Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 23. Необходимость равномерной полной управляемости 241
Из теоремы 17.5 вытекает следующее утверждение.
Т е о р е м а 23.2 [181]. Пусть γ+(σ) — компактное мно-
жество, система (ϕ,σ) равномерно согласованна и для каждого σ0∈ γ+(σ) показатели Ляпунова системы ˙x = A(ftσ0)x
устойчивы. Тогда система (ϕ, σ) обладает свойством равномерной локальной управляемости показателей Ляпунова.
Перейдем теперь к изучению семейства (23.1), где r = n
и
C(ftσ) ≡ E ∈ Mn.
Положим ϕ(σ) = (A(σ), B(σ)) и каждую из систем
˙x = A(ftσ)x + B(ftσ)u (23.12)
будем отождествлять с парой (ϕ, σ) . Будем предполагать, что
ϕ(ftσ) удовлетворяет соотношению (23.2). Из теоремы 7.1 вы-
текает, что (ϕ, σ) равномерно согласованна в том и только том
случае, когда (ϕ, σ) равномерно вполне управляема.
Пусть E — компактное инвариантное множество в Σ .
Будем называть функцию L : R × E → Mnперроновским преобразованием системы (23.4), если при каждом фиксированном
σ ∈ E функция t 7→ L(t, σ) суть перроновское преобразование
[27, с. 263] системы (23.4). Это означает, что матрица
−P (t, σ) =˙L(t, σ)L∗(t, σ) + L(t, σ)A(ftσ)L∗(t, σ) (23.13)
— нижняя треугольная, L(t, σ) ортогональна при всех (t, σ) ∈
∈ R × E . В работе В. М. Миллионщикова [142] показано, что
если E минимально, то перроновское преобразование рекуррентно по t (равномерно относительно σ ∈ E ), то есть для
любого ε > 0 множество тех τ ∈ R , для которых выполнено
неравенство
max{kL(t + τ, σ) − L(t, σ)k : |t| 6 ε−1, σ ∈ E} < ε,
относительно плотно на R . Отметим также, что
L(t + τ, σ) = L(t, fτσ), (t, τ) ∈ R × R.
Л е м м а 23.3 [181]. Пусть E — компактное инвариант-
ное множество и система (23.12) не является равномерно
вполне управляемой при некотором σ ∈ E . Тогда найдутся
242 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
минимальное множество Eα⊂ E , натуральное p и перроновское преобразование L : R × Eα→ Mnтакие, что для
любого σ ∈ Eαпреобразование x = L(t,σ)w приводит систему (23.12) к виду
˙w =bF (t, σ)w +bG(t, σ)v, w ∈ Rn, v ∈ Rm, (23.14)
где
матрицыbF11(t, σ) ∈ MppиbF22(t, σ) ∈ M
b
F =
b
F
11
b
F
21
0
,
b
F
22
b
G =
0
b
G
2
n−p, n−p
,
— нижние
треугольные при каждых (t, σ) ∈ R × Eα, аbG2(t, σ) имеет
размеры (n − p) ×m .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 1 работы А. Г. Иванова и Е. Л. Тонкова [70] найдется минимальное множество E
в E такое, что для каждой точки σ ∈ Eαсистема (23.4) не является вполне управляемой на [0, ϑ] при каждом ϑ > 0 . Поэтому [102, с. 138] существует нетривиальное решение ψ(t, σ)
сопряженной системы
∗
˙
ψ = −ψA(ftσ), ψ ∈ R
n
, (23.15)
удовлетворяющее равенству
ψ(t, σ)B(ftσ) ≡ 0 t ∈ R+.
