Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
Литература 401
205. Смирнов Е. Я. Стабилизация программных движений.
— С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1997.— 308 с.
206. Средства образного выражения в удмуртском язы-
ке/Сост. К. Н. Дзюина. — Ижевск: Удмуртия, 1996. — 144 с.
207. Сурков А. Г. Точные верхняя и нижняя границы ха-
рактеристических показателей двумерной системы с ограниченными возмущениями // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 9.
— С. 1534 – 1541.
208. Сурков А. Г. Точные нижняя и верхняя границы стар-
шего и младшего характеристических показателей двумерной системы с ограниченными возмущениями // Дифференц. уравнения.
— 1983. — Т. 19, № 12. — С. 2065 – 2071.
209. Сурков А. Г. Точные границы характеристических по-
казателей линейных систем второго порядка с ограниченными
возмущениями // Дифференц. уравнения.— 1984. — Т. 20, № 5. —
С. 792 – 797.
210. Сурков А. Г. О спектральном множестве линейных си-
стем второго порядка с ограниченными возмущениями.— Минск,
1984.— 43 с.— (Препринт / АН БССР. Ин-т математики; № 22(207)).
211. Тонков Е. Л. Замечание об управляемости линейной пе-
риодической системы // Дифференц. уравнения.— 1978. — Т. 14,
№ 9.— С. 1715 – 1717.
212. Тонков Е. Л. Стабилизация и глобальная управляе-
мость почти периодической системы // Дифференц. уравнения.—
1979. — Т. 15, № 4. — С. 757 – 758.
213. Тонков Е. Л. Критерий равномерной управляемости
и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференц.
уравнения.— 1979. — Т. 15, № 10. — С. 1804 – 1813.
214. Тонков Е. Л. Динамическая система сдвигов и вопросы
равномерной управляемости линейной системы // Докл. АН СССР.
— 1981. — Т. 256, № 2. — С. 290 – 294.
215. Тонков Е. Л. О множестве управляемости линейно-
го уравнения // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 2. —
С. 269 – 278.
216. Тонков Е. Л. К теории линейных управляемых систем:
Дис. . . . докт. физ.-мат. наук: 01.01.02.— Свердловск, 1983. — 267 с.
217. Тонков Е. Л. [Аннотация] // Вестник Удмуртского ун-
та.— 1992. — № 1. — С. 2.
218. Тонков Е. Л. Задачи управления показателями Ляпуно-
ва // Дифференц. уравнения.— 1995. — Т. 31, № 10. — С. 1682 – 1686.
219. Тонков Е. Л. Ляпуновская приводимость линейной
системы, стабилизация и управление показателями Изобова //
Труды Института математики НАН Беларуси. — 2000. — Т. 4.—
С. 146 – 155.
220. Тонков Е. Л. Равномерная достижимость и ляпунов-
ская приводимость билинейной управляемой системы // Труды
402 Литература
Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург.— 2000. —
Т. 6, № 1.— С. 209 – 238.
221. Уонем М. Линейные многомерные системы управления:
Геометрический подход: пер. с англ.— М.: Наука, 1980. — 376 с.
222. Филиппов А. Ф. Условия устойчивости однородных си-
стем с произвольными переключениями режимов // Автоматика и
телемеханика.— 1980. — № 8. — С. 48 – 55.
223. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических векто-
ров и ее приложение к изучению асимптотического поведения решений дифференциальных систем. I // Дифференц. уравнения.—
1967. — Т. 3, № 3. — С. 446 – 467.
224. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических векто-
ров и ее приложение к изучению асимптотического поведения решений дифференциальных систем. II // Дифференц. уравнения.—
1967. — Т. 3, № 10. — С. 1656 – 1672.
225. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических векто-
ров и приводимые m -го порядка системы // Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, № 6. — С. 1055 – 1067.
226. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: пер. с англ.
— М.: Мир, 1989.— 655 с.
227. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость
решений обыкновенных дифференциальных уравнений: пер. с англ.
— М.: Мир, 1964.— 477 с.
228. Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные
линейные пространства.— М.: Наука, 1969. — 432 с.
229. Эко У. Имя розы: пер. с итал.— Минск: РИФ «Сказ»,
1993.— 528 с.
