Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 6. Согласованность 111
Пусть γ(σ0) := {σ ∈ Σ : σ = ftσ0, t ∈ R} — траекто-
рия движения t 7→ ftσ0, γ(σ0) — замыкание (в метрике ρ )
траектории γ(σ0) .
О п р е д е л е н и е 6.2 [176]. Система ϕ(ftσ0) называется
равномерно согласованной (на γ(σ0) ), если существуют ϑ > 0
и l > 0 такие, что для всякой непрерывной матричной функции G : Σ → Mnнайдется измеримое по t и непрерывное по
σ управление UG: [0, ϑ] × γ(σ0) → Mmr, удовлетворяющее
оценке kUG(t, σ)k 6 lkG(σ)k, 0 6 t 6 ϑ , и обеспечивающее
свойство: для каждого σ ∈ γ(σ0) матричная задача управления (6.4), (6.5) при G = G(σ) , U = UG(t, σ) разрешима.
Т е о р е м а 6.2 [176]. Пусть множество γ(σ0) компакт-
но. Система ϕ(ftσ0) равномерно согласованна в том и только том случае, когда найдутся ϑ > 0 и ε > 0 такие, что
наименьшее собственное значение µ(ϑ, σ) матрицы согласования Γ(ϑ, σ) удовлетворяет неравенству µ(ϑ, σ) > ε для
всех σ ∈ γ(σ0) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть систе-
ма ϕ(ftσ0) равномерно согласованна. Поскольку множество
γ(σ0) компактно, а функция σ 7→ µ(ϑ, σ) непрерывна, существует такое σ1∈ γ(σ0) , что
µ(ϑ, σ1) = min{µ(ϑ, σ) : σ ∈ γ(σ0)}.
Допустим, что µ(ϑ,σ1) = 0 . Тогда в силу теоремы 6.1 система
ϕ(ftσ1) не является согласованной, что противоречит опреде-
лению 6.2. Поэтому
ε := min{µ(ϑ, σ) : σ ∈ γ(σ0)} > 0.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть µ(ϑ, σ) > ε для всех σ ∈
∈ γ(σ0) . Тогда для каждого σ ∈ γ(σ0) система ϕ(ftσ) согла-
сованна (теорема 6.1), поэтому задача (6.4), (6.5) разрешима
при
UG(t, σ) =
n
X
i,j=1
hijUij(t, σ),
где Uij(t, σ) определены равенствами (6.7), а hijнаходятся
из уравнений (6.10). Поскольку имеет место оценка (6.10), а
112 Гл. II. Управляемость и согласованность
kΓ−1(ϑ, σ)k 6 ε−1для всех σ ∈ γ(σ0) , то khk 6 ε−1kg(ϑ, σ)k .
Из ограниченности функции ϕ(σ) на γ(σ0) и инвариантности
γ(σ0) относительно ftследует существование такого κ > 0 ,
что
kUij(t, σ)k 6 κ, (t, σ) ∈ [0, ϑ] ×γ(σ0).
Поэтому
n
kUG(t, σ)k 6
X
khijkkUij(t, σ)k 6 l kG(σ)k
i,j=1
при всех (t, σ) ∈ [0, ϑ] ×
γ(σ0) , где положительная величина l
не зависит ни от t , ни от σ . Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 6.3. Непосредственно из определения 6.2 и
теоремы 6.2 следует, что если множество γ(σ0) компактно и
система ϕ(ftσ0) равномерно согласованна, то найдутся ϑ > 0
и l > 0 такие, что для каждого ϑ1> ϑ , всех τ ∈ R и любой
матричной функции G : γ(σ0) → Mnзадача
˙
Z = A(ftσ0)Z + B(ftσ0)UC∗(ftσ0)X(t, τ, σ0),
Z(τ) = 0, Z(τ + ϑ1) = G(fτσ0),
разрешима при некотором измеримом U = UG(t, fτσ0) , удовлетворяющем неравенству
kUG(t, fτσ0)k 6 lkG(fτσ0)k, τ 6 t 6 τ + ϑ1,
где l не зависит от τ и G .
Для доказательства этого утверждения достаточно сделать замену t → t + τ . Тогда приходим к задаче (6.4), (6.5)
(при σ = fτσ0), в которой вместо ϑ следует писать ϑ1. Поскольку ϑ1> ϑ , выполнено неравенство µ(ϑ1, σ) > µ(ϑ, σ)
(лемма 6.1).
