Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 27. Теорема о глобальной достижимости 281
§ 27. Теорема о глобальной достижимости
Здесь доказан ряд утверждений о глобальной достижимости системы (25.2).
В этом параграфе выясняется, для каких n × n -матриц
H с положительным определителем выбором кусочно непре-
рывного ограниченного управления U (·) можно добиться выполнения равенства
XU(t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)H,
если свободная система (25.1) ϑ-равномерно вполне управляема. Напомним (см. замечание 25.1), что для произвольной
матрицы H с положительным определителем такое управление в общем случае не существует.
Построение матричного управления U (·) в основном
утверждении параграфа (теорема 27.3) осуществлено на основе базиса чистых движений системы (25.1). Для доказательства теоремы 27.3 нам понадобятся некоторые предварительные построения.
Пусть P, R ∈ Mn, F = {ξ1, . . . , ξn} — базис простран-
ства Rn, F = [ξ1, . . . , ξn] — матрица базиса F . Построим
векторы u1, . . . , un∈ Rnтак, чтобы выполнялось равенство
n
X
i=1
∗
ξiu
= R. (27.1)
i
P +
Поскольку ξi= F ei, получаем соотношение
R − P =
n
X
i=1
F eiu
∗
i
= F
n
X
i=1
eiu
Так как det F 6= 0 , то
n
X
∗
eiu
= F−1R − F−1P ,
i
i=1
поэтому
n
X
∗
eiu
F = F−1RF − F−1P F =: RF− PF,
i
i=1
∗
.
i
282 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
где RFи PF— это матрицы R и P , записанные в новом базисе F . Умножим последнее равенство слева на вектор-строку
∗
e
, получим
k
∗
e
(RF− PF) = e
k
n
X
∗
k
n
X
=
i=1
i=1
δiku
eiu
∗
i
∗
F=
i
F = u
n
X
∗
k
ei)u
∗
i
F =
(e
i=1
∗
F.
k
Отсюда получаем равенства
∗
∗
u
= e
(RF− PF)F−1, k = 1, . . . , n,
k
k
из которых
uk= (F−1)∗(RF− PF)∗ek, k = 1, . . . , n. (27.2)
Итак, если выполнено равенство (27.1), то векторы u
определяются соотношениями (27.2).
Обратно, определим векторы u1, . . . , unв соответствии
с (27.2). Тогда
P +
n
X
ξiu
i=1
= P + F
∗
= P +
i
n
X
i=1
n
X
(F ei)e
i=1
∗
eie
(RF− PF)F−1=
i
∗
(RF− PF)F
i
−1
= P + F E(RF− PF)F−1= P + R − P = R,
то есть (27.1) выполнено.
Подставим найденные значения u1, . . . , unв (27.1), получим тождество
n
X
i=1
∗
ξie
(RF− PF)F−1= R.
i
P +
k
=
§ 27. Теорема о глобальной достижимости 283
Умножим его слева на F−1, а справа на F :
n
X
i=1
∗
eie
(RF− PF) = RF.
i
PF+
Обозначим
j
X
i=1
∗
eie
(RF− PF), j = 1, . . . , n. (27.3)
i
Sj= PF+
Sj— это матрица PF, первые j строк которой заменены
соответствующими строками матрицы RF. Будем говорить,
что матрицы Sjпредставляют собой промежуточные шаги на
пути от P к R в базисе F .
О п р е д е л е н и е 27.1 [171]. Пусть ρ — некоторое положительное число. Упорядоченную пару (P, R) матриц из множества Mnназовем ρ-законопослушной относительно базиса
F = {ξ1, . . . , ξn} пространства Rn, если det P > ρ и при всех
j ∈ {1, . . . , n} для матриц Sj, являющихся промежуточными
шагами на пути от P к R в базисе F , выполнены неравенства det Sj> ρ .
Л е м м а 27.1. Пусть P, R ∈ Mn, det P > 0 , F — ба-
зис пространства Rn. Пара (P, R) ρ -законопослушна относительно базиса F в том и только том случае, когда па-
ра (E, RFP
−1
) ρ1-законопослушна относительно базиса E:=
F
{e1, . . . , en}, где величины ρ и ρ1связаны равенством ρ =
= ρ1det P .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть пара
(P, R) ρ -законопослушна относительно F . Согласно опреде-
лению 27.1, det P > ρ и det Sj> ρ , j = 1, . . . , n , где S
заданы равенствами (27.3). Рассмотрим матрицы
j
X
i=1
X
i=1
∗
eie
i
j
eie
e
Sj:= E +
представляющие собой промежуточные шаги на пути от E к
−1
RFP
в базисе E . Тогда
F
e
SjPF= PF+
−1
(RFP
∗
(RF− PF) = Sj, j = 1, . . . , n.
i
− E), j = 1, . . . , n,
F
j
284 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Следовательно, при всех j ∈ {1, . . . , n} выполнены неравенства
deteSj=
Кроме того,
Это означает ρ1-законопослушность пары (E, RFP
сительно E .
