1P
det P
б) det H2=
kP2P
2
det P
−1
1
= det(E + αJ) = 1 + α2,
1
k = kP2k 6 1 + |α|κ(F2)kJk 6
80γ
1
0
21
−1
.
k = 1 .
6 1 + |α|f 6 1 + 2f36 1 + 2γ66 3γ6.
2
α
=
6
2
1 + α
(1 + |α|f)|α|f
1 + α
,
6
2
в) det H3=
−1
kP3P
k 6 kP3kkP
2
det P
det P
3
=
det(E + αJ)
2
−1
k 6
2
det(αJ)
kP2kkP3k
|det P2|
6 (1+|α|f)|α|f 6 (1+2f3)2f36 (1+2γ6)2γ66 3γ6·2γ6= 6γ12.
г) Так как P
−1
kP4P
3
k 6 kP4kkP
−1
= α−1F2J−1F
3
k 6
kΛkκ(F2)
3
−1
|α|
2
−1
6
, то
kΛkf
6 2kΛkf36 2γ7.
|α|
Итак, в случае III
kHj− Ek 6 γ2max{1, 3γ6, 6γ12, 2γ7} + 1 =
то есть
= 16γ14+ 1, j = 1, 2, 3, 4,
j−1
Y
det Hi6 max{1, 1 + α2, α2} =
i=1
= 1 + α26 1 + 4f46 5f46 5γ8, j = 2, 3, 4,
Hj∈
ρ
1
H
8
5γ
H1∈H(ρ1) ⊂
=
H
40γ
H
1
, j = 2, 3, 4,
21
1
21
40γ
.
322 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Таким образом, в каждом из случаев I – III
kHj− Ek 6 max{γ3, 16γ14} + 1 = 16γ14+ 1,
80γ
∩
H
1
21
Hj∈
H
1
15
8γ
=
H
то есть при r = 16γ14+1 и ρ =
∩
H
80γ
1
21
, j = 1, 2, 3, 4,
1
справедливы включения
21
80γ
40γ
1
=
21
Hj∈H(r, ρ) , j = 1, 2, 3, 4 . Следствие доказано.
З а м е ч а н и е 29.1. Пусть система (25.1) ϑ-равномерно
вполне управляема. Зафиксируем какие-либо t0∈ R и l ∈
∈ N . Тогда на каждом из отрезков [t0+ (k − 1)ϑ, t0+ kϑ] ,
k = 1, . . . , l , существует базис чистых движений Fk= [Q(t0+
k
+ (k − 1)ϑ, t
k
)ν
, . . . , Q(t0+ (k − 1)ϑ, t
1
1
− 1)ϑ, t0+ kϑ[ , ν
kFkk 6√neaϑb , kF
e
Fk:= X(t0, t0+ (k − 1)ϑ)Fk, k = 1, . . . , l.
k
∈ Rm, kν
j
−1
k 6 α . Рассмотрим матрицы
k
k
k = 1 , j = 1, . . . , n , при этом
j
k
)ν
n
k
] , где t
n
k
∈]t0+ (k −
j
Для них справедливы равномерные по k ∈ Z оценки
keF
k
−1
keFkk 6 e
k 6 kF
a(l−1)ϑ
kFkk 6√ne
−1
kkX (t0+ (k − 1)ϑ, t0)k 6 αe
k
alϑ
b,
a(l−1)ϑ
(29.6)
.
Пусть r > 0 и ρ ∈]0, 1] фиксированы. В силу теоремы 27.3 для любых матриц Hk∈H(r, ρ) , k = 1, . . . , l , суще-
ствует такое управление U(·) ∈ K Cmn([t0, t0+ lϑ]) , kUkC6
6 β maxkkHk− Ek 6 βr , что
XU(t0+ kϑ, t0+ (k − 1)ϑ) =
= X(t0+ kϑ, t0+ (k − 1)ϑ)FkHkF
−1
, k = 1, . . . , l.
k
Докажем по индукции, что при всех k ∈ {1, . . . , l}
1
XU(t0+ kϑ, t0) = X(t0+ kϑ, t0)
Y
i=k
e
FiH
−1
e
F
i
i
. (29.7)
§ 29. Глобальная достижимость двумерных систем 323
Действительно, при k = 1
XU(t0+ ϑ, t0) = X(t0+ ϑ, t0)F1H1F
−1
= X(t0+ ϑ, t0)eF1H
1
−1
e
F
1
1
Пусть (29.7) установлено при k = j , где j ∈ {1, . . . , l − 1} .