Напомним [151, с.400–402], что множество Σ0⊂ Σ на-
зывается минимальным, если ft(Σ0) = Σ0для всех t ∈ R и
γ(σ) = Σ0для каждого σ ∈ Σ0. В силу теоремы Биркгофа
[151, с. 402] всякая точка минимального компактного множества рекуррентна, то есть для любых ε > 0 и N > 0 множество
{τ ∈ R : max
|t|6N
ρ(f
t+τ
σ0, ftσ0) < ε}
§ 6. Согласованность 113
относительно плотно на числовой прямой.
Т е о р е м а 6.3 [176]. Пусть множество γ(σ0) мини-
мально и компактно. Для того чтобы система ϕ(ftσ0) была
равномерно согласованна, необходимо и достаточно, чтобы
она была согласованна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь очевидна.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что система ϕ(ftσ0)
согласованна, но не является равномерно согласованной. Обозначим
α(ϑ) = min{µ(ϑ, σ) : σ ∈ γ(σ0)}.
Функция ϑ 7→ α(ϑ) является возрастающей и неотрицательной на R+.
Если существует ϑ0> 0 такое, что α(ϑ0) > 0 , то в силу
теоремы 6.2 система ϕ(ftσ0) равномерно согласованна.
Пусть α(ϑ) = 0 при всех ϑ > 0 . Тогда найдутся такие
последовательности {ϑi}
σi= σi(ϑi) ; {hi}
∞
i=1
0 = µ(ϑi, σi) = h
∞
i=1
, hi∈ R
, ϑi→ +∞ при i → ∞; {σi}
2
n
, khik = 1 , что
∗
Γ(ϑi, σi)hi.
i
∞
i=1
Выделяя из последовательности {(σi, hi)} сходящуюся подпо-
следовательность (которую мы снова обозначим {(σi, hi)}) и
переходя в последнем равенстве к пределу, получим
,
h∗Γ(∞, σ)h = 0
2
для некоторых σ ∈ γ(σ0) и h ∈ R
n
, khk = 1 . Из неравен-
ства (6.6) и замечания 6.3 следует равенство
h∗Γ(ϑ, fτσ)h = 0
для всех ϑ > 0 и τ > 0 . Поэтому h∗Γ(ϑ, bσ)h = 0 для bσ ∈
∈ γ+(σ) , где γ+(σ) — замыкание положительной полутраек-
тории, выходящей из точки σ . Поскольку для минимального
множества справедливы равенства
γ+(σ) = γ(σ) = γ(σ0),
то h∗Γ(ϑ, σ0)h = 0 для любого ϑ > 0 . Это противоречит свойству согласованности системы ϕ(ftσ0) . Теорема доказана.
114 Гл. II. Управляемость и согласованность
§ 7. Следствия для динамической системы
сдвигов
Здесь результаты предыдущего параграфа переносятся на случай, когда в качестве пространства
(Σ, ft) рассматривается динамическая система сдвигов, порожденная фиксированной линейной управляемой системой с наблюдателем. Показано, что в случае линейной управляемой системы без наблюдателя введенное понятие согласованности эквивалентно
понятию полной управляемости.
Пусть задана ограниченная функция
σ0(t) = (A0(t), B0(t), C0(t)) ∈ M
n,n+m+r
, t ∈ R,
удовлетворяющая условию: для любых ε > 0 и N > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех |τ | 6 δ выполнено неравенство
t+1
Z
max
|t|6N
kσ0(s + τ) −σ0(s)kds 6 ε.
t
Обозначим через στ(t) = σ0(t + τ ) сдвиг σ0на τ и
рассмотрим множество
Σ = cl {στ(·) : τ ∈ R},
где cl M — замыкание множества M в метрике
t+1
Z
ρ0(σ, bσ) = sup
t∈R
min
kσ(s) − bσ(s)k ds, |t|
t
−1
.