Пусть ψi(t, σ) , i = 1, . . . , n , — ФСР системы (23.15), пер-
вые p векторов которой удовлетворяют этому равенству, а
ψ
(t, σ) — не удовлетворяет. Применим процесс ортогона-
p+1
лизации Шмидта:
ξ
ξ1= ψ1, ν1=
1
kξ1k
,
α
Тогда
k−1
ξk= ψk−
X
j=1
ψkν
∗
νj, νk=
j
ξ
k
, k = 2, . . . , n.
kξkk
νj(t, σ)B(ftσ) = 0, t ∈ R+, j = 1, . . . , p. (23.16)
§ 23. Необходимость равномерной полной управляемости 243
Построим матрицу L(t, σ) , строками которой служат векторы
ν1(t, σ) , ν2(t, σ), . . . , νn(t, σ) . Тогда L — ортогональная мат-
рица, а преобразование ψ = ηL(t, σ) приводит систему (23.15)
к системе
˙η = ηP (t, σ)
с нижней треугольной матрицей. Поэтому преобразование
x = L−1(t, σ)w
приводит (23.4) к нижнему треугольному виду
˙w = −P(t, σ)w.
Таким образом, функция L : R × Eα→ Mnявляется перроновским преобразованием системы (23.15), а из (23.13) следует
справедливость соотношения −P (t, σ) =bF (t, σ) . Строки матрицы L(t, σ) образованы векторами νj(t, σ) , причем выпол-
нено (23.16), поэтому первые p строк матрицы
b
G(t, σ) := L(t, σ)B(ftσ)
нулевые. Лемма доказана.
З а м е ч а н и е 23.3. Из работы [142] (В. М. Миллионщи-
ков) следует, что функция t 7→ L(t, σ) рекуррентна (и, в силу
минимальности Eα, равномерно рекуррентна по σ ∈ Eα).
Т е о р е м а 23.3 [181]. Пусть γ+(σ) — компактное мно-
жество и (23.4) — система с интегральной разделенностью.
Система (ϕ, σ) обладает свойством равномерной локальной
управляемости показателей Ляпунова в том и только том
случае, когда (ϕ, σ) равномерно вполне управляема.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Д о с т а т о ч н о с т ь следует непосредственно из теоремы 23.1 (всякая система с интегральной
разделенностью диагонализируема).
Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим противное, пусть система (ϕ, σ) не является равномерно вполне управляемой. Из
леммы 23.3 следует существование такой точки σ0∈
γ+(σ) ,
что система
˙x = A0(t)x + B0(t)u, (23.17)
где A0(t) := A(ftσ0) , B0(t) := B(ftσ0) , обладает свойством:
сопряженная система
˙
ξ = −ξA0(t) (23.18)
244 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
имеет решение ξ1(·) , такое, что
ξ1(t)B0(t) ≡ 0, t ∈ R. (23.19)
Так как (23.4) — система с интегральной разделенностью, то из предложения 23.1 и леммы 23.1 следует, что системы
˙x = A0(t)x
и (23.18) также являются системами с интегральной разделенностью. Зафиксируем произвольную ФСР ξ1, . . . , ξnсистемы (23.18), где функция ξ1удовлетворяет тождеству (23.19).
Положим
νj(t) =
ξj(t)
kξj(t)k
, L(t) = col(ν1(t), . . . , νn(t)) ∈ Mn.
Из замечания 23.2 следует, что углы между векторами ξi(t) и
ξj(t) при всех i 6= j строго отделены от нуля на R+. Б. Ф. Бы-
лов [26] показал, что преобразование ξ = ηL(t) является ляпуновским и приводит систему (23.18) к диагональному виду.
К (23.17) применим преобразование y = L(t)x , в результате
получим систему
˙y = P0(t)y + G0(t)u,
аналогичную (23.14), но с диагональной матрицей
P0(t).= diag(p1(t), . . . , pn(t)),
элементы которой интегрально отделены, и матрицей
G0(t) := L(t)B(t),
первая строка которой нулевая. Обозначим через λ1(P0) <
< λ2(P0) < . . . < λn(P0) полный спектр показателей Ляпунова
однородной системы
˙y = P0(t)y. (23.20)
Поскольку (23.20) — система с интегральной разделенностью,
ее показатели Ляпунова устойчивы, следовательно, найдется
такое δ1> 0 , что всякое измеримое управление U : R+→
→ B
(0) ⊂ Mmnпорождает систему
δ
1
˙y = (P0(t) + G0(t)U(t))y, (23.21)
§ 23. Необходимость равномерной полной управляемости 245
показатели Ляпунова которой удовлетворяют неравенствам
|λj(P0) −λj(P0+ G0U)| < ε0,
где
ε0= min
i=1,...,n−1
(λ
i+1(P0
) −λi(P0))/4.