Проверим (29.7) для k = j + 1 . Имеют место равенства
XU(t0+ (j + 1)ϑ, t0) = XU(t0+ (j + 1)ϑ, t0+ jϑ)XU(t0+ jϑ, t0) =
1
= X(t0+(j+1)ϑ, t0+jϑ)F
j+1Hj+1
−1
F
X(t0+jϑ, t0)
j+1
Представим множитель, находящийся слева от F
Y
i=j
j+1
e
e
FiH
F
i
, в виде
i
−1
X(t0+ (j + 1)ϑ, t0+ jϑ) = X(t0+ (j + 1)ϑ, t0)X(t0, t0+ jϑ)
и заметим, что
X(t0, t0+ jϑ)F
j+1
=eF
j+1
−1
, F
X(t0+ jϑ, t0) =eF
j+1
−1
j+1
.
Тогда
XU(t0+ (j + 1)ϑ, t0) =
1
Y
= X(t0+ (j + 1)ϑ, t0)eF
= X(t0+ (j + 1)ϑ, t0)
j+1Hj+1
i=j+1
1
Y
−1
e
F
j+1
i=j
e
FiH
F
i
e
FiH
−1
e
i
−1
e
F
=
i
i
.
Таким образом, равенство (29.7) установлено при всех
k ∈ {1, . . . , l}. В частности,
.
.
1
XU(t0+ lϑ, t0) = X(t0+ lϑ, t0)
Y
i=l
e
FiH
−1
e
F
.
i
i
Т е о р е м а 29.1 [134, 135]. Пусть n = 2 . Если систе-
ма (25.1) ϑ-равномерно вполне управляема, матричная функция B : R → M
кусочно равномерно непрерывна, то соот-
2,m
ветствующая замкнутая система (25.2) является 4ϑ-равномерно глобально достижимой.
324 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любые α0> 0 , β0> 0 и
зафиксируем произвольный момент времени t0. Пусть H ∈
∈ M2— такая матрица, что kHk 6 α0, det H > β0. Тогда
kH−1k =
kHk
det H
6 α0β
−1
0
.
На каждом из отрезков [t0+ (j −1)ϑ, t0+ jϑ] , j ∈ {1, 2, 3, 4} ,
построим матрицу базиса чистых движений Fjи обозначим
e
Fj= X(kT, kT + (j −1)ϑ)Fj.
Из (29.6) следует, что дляeFjсправедливы оценки
keFjk 6 e
4aϑ
√
2b, keF
−1
j
k 6 αe
3aϑ
, j = 1, 2, 3, 4.
Положим
γ = max{α0, α0β
−1
0
, e
4aϑ
√
2b, αe
3aϑ
}.
Тогда
kHk 6 γ, kH−1k 6 γ, keFjk 6 γ, keF
j
−1
k 6 γ.
В соответствии со следствием 29.2 по найденному γ > 1 выберем величины r > 0 и ρ ∈]0, 1] и матрицы Hj∈H(r, ρ) ,
j = 1, 2, 3, 4 , такие, что
1
H =
Y
FjH
j=4
−1
e
e
F
.
j
j
В силу замечания 29.1 существует кусочно непрерывное управление U : [t0, t0+ 4ϑ] → M
XU(t0+ 4ϑ,t0) = X(t0+ 4ϑ,t0)
, kU kC6 βr =: l , такое, что
m,2
1
Y
FjH
j=4
−1
e
e
F
= X(t0+ 4ϑ,t0)H.
j
j
Положительная величина l , ограничивающая сверху норму
управления, не зависит от выбора t0и H , следовательно, система (25.2) обладает свойством 4ϑ-равномерной глобальной
достижимости. Теорема доказана.