230. Bohl P.¨Uber Differentialgleichungen // J. reine und angew.
Math.— 1913. — Bd. 144. — S. 284 – 318.
231. Brunovsky P. Controllability and linear closed-loop con-
trols in linear periodic systems // J. of Different. Equat.— 1969. —
Vol. 6, N 3.— P. 296 – 313.
232. Chang A. An algebraic characterization of controllability
// IEEE Trans. on Automat. Control.— 1965. — Vol. AC-10, N 1. —
P. 112 – 113.
233. Colonius F., Kliemann W. Minimal and maximal Lya-
punov exponents of bilinear control systems // J. of Different. Equat.
— 1993. — Vol. 101, N 2. — P. 232 – 275.
234. Colonius F., Kliemann W. The Lyapunov spectrum of
families of time-varying matrices // Trans. Amer. Math. Soc.— 1996.
— Vol. 348. — P. 1389 – 1408.
235. Colonius F., Kliemann W. Lyapunov exponents of con-
trol flows // Lyapunov exponents / Ed. L. Arnold, H. Crauel, J.-P. Eckmann.— Berlin: Springer-Verlag, 1991. — P. 331 – 365.— (Lecture Notes
in Mathematics. Vol. 1486).
236. Ikeda M., Maeda H., Kodama S. Stabilization of linear
systems // SIAM J. Contr.— 1972. — Vol. 10, N 4.— P. 716 – 729.
Литература 403
237. Izobov N. A., Krasovski S. G. On existence of a mea-
sure unbounded exponential spectral quantization on symplectic manifolds // Mem. Differential Equations Math. Phys.— 1998. — Vol. 13. —
P. 140 – 144.
238. Izobov N. A. Lyapunov problems on stability by linear ap-
proximation // Advances of stability theory at the end of XXth century.
— London: Gordon and Breach Science Publishers, 2000. — P. 17 – 39.—
(Stability and control: Theory, methods and applications. Vol. 13).
239. Kalman R. E. Contribution to the theory of optimal con-
trol // Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana.— 1960. — Vol. 5,
N 1.— P. 102 – 119.
240. Kalman R. E., Ho Y. C., Narendra K. S. Controllabil-
ity of linear dynamical systems // Contr. Different. Equat. — 1963. —
Vol. 1.— P. 189 – 213.
241. Kreindler E., Sarachik P. On the concepts of controlla-
bility and observability of linear systems // IEEE Trans. on Automatic
Control.— 1964. — Vol. AC-9, N 2.— P. 129 – 136.
242. Markus L. Continuous matrices and the stability of differ-
ential systems // Math. Zeitschr.— 1955. — Vol. 62, N 1. — P. 310 – 319.
243. Perron O. Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungs-
systeme // Math. Zeitschr.— 1930. — Bd. 31. — S. 748 – 766.
244. Perron O.¨Uber eine Matrixtransformation // Math.
Zeitschr.— 1930. — Bd. 32. — S. 465 – 473.
245. Popov V. M. Hyperstability and optimality of automatic
systems with several control functions // Rev. Roumaine. Sci. Techn.,
Electrotechn. et Energ.— 1964. — Vol. 9, N 4. — P. 629 – 690.
246. Tonkov E. L. Uniform attainability and Lyapunov re-
ducibility of bilinear control system // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1. — 2000. — P. S228–S253.
247. Vinograd R. E. Simultaneous attainability of central Lya-
punov and Bohl exponents for ODE linear systems // Proc. Amer.
Math. Soc. — 1983. — Vol. 88, N 4. — P. 595 – 601.
248. Weiss L. The concepts of differential controllability and dif-
ferential observability // Journ. of Math. Anal. and Appl.— 1965. —
Vol. 10, N 2.— P. 442 – 449.
249. Wolovich W. A. On the stabilization of controllable system
// IEEE Trans. on Automatic Control.— 1968. — Vol. AC-13, N 5.—
P. 569 – 572.
250. Wonham W. M. On pole assignment in multi-input con-
trollable linear systems // IEEE Trans. on Automat. Control.— 1967.
