Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
А. А. Козлов 381
Отсюда и из соотношений (46) вытекают не зависящие от выбора k ∈ N оценки
kLkk 6√2 max{1,pδ2+ (d1− d2)2} =: f1,
−1
kL
k 6√2 max{1, (d1− d2)
k
p
−1
δ2+ 1} =: f2.
Определим при каждом k ∈ N матрицы Ckравенствами
−1
L
diag(µ1, µ2)Lk, если µ16= µ2,
k
µ 0
k
λ
/(T d) µ
21
, если µ1= µ2= µ,
(47)
Ck:=
и рассмотрим систему
˙z = C(t)z, z ∈ R2, (48)
в которой матрица C кусочно-постоянна, причем для всех k ∈
∈ N выполняются тождества
C(t) ≡ Ck, t ∈ ((k − 1)T , kT ].
Из формулы (47) вытекают равномерные по k ∈ N оценки
kCkk 6 kL
−1
kk diag(µ1, µ2)kkLkk 6 f1f2max{|µ1|, |µ2|}
k
при µ16= µ2и
kCkk 6p2(µ2+ (δ/(Td))2)
при µ1= µ2= µ , означающие, что функция C(t) ограничена
на полуоси t > 0. Кроме того, при каждом t > 0 матрица
C(t) — нижняя треугольная с постоянными диагональными
элементами µ1, µ2, следовательно, в силу теоремы Ляпунова
о правильности треугольной системы [48, с. 37] система (48)
является правильной, а ее полный спектр показателей Ляпунова состоит из чисел µ16 µ2.
Пусть Z (t, s), t, s > 0, — матрица Коши системы (48).
Тогда при µ16= µ2выполняются равенства
Z(kT, (k − 1)T ) = exp(CkT ) = L
−1
exp(diag(µ1T, µ2T )) Lk=
k
382 Дополнение
−1
= L
diag(d1, d2)Lk= Λk= Y
k
(kT, (k − 1)T).
U
1
Если же µ1= µ2= µ, то непосредственными вычислениями
проверяется соотношение
exp(CkT ) =
λ
d 0
k
21
,
d
из которого следуют равенства
Z(kT, (k − 1)T ) = exp(CkT ) = Λk= Y
(kT, (k − 1)T).
U
1
Это означает [124], что при любых µ16 µ2системы (45) и (48)
асимптотически эквивалентны, и поэтому характеристические
показатели этих систем равны.
Покажем, что для показателей Ляпунова λi(A + BU),
i = 1, 2, системы (1) с управлением
u = U(t)x = U1(t)O−1(t)x,
то есть системы
˙x = (A(t) + B(t)U1(t)O−1(t))x, (49)
выполняется равенство
λi(A + BU ) = µi, i = 1, 2. (50)
Так как матрица O(t), t > 0, ортогональная, то матри-
ца O−1(t), t > 0 , также ортогональная, и, значит, ограничена
для всех t ∈ [0, +∞). Отсюда и из измеримости и ограниченности при всех t > 0 матрицы U1(t) следует, что управление
U является допустимым, причем для любого k ∈ N при каж-
дом t ∈ [(k − 1)T, kT ] выполняется оценка
kU(t)k 6 kU1(t)kkO−1(t)k 6 δ.
Применяя к системе (49) преобразование Перрона (43), получим систему (45), характеристическими показателями которой
являются числа µi, i = 1, 2. Поскольку преобразование Перрона является ляпуновским, а при преобразовании Ляпунова
характеристические показатели не изменяются, отсюда имеем
требуемые равенства (50). Теорема 1 доказана.
О ТЕХ, КОМУ ПОСВЯЩЕНА ЭТА КНИГА
Вместо именного указателя
Николай Алексеевич Изобов. Академик Национальной академии наук Беларуси (1994, чл.-корр. с 1980), доктор
физико-математических наук (1979), профессор (1990). Автор
более 200 научных работ, в том числе 2 монографий. Государственная премия Республики Беларусь (2000) за цикл работ
«Исследование асимптотических свойств дифференциальных
и дискретных систем». Награжден орденом Франциска Скорины (2000). Член редколлегий журналов «Дифференциальные
уравнения», «Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics», «Доклады HAH Беларусi», «Весцi HAH Беларусi.