Это означает, что полный спектр системы (23.21) состоит из
попарно различных чисел.
Наряду с (23.21) рассмотрим усеченную систему
˙z = (P1(t) + G1(t)U1(t))z, z ∈ R
n−1
, (23.22)
матрица P1+ G1U1которой получается из P0+ G0U вычеркиванием первой строки и первого столбца,
P1(t) = diag(p2(t), . . . , pn(t)),
G1(t) — это (n − 1) × m -матрица, образованная из G0(t)
отбрасыванием первой строки, а U1(t) — это m × (n − 1) матрица, образованная из U(t) отбрасыванием первого столбца. Система (23.22) является возмущенной по отношению к
диагональной системе
˙z = P1(t)z, z ∈ R
n−1
, (23.23)
диагональ которой интегрально разделена. Так как полные
спектры показателей Ляпунова систем (23.20) и (23.23) состоят из наборов верхних средних значений функций p1, p2. . . , p
и p2, . . . , pnсоответственно, то для каждого j ∈ {1, . . . , n −1}
существует единственное i ∈ {1, . . . , n} такое, что λj(P1) =
= λi(P0) , причем разным значениям j отвечают разные зна-
чения i . Через k ∈ {1, . . . , n} обозначим такой индекс, что
λk(P0) = p1. Из интегральной разделенности диагонали мат-
рицы P1(·) вытекает устойчивость показателей Ляпунова системы (23.23), поэтому существует δ2> 0 такое, что из усло-
вия suptkU1(t)k < δ2следуют неравенства
n
|λj(P1) −λj(P1+ G1U1)| < ε0, j = 1, . . . , n − 1.
Возьмем δ0= min{δ1, δ2} и зафиксируем произвольную измеримую функцию U : R+→ B
b
λi= λi(P0+ G0U), i = 1 . . . , n.
(0) ⊂ Mmn. Обозначим
δ
0
246 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
Пусть U1(t) — m ×(n −1) -матрица, полученная из U(t)
вычеркиванием первого столбца. Тогда U1: R+→ B
⊂ M
m,n−1
(23.22) такую, что λ[z
— измерима.
Рассмотрим нормальную ФСР z
(i)
] = λi(P1+ G1U) ;
(1)
, . . . , z
(n−1)
(0) ⊂
δ
0
системы
(1)
y
(·) , . . . , y
(i)
z
(t) = col(z
Положим y
(n−1)
(i)
(t), . . . , z
1
(i)
(t) := col(0, z
(·) являются линейно независимыми реше-
(i)
(t)), i = 1, . . . , n −1.
n−1
(i)
(t), . . . , z
1
(i)
n−1
(t)) . Функции
ниями системы (23.21), их показатели попарно различны и
лежат в ε0-окрестностях чисел λj(P0) при j 6= k . Следова-
тельно, набор показателей этих решений совпадает с набором
чиселbλj, j = 1, . . . , n , j 6= k .
Пусть y
(n)
(·) — произвольное решение системы (23.21),
показатель которого равенbλk. Так как числаbλ1, . . . ,bλnпопарно различны, то функции y
(1)
(·), . . . , y
висимы, а это означает, что первая координата y
(n)
ния y
чае функция z
стемы (n − 1) -го порядка (23.22), линейно зависимое с решениями z
(1)
y
(·) не равна тождественно нулю (в противном слу-
(n)
(t), . . . , y
2
(·) , что влечет линейную зависимость
(t) = p1(t)y
(1)
(·), . . . , y
(n)
(·), . . . , z
(n)
(·) ). Но
(t) = col(y
(n−1)
(n)
˙y
1
(n)
1
(n)
(·) линейно неза-
(n)
1
(n)
(t)) — решение си-
n
(t),
(·) реше-
поэтому
t
(n)
y
(t) = c · exp
1
Z
p1(τ) dτ,
0
где c 6= 0 . Следовательно,
, . . . , y
(n)
] = p1= λk(P0).