Пространство Σ компактно (А. Г. Иванов [69]). Определим на
Σ поток ftравенством ftσ = σt(·) . Тогда (Σ, ft) — динами-
ческая система сдвигов и Σ = γ(σ0) , где γ(σ0) — траектория
движения t 7→ ftσ0. Далее, определим функцию ϕ : Σ →
→ M
n,n+m+r
равенством ϕ(σ) = σ(t)
. Тогда функция
t=0
ϕ(ftσ0) задает систему
˙x = A0(t)x + B0(t)u, y = C
∗
(t)x, (7.1)
0
§ 7. Следствия для динамической системы сдвигов 115
а совокупность всех σ ∈ Σ описывает множество систем вида
˙x = A(t)x + B(t)u, y = C∗(t)x,
которые получаются из (7.1) с помощью всевозможных сдвигов времени и замыкания этого множества систем в метрике ρ0.
Определение 6.2 равномерной согласованности, примененное к системе (7.1), выглядит следующим образом.
О п р е д е л е н и е 7.1 [176]. Система (7.1) называется рав-
номерно согласованной, если существуют ϑ > 0 и l > 0 такие,
что для любого τ ∈ R и любой G ∈ Mnсуществует измеримое управление UG: [τ, τ + ϑ] → Mmr, удовлетворяющее
неравенству
kUGk 6 lkGk, τ 6 t 6 τ + ϑ,
и обеспечивающее разрешимость относительно Z (·) задачи
˙
Z = A0(t)Z + B0(t)UC
∗
(t)X0(t, τ ),
0
Z(τ) = 0, Z(τ + ϑ) = G,
при U = UG; здесь X0(t, s) — матрица Коши однородной
системы
˙x = A0(t)x.
Матрица согласования для системы (7.1) имеет вид
Γ0(ϑ, τ ) = {Γ
0
γ
(ϑ, τ ) =
ijps
0
ij
τ+ϑ
Z
τ
(ϑ, τ )}
∗
b
e
B0(t, τ )bB
i
n
i,j=1
, Γ
∗
0
0
(ϑ, τ ) = {γ
ij
(t, τ )eje
0
ijps
∗
b
C0(t, τ )bC
p
(ϑ, τ )}
∗
(t, τ )esdt,
0
n
p,s=1
,
где
b
B0(t, τ ) := X0(τ, t)B0(t),bC0(t, τ ) := X
∗
(t, τ )C0(t).
0
Пусть µ0(ϑ, τ ) — наименьшее собственное значение матрицы
Γ0(ϑ, τ ) .
116 Гл. II. Управляемость и согласованность
С л е д с т в и е 7.1 [176]. Система (7.1) равномерно согла-
сованна в том и только том случае, когда найдутся ϑ > 0
и ε > 0 такие, что для всех τ ∈ R выполнено неравенство
µ0(ϑ, τ ) > ε .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Введенные в рассмотрение дина-
мическая система сдвигов (Σ, ft) и функция ϕ(σ) = σ(t)
t=0
позволяют рассматривать семейство систем ϕ(ftσ) , среди ко-
торых содержится, в частности, система (7.1). Если некоторая
система получена из (7.1) простым сдвигом στ, τ ∈ R , то
Γ0(ϑ, τ ) совпадает с матрицей согласования Γ(ϑ, fτσ0) , введенной ранее. Но в Σ могут присутствовать точки, получающиеся из (7.1) предельным переходом ρ0(σ, f
τ
i
σ0) → 0 при
τi→ +∞ или τi→ −∞. В силу непрерывности функции
σ 7→ Γ(ϑ, σ) для таких точек имеем сходимость
Γ0(ϑ, τi) → Γ(ϑ, σ) при i → ∞.
Поэтому, учитывая компактность множества Σ =
лучаем равенство inf
µ0(ϑ, τ ) = min
τ∈R
µ(ϑ, σ). Доказательство
σ∈Σ
γ(σ0) , по-
следствия завершается ссылкой на теорему 6.2.
О п р е д е л е н и е 7.2 [176]. Система (7.1) называется ϑ1равномерно согласованной, если она равномерно согласованна
при ϑ = ϑ1.
С л е д с т в и е 7.2 [176]. Ляпуновское преобразование со-
храняет свойство ϑ-равномерной согласованности системы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть L : R → Mn— матрица Ляпунова. Применим преобразование x = L(t)z к системе (7.1),
получим
˙z = (L−1(t)A0(t)L(t) −L−1(t)˙L(t))z + L−1(t)B0(t)u,
y = C
∗
(t)x = C
0
∗
(t)L(t)z,
0
то есть система (7.1) переходит в систему
˙z = F0(t)z + D0(t)u, y = P
∗
0
(t)z,
где
F0(t) := L−1(t)A0(t)L(t) −L−1(t)˙L(t),
P0(t) := L∗(t)C0(t).