Серыя фiзiка-матэматычных навук» и заместитель главного
редактора журнала «Труды Института математики НАН Беларуси».
Родился 23 января 1940 года в д. Красыни Лиозненского
района Витебской области. В 1958 году поступил в Витебский
государственный педагогический институт им. С. М. Кирова,
а в сентябре 1962 года был переведен в Белорусский государственный университет им. В. И. Ленина. Здесь под руководством Ю. С. Богданова начал исследования по асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в
частности, по исследованию свойств нижних показателей Перрона решений линейных дифференциальных систем. За эти
результаты Н. А. Изобов награжден медалью «За лучшую научную студенческую работу» Министерства высшего и специального образования СССР.
В декабре 1965 года Николай Алексеевич окончил университет и с января следующего года проходил обучение в аспирантуре, которое завершил в ноябре 1967 года. защитой кан-
384 О тех, кому посвящена эта книга
дидатской диссертации. В 1967 – 1969 научный сотрудник Белгосуниверситета. В 1969 – 1980 заместитель главного редактора всесоюзного журнала «Дифференциальные уравнения». В
1980 – 1986 старший научный сотрудник, в 1986 – 1993 заведующий лабораторией, с 1993 по 2010 годы заведующий отделом,
с 2010 года главный научный сотрудник Института математики НАН Беларуси, одновременно в 1995 – 1999 заведующий
кафедрой Белгосуниверситета.
Н. А. Изобов — известный математик, крупнейший специалист в области теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, один из создателей современной теории характеристических показателей Ляпунова. Среди полученных им
результатов такие ее важнейшие достижения, как критерий
устойчивости показателей Ляпунова линейных систем, решение частной и в некритическом случае общей задачи Ляпунова
об экспоненциальной устойчивости по линейному приближению, алгоритмы вычисления экспоненциальных, центральных
высшего порядка, минимальных и сигма-показателей линейных дифференциальных систем, а также целый ряд других.
Кроме того, Н. А. Изобовым проводились многообразные и
плодотворные исследования по линейным системам Коппеля–
Конти, системам Пфаффа и уравнениям Эмдена–Фаулера.
Несмотря на большой опыт преподавательской работы,
Николай Алексеевич шуму и многолюдью лекционных аудиторий предпочитает сосредоточенную научную работу, требующую покоя и уединения. Среди широких кругов математиков Н. А. Изобов известен своей исключительной преданностью призванию ученого, принципиальностью и высокой требовательностью к качеству работы математика. Эти же свойства он настойчиво прививает своим ученикам, среди которых сейчас уже 3 доктора и более 20 кандидатов физикоматематических наук.
Николай Алексеевич — большой любитель пеших прогулок на свежем воздухе и тишины, а с недавних пор — энтузиаст дачного («садоогородного», как сказали бы в Ижевске)
образа жизни, что нисколько не мешает, а скорее наоборот,
помогает ему работать с неослабевающей интенсивностью, которой могут позавидовать многие значительно более молодые
математики.
Вместо именного указателя 385
Евгений Леонидович Тонков. Заведующий кафедрой дифференциальных уравнений математического факультета Удмуртского государственного университета, директор
Института математики и информатики УдГУ, доктор физикоматематических наук (1985); профессор (1986); заслуженный
деятель науки Российской Федерации (2001). Главный редактор журнала «Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки»; член редакционной
коллегии журнала «Нелинейная динамика»; главный редактор журнала «Известия Института математики и информатики УдГУ». Руководитель (совместно с профессором Н. Н. Петровым) Ижевского городского семинара по дифференциальным уравнениям и математической теории управления.
Е. Л. Тонков родился в г. Ижевске 27 июня 1940 года. В
1958 году после окончания средней школы поступил в Ижевский механический институт, который окончил в 1963 году по
специальности «Математические и счетно-решающие приборы
и устройства» и начал работать ассистентом в ИМИ. Затем в
1965 – 1968 годах Евгений Леонидович учился в аспирантуре
при Ижевском механическом институте под руководством профессора Н. В. Азбелева. По окончании аспирантуры работал в
Тамбовском институте химического машиностроения. Кандидатскую диссертацию защитил в 1969 году в Минске, в Институте математики АН БССР. В Ижевск Евгений Леонидович
вернулся в 1975 году, но уже в УдГУ, где сначала заведовал
кафедрой математического анализа (1977 – 1981, 1983 – 1996), а
затем, с 1996 года — кафедрой дифференциальных уравнений.
