Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 30. Глобальная скаляризуемость 331
= (˙L(t)L−1(t) + L(t)(A(t) + B(t)U1(t))L−1(t))y = 0,
поэтому
L−1(t)˙L(t) = −(A(t) + B(t)U1(t)). (30.2)
Это же преобразование приводит систему
˙x = (A(t) + B(t)U1(t))x + B(t)u
к системе
˙y = L(t)B(t)u,
которая равномерно вполне управляема согласно теоремам 5.2
и 5.3. Применяя к этой системе теорему 15.5, найдем положительные величины δ и l . Пусть
P (t) = diag(δ sinπp|t|, 0, . . . , 0) ∈ Mn.
Поскольку kPkC= δ , найдется управление V (·) ∈ KCmn(R) ,
kV kC6 lδ , такое, что системы
˙z = P (t)z (30.3)
и
˙y = L(t)B(t)V (t)y (30.4)
асимптотически эквивалентны. Так как для системы (30.3)
справедливы соотношения λ1(P ) = . . . = λn(P ) = 0 , Ω(P ) =
= δ/π > 0 [27, с. 113], из критерия устойчивости показателей
(В. М. Миллионщиков [147], Б. Ф. Былов, Н. А. Изобов [28]) вытекает неустойчивость показателей Ляпунова системы (30.3) а,
следовательно, и системы (30.4). Применяя к последней обратное преобразование y = L(t)x , с учетом (30.2) получим
˙x = (L−1(t)y)˙ = −L−1(t)˙L(t)L−1(t)y + L−1(t) ˙y =
= −L−1(t)˙L(t)x + L−1(t)L(t)B(t)V (t)y =
= (A(t) + B(t)U1(t))x + B(t)V (t)L(t)x =
= (A(t) + B(t)(U1(t) + V (t)L(t)))x.
Положим U (t) = U1(t) + V (t)L(t) . Система (25.2) с U = U (·)
асимптотически эквивалентна системе (30.4), поэтому ее показатели Ляпунова неустойчивы. Лемма доказана.
332 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Т е о р е м а 30.3 [172]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
система (25.2) обладает свойством глобальной управляемости устойчивости показателей Ляпунова.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как показатели Ляпунова системы с нулевой матрицей устойчивы, то существование матричного управления U (·) , обеспечивающего устойчивость показателей системы (25.2), вытекает из следствия 30.1. Построение управления U (·) , при котором система (25.2) обладает
неустойчивыми показателями, осуществляется на основании
леммы 30.1.
§ 31. Глобальная управляемость полного
спектра показателей Ляпунова, центральных,
особых и экспоненциальных показателей
Здесь доказана глобальная управляемость полного
спектра показателей Ляпунова, а также тех ля-
пуновских инвариантов, которые для треугольных
систем определяются системами их диагонального
приближения.
Л е м м а 31.1 [172]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
для любых непрерывных и ограниченных функций pi: R → R ,
i = 1, . . . , n , существует управление U(·) ∈ K Cmn(R) такое,
что замкнутая система (25.2) при U = U(·) асимптотически эквивалентна системе с верхней треугольной кусочно
непрерывной и ограниченной на R матрицей, диагональ которой совпадает с (p1(·), . . . , pn(·)) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольные непрерывные и ограниченные на R скалярные функции p1(·), . . . , pn(·) ;
γ := max
i=1,...,n
kpikC. Пусть ϑ > 0 — число, обеспечивающее ϑ-
равномерную полную управляемость системы (25.1). Пользуясь теоремой 30.1, построим такое управление U1(·) , что система (25.2) с U = U1(·) некоторым ляпуновским преобразованием y = L(t)x приводится к системе
˙y = 0, y ∈ Rn.