— Vol. AC-12, N 6. — P. 660 – 665.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Базис чистых движений 274
Дискретизуемость инвариан-
та 77
Достижимость глобальная на
отрезке 253
— — — — относительно мно-
жества 253
— — равномерная 253
— — — относительно множе-
ства 253
Достижимость локальная на
отрезке относительно мно-
жества 149, 164
— — равномерная 153, 164
— — — относительно множе-
ства 149, 164
Законопослушность 283
Инвариант асимптотиче-
ский 21, 74
— ляпуновский 60
Коэффициент неправильно-
сти Гробмана 69, 329
— — Ляпунова 69, 329
— — Перрона 69, 329
Маршрут легальный 310
Матрица Коши 49
— Ляпунова 57
— — двусторонняя 59
— монодромии 53
— управляемости (Калма-
на) 82
— согласования 103, 115
Метод поворотов Миллион-
щикова 135, 138
Минор ведущий главный 284
Множество минимальное 112
— управляемости 81
Мультипликатор 53
Непрерывность кусочная
равномерная 264
Отчлененность реше-
ния 202, 207
Подматрица ведущая глав-
ная 284
Подобие кинематическое 56
Показатель верхний равно-
мерный Боля 62
— — особый Боля 61, 297
— — центральный Виногра-
да 61
— Ляпунова 31
— младший системы 52
— младший особый 67
— — центральный Миллион-
щикова 62
— нижний 33
— нижний особый Боля 67
— — центральный Виногра-
да 63
— Перрона 33
— старший системы 52
— — центральный Виногра-
да 61
— частичный 34
— экспоненциальный Изобова
старший 64, 72
— — — младший 64
Последовательность медлен-
ного роста 35
— реализующая решения 202
— реализующая частичного
показателя 34
Правильность 70
Преобразование Ляпунова 58
— — двустороннее 59
— перроновское 55, 241
Предметный указатель 405
Приводимость 58
— глобальная ляпунов-
ская 259
— — — относительно множе-
ства 259
— к системе 58
Произведение прямое
(кронекерово) 122
Разделенность интеграль-
ная 67
LDU -разложение 295
QR -разложение 300, 326
Расчлененность ФСР 202, 207
— системы 207
Рост решения на отрезке 219
Cимулякр 6
Система большая 122
— диагонализируемая 59
— диагонального приближе-
ния 65
— динамическая сдвигов 114
— замкнутая 100
— интегрально разделен-
ная 233
— линейная управляемая 80
— открытая 100
— периодическая 53
— почти периодическая 122
— правильная 70
— рекуррентная 121
— свободная 100
— скалярного типа 325
— сопряженная 233
— топологическая динамиче-
ская 101
Скаляризуемость глобаль-
ная 326
Согласованность 102
— на отрезке 102
— равномерная 111, 115, 116
Состояние управляемое 80
Среднее значение функции
верхнее 54
— — — нижнее 54
— — — точное 54
Спектр показателей Ляпуно-
ва полный 42, 51
Стабилизируемость равно-
мерная 299
Точка рекуррентная 112
Траектория движения 111
Управляемость дифференци-
альная 14
— полная 86
— — в момент времени 81
— — на отрезке 86
— — равномерная 93
Управляемость ляпуновско-
го инварианта глобаль-
ная 182, 183
— — — — пропорциональ-
ная 182, 183
— — — локальная 182, 183
— — — — пропорциональ-
ная 183, 184
Управляемость полного
спектра показателей
Ляпунова глобальная 184
— — — — — — пропорцио-
нальная 184
— — — — — локальная 184
— — — — — — равномер-
ная 232
— — — — — — пропорцио-
нальная 184
— — — — — — — некратная 217
Уравнение почти периодиче-
ское 247
Устойчивость асимптотиче-
ская 300
— экспоненциальная 61, 71
— показателей 68, 178
Функции интегрально отде-
ленные 235
Функция кусочно непрерывно
дифференцируемая 55
Фундаментальная матрица
(ФМ) 50
Фундаментальная система
решений (ФСР) 49
— — — нормальная 51
Эквивалентность асимптоти-
ческая 58
Энергия перевода 88
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
:= и =: — знак равенства по определению (двоеточие — со сторо-
ны определяемого объекта).
∗
— операция транспонирования.
T
— операция транспонирования (в Дополнении).
t — операция дизъюнктного объединения множеств, то есть объ-
единения семейства попарно непересекающихся множеств.
