Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 1. Характеристические показатели Ляпунова 31
денных А. М. Ляпуновым преобразований [115, с. 42], называемых сейчас ляпуновскими, которые сохраняют как свойство
устойчивости в различных его видах, так и все прочие уже
упомянутые асимптотические характеристики линейных систем: приводимость, правильность, коэффициент неправильности и всю совокупность показателей Ляпунова. Именно эти
инварианты преобразований Ляпунова и явились исторически
первыми асимптотическими инвариантами линейных дифференциальных систем.
Подробное изложение и доказательства основных результатов теории показателей можно найти в учебных пособиях
[1, 86], монографиях [27, 46, 48] и в сам´ом классическом труде
А. M Ляпунова [115, с. 7 – 263]. Мы же в этом параграфе ограничимся необходимым минимумом сведений, полезных для понимания дальнейшего.
О п р е д е л е н и е 1.1. Пусть f — вещественнозначная
функция вещественного аргумента, определенная в некоторой
окрестности +∞ . Характеристическим показателем Ляпунова
функции f называется число (или один из символов +∞ и
−∞), определяемое равенством
λ[f] := lim
t→+∞
1
ln |f (t)|.
t
Характеристическим показателем Ляпунова вектор-функции
x со значениями в произвольном нормированном пространстве F называется показатель ее нормы:
λ[x] := λ[kxk] = lim
t→+∞
1
ln kx(t)k. (1.3)
t
З а м е ч а н и е 1.1. В теории показателей обычно не используются нормы в пространствах функций, поэтому когда
мы говорим о норме функции или решения x(t) , речь, как
правило, идет о норме kx(t)k элемента x(t) в пространстве
значений функции x .
Подчеркнем, что для существования характеристического показателя некоторой заданной функции x нет необходимости требовать, чтобы она обладала какими-либо свойствами типа гладкости, непрерывности или измеримости: в действительности характеристическим показателем обладает любая функция, если она определена на некотором промежутке
32 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
[t0, +∞[ , t0∈ R , и принимает значения в каком-либо метриче-
ском пространстве с отмеченной точкой. В последнем случае в
формуле (1.3) вместо нормы элемента x(t) ∈ F следует взять
его расстояние до отмеченной точки.
З а м е ч а н и е 1.2. Формулировка определения 1.1 основа-
на на соглашениях об использованиии символов +∞ и −∞ ,
принятых в [48, с. 123 – 125], в соответствии с которыми запись
ln 0 = −∞ считается корректной и для любого числа α ∈ R
справедливы неравенства −∞ 6 α 6 +∞. При этом могут
рассматриваться бесконечные последовательности с членами
±∞ и для них считаются определенными верхний и нижний
пределы.
Если не принимать этих соглашений, то необходимо будет либо ограничить круг функций, имеющих показатели, отбросив все или часть функций, принимающих нулевые значения, либо доопределять показатель на таких функциях, полагая, например, λ[f]:=−∞ для всякой функции, тождественно
равной нулю в некоторой окрестности +∞ . В частности, если
все рассматриваемые функции являются решениями некоторой линейной дифференциальной системы, то среди них лишь
одна (нулевое решение) может принимать нулевые значения.
Ее показатель обычно считается равным −∞ по определению.
Главнейшие свойства показателя не зависят от того, принимает ли рассматриваемая функция значения в R или же в
пространстве большей размерности. Поэтому далее мы будем
формулировать их в общем виде, подразумевая, что в R норма совпадает с модулем (абсолютной величиной).
Из определения 1.1 следует, что выполнение равенства
λ[x] = α 6= ±∞ эквивалентно справедливости следующих
условий: x(t) = o(e
при этом kx(tk)ke
(α+ε)t
−(α−ε)t
) при t → +∞ для любого ε > 0 , но
k
→ +∞ по некоторой последователь-
ности tk→ +∞, зависящей от ε . Если λ[x] = +∞, то при любом β > 0 найдется такая последовательность tk, tk→ +∞,
что kx(tk)ke
x(t) = o(e
и обратные заключения: условие x(t) = o(e
−βt
k
−βt
→ +∞ при k → ∞ . Если же λ[x] = −∞ , то
) при t → +∞ для любого β > 0 . Справедливы
(α+ε)t
) означает,
что λ[x] 6 α+ε , а существование бесконечной последовательности tk→ +∞ , по которой kx(tk)ke
−(α−ε)t
k
→ +∞ , влечет
неравенство λ[x] > α − ε .
