Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 31. Глобальная управляемость полного спектра 341
такой, что оператор управляемости уравнения (31.7) на отрезке [t2m, t2m+ ϑ] — нулевой:
t2m+ϑ
Z
0 6 W(t2m, t2m+ ϑ) =
t
2m
b2(s) ds 6
t
2m+1
Z
b2(s) ds = 0.
t
2m
6
t2m+m
Z
t
2m
b2(s) ds =
Замкнутое уравнение, отвечающее (31.7), имеет вид
˙x = b(t)ux, x ∈ R, u ∈ R, t ∈ R. (31.8)
Покажем, что это уравнение обладает свойством пропор-
циональной глобальной управляемости показателя Ляпунова.
Возьмем произвольное значение α ∈ R и положим u(t) ≡
≡ α , t ∈ R . Показатель Ляпунова любого нетривиального
решения уравнения (31.8) с выбранным u(·) совпадает с верхним средним значением функции αb(·) . Эта фунция кусочно
постоянна, поэтому для нахождения ее верхнего среднего значения достаточно заставлять пробегать t лишь значения t
[27, с. 148 – 149].
Найдем lim
= lim
m→∞
t2m− t
= lim
m→∞
m→∞
1
2m−1
t2m− t
1
t
2m
lim
m→∞
t2m− t
·
1
2m−1
t
2m
Z
αb(s) ds и
0
1
t
2m
2m−1
t
2m
t
2m−1
Z
0
t
2m
Z
αb(s) ds =
0
t
αb(s) ds +
lim
m→∞
2m−1
Z
αb(s) ds+
0
t
2m−1
t
2m+1
t
2m
Z
t
2m+1
Z
1
0
t
2m
Z
αb(s) ds=
t
2m−1
α ds=
αb(s) ds :
k
342 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
t
2m−1
Z
b(s) ds + α =
0
t
2m−1
Z
b(s) ds + α = α;
0
= lim
m→∞
= lim
m→∞
t2m− t
α
(m − 1)t
α
2m−1
2m−1
последнее равенство здесь следует из оценок
0 6
t
2m−1
t
2m−1
Z
1
0
b(s) ds 6
t
1
2m−1
t
2m−1
Z
0
ds = 1,
из которых вытекает также и то, что в действительности вычисленный верхний предел является точным.
С другой стороны,
t
2m+1
Z
lim
m→∞
1
m + t
t
2m
Z
αb(s) ds = lim
2m
0
t
2m
Z
1
t
2m
0
= lim
m→∞
= lim
m→∞
m + t
= lim
m→∞
1
Итак, существует точный предел lim
1
t
2m+1
0
t
2m
Z
αb(s) ds +
2m
0
m→∞
αb(s) ds = lim
m→∞
αb(s) ds =
t
2m+1
Z
t
2m
1
m/t2m+ 1
Z
1
t
2m
t
Z
1
t→∞
t
0
αb(s) ds=
t
2m
Z
1
·
t
2m
t
2m
αb(s) ds =
0
αb(s) ds = α.
0
αb(s) ds = α , поэто-
му уравнение (31.8) с выбранным управлением u(·) правильно
и имеет показатель Ляпунова α .
§ 31. Глобальная управляемость полного спектра 343
Так как свободное уравнение для (31.7) имеет вид ˙x = 0 ,
x ∈ R , показатель которого равен 0 , а для нормы управления
u(·) справедливо равенство sup{|u(t)| : t ∈ R} = |α| , то урав-
нение (31.8) обладает свойством пропорциональной глобальной управляемости показателя Ляпунова (и, следовательно,
пропорциональной локальной управляемости показателя).
Отметим, что функцию b(·) в рассмотренном примере
можно сконструировать равномерно непрерывной, положив,
например,
1, t ∈] −∞, 2[,
b(t) =
1, t ∈ [t
0, t ∈ [t2m+ 1/2,t
2m−1
, t2m[,
2m+1
− 1/2[,
m = 2, 3, . . . , и доопределить ее линейно на промежутках
[t2m, t2m+ 1/2[ и [t
2m+1
− 1/2, t
[ так, чтобы она была
2m+1
непрерывна.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В книгах по математике никогда не бывает заключений.
Введение или хотя бы предисловие — есть обязательно. Иногда
есть и то и другое. А вот заключения нет никогда. Читатель,
сумевший понять две-три сотни страниц математических рассуждений, вполне способен сам извлечь из них все требуемые
выводы, если они возможны.
Тем не менее, строгие законы композиции и требования
книжного дела принуждают нас сделать в завершение нашей
книги несколько заключительных замечаний. К тому же, в
нашем случае это, пожалуй, необходимо.