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть пара (E, RFP
det S
j
det P
=
F
det E = 1 >
det S
det P
det P
>
= ρ1.
ρ
det P
=: ρ1.
−1
F
−1
) ρ1-законо-
F
) отно-
j
ρ
послушна относительно E . Тогда det E = 1 > ρ1и deteSj>
> ρ1, j = 1, . . . , n . Поскольку
det Sj= deteSjdet PF> ρ1det P =: ρ, j = 1, . . . , n,
и det P > ρ1det P = ρ , пара (P, R) ρ -законопослушна отно-
сительно F . Лемма доказана.
Для произвольной матрицы H = {hij}
n
i,j=1
∈ Mnче-
рез (H )k∈ Mkобозначим ее ведущую главную подматрицу
[226, с. 479] порядка k , то есть
(H)1= h11, (H)2=
h11h
h21h
12
, . . . , (H)n= H.
22
Ведущими главными минорами матрицы H называем опреде-
лители ведущих главных подматриц матрицы H . Для произвольного числа ρ > 0 определим множество матриц
(ρ) := {H ∈ Mn: det(H)k> ρ, k = 1, . . . , n}.
H
Л е м м а 27.2. Пусть ρ ∈]0, 1] . Пара (E, H) ρ -законопослушна относительно базиса E в том и только том случае,
когда H ∈H(ρ) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Промежуточными шагами на пути
от E к H в базисе E являются матрицы
j
X
i=1
∗
eie
(H − E), j = 1, . . . , n.
i
Sj= E +
§ 27. Теорема о глобальной достижимости 285
Каждая из Sj— это матрица, первые j строк которой совпадают с соответствующими строками матрицы H , а остальные — с соответствующими строками матрицы E . Поэтому
Sj— блочно-верхнетреугольная матрица, диагональными бло-
ками которой являются (H)jи (E)
. Тогда [226, с. 39]
n−j
det Sj= det(H)jdet(E)
= det(H)j,
n−j
следовательно, неравенства det Sj> ρ равносильны неравен-
ствам det(H )j> ρ . Соотношение det E > ρ выполнено, так
как по условию ρ 6 1 .
Непосредственно из лемм 27.1, 27.2 получаем следующие
критерии законопослушности пар матриц.
Т е о р е м а 27.1. Пусть P, R ∈ Mn, det P > 0 , F —
базис пространства Rn. Пара (P, R) ρ -законопослушна относительно F тогда и только тогда, когда RFP
−1
∈H(ρ1) ,
F
где ρ1= ρ/ det P .
Т е о р е м а 27.2. Пусть P, R ∈ Mn, det P > 0 , F —
базис пространства Rn. Пара (P, R) ρ -законопослушна относительно F в том и только том случае, когда существует H ∈H(ρ/ det P) такая, что R = F H F−1P , где F —
матрица базиса F .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 27.1 ρ -законопо-
слушность пары (P, R) относительно F эквивалентна существованию матрицы H ∈H(ρ/ det P) такой, что RFP
то есть
−1
F
= H ,
H = (F−1RF )(F−1P F )−1= F−1RP−1F,
что равносильно требуемому.
Рассмотрим частный случай, когда P = E . Из теоре-
мы 27.2 вытекает, что ρ -законопослушными относительно базиса F являются пары вида (E, F HF−1) с H ∈H(ρ) , и только они, при этом непременно должно выполняться условие ρ 6
6 1 . Из (27.3) получаем общий вид промежуточных шагов на
пути от E к F HF−1в базисе F :
Sj= E +
j
X
i=1
∗
eie
(H − E), j = 1, . . . , n,
i
286 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
а из (27.2) — общий вид векторов uj:
uj= (F−1)∗(H∗− E)ej, j = 1, . . . , n. (27.4)
Возьмем произвольные числа 0 < ρ 6 1 и r > 0 и
рассмотрим множество матриц
(r, ρ) := {H ∈ Mn: kH −Ek 6 r, det(H)j> ρ, j = 1, . . . , n}.