З а м е ч а н и е 1.3. Значения показателя +∞ и −∞ иногда называют несобственными.
§ 1. Характеристические показатели Ляпунова 33
Точно так же непосредственно из определения 1.1 вытекает, что для любой последовательности tk→ +∞ , k → ∞ ,
выполнено неравенство
1
lim
k→∞
ln kx(tk)k 6 λ[x],
t
k
причем неравенство может быть строгим даже в том случае,
если предел в левой части существует как точный (то есть предел в обычном смысле).
О п р е д е л е н и е 1.2. Показатель Ляпунова функции f
называется точным, если существует предел
λ[f] = lim
t→+∞
1
ln |f (t)|.
t
Точный характеристический показатель функции f называется строгим, если этот предел конечен.
П р и м е р 1.1. Прямым вычислением нетрудно получить
равенства λ[tm] = 0 , λ[eαt] = α , λ[eαt+ eβt] = max{α, β},
где α, β, m — произвольные вещественные числа. Все эти показатели строгие. Примером функции с нестрогим, но точным
показателем является функция e
рой λ[e
m
±t
] = ±∞. Примером функции с конечным, но не
m
±t
при m > 1 , для кото-
точным показателем является функция f(t) = exp(t sin πt) . В
этом случае справедливы соотношения
λ[f] = lim
t→+∞
sin πt = lim
k→+∞
sin π(2k + 1/2) = 1,
и показатель не является точным, поскольку
lim
t→+∞
sin πt = lim
sin π(2k − 1/2) = −1.
k→+∞
З а м е ч а н и е 1.4. Обозначение характеристического показателя допускает как запись λ[f ] , так и запись λ[f(t)] . Оба
варианта принято считать правильными, поскольку при одновременном использовании функций, заданных различными
способами, это позволяет избегать ненужных проблем, возникающих при последовательном разграничении функций и их
значений.
О п р е д е л е н и е 1.3. Пусть функция x определена на
некотором промежутке [t0, +∞[ и принимает значения в нор-
мированном пространстве F . Нижним показателем Перрона
34 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
функции x называется число (или один из символов +∞ и
−∞), определяемое равенством
π[x] := lim
t→+∞
1
ln kx(t)k.
t
Нижний показатель введен О. Перроном в работе [243].
З а м е ч а н и е 1.5. В работах по теории показателей принято следующее соглашение об использовании терминов: характеристические показатели Ляпунова могут называться показателями без дополнительных пояснений их типа, упоминание любых других показателей должно сопровождаться указанием их вида: нижние, центральные и т. п.
Как известно [48, с. 123 – 124], существование предела эквивалентно совпадению соответствующих верхнего и нижнего
пределов. Это означает, что показатель Ляпунова функции x
является точным тогда и только тогда, когда он совпадает с
ее показателем Перрона.
Частичным показателем [122] функции x называется лю-
бое предельное при t → +∞ значение функции t−1ln kx(t)k ,
а всякая стремящаяся к +∞ последовательность tk, для которой существует предел
γ = lim
k→+∞
−1
t
ln kx(tk)k,
k
называется реализующей последовательностью частичного показателя γ . В такой терминологии нижний и характеристический показатели являются наименьшим и наибольшим частичными показателями соответственно. Существование для них
реализующих последовательностей вытекает непосредственно
из основных свойств верхнего и нижнего пределов [48, с. 123].
Многие утверждения о показателях удобно доказывать
через манипуляцию реализующими последовательностями.
П р е д л о ж е н и е 1.1. Если функция x определена, не
обращается в 0 и непрерывна всюду в некоторой окрестности +∞, то ее частичными показателями являются числа
из отрезка [π[x], λ[x]] и только они.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть γ — частичный показатель
функции x , а tk— последовательность, на которой он реализуется. Непосредственно из определений вытекают неравенства
π[x] := lim
t→∞
t−1ln kx(t)k 6 lim
k→∞
−1
t
ln kx(tk)k =
k
§ 1. Характеристические показатели Ляпунова 35
=: γ 6 lim
t−1ln kx(t)k =: λ[x],
t→∞
поэтому γ ∈ [π[x], λ[x]] .
Обратно, пусть γ — любое число из отрезка [π[x], λ[x]].