Итак, что же нам удалось сделать?
Во-первых, доказана глобальная управляемость полного
спектра показателей Ляпунова для равномерно вполне управляемых систем и глобальная ляпуновская приводимость таких
систем в двумерном случае, то есть решена исходная задача
при том, однако, дополнительном условии, что матричный коэффициент при управлении кусочно равномерно непрерывен.
Во-вторых, получены достаточные условия локальной
управляемости полного спектра показателей Ляпунова.
При этом выяснены вопросы о необходимости условия
равномерной полной управляемости для глобальной и локальной управляемости показателей Ляпунова.
В-третьих, введены и исследованы свойства равномерной
локальной и равномерной глобальной достижимости линейных управляемых систем, позволяющие перенести на такие системы метод поворотов В. М. Миллионщикова; доказана эквивалентность равномерной полной управляемости и равномерной локальной достижимости линейных управляемых систем
без наблюдателя и получены эффективные достаточные условия равномерной локальной достижимости линейных управляемых систем с наблюдателем.
Заключение 345
Наконец, установлена эквивалентность полной управляемости и равномерной глобальной достижимости периодических систем.
Кроме того, доказана глобальная скаляризуемость равномерно вполне управляемых систем, на основе которой установлена глобальная управляемость различных коэффициентов неправильности, свойства правильности, приводимости и
устойчивости показателей Ляпунова, центральных, особых и
экспоненциальных показателей для таких систем.
Что же нам не удалось?
Нам не удалось до конца решить ни одну из поставленных задач.
Это, кстати, и есть главная причина, по которой математики, отрываясь от написания своих книг, забывают написать
заключение (и не только его, см. [46, с. 9]): жизнь коротка,
искусство вечно и нужно много еще успеть сделать самому и
передать молодым.
Наиболее чувствительной для нас оказалась невозможность на избранном пути избавиться от требования равномерной непрерывности коэффициентов при управлении. К счастью, недавно молодому витебскому математику Александру
Александровичу Козлову удалось найти подход к этой проблеме и в двумерном случае полностью решить задачу глобального управления показателями при весьма слабых требованиях
к коэффициентам системы. Пользуясь его любезным разрешением, мы приводим эти результаты в дополнении к этой книге.
Мы надеемся, что исследования А.А. Козлова найдут
свое продолжение в его работах или работах других молодых
авторов и позволят существенно продвинуть наше понимание
вопросов управления асимптотическими инвариантами дифференциальных систем.
Собственно, для того, чтобы наш труд не обрывался в
пустоту, мы и решились написать это, вполне нехарактерное
заключение. В его завершение мы, вместе с великим удмуртским поэтом (пусть он и не любил математику!) говорим:
Ми гыриськом, кизиськом!
Араны егит муртъёс лыктозы1. —
Мы арэм, сеем! Жаць прыйдуць маладзейшыя за нас...
1
Ку¨зебай Герд. Ми гыриськом (Мы пашем) [107, с. 76].
Д о п о л н е н и е
А. А. Козлов
ТЕОРЕМА О ГЛОБАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ
ПОКАЗАТЕЛЯМИ ЛЯПУНОВА
ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ
Мы пойдем с конем
по полю вдвоем. . .
А. Шаганов
Отказ от равномерной непрерывности всех коэффициентов управляемой системы ведет к невозможности применения
импульсного ее представления, использованного в предыдущих главах при доказательстве теорем об управлении асимптотическими инвариантами, поскольку в этом случае может
наблюдаться неограниченный рост потребного управления, и
без того достаточно большого по величине для систем с равномерно непрерывными коэффициентами.
Естественный путь преодоления этих трудностей — продлить действие управления. Но тогда возникают осложнения,
вызываемые взаимодействием управлений в каждой из векторных задач, на которые расщепляется решаемая матричная
задача. Они становятся особенно серьезными, если управления
прикладываются одновременно.
Компромиссный вариант, предложенный в работе [94] и
излагаемый здесь, заключается в том, чтобы применять управляющие воздействия не одновременно, а поочередно, как и при
импульсном подходе, но, во-первых, на более длинных промежутках и, во-вторых, несколько, а не один раз на промежутке полной управляемости исходной управляемой системы. В
двумерном случае этот вариант удобно реализовать, выбрав
ФСР, к первому решению которой применяется калмановское
управление, а второе (вместе с соответствующим управлением) подстраивается под него таким образом, чтобы выполнялись все необходимые свойства. При этом целевая матрица на
каждом отрезке может быть выбрана нижнетреугольной с постоянными диагональными элементами, а на внедиагональный
элемент достаточно наложить лишь условие равномерной (по
номеру отрезка) ограниченности.
