Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 10. Метод поворотов для согласованных систем 131
В дальнейшем будем предполагать, что функция σ(·) удовлетворяет условиям:
а) функция t 7→ kσ(t)k измерима по Лебегу и ограничена
на R ;
б) для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что
t+1
R
sup
t∈R
kστ(s) −σ(s)kds < ε
t
при |τ| < δ ; здесь στ(s) := σ(s +τ ) — сдвиг функции σ на τ .
Обозначим через X (t, s) матрицу Коши однородной системы
˙x = A(t)x, (10.2)
а через XV(t, s) — матрицу Коши системы
˙x = (A(t) + B(t)V (t)C∗(t))x. (10.3)
Для положительного ε введем в рассмотрение множество Uεизмеримых функций U : R → Mmr, удовлетворяющих неравенству sup
kU(t)k < ε . Сужение Uεна промежуток
t∈R
J ⊂ R обозначим Uε(J) .
Л е м м а 10.1 [177]. Если система σ(·) ϑ-равномерно со-
гласованна, то существует κ0> 0 такое, что всяким κ ∈
∈ [0, κ0] и ε > 0 отвечает δ = δ(κ, ε) > 0 , обеспечивающее
следующее свойство: для любой функции V (·) ∈ Uκтакой,
что система (A + BV C∗, B, C) удовлетворяет условиям а)
и б), любой матрицы H ∈ Bδ(0) ⊂ Mnи любого τ ∈ R существует управление U(·) ∈ Uε, обеспечивающее разрешимость относительно Z(·) задачи
˙
Z =A(t) + B(t)V (t)C∗(t)Z+
(10.4)
+B(t)U C∗(t)XV(t, τ ) + B(t)UC∗(t)Z,
Z(τ) = 0, Z(τ + ϑ) = H. (10.5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из следствия 7.3 вытекает существование такого κ0> 0 , что для любого κ ∈ [0, κ0] найдется α1= α1(κ) > 0 , обеспечивающее свойство: каждому
α ∈ [0, α1] отвечает β = β(α, κ ) > 0 такое, что для любого
132 Гл. II. Управляемость и согласованность
τ ∈ R , любой матрицы H ∈ Mnи любых функций V (·) ∈ U
и Z(·) ∈ C([τ, τ + ϑ], Bα(0)) уравнение
τ+ϑ
Z
XV(τ + ϑ, t)B(t)U(t)C∗(t)(XV(t, τ ) + Z (t)) dt = H (10.6)
τ
разрешимо относительно U(·) ∈ L∞([τ, τ + ϑ], Mmr) , причем
при всех τ 6 t 6 τ+ϑ выполнено неравенство kU (t)k 6 βkH k .
Зафиксируем произвольные числа τ ∈ R , κ ∈ [0, κ0] ,
α ∈ [0, α1(κ)] и матричную функцию V ∈ Uκ([τ, τ + ϑ], Mmr) ,
и для выбранных κ и α найдем β = β(α, κ) . Пусть Z(·) ∈
∈ C ([τ, τ + ϑ], Bα(0)) , ε ∈]0, ε0] , H ∈ Bδ(0) ⊂ Mn; выбор ве-
личины ε0= ε0(α, κ) уточним ниже, δ 6
управление
UZ(t, s) =
U(s), s ∈ [τ, t],
0, s ∈]t, τ + ϑ],
ε
β(α, κ)
. Построим
где U (·) ∈ L∞([τ, τ + ϑ], Mmr) — функция, обеспечивающая
выполнение равенства (10.6) для выбранной Z(·) . Отметим,
что
kU(t)k 6 ε, τ 6 t 6 τ + ϑ.
Рассмотрим оператор F , определенный равенством
τ+ϑ
Z
(F Z)(t) =
XV(t, s)B(s)UZ(t, s)C∗(s)XV(s, τ ) + Z (s)ds,
τ
κ
где t ∈ [τ, τ + ϑ] . Выберем ε0таким, чтобы выполнялись
неравенства
ε0<
1
ϑk(κ)α
ϑk2(κ)ε0d
,
1 −ϑk(κ)ε0d
6 α1,
где
kXV(t, s)k 6 k(κ), kB(t)kkC∗(t)k 6 d, t, s ∈ [τ, τ + ϑ].
