Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
Введение 21
где X(t, s) — матрица Коши свободной системы (0.7), H(t) —
некоторая возмущающая матрица. Оба представления вполне
обычны для теории характеристических показателей: представление в виде (0.11) является одной из основ метода поворотов В. М. Миллионщикова [144, 146; 74, с. 90], а представление
в виде (0.12) непосредственно вытекает из формулы Коши и
может использоваться для разнообразных оценок влияния возмущений на асимптотические свойства линейной системы (см.
например [123, 129]).
Основные черты этой техники были намечены еще в
[113], ее развитию и применению посвящены работы [163, 164,
130 – 139, 176 – 178, 167 – 175].
Свойство системы (0.6), позволяющее за счет выбора обратной связи U более или менее произвольно выбирать значения возмущающей матрицы H(t) , называется достижимостью [61]. В зависимости от дополнительных условий, накладываемых на управление и возмущение, достижимость может
быть локальной и глобальной. Достаточным условием достижимости различных видов для замкнутой системы при некоторых дополнительных условиях может служить равномерная
полная управляемость открытой системы (0.5). Для систем с
наблюдателем
˙x = A(t)x + B(t)u, y = C∗(t)x, (0.13)
x ∈ Rn, u ∈ Rm, y ∈ Rr,
аналогом условия полной управляемости, обеспечивающим достижимость для соответствующей замкнутой системы
˙x =A(t) + B(t)U(t)C∗(t)x, x ∈ Rn,
является понятие согласованности, введенное и исследованное
в большой серии работ Е. Л. Тонкова и С. Н. Поповой [176, 177,
178, 181, 218].
Наличие свойства достижимости позволяет осуществлять управление не только характеристическими показателями, но и любыми другими асимптотическими инвариантами
линейных систем, а также их полной совокупностью.
Общее представление об асимптотических инвариантах
как основном объекте асимптотической теории дифференциальных уравнений возникло в 1950-е годы в теории характе-
22 Введение
ристических показателей Ляпунова в результате экспансии алгебраических идей, охватившей в то время большинство отраслей математической науки. Это абстрактное понятие должно было стать формальным эквивалентом полуинтуитивного
термина «асимптотическая характеристика». Реальная сложность свойств дифференциальных систем не позволила полностью формализовать весь круг относящихся сюда вопросов, так что до сих пор нет даже общепринятого определения асимптотических инвариантов. В большинстве случаев их
отождествляют с инвариантами преобразований Ляпунова —
ляпуновскими инвариантами.
Преобразования Ляпунова систем из класса Mnпред-
ставляют собой линейные преобразования фазового пространства вида
y = L(t)x, x, y ∈ Rn, t ∈ R,
с невырожденной непрерывной матрицей L(·) , обладающей
кусочно непрерывной производной˙L(·) и удовлетворяющей
условию ограниченности
kL(t)k + kL−1(t)k + k˙L(t)k 6 M < +∞.
Ляпуновскими инвариантами являются характеристические
показатели линейной дифференциальной системы, свойства ее
асимптотической и неасимптотической устойчивости, а также
ряд других величин и свойств. При действии преобразований
Ляпунова на множестве открытых систем (0.5) сохраняется
свойство равномерной полной управляемости, что в свое время стало важной предпосылкой постановки задач управления
показателями.
Cистемы класса Mn, связанные некоторым ляпунов-
ским преобразованием, называются асимптотически эквива-
лентными [18].
Под полной совокупностью (полной системой) инвариантов на множестве объектов S , снабженном фиксированным
отношением эквивалентности, понимается такая совокупность
инвариантов, которая разделяет любые два неэквивалентных
объекта из S . Если заданное отношение эквивалентности может быть определено с помощью действия некоторой группы
преобразований множества S , то совокупность значений инвариантов, образующих полную систему, однозначно определяет орбиту такого действия [160]. В теорию асимптотических
Введение 23
инвариантов, где эквивалентность задается действием группы
ляпуновских преобразований на множестве систем Mn, это
классическое понятие было введено Ю. С. Богдановым [17].