Это же преобразование приводит систему
˙x = (A(t) + B(t)U1(t))x + B(t)u
§ 31. Глобальная управляемость полного спектра 333
к системе
˙y = L(t)B(t)u, (31.1)
которая ϑ-равномерно вполне управляема в силу теорем 5.2
и 5.3. Матрица при управлении в этой системе кусочно равномерно непрерывна, так как L(·) равномерно непрерывна. Применим к системе (31.1) следствие 27.2, тогда получим существование таких невырожденных матриц Fk, k ∈ Z , что для
любых последовательностей n×n -матриц с положительными
диагональными элементами, нижних треугольных {Lk}
верхних треугольных {Gk}
sup
{kLkk, kL
k∈Z
, таких, что
k∈Z
−1
k, kGkk, kG
k
−1
k} < ∞,
k
k∈Z
найдется управление V (·) ∈ KCmn(R) , обеспечивающее для
матрицы Коши YV(t, s) замкнутой системы (30.4) равенство
YV(kϑ, (k −1)ϑ) = FkLkGkF
Из замечания 27.1 следуют равномерные по k ∈ Z оценки
kFkk 6 f , kF
о QR -разложении представим Fkв виде Fk= RkQk, где
−1
k 6 f , где f > 0 . В соответствии с теоремой
k
−1
k
.
Rk— верхняя треугольная, а Qk— ортогональная матрица.
Тогда при каждом k ∈ Z
kRkk = kFkQ
−1
k 6 kFkk 6 f, kR
k
−1
k = kQkF
k
−1
k
k 6 kF
k
−1
k 6 f.
Обозначим для k ∈ Z
!
Dk= diag exp
kϑ
Z
1
2
(k−1)ϑ
p1(τ) dτ, . . . , exp
Z
1
2
(k−1)ϑ
kϑ
pn(τ) dτ
и
.
Применим теорему о QR -разложении к матрице DkQk, получим представление DkQk=eQ
e
Rk, гдеeQk— ортогональная,
k
аeRk— верхняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами. Тогда при каждом k ∈ Z
−1
DkQkk 6 kDkk =
k
kϑ
Z
1
2
pi(τ) dτ6 exp
(k−1)ϑ
1
γϑ,
2
= max
i=1,...,n
keRkk = keQ
exp
334 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
−1
keR
k = kQ
k
= max
i=1,...,n
Итак, {eR
ветственно нижних треугольных и верхних треугольных n ×
∗
k
}
k∈Z
exp−
и {eRk}
× n -матриц, такие, что sup
−1
−1
e
D
k
1
2
(k−1)ϑ
k∈Z
k∈Z
Qkk 6 kD
k
kϑ
Z
pi(τ) dτ6 exp
— это последовательности соот-
∗
{keR
k, k(eR
k
−1
k =
k
1
γϑ.
2
∗
)−1k, keRkk, keR
k
−1
k
k} 6
6 exp(γϑ/2) < ∞ . Из следствия 27.2 вытекает существование
управления V (·) ∈ KCmn(R) , обеспечивающего при каждом
k ∈ Z выполнение равенств
YV(kϑ, (k −1)ϑ) = F
∗
= FkQ
= RkQkQ
D
k
∗
DkQkF
k
∗
k
D
e
R
k
2
QkQ
k
∗
RkF
k
k
e
−1
−1
k
−1
= F
k
= FkQ
−1
R
k
∗
e
R
k
k
∗
2
D
QkF
k
k
= RkD
∗
e
e
Q
Q
k
−1
k
2
R
k
−1
k
e
RkF
k
.
−1
=
k
=
Рассмотрим систему
˙z = C(t)z, z ∈ Rn, (31.2)
где
C(t) := Rkdiagp1(t), . . . , pn(t)R
−1
, t ∈ [(k −1)ϑ, kϑ[, k ∈ Z.
k
Функция t 7→ C (t) кусочно непрерывна и ограничена, так как
kC(t)k 6 kRkkkR
−1
kγ 6 f2γ, t ∈ R.
k
При каждом t ∈ R матрица коэффициентов C(t) верхняя
треугольная с диагональюp1(t), . . . , pn(t).