Тогда при каждом ε ∈]0, ε0] оператор F переводит множество
C([τ, τ + ϑ], Bα(0))
§ 10. Метод поворотов для согласованных систем 133
в себя при любом α , удовлетворяющем неравенствам
ϑk2(κ)εd
1 −ϑk(κ)εd
6 α 6 α1.
Действительно,
k(F Z)(t)k 6 ϑk(κ)dε0(k(κ) + α) 6 α.
Так как оператор F вполне непрерывен как оператор, действующий из C ([τ, τ + ϑ], Mn) в себя [96, с. 43], то в силу
принципа Шаудера F имеет неподвижную точкуbZ(·) . Поскольку
t
Z
b
Z(·) =
XV(t, s)B(s)bU(s)C∗(s)(XV(s, τ ) +bZ(s)) ds,
τ
где функцияbU(·) — решение (10.6) при Z =bZ(·) , тоbZ(·) —
решение задачи (10.4), (10.5) при U =bU(·) , и, кроме того,
kbU(t)k 6 βkHk 6 βδ 6 ε.
Лемма доказана.
Т е о р е м а 10.1 [177]. Если система (A,B, C) равномер-
но согласованна, то существуют κ0> 0 и ϑ0> 0 такие,
что всяким κ ∈]0, κ0[ и ε > 0 отвечает η = η(κ, ε) >
> 0 , обеспечивающее следующее свойство: для любой функции V (·) ∈ Uκ( такой, что система (A + BV C∗, B, C) удовлетворяет условиям а), б) ) , любой матрицы H ∈ Bη(E) ⊂
⊂ Mn, любого ϑ > ϑ0и любого τ ∈ R найдется функция
U(·) ∈ Uε, обеспечивающая для матрицы Коши X
U+V
(t, s)
системы
равенство
˙x =A(t) + B(t)(U(t) + V (t))C∗(t))x (10.7)
X
(τ + ϑ, τ ) = X (τ + ϑ,τ)H.
U+V
134 Гл. II. Управляемость и согласованность
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϑ0— число, обеспечивающее ϑ0-равномерную согласованность системы (A, B, C) . Выберем любые τ ∈ R , ε > 0 и κ ∈]0, κ0[ ( κ0— из леммы 10.1).
Пусть V (·) ∈ Uκ. Из леммы 10.1 следует существование β =
= β(κ, ε) такого, что при всех H ∈ Mn, удовлетворяющих
условию
kXV(τ + ϑ0, τ )H − XV(τ + ϑ0, τ )k < β, (10.8)
задача
˙
Z0=A(t) + B(t)V (t)C∗(t)Z0+
B(t)U (t)C∗(t)XV(t, τ ) + B(t)UC∗(t)Z0,
Z0(τ) = 0, Z0(τ +ϑ0) = XV(τ +ϑ0, τ )H −XV(τ +ϑ0, τ ) (10.9)
разрешима относительно Z0при некоторой U ∈ Uε([τ, τ +ϑ0]).
Положим η(κ, ε) = β(κ, ε)k−1(κ) . Если H ∈ Bη(E) ⊂ Mn—
произвольная матрица, то
kXV(τ + ϑ0, τ )H − XV(τ + ϑ0, τ )k 6
6 kXV(τ +ϑ0, τ )−XV(τ +ϑ0, τ )kkH −Ek< k(κ)η(κ, ε) = β(κ , ε),
то есть неравенство (10.8) выполнено. Рассмотрим функцию
t 7→ Z(t) ∈ Mn, определенную на [τ, τ + ϑ0] равенством
Z(t) = XV(t, τ ) + Z0(t).