Несмотря на ряд имевших место попыток (см. [19, 121]), к
настоящему времени неизвестны удачные примеры нетривиальных полных совокупностей асимптотических инвариантов.
Видимо, именно по этой причине предложенный в [135] термин
«глобальная управляемость полной совокупности асимптотических инвариантов» не привился, а соответствующее свойство по предложению Е. Л. Тонкова сейчас принято называть
глобальной ляпуновской приводимостью.
О п р е д е л е н и е 0.4 [135]. Система (0.6) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, если для любой
системы
˙z = F (t)z, z ∈ Rn, t ∈ R, (0.14)
принадлежащей множеству Mnсистем с ограниченными и
кусочно непрерывными коэффициентами, существует такое
кусочно непрерывное и ограниченное управление U (·) , что система (0.6) с этим управлением асимптотически эквивалентна
системе (0.14).
Методы, основанные на понятии достижимости, работают не только для систем вида (0.5). На их основе в работах [154– 157] Д.М. Оленчиковым методами нестандартного
анализа был осуществлен перенос ряда основных результатов о локальной управляемости показателей на системы с импульсной обратной связью
+∞
u = U(t)y, U(t) =
X
Uiδ(t −ti),
i=−∞
где δ(t) — дельта-функция, а управляющими параметрами являются матрицы Uiи моменты времени ti.
В работе В. А. Зайцева [60] введено понятие согласованности для билинейных систем
˙x =A0(t) + u1A1(t) + · ·· + urAr(t)x,
(0.15)
x ∈ Rn, u = col(u1, . . . , ur) ∈ Rr, t ∈ R,
а в статье Е. Л. Тонкова и В. А. Зайцева [61], в которой впервые предложен термин «достижимость» в принимаемом нами
24 Введение
смысле, рассмотрен вопрос об управлении показателями для
билинейных систем
˙x =A0(ftσ) + u1A1(ftσ) + ··· + urAr(ftσ)x,
x ∈ Rn, u = col(u1, . . . , ur) ∈ Rr, σ ∈ Σ, t ∈ R,
параметризованных при помощи топологической динамической системы (Σ, ft) .
З а м е ч а н и е 0.1. Впервые вопрос о показателях билинейных систем был, по-видимому, поставлен в статье А. Ф. Филиппова [222], где дан алгоритм вычисления достижимой верхней границы показателей двумерных систем вида (0.15) с постоянными матрицами Ai, i = 1, . . . , r , A0= 0 , и управлениями, принимающими значения в симплексе ui> 0 , u1+
+ . . . + ur= 1 . Значительно позже аналогичные результаты
были получены Ф. Колониусом и В. Климаном для общего
случая систем (0.15) произвольной размерности с управлениями, принимающими значения в произвольном фиксированном
компакте K ⊂ Rr, однако, в их работах [233 – 235], посвященных этому вопросу, ссылки на [222] нет.
Е. Л. Тонковым [219, 246] поставлена задача о неупреждающем управлении показателями и получены первые результаты в этом направлении. Для дискретных систем вопрос о достаточных условиях глобальной ляпуновской приводимости рассматривался В. А. Луньковым [114]. В. А. Зайцевым [62, 66] выделен случай, когда для построения обратной
связи, обеспечивающей заданную матрицу H в представлении (0.11), можно пользоваться калмановским управлением.