На ](k −1)ϑ, kϑ[ к системе (31.2) с выбранной C(·) применим постоянное преобразование η = R
−1
z . Тогда
k
˙η = diagp1(t), . . . , pn(t)η, (31.3)
§ 31. Глобальная управляемость полного спектра 335
поэтому матрица Коши η(t, s) системы (31.3) при всех t, s ∈
∈](k − 1)ϑ, kϑ[ имеет вид
η(t, s) = diagexp
t
Z
p1(τ) dτ, . . . , exp
s
t
Z
pn(τ) dτ.
s
Так как матрицы Коши Z(t, s) и η(t, s) систем (31.2) и (31.3)
связаны соотношением
Z(t, s) = Rkη(t, s)R
−1
, t, s ∈](k −1)ϑ, kϑ[,
k
то предельным переходом при s → (k − 1)ϑ + 0 и t → kϑ − 0
получаем равенство
Z(kϑ, (k − 1)ϑ) =
= Rkdiagexp
= RkD
kϑ
Z
p1(τ) dτ, . . . , exp
(k−1)ϑ
−1
2
R
k
k
= YV(kϑ, (k −1)ϑ), k ∈ Z.
kϑ
Z
(k−1)ϑ
pn(τ) dτR
−1
k
=
Это равенство согласно теореме 2.12 означает, что системы
(31.2) и (30.4) асимптотически эквивалентны.
Применим к системе (30.4) обратное ляпуновское преоб-
разование y = L(t)x , получим систему (25.2) с управлением
U = U(t) := U1(t) + V (t)L(t) , асимптотически эквивалентную
системе (31.2). Теорема доказана.
Докажем утверждения о глобальной управляемости цен-
тральных, особых и экспоненциальных показателей.
Т е о р е м а 31.1 [172]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
центральные показатели ω, ω и Ω системы (25.2) одновременно глобально управляемы, то есть для любых чисел α 6
6 β 6 γ существует управление U(·) ∈ KCmn(R) такое,
что система (25.2) при U = U (·) имеет своими центральными показателями числа ω(A + BU) = α , ω(A + BU ) = β ,
Ω(A + BU ) = γ .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любые числа α 6 β 6 γ
и положим
p1(t) = α + (β −α)(sin ln(|t| + 1) + cos ln(|t| + 1) + 1)/2,
336 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
p2(t) = . . . = pn(t) ≡ γ.
Тогда p1= α , p1= β [27, с. 77 – 78]. Пользуясь леммой 31.1,
построим такое управление U (·) , что система (25.2) при U =
= U(·) асимптотически эквивалентна системе (25.7), матрица
C(t) которой при каждом t ∈ R — верхняя треугольная с диа-
гональюp1(t), . . . , pn(t). Пусть η(t, s) — матрица Коши системы (31.3) с выбранными функциями pi(·) , i = 1, . . . , n . По-
скольку центральные показатели всякой треугольной системы
совпадают с центральными показателями системы ее диагонального приближения и являются ляпуновскими инвариантами, справедливы равенства (см. [27, с. 116–118, 120 – 121, 537] )
ω(A + BU ) = ω(C) = ωdiagp1(·), . . . , pn(·)
k
X
= lim
T →∞
= lim
T →∞
lim
k→∞
= lim
T →∞
lim
k→∞
kT
1
kT
lim
k→∞
1
ln kη((i − 1)T, iT )k−1=
i=1
(i−1)T
k
X
Z
lnexp
i=1
1
kT
k
X
i=1
iT
iT
Z
(i−1)T
p1(s) ds
p1(s) ds =
=
−1
=
= lim
T →∞
ω(A + BU ) = lim
= lim
T →∞
T →∞
lim
k→∞
lim
k→∞
1
kT
lim
k→∞
k
X
i=1
kT
Z
1
p1(s) ds = p1= α;
kT
0
k
X
1
kT
ln kη((i − 1)T, iT )k−1=
i=1
(i−1)T
lnexp
Z
iT
p1(s) ds
−1
=
§ 31. Глобальная управляемость полного спектра 337
iT
Z
k
X
= lim
T →∞
= lim
T →∞
Ω(A + BU ) = lim
= lim
T →∞
T →∞
lim
k→∞
lim
k→∞
lim
k→∞
1
kT
1
kT
lim
k→∞
1
kT
p1(s) ds =
i=1
(i−1)T
kT
Z
p1(s) ds = p1= β;
0
k
X
1
kT
kT
Z
ln kη(iT, (i −1)T )k =
i=1
pn(s) ds = pn= γ.