Тогда Z(·) удовлетворяет начальному условию
Z(τ) = XV(τ, τ ) + Z0(τ) = E
и соотношениям
˙
Z =˙XV(t, τ ) +˙Z0(t) =
=A(t) + B(t)V (t)C∗(t)XV(t, τ ) +A(t) + B(t)V (t)C∗(t)Z0+
+B(t)U (t)C∗(t)XV(t, τ ) + B(t)U(t)C∗(t)Z0=
=A(t) + B(t)V (t)C∗(t)Z + B(t)U(t)C∗(t)Z =
=A(t) + B(t)(U(t) + V (t))C∗(t)Z.
§ 10. Метод поворотов для согласованных систем 135
В силу теоремы существования и единственности на [τ, τ +ϑ0]
выполнено равенство
Z(t) = X
U+V
(t, τ ).
Из (10.9) следует справедливость соотношения
X
(τ + ϑ0, τ ) = XV(τ + ϑ0, τ )H.
U+V
Возьмем теперь произвольное ϑ > ϑ0. На [τ, τ + ϑ0]
построим U (·) , как было описано выше, а на ]τ + ϑ0, τ + ϑ]
положим U(t) ≡ 0 . Тогда
X
(τ + ϑ, τ ) = X
U+V
(τ + ϑ, τ + ϑ0)X
U+V
(τ + ϑ0, τ ) =
U+V
= XV(τ + ϑ, τ + ϑ0)XV(τ + ϑ0, τ )H = XV(τ + ϑ, τ )H.
Теорема доказана.
С л е д с т в и е 10.1 [177]. Если система (A, B, C) равно-
мерно согласованна, то существует ϑ0такое, что всякому
ε > 0 отвечает η > 0 , обеспечивающее свойство: для любой
матрицы H ∈ Bη(E) ⊂ Mn, любого ϑ > ϑ0и любого τ ∈ R
найдется функция U(·) ∈ Uεтакая, что для матрицы Коши
XU(t, s) системы
˙x = (A(t) + B(t)U(t)C∗(t))x (10.10)
справедливо равенство
XU(τ + ϑ, τ ) = X (τ + ϑ,τ)H.
З а м е ч а н и е 10.1. Теорема 10.1 и следствие 10.1 позволяют перенести метод поворотов В.М. Миллионщикова [144,
146] (см. также обзор Н. А. Изобова [74]) на равномерно согласованные системы. Отметим, что метод поворотов существенно опирается на следующее утверждение (В. М. Миллионщиков [146], Н. А. Изобов [74, с. 90–91, лемма 2]): для любо-
го нетривиального решения x(·) системы (3.5) и для любого
вектора η ∈ Rn, удовлетворяющего условиям
kηk = kx(τ + 1)k, ^(η, x(τ + 1)) = δ <
π
,
2
136 Гл. II. Управляемость и согласованность
существует матрица поворота Uδ(·) такая, что вектор
y(t) := Uδ(t)x(t)
удовлетворяет условиям y(τ) = x(τ) , y(τ + 1) = η и является на [τ, τ + 1] решением системы
˙y = (A(t) + P (t))y, (10.11)
где P ∈ KCn([t0, t0+ 1]) и kP kC6 (2a + 1)δ .
Доказательство этого утверждения мы приведем в параграфе 11 (лемма 11.1). Систему (10.11) называют возмущенной
по отношению к системе (10.2) и говорят, что к системе (10.2)
применен поворот Uδ(t) на отрезке [τ, τ + 1] . Здесь необходимо отметить, что метод поворотов используется для изучения
асимптотических свойств решений системы (10.2), при этом
важен результат поворота, а не то, как ведут себя решения
возмущенной системы (10.11) на отрезке, на котором производится поворот. Поэтому можно считать, что к системе (10.2)
применен поворот Uδ(τ + 1) в момент τ + 1 . Итак, одно из
свойств, на котором основан метод поворотов, состоит в следующем: для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что
любому τ ∈ R и любой матрице H ∈ Bδ(E) ⊂ Mnотвечает функция P : [τ, τ + 1] → Bε(0) ⊂ Mn, гарантирующая
для матрицы Коши Z(t, s) системы (10.11) выполнение равенства
Z(τ + 1,τ ) = HX(τ + 1, τ ).