§ 30. Глобальная скаляризуемость 325
С л е д с т в и е 29.3 [134, 135]. Пусть n = 2 . Если мат-
ричная функция B : R → M
кусочно равномерно непре-
2,m
рывна, а система (25.1) равномерно вполне управляема, то
система (25.2) обладает свойством глобальной ляпуновской
приводимости.
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из теорем 25.3 и 29.1.
§ 30. Глобальная скаляризуемость
линейных управляемых систем
В этом параграфе установлена глобальная скаляризуемость линейных управляемых систем. Как следствие, доказана глобальная управляемость таких
ляпуновских инвариантов, как приводимость, правильность, коэффициенты неправильности, устойчивость полного спектра показателей Ляпунова.
Пусть p : R → R — произвольная ограниченная кусоч-
но непрерывная функция. Рассмотрим линейную однородную
систему
˙z = p(t)z, z ∈ Rn. (30.1)
Матрица Коши Z(t, s) системы (30.1) имеет вид
t
Z
Z(t, s) = E
p(τ) dτ,
s
а для решения z(·) с начальным условием z(t0) = z0справедливо представление
t
Z
z(t) = z
0
t
p(τ) dτ,
0
следовательно, оно ведет себя как решение скалярного уравнения
˙ϕ = p(t)ϕ, ϕ ∈ R,
с начальным условием ϕ(t0) = 1 . По этой причине системы
вида (30.1) будем называть системами скалярного типа. Системы скалярного типа рассматривались М. И. Рахимбердиевым
в [184] в связи с вопросами почти приводимости.
326 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
О п р е д е л е н и е 30.1 [172]. Будем говорить, что система (25.2) глобально скаляризуема, если для произвольной наперед заданной кусочно непрерывной и ограниченной на R скалярной функции p(·) существовует такое управление U (·) ∈
∈ KCmn(R) , что система (25.2) с этим управлением асимптотически эквивалентна системе (30.1).
Т е о р е м а 30.1 [172]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
система (25.2) глобально скаляризуема.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть система (25.1) ϑ-равномерно вполне управляема. Согласно следствию 27.2 существуют
такие невырожденные матрицы Fk, k ∈ Z , что для любой
последовательности верхних треугольных матриц {Hk}
⊂ Mnс положительными диагональными элементами такой,
что sup{kHkk, kH
−1
k : k ∈ Z} < ∞, найдется управление
k
k∈Z
U(·)∈KCmn(R), обеспечивающее для матрицы Коши XU(t, s)
системы (25.2) равенства
⊂
XU(kϑ, (k −1)ϑ) = X(kϑ, (k − 1)ϑ)FkHkF
причем для kFkk и kF
∈ Z оценки kFkk 6√nbeaϑ, kF
По теореме о QR-разложении [226, с. 139] при всяком
k ∈ Z для обратимой матрицы F
−1
k имеют место равномерные по k ∈
k
k
−1
k 6 α .
−1
X(kϑ, (k − 1)ϑ)Fkсу-
k+1
−1
, k ∈ Z,
k
ществуют ортогональная матрица Qkи верхняя треугольная
матрица Rkс положительной диагональю такие, что
−1
F
X(kϑ, (k − 1)ϑ)Fk= QkRk.
k+1
Тогда
−1
X(kϑ, (k − 1)ϑ)FkR
Поскольку Rk= Q
kRkk 6 kQ
−1
kR
k 6 kQkkkF
k
F
k
−1
−1
F
k
−1
k
6 αe
k+1
X(kϑ, (k − 1)ϑ)Fk, имеем оценки
k+1
−1
kkF
kkX (kϑ, (k −1)ϑ)kkFkk 6
k+1
√
aϑ
nbeaϑ= αb√ne
kkX ((k − 1)ϑ, kϑ)kkF
−1
k
= F
k+1Qk
2aϑ
−1
F
k
,
−1
k 6 αb√ne
k
.
2aϑ
.