0
Теорема доказана.
Т е о р е м а 31.2 [172]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
особые показатели ω0(A + BU ) , ω0(A + BU ) и Ω0(A + BU )
системы (25.2) одновременно глобально управляемы.
Т е о р е м а 31.3 [172]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
экспоненциальные показатели ∆0(A + BU) и ∇0(A + BU)
системы (25.2) одновременно глобально управляемы.
Д о к а з а т е л ь с т в о теорем 31.2 и 31.3 аналогично доказательству теоремы 31.1. Совпадение экспоненциальных показателей всякой треугольной системы с экспоненциальными
показателями системы ее диагонального приближения следует
из работы А. М. Нурматова [153].
Установим теперь глобальную управляемость полного
спектра показателей Ляпунова.
Т е о р е м а 31.4 [172]. Если система (25.1) равномерно
вполне управляема, B(·) кусочно равномерно непрерывна, то
для любого набора чисел λ16 . . . 6 λnсуществует матричное управление U (·) ∈ KCmn(R) такое, что система (25.2)
при U = U(·) правильна и имеет своим полным спектром
показателей Ляпунова набор λ1, . . . , λn.
338 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольные числа λ16
6 . . . 6 λn. В соответствии с леммой 31.1 построим управле-
ние U(·) ∈ KCmn(R) такое, что система (25.2) с этим управлением асимптотически эквивалентна системе (25.7) с кусочно
непрерывной и ограниченной на R матрицей C(·) , диагональ
которой совпадает с (λ1, . . . , λn) . В силу теоремы Ляпунова
о правильности треугольной системы [27, с. 141] эта система
правильна, а ее полный спектр показателей Ляпунова состоит из чисел λ1, . . . , λn. Следовательно, система (25.2) с построенным U (·) правильна и имеет своим полным спектром
показателей Ляпунова набор λ1, . . . , λn.
Теперь выясним, является ли условие равномерной полной управляемости необходимым для глобальной управляемости показателей Ляпунова. С этой целью рассмотрим линейную управляемую систему
˙x = A0(t)x + B0(t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm, t ∈ R, (31.4)
с равномерно непрерывными и ограниченными на R коэффициентами. Систему (31.4) отождествим с функцией
t 7→ σ0(t) :=A0(t), B0(t)∈ M
n,n+m
.
Обозначим στ(t) := σ0(t + τ) — сдвиг σ0на τ и рассмотрим
множество R(σ0) — замыкание (в топологии равномерной сходимости на отрезках) множества {στ: τ ∈ R} . Таким обра-
зом, σ ∈ R(σ0) в том и только том случае, когда существует
последовательность моментов времени {τk}
∞
такая, что для
k=1
каждого ε > 0 найдется номер K(ε) , начиная с которого выполняется неравенство max
|t| 6 ε
kσ(t) − σ
−1
(t)k < ε . Метрика в
τ
k
R(σ0) задается равенством
ρ(σ, bσ) = sup
min{kσ(t) − bσ(t)k, |t|−1}.
t∈R
Пространство (R(σ0), ρ) компактно [151, с. 533].