В 1988 – 1990 годах — декан математического факультета.
Е. Л. Тонков — автор более 150 научных работ. Главные
его достижения относятся к исследованиям по математической теории управления и теории дифференциальных уравнений. Евгений Леонидович первым стал использовать динамическую систему сдвигов при исследовании линейных нестационарных систем управления, определенных на всей числовой
прямой, что привело к развитию таких понятий, как равномерная полная управляемость, равномерная локальная и глобальная управляемость, равномерная стабилизируемость. Им получены вероятностные характеристики множества глобально
386 О тех, кому посвящена эта книга
управляемых систем, приведены необходимые и достаточные
условия равномерной локальной управляемости в терминах
предельных точек, исследован вопрос об управляемости почти
периодических и рекуррентных систем. Е. Л. Тонков ввел понятие равномерной колеблемости однородной системы дифференциальных уравнений относительно конуса, что позволило
ему получить целый ряд результатов как в теории колеблемости, так и при исследовании структуры множества управляемости линейной нестационарной системы, оценить число переключений управления, оптимального в смысле быстродействия, и рассмотреть задачу регулярного синтеза. Евгением
Леонидовичем получены также новые результаты о позиционном управлении в линейных системах.
Дар исследователя сочетается у Евгения Леонидовича с
талантом педагога. 35 лет он преподает в Удмуртском университете. В его лекциях чувствуется глубокий внутренний энтузиазм и увлеченность. У Евгения Леонидовича много учеников
(15 из них стали кандидатами и один — доктором наук), которым он уделяет огромное внимание, щедро делится научными
идеями, умеет ободрить начинающего и не только начинающего исследователя.
Евгений Леонидович очень разносторонний и увлекающийся человек. В молодости он отдал дань спорту, достигнув высоких результатов, первым среди спортсменов Удмуртии получил звание мастера спорта СССР по прыжкам в высоту, был чемпионом России. В более зрелом возрасте увлекся
автомобильным спортом, участвовал в соревнованиях по авторалли, стал перворазрядником. Евгений Леонидович любит
и хорошо знает русскую классическую музыку, в особенности
оперную.
Многообразную дополнительную информацию о биографии и научной деятельности Николая Алексеевича Изобова
и Евгения Леонидовича Тонкова можно найти в юбилейных
статьях [105, 106], подписанных ведущими отечественными
математиками.
ЛИТЕРАТУРА
дифференциальных уравнений: Учеб. пособие. — С.-Петербург:
1. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем
Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1992.— 240 с.
2. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и
линейной алгебры.— М.: Наука, 1979. — 512 с.
3. Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М.
Сборник задач по оптимизации.— М.: Наука, 1984. — 288 с.
4. Аносов Д. В. Гладкие динамические системы. Исходные
понятия // Итоги науки и техники. Динамические системы–1.— М.:
ВИНИТИ, 1985.— Т. 1. — С. 151 – 178.
5. Антоневич А. Б., Радыно Я. В. Функциональный ана-
лиз и интегральные уравнения.— Минск: Изд-во БГУ, 2003. — 430 с.
6. Астровский А. И. Наблюдаемость линейных нестацио-
нарных систем.— Минск: Изд-во МИУ, 2007.— 220 с.
7. Астровский А. И., Гайшун И. В. Квазидифферен-
цирумость и наблюдаемость линейных нестационарных систем //
Дифференц. уравнения.— 2009. — Т. 45, № 11.— С. 1567 – 1576.
8. Астровский А. И., Гайшун И. В. Квазидифферен-
цирумость и канонические формы линейных нестационарных систем наблюдения // Дифференц. уравнения.— 2010. — Т. 46, № 3. —
С. 423 – 431.
9. Барабанов Е. А. О крайних показателях Ляпунова ли-
нейных систем при экспоненциальных и степенных возмущениях //
Дифференц. уравнения.— 1984. — Т. 20, № 2.— С. 357.