Следствие 10.1 обеспечивает для системы (A(·), B(·), C(·))
аналогичное свойство.
Г л а в а III
ЛОКАЛЬНАЯ ДОСТИЖИМОСТЬ
ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
Выжыезъя йылыз.
Удмурт визькыл.
Ад яблынi яблык, ад елкi шышка.
Беларуская прыказка.
Схема решения задачи управления асимптотическими
инвариантами, принятая нами, состоит в поочередном переходе от управляемости (или же согласованности для систем с
наблюдателем) к локальной достижимости, затем к достижимости глобальной и от нее — к глобальной ляпуновской приводимости. Первый шаг на этом пути — получение условий локальной достижимости — предполагает переход от векторной
задачи управления в фазовом пространстве к матричной задаче, понимаемой как «пачка» векторных задач с условиями
одного и того же типа. Их одновременное решение оказывается возможным благодаря наследованию матричной задачей
основных свойств составляющих ее векторных задач.
Построенное таким образом матричное управление рассматривается затем как результат действия некоторой обратной связи, что требует обратимости значений решения матричной задачи и обусловливает локальность получаемых результатов, поскольку требуемая обратимость гарантируется лишь
невырожденностью стартового состояния и малым отклонением всей траектории от него. В этом состоит лежащий в основе
наших конструкций прием размыкания обратной связи, впервые примененный в задаче управления асимптотическими инвариантами В. А. Луньковым [113].
Для исходной векторной задачи без наблюдателя этот
метод позволяет не только доказать эквивалентность равномерной локальнойдостижимости и равномерной полной управляемости, но и получить липшицеву оценку потребного управления через расстояние от целевой матрицы до единичной.
Напротив, при наличии в системе нетривиального наблюдения критерий достижимости установить не удается, хотя ее
1
Какие корни, такие ветки. Удмуртская пословица [206, с. 25].
1
138 Гл. III. Локальная достижимость
достаточным условием и оказывается равномерная согласованность. Это дополнительно подтверждает неэффективность
прямого использования выхода наблюдателя для формирования обратной связи при решении задачи управления асимптотическими инвариантами.
§ 11. Метод поворотов и локальная
достижимость линейных однородных систем
В этом параграфе приведено классическое доказательство второй леммы метода поворотов
В. М. Миллионщикова и изложены подходы, которые
в дальнейшем позволят перенести эту лемму на
управляемые системы.
Рассмотрим линейную однородную систему
˙x = A(t)x, x ∈ Rn, t ∈ R, (11.1)
с кусочно непрерывной и ограниченной на R матрицей коэффициентов A(·) , a := kAkC. Пусть X (t, s) — матрица Коши
системы (11.1).
Л е м м а 11.1 (В.М. Миллионщиков [146], Н. А. Изобов
[74, с. 90–91, лемма 2]). Для каждого δ ∈ [0, π/2[ , для любого
нетривиального решения x(·) системы (11.1) и для любого
вектора η ∈ Rn, удовлетворяющего условиям
kηk = kx(t0+ 1)k, ^(η, x(t0+ 1)) = δ,
существует матрица поворота Uδ(·) такая, что вектор
y(t) := Uδ(t)x(t)
удовлетворяет условиям y(t0) = x(t0) , y(t0+ 1) = η и явля-
ется на [t0, t0+ 1] решением системы
˙y = (A(t) + P (t))y, (11.2)
где P ∈ KCn([t0, t0+ 1]) и kP kC6 (2a + 1)δ .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждого t ∈ [t0, t0+1] обозна-
чим через Uδ(t) матрицу поворота на угол (t −t0)δ в плоско-
сти векторов x(t0+ 1), η в направлении от первого ко второ-
му вектору. Тогда функция t 7→ Uδ(t) дифференцируема на
[t0, t0+ 1] и k˙Uδ(t)k 6 δ . При каждом t ∈ [t0, t0+ 1] матрица
§ 11. Метод поворотов и локальная достижимость 139
Uδ(t) ортогональна, поэтому kUδ(t)k = kU
того, справедливы неравенства
kUδ(t) −Ek 6 δ, kU
−1
(t) −Ek 6 δ.