§ 7. Следствия для динамической системы сдвигов 117
Для каждых i, j, p, s ∈ {1, . . . , n} и τ ∈ R обозначим
τ+ϑ
Z
τ
∗
b
e
D0(t, τ )bD
i
∗
(t, τ )eje
0
∗
b
P0(t, τ )bP
p
∗
(t, τ )esdt,
0
γ
0
ijps
(ϑ, τ ; L) =
0
Γ
(ϑ, τ ; L) = {γ
ij
Γ0(ϑ, τ ; L) = {Γ
0
(ϑ, τ ; L)}
ijps
0
(ϑ, τ ; L)}
ij
n
p,s=1
n
i,j=1
,
,
здесь
b
D0(t, τ ) = Z0(τ, t)D0(t),bP0(t, τ ) = Z
∗
(t, τ )P0(t),
0
Z0(t, τ ) — матрица Коши однородной системы
˙z = F0(t)z.
Нетрудно проверить, что
b
D0(t, τ ) = L−1(τ)bB0(t, τ ),bP0(t, τ ) = L∗(τ)bC0(t, τ ),
поэтому
0
γ
(ϑ, τ ; L) =
ijps
τ+ϑ
Z
=
∗
e
L−1(τ)bB0(t, τ )bB
i
τ
∗
×e
L∗(τ)bC0(t, τ )bC
p
∗
(t, τ )(L−1(τ))∗ej×
0
∗
(t, τ )L(τ)esdt.
0
Обозначим через µ0(ϑ, τ ; L) наименьшее собственное значение
матрицы Γ0(ϑ, τ ; L) . Докажем, что существует ε0> 0 такое,
что
µ0(ϑ, τ ; L) > ε
для всех τ ∈ R , то есть для всех τ ∈ R и каждого вектора
2
n
h ∈ R
, khk = 1 , выполнено неравенство
0
h∗Γ0(ϑ, τ ; L)h > ε0.
118 Гл. II. Управляемость и согласованность
Предположим противное, пусть для каждого ε > 0 существует такое N1∈ N , что для каждого k > N1найдутся
τk∈ R и hk∈ R
2
n
, khkk = 1 , для которых
∗
h
Γ0(ϑ, τk; L)hk< ε/2.
k
Так как множество
2
{h ∈ R
2
— компакт в R
n
, то без ограничения общности можно счи-
тать, что последовательность {hk}
lim
hk= h = col(h11, . . . , hnn), khk = 1.
k→∞
n
: khk = 1}
∞
сходится, и
k=1
Из непрерывности отображения h 7→ h∗Γ0(ϑ, τk; L)h следует
существование такого натурального N2, что
|h∗Γ0(ϑ, τk; L)h −h
∗
Γ0(ϑ, τk; L)hk| < ε/2,
k
если только k > N2. Положим N(ε) := max{N1(ε), N2(ε)}.
Тогда для всех k > N(ε) выполнено неравенство
h∗Γ0(ϑ, τk; L)h 6
6 |h∗Γ0(ϑ, τk; L)h −h
следовательно,
τk+ϑ
Z
X
m
r
X
=
v=1
r
X
q=1
q=1
e
n
i,j=1
∗
b
B
v
τ
k
τk+ϑ
Z
m
X
=
v=1
τ
k
где H := {hij}
Обозначим
(k)
G
= (L−1(τk))∗HL∗(τk), G
∗
Γ0(ϑ, τk; L)hk| + h
k
h∗Γ0(ϑ, τk; L)h =
n
X
i,j=1
∗
(t, τk)(L−1(τk))∗HL∗(τk)bC
0
hije
∗
b
D
v
∗
(t, τk)eie
0
∗
P
j
∈ Mn, H 6= 0 .
= {g
(k)
ij
(k)
∗
Γ0(ϑ, τk; L)hk< ε,
k
∗
b
(t, τk)e
0
n
}
i,j=1
∗
0
2
dt =
q
q
2
dt < ε,
(t, τk)e
, k > N(ε).