1
(n)
образуют нормальную ФСР
b
λk= λ[y
Итак, функции y
(n)
] > λ[y
(1)
системы (23.21), при этом ни один показатель λi(P0+ G0U)
не попадает в левую ε0-полуокрестность величины λk(P0), и
§ 24. Почти периодическое уравнение 247
это верно для любой измеримой функции U : R+→ B
⊂ Mnm. Поэтому возмущениями G0(t)U(t) , suptkU(t)k < δ0,
(0) ⊂
δ
0
невозможно добиться выполнения равенства
λk(P0+ G0U) = λk(P0) + µ
k
при малых отрицательных µk. Это означает, что показателем
λk(σ0) системы ˙x = A(ftσ0)x управлять нельзя. Теорема до-
казана.
§ 24. Управление показателями Ляпунова
почти периодического уравнения
В этом параграфе для скалярного уравнения n-го порядка с почти периодическими по Бору и линейно
независимыми на R коэффициентами установлена
равномерная локальная управляемость показателей
Ляпунова.
Рассмотрим уравнение
(n)
z
+ uσ1(t)z
(n−1)
+ ···+ uσn(t)z = 0, z ∈ R, (24.1)
где u = u(t) — всевозможные измеримые и ограниченные на
R скалярные управления, а коэффициенты t → σi(t) почти
периодичны в смысле Бора (определение почти периодичности
по Бору см., например, в [48, с. 368]). Обозначим
σ(t) = (σ1(t), . . . , σn(t))
и по уравнению (24.1) построим динамическую систему сдвигов (Σ, ft) , где Σ — замыкание (в топологии равномерной
сходимости на R ) множества сдвигов функции σ(·) , а fτσ =
= στ(·) . Таким образом, всякой функции bσ(·) ∈ Σ отвечает
уравнение вида (24.1), которое мы отождествляем с bσ(·) .
Возьмем какое-либо уравнение bσ(·) ∈ Σ и зафиксиру-
ем произвольное измеримое и ограниченное на R управление
u(·) . Отождествим полученное уравнение с системой
˙x = (A + bbc∗(t)u(t))x, (24.2)
248 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
где
A =
0 1 0 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 0
0 0 0 . . . 0 1
0 0 0 . . . 0 0
, b =
0
0
. .
0
0
1
, bc(t) =
bσn(t)
bσ
n−1
. . . . . . .
bσ3(t)
bσ2(t)
bσ1(t)
(t)
Пусть λ1(A + bbc∗u) 6 . . . 6 λn(A + bbc∗u) — полный спектр
показателей Ляпунова системы (24.2). Будем говорить, что
набор этих чисел образует полный спектр показателей уравнения (24.1), и будем обозначать его λ1(bσ, u) 6 λ2(bσ, u) 6
6 . . . 6 λn(bσ, u) . Отметим, что для любой системы bσ ∈ Σ
управлению u(t) ≡ 0 отвечает полный спектр λ1(bσ, 0) = . . . =
= λn(bσ, 0) = 0 .
Т е о р е м а 24.1 [181]. Пусть функции σ1(·), . . . , σn(·) по-
чти периодичны в смысле Бора и линейно независимы на R .
Тогда для всякого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для
любого вектора µ = col(µ1, . . . , µn) ∈ Rnс координатами,
удовлетворяющими неравенствам −δ < µ16 µ26 . . . 6
6 µn< δ , и любого уравнения bσ(·) ∈ Σ найдется допусти-
мое управление bu(t) = u(t, bσ(·), µ) , |bu(t)| < ε , обеспечиваю-
щее для показателей Ляпунова λ1(bσ, bu), λ2(bσ, bu), . . . , λn(bσ, bu)
уравнения bσ(·) при управлении bu(·) равенства
.