§ 30. Глобальная скаляризуемость 327
Возьмем произвольную ограниченную кусочно непрерывную
скалярную функцию p(·) , γ := sup
∈ R обозначим
ϕ(t, s) = exp
|p(t)|, и для любых s, t ∈
t∈R
t
Z
p(τ) dτ.
s
Тогда ϕ(s, t) = ϕ−1(t, s) , ϕ(t, s) = ϕ(t, τ )ϕ(τ, s) и ϕ(t, s) 6
γ|t−s|
6 e
для всех t, s, τ ∈ R . Матрица Hk:= R
−1)ϑ) — верхняя треугольная с положительными диагональ-
ными элементами, причем для kHkk и kH
мерные по k ∈ Z оценки
−1
ϕ(kϑ, (k −
k
−1
k имеем равно-
k
kHkk 6 kR
−1
kϕ(kϑ, (k −1)ϑ) 6 αb√ne
k
−1
kH
k 6 αb√ne
k
2aϑeγϑ
(2a+γ)ϑ
= αb√ne
,
(2a+γ)ϑ
поэтому существует управление U (·) ∈ KCmn(R) такое, что
XU(kϑ, (k −1)ϑ) = X(kϑ, (k − 1)ϑ)FkHkF
−1
= X(kϑ, (k − 1)ϑ)FkR
= F
k+1Qk
F
−1
F
ϕ(kϑ, (k −1)ϑ) =
k
k
−1
ϕ(kϑ, (k −1)ϑ)
k
k
−1
=
при всех k ∈ Z . Перемножая эти матрицы, при каждом k ∈ Z
получим
XU(kϑ, 0) = XU(kϑ, (k−1)ϑ)XU((k−1)ϑ, (k −2)ϑ) .. . XU(ϑ, 0) =
= (F
k+1Qk
F
−1
k
)(FkQ
k−1
−1
F
) . . . (F2Q1F
k−1
1
−1
)×
×ϕ(kϑ, (k −1)ϑ)ϕ((k −1)ϑ, (k − 2)ϑ) .. . ϕ(ϑ, 0) =
= F
k+1QkQk−1
. . . Q1F
−1
ϕ(kϑ, 0) =: F
1
k+1
e
QkF
−1
ϕ(kϑ, 0),
1
гдеeQkортогональна как произведение ортогональных матриц.
Докажем, что L(t) := XU(t, 0)ϕ(0, t) — матрица Ляпуно-
ва. Действительно, при каждом k ∈ Z и всех t ∈ [(k −1)ϑ, kϑ]
справедливы оценки
kL(t)k = kXU(t, kϑ)XU(kϑ, 0)ϕ(0, t)k 6
,
328 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
6 kXU(t, kϑ)kkXU(kϑ, 0)kϕ(0, t) 6
6 exp((a + bkUkC)ϑ)kF
kkeQkkkF
k+1
−1
kϕ(kϑ, 0)ϕ(0, t) 6
1
6 exp((a + bkUkC)ϑ)αb√neaϑϕ(kϑ, t) 6
6 αb√n exp((2a + bkUkC+ kpkC)ϑ) =: l,
kL−1(t)k = kXU(0, kϑ)XU(kϑ, t)ϕ(t, 0)k 6
6 kF
−1
k+1
−1
kkeQ
kkF1kϕ(0, kϑ) exp((a + bkU kC)ϑ)ϕ(t, 0) 6
k
6 αb√neaϑexp((a + bkUkC)ϑ)ϕ(t, kϑ) 6 l,
следовательно, kLkC6 l < ∞, kL−1kC6 l < ∞. Кроме того,
˙
L(t) =˙XU(t, 0)ϕ(0, t) + XU(t, 0) ˙ϕ(0, t) =
= (A(t) + B(t)U(t) −p(t)E)L(t),
поэтому k˙LkC6 (a + bkUkC+ γ)kLkC< ∞.
Применим ляпуновское преобразование x = L(t)z к системе (25.2) с U = U (·) . Тогда
˙z = (L−1(t)x)˙ = −L−1(t)˙L(t)L−1(t)x + L−1(t) ˙x =
= −L−1(t)(A(t)+B(t)U (t)−p(t)E)x+L−1(t)(A(t)+B(t)U (t))x =
= L−1(t)p(t)x = p(t)z.