Понятия достижимости и согласованности и их связь с
управляемостью асимптотических характеристик дифференциальных систем стали существенным вкладом в создание теории управления асимптотическими инвариантами. Другим ее
важным приобретением, сделанным еще в 1970-е годы, была концепция динамической системы сдвигов в применении
к управляемым системам. В теорию характеристических показателей эта конструкция была введена В.М. Миллионщиковым [141, 142, 143], а заслуга ее переноса в теорию управляемых систем принадлежит Е. Л. Тонкову [212, 213, 214]. Процедура построения динамической системы сдвигов позволяет эффективно исследовать для всех входящих в нее систем
Введение 25
как асимптотическое поведение, так и свойства, связанные с
управляемостью. Именно с ее помощью удалось получить наиболее законченные и глубокие результаты в задаче управления
асимптотическими инвариантами дифференциальных систем,
подтвердившие первоначальные предположения о связи равномерной полной управляемости и управляемости характеристических показателей в почти периодическом и рекуррентном
случаях [181, 175].
Но, пожалуй, самым главным приобретением, сделанным
в результате многолетней работы над всей этой проблемой,
названной Е. Л. Тонковым многострадальной еще в аннотации к первому выпуску «Вестника Удмуртского университета» 1992 года [217], стало понимание того факта, что управление асимптотическими инвариантами невозможно без глубокого проникновения в теорию характеристических показателей со всеми ее очень специфическими проблемами и тонкостями. Благодаря широкому интересу, проявленному к задаче управления показателями специалистами как по теории
управления, так и по теории показателей Ляпунова, это понимание реализовалось в многолетнем тесном сотрудничестве
ижевских и минских математиков, начало которому было положено Е.Л. Тонковым и Н. А. Изобовым. Промежуточные
итоги этой совместной деятельности были подведены в докладе [67] на конференции по теории управления и математическому моделированию, посвященной 75-летию Удмуртского государственного университета (CTMM-06 , Ижевск, 3 – 8
июля 2006 года).
Для авторов этой книги сотрудничество в работе над
задачей управления показателями началось с выступления
С. Н. Поповой на семинаре лаборатории теории устойчивости
Института математики АН Беларуси в июне 1992 года, где
обсуждались результаты работ [163, 164] и были предложены некоторые способы их усовершенствования. За истекшее
время нам, вместе с другими математиками, работавшими в
этой области, удалось решить в принципиальном плане многие из поставленных задач, но предложенные решения пока
далеки от эффективности, необходимой для их прикладного
использования в задачах управления. Поэтому упрек, высказанный Е. Л. Тонковым в [246, 220] все еще остается в силе: теория управления асимптотическими инвариантами по-
26 Введение
прежнему остается разделом качественной теории дифференциальных уравнений и лишь в малой степени принадлежит
теории управления. Именно в таком ключе и построено все
дальнейшее изложение в этой книге. В нее вошли результаты
наших работ [130–139], работ С.Н. Поповой [163–175], а также,
с согласия Е. Л. Тонкова, и его совместных работ с С. Н. Поповой [176–181].
В первой главе, без всякой претензии на полноту, собраны некоторые сведения по теории показателей Ляпунова
и теории управляемости, полезные для понимания последующих глав.
Во второй главе понятия полной и равномерной полной
управляемости нестационарной линейной управляемой системы
˙x = A(t)x + B(t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm, (0.16)
перенесены на системы с наблюдателем
˙x = A(t)x + B(t)u, y = C∗(t)x, x ∈ Rn, u ∈ Rm, y ∈ Rr.
(0.17)
Соответствующие свойства таких систем названы согласованностью и равномерной согласованностью. Получены различные (в том числе и коэффициентные) признаки согласованности и равномерной согласованности. По системе (0.17) построена управляемая система без наблюдателя б´ольшей размерности — так называемая большая система, полная управляемость которой эквивалентна согласованности системы (0.17).