H
Пусть H ∈H(r, ρ) . Так как имеет место включениеH(r, ρ) ⊂
⊂H(ρ) , пара (E, F HF−1) ρ -законопослушна относительно
F . Из (27.4) и из равенств ξj= F ejполучаем представления
Pk:= E +
= FE +
k
X
j=1
∗
ξju
= F eje
j
k
X
j=1
∗
ξju
j
∗
eje
(H − E)F−1= F SkF−1, k = 1, . . . , n,
j
= E + F
∗
(H − E)F−1,
j
k
X
eje
j=1
∗
(H − E)F−1=
j
в частности, Pn= F SnF−1= F HF−1. Отметим, что
det Pk= det Sk= det(H)k> ρ, kukk 6 kF−1kkH − Ek,
∗
kξku
k 6 kξkkkukk 6
k
(27.5)
6 kFkkukk 6 κ(F )kH − Ek 6 κ(F )r.
Положим ξ0= u0= 0 ∈ Rnи рассмотрим множество
Γ =
n
[
j=1
{t(E +
j
X
i=0
∗
ξiu
) + (1 − t)(E +
i
j−1
X
i=0
∗
ξiu
)|t ∈ [0, 1]},
i
представляющее собой ломаную в пространстве Mn, вершины которой совпадают с матрицами E =: P0, P1, . . . , Pn=
= F HF−1. Пусть
Oε(Γ): ={L ∈ Mn|∃G ∈ Γ : kL − Gk < ε}
— ε-трубка ломаной Γ .
§ 27. Теорема о глобальной достижимости 287
Л е м м а 27.3 [171]. Для любой матрицы H ∈H(r, ρ) и
для любого ε ∈]0, ρ(1 + nγ)
рица L ∈ Oε(Γ) обратима, при этом kL−1k 6 (1+ nγ)
− (1 + nγ)
n−1ε)−1
.
1−n
[ , где γ = κ(F )r , всякая мат-
n−1
(ρ−
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольную матрицу
L ∈ Oε(Γ) и найдем такую G ∈ Γ , что kL−Gk < ε . Тогда при
некоторых j ∈ {1, . . . , n} и t ∈ [0, 1] выполнены равенства
G = tE +
= E +
j
X
i=0
j−1
X
i=0
∗
ξiu
+ (1 − t)E +
i
∗
ξiu
+ tξju
i
∗
j
= P
j−1
j−1
X
i=0
+ tξju
ξiu
∗
=
i
∗
,
j
где P0:= E . Для матриц Pi, i = 0, 1, . . . , n −1 , справедливы
неравенства det Pi> ρ , поэтому P
= detP
где aj:= P
det G = det(P
(E + tP
j−1
−1
ξj. При t = 0 имеем равенство
j−1
−1
j−1
ξju
∗
j
j−1
)= det P
det(E + taju
j−1
+ tξju
∗
) = 1,
j
обратима и
∗
) =
j
det(E + taju
j−1
∗
),
j
а при t 6= 0 получаем соотношения
det(E + taju
= tndet(t−1E −(−aju
Обозначим Dj= −aju
∗
) = dett(t−1E + aju
j
∗
∈ Mn. Тогда
j
∗
)=
j
∗
)).
j
1) rank Dj= 1 [226, с. 81];
2) матрица Djимеет, самое большее, одно ненулевое соб-
ственное значение кратности 1, равное −u
∗
aj[226, с. 81];
j
3) след матрицы Djсовпадает с суммой собственных
значений Djс учетом их кратностей [226, с. 58], поэтому
Sp Dj= −u
∗
j
aj.
288 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Пусть Ei(Dj) — сумма главных миноров порядка i [226,
с. 58] матрицы Dj, i = 1, . . . , n , тогда характеристический
многочлен матрицы Djимеет вид [226, с. 58]
p
(t) = tn− E1(Dj)t
D
j
n−1
+ E2(Dj)t
n−2
+ ···+ (−1)nEn(Dj).
Поскольку rank Dj= 1 , определитель всякой подматрицы
матрицы Djпорядка k × k при k > 1 равен 0 , поэтому
Ek(Dj) = 0 при всех k ∈ {2, . . . , n} , а E1(Dj) = Sp Dj=
∗
= −u
aj. Следовательно,
j
p
(t) = tn+ t
D
j
n−1u∗
aj.
j
Отсюда вытекает, что при t 6= 0
det(E + taju
∗
) = tnp
j
Итак, det(E + taju
det G = (1 + tu
1
D
j
t
∗
) = 1 + tu
j
= tn(t−n+ t
∗
ajпри всех t ∈ R , и
j
−1
∗
P
j
j−1
1−nu∗
ξj) det P
j
j−1
aj) = 1 + tu
∗
aj.
j
линейно зависит от t , поэтому для всякой G ∈ Γ получаем
оценку
det G > min
j=0,...,n
det Pj> ρ.