Таким образом, системы (30.1) и (25.2) при U = U(·) асимптотически эквивалентны. Теорема доказана.
С л е д с т в и е 30.1. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
существует управление U(·) ∈ KCmn(R) такое, что система (25.2) с этим управлением асимптотически эквивалентна системе ˙z = 0 , z ∈ Rn.
На основании теоремы 30.1 удается доказать глобальную
управляемость некоторых инвариантов преобразований Ляпунова системы (25.2).
Т е о р е м а 30.2 [172]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
§ 30. Глобальная скаляризуемость 329
система (25.2) обладает свойством глобальной управляемости коэффициентов неправильности Ляпунова, Перрона и
Гробмана.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольного числа γ > 0
рассмотрим систему (30.1) с непрерывной и ограниченной на
R функцией
p(t) = γ(sin ln(|t|+ 1) + cos ln(|t| + 1) + 1)/2.
Поскольку p = γ , p = 0 [27, с. 77–78], полный спектр показателей Ляпунова системы (30.1) состоит из чисел λ1= . . .
. . . = λn= p = γ , а полный спектр сопряженной системы
˙
ξ = −p(t)ξ , ξ ∈ Rn, — из чисел µ1= . . . = µn= (−p) = −p =
= 0 . Следовательно, коэффициент неправильности Ляпунова
системы (30.1) равен
t
Z
−1
t
Sp(p(s)E) ds = nγ − np = nγ,
0
σЛ=
n
X
λi− lim
i=1
t→+∞
а коэффициент неправильности Перрона
σП:= max{λi+ µi: i = 1, . . . , n} = γ.
t
Z
Матрица Z(t) = E exp
p(s) ds является нормальной фунда-
0
ментальной матрицей системы (30.1), а показатель Ляпунова
t
Z
i -й строки матрицы Z−1(t) = E exp−
t
Z
δi= lim
t→+∞
−1
t
(−p(s) ds) = (−p) = 0.
0
p(s) dsсовпадает с
0
Отсюда вытекает, что коэффициент неправильности Гробмана
равен
σГ:= max{λi+ δi: i = 1, . . . , n} = γ.
330 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Пользуясь теоремой 30.1, построим управление U (·) ∈
∈ KCmn(R) , обеспечивающее асимптотическую эквивалент-
ность системы (25.2) и системы (30.1) с выбранной функцией
p(·) . Тогда σЛ(A+BU) = nγ , σП(A+BU) = γ , σГ(A+BU) =
= γ . В силу произвольности γ > 0 имеем требуемое. Теорема
доказана.
С л е д с т в и е 30.2 [172]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
система (25.2) обладает свойством глобальной управляемости правильности.
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из теоремы 30.2 с учетом
того факта, что правильность системы равносильна равенству
нулю коэффициента неправильности Ляпунова.
С л е д с т в и е 30.3 [172]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
система (25.2) обладает свойством глобальной управляемости приводимости.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование матричного управления U (·) , при котором система (25.2) приводима, вытекает
из следствия 30.1. Из следствия 30.2 получаем существование
U(·) такого, что при U = U (·) система (25.2) неправильна, и
по этой причине неприводима.
З а м е ч а н и е 30.1. Задачи управления правильностью
и приводимостью систем вида (25.2) в случае гладких коэффициентов рассматривались Е. Я. Смирновым в [204, с. 33] и
И. В. Гайшуном в [40, с. 310–311].
Л е м м а 30.1 [172]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
найдется управление U (·) ∈ KCmn(R) такое, что система (25.2) при U = U (·) имеет неустойчивые показатели Ляпунова.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если показатели Ляпунова свободной системы (25.3) неустойчивы, то полагаем U (t) ≡ 0 на R .
Пусть свободная система (25.3) имеет устойчивые показатели. Пользуясь следствием 30.1, построим такое управление
U1(·) ∈ KCmn(R) , что система (25.2) с U = U1(·) некоторым
преобразованием Ляпунова y = L(t)x приводится к системе
˙y = 0 , y ∈ Rn. Тогда
˙y =˙L(t)x + L(t) ˙x =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]