Возьмем произвольные реализующие последовательности τ
и θkтакие, что
λ[x] = lim
k→∞
−1
τ
ln kx(τk)k, π[x] = lim
k
k→∞
−1
θ
ln kx(θk)k.
k
Без ограничения общности можно считать, что эти последовательности строго возрастают и чередуются, то есть при всех
k ∈ N выполнены неравенства θk< τk< θ
. Если γ =
k+1
= π[x] или γ = λ[x] , то, очевидно, γ — частичный показатель
рассматриваемой функции x . Если же выполнено включение
γ ∈]π[x], λ[x][ , то существуют такие π0> π[x] и λ0< λ[x] ,
для которых γ ∈]π0, λ0[ . Тогда найдется номер k0, начиная с
которого справедливы неравенства
−1
θ
ln kx(θk)k < π0, t
k
−1
ln kx(τk)k > λ0.
k
По теореме о промежуточных значениях для непрерывных
функций при всех k > k0существует tk∈]θk, τk[ такое, что
−1
t
ln kx(tk)k = γ , следовательно, число γ = lim
k
является частичным показателем решения x .
k→∞
−1
t
k
ln kx(tk)k
Монотонно возрастающую последовательность действительных чисел tk, стремящуюся к +∞ при k → ∞ , будем называть медленно растущей или же последовательностью мед-
ленного роста, если t
k+1/tk
→ 1 при k → ∞ .
П р и м е р 1.2. Последовательностями медленного роста
являются последовательности tk= kT , где T > 0 ; tk= k
при a > 0 ; tk= ln k .
Члены последовательности медленного роста достаточно густо расположены на положительной полуоси R+, поэтому каждая такая последовательность обладает определенным
свойством универсальности для всех частичных показателей,
что устанавливает теорема Н. А. Изобова, впервые доказанная
в статье [71].
Т е о р е м а 1.1 (Н. А. Изобов [71; 86, с. 35]). Пусть функ-
ция x : R+→ F удовлетворяет условию
k
a
kx(s)ke
−M|t−s|
6 kx(t)k 6 kx(s)ke
M|t−s|
36 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
с некоторым M > 0 . Если последовательность tkявляется
последовательностью медленного роста, то любой частичный показатель функции x реализуется на некоторой ее подпоследовательности.
Доказательству теоремы предпошлем лемму, которая сама по себе является удобным инструментом работы с подпоследовательностями универсальных последовательностей.
Л е м м а 1.1 [122]. Пусть f : R+→ R — некоторая лип-
шицева функция. Если последовательности tkи skудовлетворяют условиям tk→ +∞ и tk/sk→ 1 при k → +∞ , то
пределы lim
k→+∞
−1
t
f(tk) и lim
k
k→+∞
−1
t
f(tk) существуют одно-
k
временно и, в случае существования, совпадают.
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы. Очевидно, sk→ +∞ при
k → ∞, поэтому при всех достаточно больших k имеем соот-
ношения
|f(tk)|/tk6 |f(t1)|/tk+ L|1 − t1/tk| 6 2L,
f(tk)
−
t
k
6
где L — константа липшицевости функции f . Поскольку по
условию |tks
Лемма доказана.
f(sk)
s
|sk− tk|
−1
k
1
6
k
s
t
L +
k
− 1| → 0 при k → +∞, имеем требуемое.
k
−
1
|f(tk)| +
s
k
|f(tk)|
t
k
6 3L|tks
1
|f(tk) −f (sk)| 6
s
k
−1
− 1|,
k
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы. Пусть γ — частичный показатель функции x и θi— его реализующая последовательность. Для каждого достаточно большого i ∈ N найдется
такое k(i) ∈ N , что θi∈ [t
при i → ∞ . Поскольку t
k(i)
k+1/tk
, t
] , причем k(i) → ∞
k(i)+1
→ 1 , то θi/t
k(i)
→ 1 при
i → ∞ . По условию теоремы функция ln kx(t)k липшице-
ва с константой M . Тогда в силу леммы 1.1 из существо-
вания предела lim
−1
lim
t
ln kx(t
i→∞
k(i)
k(i)
−1
θ
ln kx(θi)k := γ вытекает, что предел
i
i→∞
)k также существует и равен γ .