В последнем параграфе главы установлена возможность применения метода поворотов Миллионщикова к системе (0.17),
замкнутой линейной по y обратной связью, то есть к системе
˙x =A(t) + B(t)U(t)C∗(t)x, x ∈ Rn. (0.18)
В третьей главе исследовано свойство локальной дости-
жимости замкнутой системы (0.18). Оно заключается в возможности построения такого матричного управления U(·) ,
что для матрицы Коши XU(t, s) системы (0.18) имеет место
равенство
XU(t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)H,
где H ∈ Mn— произвольная достаточно близкая к E матрица, X(t, s) — матрица Коши свободной системы
˙x = A(t)x. (0.19)
Введение 27
Именно свойство локальной достижимости системы (0.18) позволяет перенести метод поворотов В. М. Миллионщикова на
линейные управляемые системы с наблюдателем. Оказывается (теорема 12.2), что в случае отсутствия наблюдателя равномерная полная управляемость системы (0.16) необходима и
достаточна для равномерной локальной достижимости системы (0.18). Если же наблюдатель присутствует, то равномерная
согласованность системы (0.17) достаточна, но не необходима для равномерной локальной достижимости системы (0.18)
(теоремы 14.1 и 14.2). В § 15 показано, что для равномерно локально достижимой системы (0.18) воздействие малых
управлений U (·) на асимптотические инварианты эквивалентно воздействию на систему
˙x = (A(t) + P(t)) x, t ∈ R, x ∈ Rn,
малых же возмущений P(·) общего вида, что позволило установить достижимость верхнего центрального показателя Ω(A)
системы (0.19) с помощью таких управлений и исследовать
устойчивость показателей Ляпунова под их действием.
В четвертой главе доказаны основные результаты монографии, касающиеся локальной управляемости инвариантов
ляпуновских преобразований. В первом параграфе главы введены ключевые понятия работы — локальной и глобальной
управляемости асимптотических инвариантов замкнутой системы (0.18) и выяснена взаимосвязь между этими понятиями. В следующем параграфе установлено, что если система (0.18) равномерно локально достижима, то из пропорциональной глобальной управляемости произвольной конечной
совокупности ляпуновских инвариантов системы
˙x =A(t) + Ux, x ∈ Rn,
отвечающей случаю n = m = r , B(t) = C(t) ≡ E , вытекает
их локальная управляемость для системы (0.18). На основании этого результата получены достаточные условия локальной и пропорциональной локальной управляемости полного
спектра показателей Ляпунова системы (0.18). В последующих
параграфах главы введено и исследовано понятие расчлененности свободной системы (0.19), которое играет ведущую роль
в получении достаточных условий локальной управляемости
28 Введение
полного спектра показателей Ляпунова. В частности, в § 21
установлено, что решение со старшим показателем Ляпунова
всякой двумерной системы (0.19) с некратными показателями
отчленено от решения с младшим показателем, и как следствие этого результата доказана пропорциональная локальная
управляемость показателей Ляпунова системы
˙x =A(t) + B(t)Ux, x ∈ R2,
при условии некратности полного спектра соответствующей
свободной системы. Все перечисленные достаточные условия
локальной управляемости ляпуновских инвариантов получены при условии равномерной локальной достижимости системы (0.18), либо, в случае отсутствия наблюдателя, при условии
равномерной полной управляемости системы (0.16). В § 23 выясняется вопрос о необходимости этого условия для локальной
управляемости полного спектра показателей Ляпунова.
В пятой главе рассмотрены вопросы глобальной достижимости, глобальной ляпуновской приводимости и глобальной управляемости асимптотических инвариантов замкнутой
системы
˙x = (A(t) + B(t)U)x, x ∈ Rn,
в предположении равномерной полной управляемости соответствующей разомкнутой системы (0.16). Доказана глобальная
управляемость полного спектра показателей Ляпунова (теорема 31.4), коэффициентов неправильности (теорема 30.2), особых показателей П. Боля (теорема 31.1), центральных показателей Р. Э. Винограда и В. М. Миллионщикова (теорема 31.2) и экспоненциальных показателей Н. А. Изобова (теорема 31.3), свойства правильности (следствие 30.2), приводимости (следствие 30.3) и устойчивости показателей Ляпунова (теорема 30.3). Установлена глобальная достижимость двумерных систем (теорема 29.1) и глобальная ляпуновская приводимость периодических систем (теорема 28.1).