10. Барабанов Е. А. Точные границы крайних показателей
Ляпунова линейных дифференциальных систем при экспоненци-
альных и степенных возмущениях: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат.
наук: 01.01.02. / Бел. гос. ун-т.— Минск, 1984.— 14 с.
11. Барабанов Е. А., Вишневская О. Г. Точные границы
показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы с интегрально ограниченными на полуоси возмущениями // Докл. АН
Беларуси.— 1997. — Т. 41, № 5. — С. 29 – 34.
12. Барабанов Е. А., Конюх А. В. О классе правиль-
ных линейных дифференциальных систем с неограниченными ко-
388 Литература
эффициентами // Дифференц. уравнения.— 2010. — Т. 46, № 12. —
С. 1675 – 1692.
13. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной
алгебры.— М.: Наука, 1983.— 336 с.
14. Басов В. П. О структуре решений правильной диффе-
ренциальной системы // Вестн. Ленингр. ун-та. — 1952. — № 12.—
С. 3 – 8.
15. Богданов Ю. С. К теории систем линейных дифферен-
циальных уравнений // Докл. АН СССР.— 1955. — Т. 104, № 6. —
С. 813 – 814.
16. Богданов Ю. С. Метод инвариантов в асимптоти-
ческой теории дифференциальных уравнений // Вестн. Белорус.
ун-та. Сер. 1. Физика. Математика. Механика.— 1969. — № 1. —
С. 10 – 14.
17. Богданов Ю. С. Асимптотические характеристики ре-
шений линейных дифференциальных систем // Тр. 4-го Всесоюз.
матем. съезда, 1961: В 2 т. / АН СССР.— М.-Л.: Изд-во АН СССР,
1964.— Т. 2. — С. 424 – 432.
18. Богданов Ю. С. Об асимптотически эквивалентных ли-
нейных дифференциальных системах // Дифференц. уравнения. —
1965. — Т. 1, № 6. — С. 707 – 716.
19. Богданов Ю. С., Мазаник С. А. Преобразования
Ляпунова линейных дифференциальных систем // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. науч. тр.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.— С. 9 – 13.
20. Борухов В. Т. Алгебраический критерий управляемо-
сти пучка линейных операторов // Дифференц. уравнения.— 1980.
— Т. 16, № 5. — С. 888 – 893.
21. Борухов В. Т. К вопросу о необходимых условиях
управляемости для линейных нестационарных динамических систем // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. — 1979. — № 6.—
С. 27 – 30.
22. Борухов В. Т., Гайшун И. В. О приводимости линей-
ных кусочно-гладких систем с одним входом к формам Хессенберга и Фробениуса // Дифференц. уравнения.— 2001. — Т. 37, № 4. —
С. 446 – 452.
23. Бурбаки Н. Функции действительного переменного.
Элементарная теория: пер. с фр.— М.: Наука, 1965.— 424 с.
24. Быкова Т. С., Тонков Е. Л. Ляпуновская приводи-
мость линейной системы с последействием // Дифференц. уравнения.— 2003. — Т. 39, № 6. — С. 731 – 737.
25. Былов Б. Ф. О приведении системы линейных уравне-
ний к диагональному виду // Матем. сборник. — 1965. — Т. 67 (109),
№ 3.— С. 338 – 344.
26. Былов Б. Ф. Обобщение теоремы Перрона // Диффе-
ренц. уравнения.— 1965. — Т. 1, № 12.— С. 1597 – 1600.
Литература 389
27. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М.,
Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения
к вопросам устойчивости.— М.: Наука, 1966.— 576 с.
28. Былов Б. Ф., Изобов Н. А. Необходимые и доста-
точные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, № 10.—
С. 1794 – 1803.
29. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом по-
казателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник.— 1957. — Т. 42, № 2. — С. 207 – 222.
30. Виноград Р. Э. Необходимый и достаточный критерий
и точная асимптотика устойчивости по первому приближению //
Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, № 5.— С. 800 – 813.
31. Виноград Р. Э., Изобов Н. А. Решение задачи Ля-
пунова об устойчивости по первому приближению // Дифференц.
уравнения.— 1970. — Т. 6, № 2. — С. 230 – 242.
32. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория
оптимальных процессов.— М.: Наука, 1971. — 508 с.