С другой стороны, из (27.5) вытекает неравенство
j−1
X
kGk =
E +
i=0
ξiu
∗
+ tξju
i
∗
6
j
Поэтому
X
6 1 +
i=1
kG−1k 6
n
∗
kξiu
k 6 1 + nκ(F)r = 1 + nγ.
i
n−1
kGk
|det G|
(1 + nγ)
6
ρ
n−1
< ε−1,
§ 27. Теорема о глобальной достижимости 289
то есть kL − Gk < ε < kG−1k−1. Согласно [226, с. 403] отсюда
следует, что матрица L обратима и справедлива оценка
kL−1k 6 kG−1− L−1k + kG−1k 6
kG−1kkG−1(L − G)k
6
6
kG−1k
1 −kG−1(L − G)k
1 −kG−1(L − G)k
(1 + nγ)
6
(1 + nγ)
=
ρ − (1 + nγ)
+ kG−1k 6
n−1
ρ
n−1
n−1
1 −
1
(1+nγ)
ρ
n−1
=
ε
·
.
ε
Лемма доказана.
Т е о р е м а 27.3 [171]. Если система (25.1) ϑ-равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
для каждого t0∈ R найдется обратимая матрица F ∈ Mn,
обеспечивающая выполнение следующего свойства: для любых
r > 0 и 0 < ρ 6 1 существует не зависящая от t0величина
β = β(r, ρ) > 0 такая, что для всякой матрицы H ∈H(r, ρ)
найдется кусочно непрерывное управление U : [t0, t0+ ϑ] →
→ Mmn, kU kC6 βkH − Ek , при котором матрица Коши
XU(t, s) системы (25.2) удовлетворяет равенству
XU(t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)F HF−1. (27.6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любое t0∈ R . Пользуясь
теоремой 26.2, построим обратимую матрицу F = [ξ1, . . . , ξn] ,
kF−1k 6 α , образующую базис чистых движений для систе-
мы (25.1) на отрезке [t0, t0+ ϑ] . Столбцами матрицы F являются векторы ξk= Q(t0, tk)νk, где νk∈ Rm, kνkk = 1 ,
а моменты времени tk∈ [t0+ δ0, t0+ ϑ − δ0] , k = 1, . . . , n ,
таковы, что tk− t
> δ0и B(·) ∈ C(]tk− δ0/2, tk+ δ0/2[) .
k−1
Из теоремы 26.2 следует, что положительные величины α и
δ0можно выбрать не зависящими от t0∈ R . Кроме того, для
kF k имеет место равномерная по t0оценка
kF k 6√n max{kξkk : k = 1, . . . , n} 6√nb exp(aϑ),
поэтому
κ(F ) = kF kkF−1k 6√nαb exp(aϑ) := κ.
290 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Возьмем любые ρ ∈]0, 1] , r > 0 и H ∈H(r, ρ) . На
отрезке [t0, t0+ ϑ] рассмотрим матричную задачу управления
˙
Y = A(t)Y + B(t)V, (27.7)
Y (t0) = E, Y (t0+ ϑ) = X(t0+ ϑ,t0)F HF−1. (27.8)
Тогда из (27.7) и первого условия (27.8) следует
t
Z
Y (t) = X(t, t0)E +
Q(t0, s)V (s) ds,
t
0
а второе условие (27.8) выполнено тогда и только тогда, когда
t0+ϑ
Z
E +
Q(t0, s)V (s) ds = F HF−1.
t
0
Построим управление V ∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) , гарантирующее
выполнение этого равенства, такое, что матрица
t
Z
G(t) := E +
Q(t0, s)V (s) ds
t
0
обратима на [t0, t0+ ϑ] и для некоторых не зависящих от t0∈
∈ R (но зависящих от r и ρ ) положительных чисел γ1, γ
и всех t ∈ [t0, t0+ ϑ] справедливы неравенства
kV (t)k 6 γ1kH − Ek, kG−1(t)k 6 γ2.
Если управление V (·) с этими свойствами построено, то матрица Y (·) , определенная на [t0, t0+ ϑ] равенством Y (t) =
= X(t, t0)G(t) , обратима, при этом
kY−1(t)k = kG−1(t)X(t0, t)k 6 γ2exp(aϑ).
Возьмем U(t) = V (t)Y−1(t) . Тогда, независимо от t0∈ R ,
при всех t ∈ [t0, t0+ ϑ] справедлива оценка
kU(t)k 6 kV (t)kkY−1(t)k 6 γ1γ2exp(aϑ)kH −Ek=: βkH −Ek,
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]