δ
−1
(t)k = 1 . Кроме
δ
Применим преобразование y = Uδ(t)x к системе (11.1), тогда
˙y =
Uδ(t)U
−1
˙
(t) + Uδ(t)A(t)U
δ
−1
δ
(t)y.
Положим
P (t) =˙Uδ(t)U
−1
(t) + Uδ(t)A(t)U
δ
−1
(t) −A(t).
δ
Функция P (·) кусочно непрерывна на [t0, t0+ 1] , а для kPk
имеем оценки
kP kC6 k˙UδkCkU
6 δ + kUδkCkAkCkU
−1
kC+ kUδAU
δ
−1
− UδAkC+ kUδA − AkC6
δ
−1
− EkC+ kAkCkUδ− EkC6
δ
6 δ + aδ + aδ = (2a + 1)δ.
Для решения y(·) системы (11.2) с выбранной P (·) и с начальным условием y(t0) = x(t0) справедливо равенство
y(t0+ 1) = Uδ(t0+ 1)x(t0+ 1) = η.
C
Лемма доказана.
Далее в этом параграфе мы применим иной подход к доказательству этого утверждения, который в последующих параграфах будет применен к линейным управляемым системам.
Л е м м а 11.2. Для любого ϑ > 0 существует такое чис-
ло α = α(ϑ) > 0 , что при каждом t0∈ R матрица
t0+ϑ
Z
W0(t0, t0+ ϑ) :=
X(t0, t)X∗(t0, t) dt
t
0
удовлетворяет неравенству W0(t0, t0+ ϑ) > αE , понимаемо-
му в смысле квадратичных форм.
140 Гл. III. Локальная достижимость
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любые t0∈ R , ϑ > 0 и
ξ ∈ Rn, kξk = 1 . Тогда при каждом t ∈ [t0, t0+ ϑ]
kξ∗X(t0, t)k > min
= kX−1(t0, t)k−1= kX(t, t0)k−1> e
kη∗X(t0, t)k =
kηk=1
−aϑ
.
Следовательно,
t0+ϑ
ξ∗W0(t0, t0+ ϑ)ξ =
Z
kξ∗X(t0, t)k2dt > ϑe
t
0
−2aϑ
=: α
при всех ξ ∈ Rn, kξk = 1 , а это равносильно доказываемому
неравенству W0(t0, t0+ ϑ) > αE .
С л е д с т в и е 11.1. Для любой A(·) и любого ϑ > 0 си-
стема (A(·), E) ϑ-равномерно вполне управляема.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как матрица W0(t0, t0+ ϑ) яв-
ляется матрицей Калмана системы (A(·), E) , то доказываемое
свойство выполнено в силу определения 5.1.
С л е д с т в и е 11.2. При всех ϑ > 0 и t0∈ R матрица
W0(t0, t0+ ϑ) обратима, при этом выполнено неравенство
−1
kW
(t0, t0+ ϑ)k 6 β,
0
где
β = β(ϑ) :=
2(2n−1)aϑ
e
ϑ
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϑ > 0 и t0∈ R — любые.
Матрица W0(t0, t0+ ϑ) эрмитова, поэтому все ее собственные
значения вещественны [226, с. 53]. Пусть λj(W0(t0, t0+ ϑ)) ∈
∈ R , j = 1, . . . , n , — произвольное собственное значение мат-
рицы W0(t0, t0+ ϑ) ; ξ ∈ Rn, kξk = 1 , — соответствующий
ему собственный вектор. Тогда из леммы 11.2 получим неравенство
λj= ξ∗λjξ = ξ∗W0(t0, t0+ ϑ)ξ > α,
в силу которого
n
det W0(t0, t0+ ϑ) =
Y
λj(W0(t0, t0+ ϑ)) > αn> 0,
j=1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]