λi(bσ, bu) = µi, i = 1, . . . , n.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим линейную управляемую систему с наблюдателем
˙x = Ax + bu, y = c∗(t)x,
где x ∈ Rn, y ∈ R , u ∈ R , постоянные матрица A и вектор
b определены выше, а
c(t) = col(σn(t), σ
(t), . . . , σ1(t)).
n−1
Будем отождествлять эту систему с тройкой (A, b, c(·)) . Для
доказательства теоремы воспользуемся теоремой 23.2. Отметим, что у системы ˙x = Ax показатели устойчивы, а в си-
лу почти периодичности c(·) множество γ+(σ) минимально,
§ 24. Почти периодическое уравнение 249
компактно и совпадает с Σ . Поэтому, в силу теоремы 6.3, из
согласованности тройки (A, b, c(·)) следует ее равномерная согласованность.
Покажем, что тройка (A, b, c(·)) согласованна. Рассмот-
рим сначала случай n = 2 . Построим функции
Uij(t) = b∗X∗(0, t)eie
где
∗
j
X(t, s) =
X∗(t, 0)c(t), i, j = 1, 2,
1 t
0 1
— матрица Коши системы ˙x = Ax . Справедливы равенства
U11(t) = −tσ1(t), U12(t) = −t2σ1(t) −tσ2(t),
U21(t) = σ1(t), U22(t) = tσ1(t) + σ2(t).
В силу теоремы 6.1 тройка (A, b, c(·)) согласованна в том и
только том случае, когда существует ϑ > 0 такое, что функции Uij(·) линейно независимы на [0, ϑ] . Предположим про-
тивное, пусть функции Uij(·) линейно зависимы на R+. Тогда существуют α, β, γ, δ , не все равные нулю, такие, что на
положительной полуоси выполнено тождество
ασ1(t)t+ βσ1(t)t2+βσ2(t)t+ γσ1(t)+ δσ1(t)t+ δσ2(t) ≡ 0. (24.3)
Следовательно,
ασ1(t)
t
+βσ1(t)+
βσ2(t)
t
+
γσ1(t)
2
t
+
δσ1(t)
t
+
δσ2(t)
2
t
≡ 0, t > 0.
Перейдем в этом тождестве к пределу при t → +∞, получим
равенство
lim
βσ1(t) = 0.
t→∞
Так как σ1(·) — нетривиальная почти периодическая функция, то
lim
σ1(t) 6= 0,
t→∞
поэтому β = 0 . Следовательно, (24.3) можно представить в
виде
(α + δ)σ1(t) +
γσ1(t) + δσ2(t)
t
≡ 0, t > 0.
250 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
Отсюда α + δ = 0 , поэтому (24.3) приобретает вид
γσ1(t) + δσ2(t) ≡ 0,
и из линейной независимости σ1(t) и σ2(t) следует, что γ =
= δ = 0 , а потому и α = 0 . Это противоречит предположению
α2+ β2+ γ2+ δ2> 0 .
Для произвольного n ∈ N имеем равенства
j
Uij(t) = (−1)
n−i
n−i
t
(n − i)!
X
k=1
j−k
t
(j −k)!
σk(t), i, j = 1, . . . , n,
и тождество (24.3) принимает вид
n
X
i,j=1
Поделив это тождество на t в максимальной степени (то есть
2n−2
на t
) , приходим к равенству α1n= 0 . Продолжая этот
процесс деления на t
α
ij
t
(n − i)!
r
k
j
n−i
X
k=1
j−k
t
(j −k)!
σk(t) ≡ 0.
, где rk— максимальная степень на
k -м шаге, приходим к системе
m
X
k=l
α
k,n−m+k
= 0, l = 1, . . . , n, m = 1, . . . , n.
Эта система имеет только тривиальное решение, что доказывает согласованность тройки (A, b, c(·)) , а вместе с тем и теорему 24.1.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]