1
Это одна из любимых песен А. А. Козлова. Нетрудно видеть, что в
ней содержится ключевая идея доказательства. — Е.М.
1
А. А. Козлов 347
Этот подход позволяет доказать глобальную управляемость показателей Ляпунова двумерной системы с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными матрицами
коэффициентов A и B в случае равномерной полной управляемости исходной системы.
Рассмотрим линейную равномерно вполне управляемую
систему
˙x = A(t)x + B(t)u, x ∈ R2, u ∈ Rm, t > 0, (1)
где m ∈ {1, 2} . Будем предполагать, что матричные функции
A и B локально интегрируемы по Лебегу и интегрально ограничены [27, с. 252], то есть для матриц A и B имеют место
неравенства
sup
t>0
t+1
Z
kA(τ)kdτ < +∞, sup
t
t>0
t+1
Z
kB(τ )k dτ < +∞.
t
Замыкая систему (1) при помощи линейной обратной связи
u = U(t)x , где U — некоторая измеримая и ограниченная
m × 2-матрица, получим однородную систему
˙x = (A(t) + B(t)U(t))x, x ∈ R2, t > 0, (2)
коэффициенты которой также локально интегрируемы и интегрально ограничены. Это значит, что система (2) имеет конечные показатели Ляпунова
λ1(A + BU ) 6 λ2(A + BU ).
Пусть система (1) является σ -равномерно вполне управляемой, то есть равномерно вполне управляемой на отрезках
длины σ , и удовлетворяет критерию Е. Л. Тонкова равномерной полной управляемости c оценкой для управления в виде
kukC6 γkx0k. Будем считать, что соответствующие числа σ
и γ зафиксированы. Из свойства интегральной ограниченности [27, с. 252] матриц A и B вытекает существование таких
чисел a, b > 1, что для всех t > 0 выполняются оценки
t+σ
Z
kA(τ)kdτ 6 a < +∞,
t
t+σ
Z
kB(τ )k dτ 6 b < +∞.
t
Эти числа a и b также зафиксируем.
348 Дополнение
Векторное управление u будем считать допустимым,
если оно является измеримой и ограниченной на положительной полуоси функцией со значениями в пространстве Rm.
Матричное управление U будем называть допустимым, если
все столбцы матрицы U являются допустимыми векторными
управлениями.
З а м е ч а н и е 1. Если m = 1, то B(t) ≡ b(t) ∈ R2для
всех t > 0. В этом случае, полагая u = e
управление, от системы (1) перейдем к системе
T
v, где v — новое
1
˙x = A(t)x + B1(t)v, x ∈ R2, v ∈ R2, t > 0,
в которой
B1(t) := [b(t), 0] ∈ M2.
Очевидно, что полученная система равномерно вполне управляема тогда и только тогда, когда этим свойством обладает
система (1) с той же константой σ из определения равномерной полной управляемости. Поэтому, не ограничивая общности рассуждений, в дальнейшем будем рассматривать систему (1), считая B ∈ M2или, что то же самое, m = 2.
З а м е ч а н и е 2. Пусть XU(t, τ ) ∈ M2, t, τ > 0 , — матрица Коши системы (2) с управлением U, X(t, τ ) := X0(t, τ ) ,
t, τ > 0 , — матрица Коши системы (2) с нулевым управле-
нием. Используя лемму Гронуолла–Беллмана, нетрудно показать, что при любых k ∈ N и t, τ > 0 таких, что |t −
− τ| 6 kσ, для матрицы Коши X(t, τ) выполняется оценка
kX(t, τ )k 6 exp(ak). Кроме того, отсюда в силу верного для
произвольной невырожденной матрицы D ∈ M2равенства
det D = kDk/kD−1k (доказательство см. в замечании 5.1) при
всех k ∈ N вытекают соотношения
det X (t0, t0+kσ) = kX (t0, t0+kσ)k/kX (t0+kσ, t0)k 6 exp(2ak).
В дальнейшем под углом мы всегда будем понимать угол
в обычном смысле (то есть геометрическую фигуру) с вершиной в нуле. Тогда для угловой меры любого угла Φ выполняется включение ^Φ ∈ [0, π]. Заметим, что при таком определении угол является выпуклым конусом [91, с. 56]. Для про-
извольного угла Φ ⊂ R2через K(Φ) := Φ ∪ (−Φ) обозначим
конус, соответствующий этому углу [27, с. 481].
А. А. Козлов 349
Для любых непустых множеств векторов W1, W2⊂ R
мерой угла между этими множествами назовем число
^(W1, W2) := inf
ξ1∈W1, ξ2∈W
^(ξ1, ξ2),
2
где ^(ξ1, ξ2) — величина угла между векторами ξ1и ξ2.