С л е д с т в и е 1.1. В условиях теоремы 1.1 cправедливы
формулы
λ[x] = lim
k→+∞
−1
t
ln kx(tk)k, π[x] = lim
k
k→+∞
−1
t
ln kx(tk)k.
k
§ 1. Характеристические показатели Ляпунова 37
В предельном случае на грани между последовательностями медленного роста и последовательностями, растущими
более быстро, оказывается верной следующая интересная формула:
λ[x] = lim
θ→1+0
lim
k→+∞
θ−kln kx(θk)k,
впервые доказанная в работе [78] и использованная, в частности, в статье [153].
Дискретный характер имеют и многие другие ляпуновские инварианты: показатели, коэффициенты неправильности
и т.п., что позволяет проводить их вычисление по некоторым
фиксированным универсальным последовательностям моментов времени [182]. Формулы для такого вычисления зависят
как от выбора универсальной последовательности, так и от
вычисляемого инварианта и доказываются отдельно в каждом конкретном случае. А вот общее свойство дискретности
устанавливается для всех ляпуновских инвариантов сразу и
весьма просто (см. теорему 2.12 в следующем параграфе).
Возвращаясь к рассмотрению свойств показателя Ляпунова, обратимся теперь к тем из них, которые обычно считаются основными [1, с. 41, 43; 27, с. 20; 48, с. 126 – 129; 86,
с. 12 – 13]. При этом мы будем предполагать, не оговаривая
этого специально, что все упоминаемые функции определены
в некоторой окрестности +∞ .
П р е д л о ж е н и е 1.2. Характеристический показатель
Ляпунова обладает следующими свойствами.
1. Монотонность: если kx(t)k 6 ky(t)k при всех доста-
точно больших t , то λ[x] 6 λ[y] .
2. Однородность нулевой степени: λ[cx] = λ[x] для лю-
бой ненулевой константы c .
3. Неархимедовость: λ[x + y] 6 max{λ[x], λ[y]} и λ[x +
+ y] = max{λ[x], λ[y]}, если λ[x] 6= λ[y] .
З а м е ч а н и е 1.6. Свойствами 1 и 2 обладает также и
нижний показатель, но свойство 3 для него не выполняется
[86, с. 31 – 45].
Д о к а з а т е л ь с т в о свойства монотонности основано на
монотонности функции ln и аналогичном свойстве верхнего
предела. Свойство однородности может быть доказано прямым вычислением, но мы его получим как следствие предложения 1.3 о показателе произведения. Свойство неархимедо-
38 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
вости вытекает из оценки
kx(t) + y(t)k 6 D1e
(λ[x]+ε)t
+ D2e
(λ[y]+ε)t
6 (D1+ D2)e
(Λ+ε)t
,
где Λ = max{λ[x], λ[y]} , и свойств монотонности и однородности. Вторая часть свойства неархимедовости, которое часто
формулируется как одно свойство, является следствием первой. Действительно, пусть λ[x1] < λ[x2] , но λ[x1+ x2] = α <
< λ[x2] . Тогда имеем противоречие
λ[x2] = λ[(x2+ x1) + (−x1)] 6 max{α, λ[x1]} < λ[x2].
Свойства показателей 1 – 3 хорошо иллюстрируются следующими простыми примерами, в которых α > β — некоторые вещественные константы.
П р и м е р 1.3. Вычисляя показатели экспонент непосредственно по определению 1.1, получим неравенство λ[eαt] =
= α > β = λ[eβt] , соответствующее согласно свойству монотонности неравенству между функциями eαt> eβt, выпол-
ненному при всех t > 0 в силу условия α > β .
П р и м е р 1.4. При любом c 6= 0 прямо из определения 1.1 имеем равенства λ[ceαt] = α = λ[eαt] .
П р и м е р 1.5. Пусть x(t) = eαt+ eβtи y(t) = eαt− eβt.
Тогда λ[x] = λ[y] = λ[x + y] = α , но λ[x −y] = λ[eβt] = β .
Свойство неархимедовости показателя путем индукции
легко распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых:
λ[x1+ .. . + xk] 6 maxiλ[xi],
где xi, i = 1, . . . , k , — некоторые функции. Если же среди
функций xi, i = 1, . . . , k , наибольшим показателем обладает
только одна, то выполняется равенство
λ[x1+ .. . + xk] = maxiλ[xi].
Привлечение свойства однородности позволяет перенести эти утверждения на произвольные линейные комбинации.