Т е о р е м а 31.5. Система σ0равномерно вполне управ-
ляема в том и только том случае, когда для каждой системы σ(·) =A(·), B(·)∈ R(σ0) соответствующая ей замкну-
тая система
˙x =A(t) + B(t)Ux (31.5)
§ 31. Глобальная управляемость полного спектра 339
обладает свойством глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть систе-
ма σ0равномерно вполне управляема. Рассмотрим любую систему σ(·) =A(·), B(·)∈ R(σ0) . Она также является равномерно вполне управляемой (Е. Л. Тонков [216, теорема 2.1]),
а ее коэффициенты равномерно непрерывны и ограничены на
числовой прямой. В силу теоремы 31.4 система (31.5), отвечающая системе σ(·) , обладает свойством глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Доказательство проведем на основе
идеи доказательства достаточности теоремы Тонкова [216, теорема 15.1] об эквивалентности равномерной полной управляемости и равномерной стабилизируемости системы (31.4). Действительно, предположим противное: пусть система σ0не является равномерно вполне управляемой. Тогда [181, лемма 1]
существует система σ(·) = (A(·), B(·)) ∈ R(σ0) , некоторым
перроновским преобразованием y = P (t)x приводимая к системе
˙y = F (t)y + G(t)u
с верхней треугольной матрицей F (t) = {fij(t)}
n
i,j=1
и матри-
цей G(t) , последняя строка которой нулевая. Возьмем произвольную матрицу U (·) ∈ KCmn(R) и рассмотрим замкнутую
систему (31.5) при U = U(·) . Преобразование y = P (t)x приводит эту систему к системе
˙y =F (t)x + G(t)U(t)P−1(t))y, y ∈ Rn, t ∈ R, (31.6)
последняя строка матрицы коэффициентов которой совпадает
с последней строкой матрицы F (t) , то есть с (0,. . . , 0, fnn(t)) .
Тогда n -е уравнение системы (31.6) имеет вид ˙yn= fnn(t)yn.
В нормальную фундаментальную систему решений системы
(31.6) обязательно входит решение y(·) с ненулевой последней координатой yn(·) . Показатель Ляпунова этого решения
удовлетворяет оценке
t
Z
λ[y] > λ[yn] = lim
t→+∞
1
fnn(τ) dτ =: fnn(·).
t
0
340 Гл. V. Глобальная управляемость инвариантов
Следовательно, полный спектр показателей Ляпунова системы (31.6) обязательно содержит показатель, не меньший вели-
чины fnn(·) , каково бы ни было выбранное управление U (·) .
Это же свойство выполнено и для системы (31.5), поэтому полный спектр показателей этой системы не является глобально управляемым. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Покажем, что из глобальной управляемости показателей
Ляпунова замкнутой системы (31.5) в общем случае не следует
равномерная полная управляемость системы
˙x = A(t)x + B(t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm, t ∈ R.
П р и м е р 31.1. Определим последовательность моментов времени {tk}
t1= 1, t2m= mt
∞
рекуррентно равенствами
k=1
, t
2m−1
2m+1
= m + t2m, m ∈ N.
Последовательность {tk} строго возрастает к +∞ , начиная
с номера k = 2 , при этом
lim
m→∞
lim
m→∞
t
2m−1
m
t
2m
t
2m
= lim
= lim
m→∞
m→∞
t
1
m
1
2m−1
= 0,
= 0.
Положим
1, t ∈] −∞, 2[,
b(t) =
1, t ∈ [t
0, t ∈ [t2m, t
2m−1
, t2m[,
2m+1
[,
где m = 2, 3, . . . , и рассмотрим скалярное линейное управляемое уравнение
˙x = b(t)u, x ∈ R, u ∈ R, t ∈ R. (31.7)
Уравнение (31.7) не является равномерно вполне управляемым, так как для каждого ϑ > 0 существует номер m:=[ϑ] +1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]