Л е м м а 1. Для произвольных чисел 0 < ϕ 6 π, k ∈
∈ N, t0> 0 и угла Φ ⊂ R2меры ϕ множество X(t0, t0+
+kσ)Φ является углом, причем если ϕ exp(2ak) 6 1, то мера
φ этого угла не превосходит величины arcsin(ϕ exp(2ak)).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку при всех k ∈ N и t0> 0
оператор Коши X (t0, t0+ kσ) не вырожден, а образ угла при
невырожденном линейном отображении есть угол, множество
X(t0, t0+ kσ)Φ является углом для любых k ∈ N и t0> 0.
При этом найдутся такие векторы ψ1, ψ2∈ Φ, для которых
справедливы равенства wi= X(t0, t0+ kσ)ψi, i = 1, 2, где
wi∈ R2— векторы единичной нормы, лежащие на сторонах
угла X(t0, t0+ kσ)Φ, то есть
φ = ^(w1, w2) = ^(X(t0, t0+ kσ)Φ).
Так как ψ1, ψ2∈ Φ, то имеют место неравенства
det[ψ1, ψ2] = kψ1kkψ2ksin ^(ψ1, ψ2) 6
6 kX(t0, t0+ kσ)−1kkw1kkX (t0, t0+ kσ)−1kkw2ksin ϕ 6
6 kX(t0+ kσ,t0)kexp(ak) sin ϕ 6 kX(t0+ kσ,t0)kexp(ak)ϕ,
из которых с учетом замечания 2 следуют соотношения
2
sin φ = kw1kkw2ksin φ = det[w1, w2] =
= det X (t0, t0+ kσ) det[ψ1, ψ2] =
= kX(t0, t0+ kσ)kkX(t0+ kσ,t0)k−1det[ψ1, ψ2] 6
6 kX(t0, t0+ kσ)kexp(ak)ϕ 6 exp(2ak)ϕ.
В случае, когда выполняется неравенство ϕ exp(2ak) 6 1, отсюда получим нужную нам оценку φ 6 arcsin(exp(2ak)ϕ).
Лемма 1 доказана.
350 Дополнение
Л е м м а 2. При любых числах 0 < ϕ 6 π/2, k ∈ N и
t0> 0 и единичных векторах νi(0) := νi∈ R2, i = 1, 2, та-
ких, что имеет место неравенство ^(ν1, ν2) > ϕ, для век-
торов
νi(k) := X(t0, t0+ kσ)νi, i = 1, 2,
выполняются соотношения exp(−ak) 6 kνi(k)k 6 exp(ak)
и ^(ν1(k), ν2(k)) > exp(−2ak) sin ϕ. Кроме того, для первых
компонент νi1(k), i = 1, 2, векторов νi(k), k ∈ N ∪ {0},
справедлива оценка
|ν11(k)| + |ν21(k)| > exp(−ak) sin ϕ.
З а м е ч а н и е 3. Здесь и всюду далее для любого номера
r ∈ N ∪{0} через ηr1, ηr2обозначаются компоненты вектора
ηr∈ R2, то есть ηr:= (ηr1, ηr2)T.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость первого соотношения леммы 2 следует из оценки
exp(−ak) 6 kX(t0+ kσ,t0)k 6 exp(ak),
данной в замечании 2. Второе соотношение вытекает из леммы 1, в котором φ и X (t0, t0+ kσ) следует заменить на ϕ и
X(t0+ kσ, t0) соответственно. Последняя оценка в лемме 2 получается из верных для всех k ∈ N ∪ {0} в силу определения
векторов νi(k), i = 1, 2, и замечания 2 неравенств
det[ν1(k), ν2(k)] = ν11(k)ν22(k) −ν21(k)ν12(k) 6
6 |ν11(k)||ν22(k)| + |ν21(k)||ν12(k)| 6
6 max
6 max
|νi2(k)|(|ν11(k)| + |ν21(k)|) 6
i=1,2
kνi(k)k(|ν11(k)| + |ν21(k)|) 6
i=1,2
6 kX(t0, t0+ kσ)k(|ν11(k)| + |ν21(k)|)
и соотношений
det[ν1(k), ν2(k)] = det X(t0, t0+ kσ) det[ν1, ν2] =
= kX(t0, t0+ kσ)kkX(t0+ kσ,t0)k−1kν1kkν2ksin ^(ν1, ν2) >
> kX(t0, t0+ kσ)kexp(−ak) sin ϕ.
Лемма 2 доказана.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]