33. Габасов Р., Забелло Л. Е., Кириллова Ф. М. Управ-
ляемость линейных нестационарных систем // Докл. АН СССР.—
1975. — Т. 225, № 5. — С. 1035 – 1038.
34. Гайшун И. В. Синтез G -приводимых линейных неста-
ционарных систем // Докл. НАН Беларуси.— 1998. — Т. 42, № 3.—
С. 5 – 8.
35. Гайшун И.В. Существование канонических форм ли-
нейных нестационарных систем управления относительно экспоненциальной группы // Дифференц. уравнения.— 1998. — Т. 34, № 6. —
С. 727 – 734.
36. Гайшун И. В. Канонические формы, управление пока-
зателями Ляпунова и стабилизируемость линейных нестационарных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1998. —
№ 6.— С. 24 – 32.
37. Гайшун И. В. Управляемость характеристическими
векторами линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 1. — С. 24 – 29.
38. Гайшун И. В. О канонических формах линейных неста-
ционарных систем управления // Труды Института математики
НАН Беларуси.— 1999. — Т. 2. — С. 58 – 62.
39. Гайшун И. В. Канонические формы линейных неста-
ционарных систем управления относительно различных групп
преобразований // Автоматика и телемеханика.— 1999. — № 2. —
С. 11 – 18.
40. Гайшун И. В. Введение в теорию линейных неста-
ционарных систем. — Минск: Ин-т математики НАН Беларуси,
1999.— 409 с.
41. Гайшун И. В. Системы с дискретным временем. —
Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 2001. — 400 с.
390 Литература
42. Гайшун И. В., Изобов Н. А. Исследования в Институ-
те математики НАН Беларуси по дифференциальным и многопараметрическим системам // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук.
— 1998. — № 4.— С. 5 – 19.
43. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 3-е изд. — М.: Наука,
1967.— 576 с.
44. Гришин С. А. Некоторые вопросы управления и устой-
чивости линейных систем // Дифференц. уравнения.— 1982. —
Т. 18, № 11.— С. 1862 – 1869.
45. Гробман Д. М. Характеристические показатели систем,
близких к линейным // Матем. сборник.— 1952. — Т. 30, № 1. —
С. 121 – 166.
46. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений
дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970.— 536 с.
47. Демидович Б. П. Об одном обобщении критерия устой-
чивости Ляпунова для правильных систем // Матем. сборник. —
1965. — Т. 66, № 3. — С. 344 – 353.
48. Демидович Б. П. Лекции по математической теории
устойчивости.— М.: Наука, 1967.— 472 с.
49. Еругин Н. П. Приводимые системы // Труды матем.
ин-та АН СССР— М., 1946.— Т. 13. — 96 с.
50. Еругин Н. П. Линейные системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими
коэффициентами.— Минск: Изд-во АН БССР, 1963.— 272 с.
51. Забелло Л. Е. Об управляемости линейных нестацио-
нарных систем // Вестн. Белорус. ун-та. Сер. 1. Физика. Математика. Механика.— 1971. — № 3. — С. 28 – 31.
52. Забелло Л. Е. Об управляемости линейных нестаци-
онарных систем // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 8. —
С. 13 – 19.
53. Забелло Л. Е. К теории управляемости линейных неста-
ционарных систем // Дифференц. уравнения.— 1973. — Т. 9, № 3.—
С. 563 – 564.
54. Забелло Л. Е. Об управляемости показателей Ляпунова
// Проблемы развития прикладных математических исследований
(IV Республиканская конференция математиков Белоруссии): Тез.
докл. респ. науч. конф. Минск, 3 – 4 июня 1975 г.: В 2 ч. / БГУ.—
Минск, 1975.— Ч. 1. — С. 38.
55. Забелло Л. Е. К теории управляемости нестационарных
систем // Докл. АН БССР. — 1980. — Т. 24, № 6. — С. 497 – 499.
56. Забелло Л.Е., Мамрилла Ю. К управляемости ли-
нейной нестационарной системы // Вестн. Белорус. ун-та. Сер. 1.
Физика. Математика. Механика. — 1980. — № 2. — С. 30 – 33.
57. Забелло Л. Е. Задачи управления показателями Ля-
пунова в нестационарных системах // Проблемы оптимального
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]