Пусть ci∈ R , i = 1, . . . , k , — некоторые числа. Линейная
комбинация
c1x1+ .. . + ckx
k
называется существенной, если все ci6= 0 ; тривиальной, если
все ci= 0 и нетривиальной в противном случае.
§ 1. Характеристические показатели Ляпунова 39
З а м е ч а н и е 1.7. Всякая линейная комбинация по определению содержит лишь конечное число ненулевых слагаемых
[183, с. 36].
Для любой линейной комбинации справедливы следующие неравенства
λ[c1x1+ .. . + ckxk] 6 maxiλ[cixi] = max
λ[xi] 6 maxiλ[xi].
ci6=0
В этом случае принято говорить о свойстве неповышения для
линейной комбинации [27, с. 27]. Если же max
λ[xi] достига-
ci6=0
ется лишь на одной из функций xi, входящих в комбинацию
с ненулевым коэффициентом, то выполняется равенство
λ[c1x1+ .. . + ckxk] = max
λ[xi], (1.4)
ci6=0
выражающее частный случай свойства несжимаемости, о котором будет рассказано чуть позже.
Из всего многообразия утверждений относительно показателя произведения мы приведем лишь одно, наиболее для
нас важное, отсылая за остальными к указанным выше основным источникам.
П р е д л о ж е н и е 1.3. Если функция x , принимающая
значения в некотором нормированном пространстве F , и
скалярная функция f имеют конечные показатели, то
λ[fx] 6 λ[f] + λ[x],
причем если показатель f строгий, то λ[f x] = λ[f] + λ[x] .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из общих свойств верхнего предела [48, с. 124] следует оценка
λ[fx] =
lim
t−1(ln |f (t)|+ ln kx(t)k 6
t→+∞
6 lim
t−1ln |f (t)|+ lim
t→+∞
t−1ln kx(t)k 6 λ[f ] + λ[x].
t→+∞
Пусть τk— реализующая последовательность показателя λ[x] . Если f имеет строгий показатель, то
λ[fx] > lim
k→∞
−1
τ
ln kf (τk)x(τk)k =
k
40 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
= lim
k→∞
−1
τ
ln |f (τk)| + lim
k
k→∞
−1
τ
ln kx(τk)k) = λ[f] + λ[x].
k
З а м е ч а н и е 1.8. Требование конечности показателей в
предложении 1.3 введено нами для исключения ситуации, в
которой необходимо выполнить операцию сложения символов
+∞ и −∞, поскольку результат этой операции не определен.
Если несобственным является только один из показателей, то
оценка сверху для показателя произведения остается верной,
см. [48, с. 129].
С л е д с т в и е 1.2. Справедливо равенство λ[eαtx(t)] =
= α + λ[x(t)] .
С л е д с т в и е 1.3. Имеет место свойство однородности
характеристического показателя: λ[cx] = λ[x] для всякой
ненулевой константы c .
С л е д с т в и е 1.4. Если функция f ограничена и отделе-
на от нуля, то λ[f x] = λ[x] .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях следствия выполняется
равенство λ[f ] = 0 , причем показатель строгий.
С л е д с т в и е 1.5. Если пространство F конечномерно,
то показатель Ляпунова не зависит от выбора нормы в F .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Любые две нормы k · k1и k · k
в конечномерном пространстве эквивалентны [5, с. 201; 27,
с. 460], поэтому существуют такие константы c1, c2> 0 , что
для любых значений, принимаемых на своей области определения функцией x , справедливы соотношения c1kx(t)k16
6 c1kx(t)k26 c2kx(t)k1. Отсюда с учетом свойств монотонно-
сти и однородности показателя вытекает требуемое равенство
λ[kx(t)k1] = λ[kx(t)k2] .
Кроме вектор-функций еще одним конечномерным объектом, представляющим особый интерес для теории показателей, являются квадратные функциональные матрицы. Так
как любая матричная норма обладает всеми свойствами обычной (векторной) нормы на пространстве матриц, показатель
матрицы-функции можно было бы вводить на основании общего определения 1.1 через ее норму. Однако чаще пользуются
другими определениями, эквивалентность которых устанавливает следующее
П р е д л о ж е н и е 1.4. Для всякой вещественной функци-
ональной n × n-матрицы Z со столбцами zi, i = 1, . . . , n , и
элементами zij, i, j = 1, . . . , n , справедливы равенства
2
λ[Z] := λ[kZk] = maxiλ[zi] = max
i,j
λ[zij].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]