§ 7. Следствия для динамической системы сдвигов 119
Так как L(·) — матрица Ляпунова, то G
(k)
6= 0 . Из ϑ-равно-
мерной согласованности системы (7.1) следует существование
(k)k2
(k)
.
(k)
=
>
ε1> 0 такого, что для всех k > N(ε) и для вектора g
= col(g
> ε1kg
τk+ϑ
11
(k)k2
Z
τ
k
(k)
, . . . , g
, то есть
m
X
X
v=1
q=1
(k)
) выполнено неравенство g
nn
r
∗
e
b
B
v
∗
(t, τk)G
0
(k)
∗
b
C
0
(t, τk)e
q
(k)
2
dt > ε1kg
∗
Γ0(ϑ, τk)g
Из равномерной ограниченности kL∗(t)k и k(L−1(t))∗k на R
следует существование такого α > 0 , что kg
(k)
k > α для всех
k > N(ε) . При ε < ε1α2получаем противоречие.
С л е д с т в и е 7.3 [176]. Если система (7.1) ϑ-равномерно
согласованна, то найдется δ > 0 такое, что всякая измеримая и ограниченная на числовой прямой функция t 7→ σ(t) =
= (A(t), B(t), C(t)) ∈ M
n,n+m+r
, удовлетворяющая условию
ρ1(σ, σ0) 6 δ , где
t+1
Z
ρ1(σ, σ0) := sup
t∈R
kσ(s) −σ0(s)kds,
t
порождает ϑ-равномерно согласованную систему вида (7.1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Γ(ϑ, σ) — матрица согласо-
вания системы σ(·) = (A(·), B(·), C(·)) на [0, ϑ] . Систему σ(·)
можно записать в виде ϕ(ftσ) , где
ϕ(σ) = σ(t)
, ftσ = σt(·).
t=0
Поскольку система (7.1) ϑ-равномерно согласованна, то в силу
следствия 7.1 существует такое ε > 0 , что при всех τ ∈ R
выполнено неравенство
µ0(ϑ, τ ) > ε.
Из равенства
µ(ϑ, fτσ0) = µ0(ϑ, τ ),
120 Гл. II. Управляемость и согласованность
следствия 7.1 и теоремы 6.2 получаем соотношение
µ(ϑ, bσ) > ε для всех bσ ∈ γ(σ0).
Из непрерывности функции σ 7→ X(t, s, σ) (где X(t, s, σ) —
матрица Коши системы ˙x = A(t)x ), равномерной по (t, s)
на компактах в R2, следует непрерывность функции σ 7→
7→ Γ(ϑ, σ) в метрике ρ0. Следовательно, найдется δ > 0 та-
кое, что µ(ϑ, σ) > ε/2 для всех σ , удовлетворяющих неравенству ρ0(σ, σ0) 6 δ . Из неравенства ρ0(σ, σ0) 6 δ следует
неравенство ρ1(fτσ, fτσ0) 6 δ для всех τ ∈ R . Выберем δ > 0
таким, что
|µ(ϑ, fτσ0) −µ(ϑ, fτσ)| 6 ε/4
для всех σ , удовлетворяющих неравенству ρ1(σ, σ0) 6 δ . То-
гда
µ(ϑ, fτσ) > µ(ϑ, fτσ0) −ε/4 > ε/4, τ ∈ R.
Ссылка на следствие 7.1 завершает доказательство.
Рассмотрим частный случай системы (7.1) при r = n ,
C0(t) ≡ E . Тогда получим линейную управляемую систему
без наблюдателя
˙x = A0(t)x + B0(t)u. (7.2)
Т е о р е м а 7.1.Система (7.2) ϑ-равномерно вполне управ-
ляема в том и только том случае, когда система (7.1) при
r = n , C0(t) ≡ E ϑ-равномерно согласованна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу [109] система (7.2) ϑ-равномерно вполне управляема тогда и только тогда, когда при
некотором l > 0 для произвольных τ ∈ R и G ∈ Mnсуществует измеримое управление VG: [τ, τ + ϑ] → Mmr, удовлетворяющее оценке
kVGk 6 lkGk, τ 6 t 6 τ + ϑ,
и обеспечивающее разрешимость относительно Z (·) матричной задачи управления
˙
Z = A0(t)Z + B0(t)V,
(7.3)
Z(τ) = 0, Z(τ + ϑ) = G.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]