R+:= [0,+∞[ .
Rn— евклидово пространство размерности n с каноническим ор-
тонормированным базисом e1, . . . , enи нормой kxk =√x∗x .
Mmn— пространство вещественных матриц размерности m ×n со
спектральной нормой, то есть операторной нормой, индуцируемой
в Mmnевклидовыми нормами в Rnи Rm; Mn:= Mnn.
Bε(H) = {G ∈ Mmn: kG − H k 6 ε} — шар в пространстве M
mn
радиуса ε с центром H ∈ Mmn.
int D — топологическая внутренность множества D .
conv D — выпуклая оболочка подмножества D в произвольном
линейном пространстве.
col(α1, α2, . . . , αn) — вектор-столбец с координатами α1, . . . , αn.
[h1, h2, . . . , hn] — m×n -матрица, составленная из вектор-столбцов
h1, . . . , hn∈ Rm, в частности, E = [e1, e2, . . . , en] ∈ Mn— единич-
ная матрица.
Sp A, rank A, κ (A):=kAkkA−1k — след, ранг и спектральное число
обусловленности матрицы A соответственно.
h11. . . h
.
.
.
(H)k=
.
.
.
hk1. . . h
рядка k квадратной матрицы H = {hij}
= {H ∈ Mn: det(H)k> 0, k = 1, . . . , n} — совокупность всех
H
1k
.
.
— ведущая главная подматрица по-
.
kk
n
i,j=1
.
Некоторые обозначения 407
n ×n -матриц, имеющих положительные ведущие главные миноры.
(ρ) := {H ∈ Mn: det(H)k> ρ, k = 1, . . . , n}.
H
(r, ρ) := {H ∈ Br(E) ⊂ Mn: det(H)k> ρ, k = 1,. . . , n}.
H
KCmn(I) — множество ограниченных кусочно непрерывных отоб-
ражений U : I → Mmn, определенных на промежутке I ⊂ R, с
равномерной нормой kUk
:= sup{kU(t)k : t ∈ I } ; KCn(I) :=
C(I )
= K Cnn(I) . Если из контекста ясно, на каком именно промежутке I рассматривается функция U , то используется обозначение
kUkC:= kUk
C(I )
.
Cn(I) — пространство непрерывных отображений U : I → Mn,
определенных на отрезке I ⊂ R , с равномерной нормой.
Mn— совокупность всех линейных однородных дифференциаль-
ных систем
˙x = A(t)x, t ∈ R, x ∈ Rn,
где A(·) ∈ K Cn(R) . Каждая система из Mnотождествляется с ее
матрицей коэффициентов.
h(x; [α, β]) :=
ln(kx(β)k/kx(α)k)
β − α
— рост нетривиального решения
x(·) линейной однородной системы на отрезке [α, β] .
p := lim
t→+∞
t
Z
1
p(s) ds, p := lim
t
0
t→+∞
1
t
t
Z
p(s) ds,
0
^
p
:= lim
t→+∞
1
t
t
Z
0
p(s) ds
— соответственно верхнее, нижнее и точное средние значения функции p : [0, +∞[ → R .
> > >
«. . . польза логики зависит от того способа, которым ее употребляют . . . логика может дать огромную пользу лишь при одном условии:
вовремя прибегать к ней и вовремя из неё выбегать» [229, с. 269]. Вот
почему наша книга получилась такой . . . не настолько логичной, как, может быть, хотелось: в ней мы стремились педантично придерживаться
этого правила.
Научное издание
Макаров Евгений Константинович
Попова Светлана Николаевна
УПРАВЛЯЕМОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКИХ
ИНВАРИАНТОВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Редактор И. С. Александрович
Художественный редактор И. Т. Мохнач
Компьютерная верстка Е. К. Макаров, С. Н. Попова
Подписано в печать 22.02.2012. Формат 84×108
Печать цифровая. Усл. печ. л. 21,42. Уч.-изд. л. 16,2. Тираж 150 экз.
Заказ 28.
Издатель и полиграфическое исполнение:
Республиканское унитарное предприятие «Издательский дом
«Беларуская навука». ЛИ 02330/0494405 от 27.03.2009.
Ул. Ф. Скорины, 40, 220141, г. Минск.
1
/32. Бумага офсетная.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]