В дополнении, написанном А. А. Козловым на основе его
работы [94], доказана глобальная управляемость полного спектра показателей Ляпунова равномерно вполне управляемой
двумерной системы, коэффициенты которой локально интегрируемы по Лебегу и интегрально ограничены на положительной полуоси.
Г л а в а I
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
Кут кутамлэсь азьло каб лэсьты.
Удмурт визькыл
Без iнструмента i лапця не спляцеш.
Беларуская прыказка
Инструмент и оснастка для управления характеристическими показателями, как того и требует народная мудрость,
подготовлены уже давно — усилиями создателей математической теории управления и теории показателей. Нам остается
лишь обсудить устройство, функционирование и технологию
применения этих конструкций. Вопреки печальному эмпирическому правилу, гласящему, что классиков почитают, но не
перечитывают, мы постараемся не слишком отдаляться от первоисточников излагаемых математических идей с тем, чтобы
сделать более понятными их мотивировки и происхождение,
а также разъяснить некоторые детали, которые специалистам
представляются вполне очевидными, но при первом знакомстве с предметом могут вызвать недоумение.
§ 1. Характеристические показатели Ляпунова
Приведены основные определения и ряд теорем тео-
рии характеристических показателей Ляпунова, а
также некоторые дополнительные сведения, к ней
относящиеся.
Основы теории показателей были заложены еще в диссертации А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» [115, с. 7 – 263], где впервые математически строго рассмотрены вопросы исследования асимптотических свойств решений нелинейной дифференциальной системы
1
˙y = A(t)y + f(t, y), y ∈ Rn, t > 0. (1.1)
Одним из естественных приемов такого исследования является сопоставление решений возмущенной системы (1.1) с
1
Прежде чем лапти плести, колодку сделай. Удмуртская пословица
[206, с. 59].
30 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
решениями системы линейного (первого) приближения
˙x = A(t)x, x ∈ Rn, t > 0, (1.2)
иногда называемой также исходной или невозмущенной системой. Асимптотическое поведение решений линейной системы
(1.2), во-первых, при некоторых дополнительных условиях обладает определенным сходством с поведением решений нелинейной системы (1.1) и, во-вторых, существенно менее сложно
по сравнению с ним. Без серьезного обоснования простое отбрасывание слагаемого f (t, y) применялось в работах по разного рода вопросам устойчивости и до Ляпунова, который отмечает, что «указанный . . . прием вносит весьма существенное
упрощение. . . . Но законность такого упрощения a priori ничем
не оправдывается, ибо дело приводится к замене рассматриваемой задачи другою, с которой она может не находиться ни
в какой зависимости. Во всяком случае очевидно, что если решение новой задачи и может давать ответ на первоначальную,
то только при известных условиях, а последние обыкновенно
не указываются» [115, с. 8].
Основная задача, которую поставил перед собой Ляпунов, приступая к своему исследованию, была им сформулирована так: «указать те случаи, в которых первое приближение
действительно решает вопрос об устойчивости и дать какиелибо способы, которые позволили бы решать его по крайней
мере в некоторых из тех случаев, когда по первому приближению нельзя судить об устойчивости» [115, с. 8 – 9]. Все способы решения этих вопросов он разделил на две категории,
названные им «первою и второю методою» [115, с. 25]. К первой он отнес «все те, которые приводятся к непосредственному исследованию возмущенного движения». Последовательное применение этой «первой методы» к общему случаю системы (1.1) привело Ляпунова к необходимости введения таких понятий, как характеристичное число решения линейной
системы (1.2) (отличающееся лишь знаком от общепринятых
ныне характеристических показателей) и группа характеристичных чисел системы (1.2) (в современной терминологии —
совокупность характеристических показателей или, иначе, их
полный спектр). Изучение свойств спектра показателей позволило определить коэффициент неправильности [115, с. 51] линейной системы (1.2) и выделить важный класс правильных
систем [115, с. 38]. Приводимые системы как собственный подкласс этого класса возникли из рассмотрения специально вве-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]