Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 4. Полная управляемость системы на отрезке 91
E . Возьмем такие функцию x(·) и управление u(·) , чтобы параbx(·) + x(·), bu(·) + u(·)была допустимой. Поскольку при
этом
bx(t) + x(t)
и
0
= A(t)bx(t) + x(t)+ B(t)bu(t) + u(t)
t
0
bx
(t) = A(t)bx(t) + B(t)bu(t),
t
получаем, что x(·) и u(·) удовлетворяют системе уравнений
˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ [t0, t1], (4.8)
словпадающей с (3.1). Из условий
bx(t0) + x(t0) = x0, bx(t1) + x(t1) = 0
и
bx(t0) = x0, bx(t1) = 0
получаем краевые условия для x(·) :
x(t0) = 0, x(t1) = 0. (4.9)
Вычислим значение функционала E на пареbx + x, bu + u:
t
1
Z
bu(t) + u(t)
t
0
+2
Из (4.8) следует, что
поэтому
bu∗(t)u(t) = −x
= −x
t
1
∗
bu(t) + u(t)dt =
t
1
Z
bu∗(t)u(t) dt +
t
0
Z
t
t
1
Z
u∗(t)u(t) dt.
t
0
bu∗(t)bu(t) dt +
0
B(t)u(t) = ˙x(t) −A(t)x(t),
∗
W−1(t0, t1)X(t0, t)B(t)u(t) =
0
∗
W−1(t0, t1)X(t0, t)˙x(t) −A(t)x(t)=
0
(4.10)
92 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
∗
= −x
W−1(t0, t1)X(t0, t) ˙x(t) − X(t0, t)A(t)x(t).
0
Так как X(t, t0) — матрица Коши системы ˙x = A(t)x , то
˙
X(t, t0) = A(t)X(t, t0).
Тогда
˙
X(t0, t) =
d
X−1(t, t0)= −X(t0, t)˙X(t, t0)X(t0, t) =
dt
= −X(t0, t)A(t)X (t, t0)X(t0, t) = −X (t0, t)A(t).
Таким образом,
bu∗(t)u(t) = −x
∗
W−1(t0, t1)X(t0, t) ˙x(t) +˙X(t0, t)x(t)=
0
= −x
∗
W−1(t0, t1)
0
d
X(t0, t)x(t).
dt
Следовательно, с учетом (4.9) имеем
t
1
Z
bu∗(t)u(t) dt = −x
t
0
= − x
∗
= −x
W−1(t0, t1)
0
∗
W−1(t0, t1)
0
∗
W−1(t0, t1)X(t0, t)x(t)
0
X(t0, t1)x(t1) −X (t0, t0)x(t0)= 0.
Тогда из (4.10) получаем неравенство
Ebx + x, bu + u= Ebx, bu+
при u(t) 6≡ 0 . Теорема доказана.
t
1
Z
d
X(t0, t)x(t)dt =
dt
t
0
t
1
=
t
0
t
1
Z
u∗(t)u(t) dt > Ebx, bu
t
0
Т е о р е м а 4.4. Система (3.1) вполне управляема на от-
резке [t0, t1] тогда и только тогда, когда существует l > 0
такое, что для каждого x0∈ Rnнайдется кусочно непрерывное управление u : [t0, t1] → Rn, удовлетворяющее оценке kukC6 lkx0k и гарантирующее для решения задачи Коши (3.2), (3.3) выполнение равенства (3.4).
§ 5. Равномерная полная управляемость 93
Д о к а з а т е л ь с т в о. Д о с т а т о ч н о с т ь вытекает непосредственно из определения 4.1.
Н е о б х о д и м о с т ь. Калмановское управление bu , опре-
деленное равенством (4.3), переводит состояние x0в 0 за время [t0, t1] . Для его нормы имеет место оценка
kbukC= sup
t∈[t0,t1]
kbu(t)k = sup
a(t1−t0)kW−1
6 be
t∈[t0,t1]
kB∗(t)X∗(t0, t)W−1(t0, t1)x0k 6
(t0, t1)kkx0k := lkx0k,
в которой a := kAkC, b := kB(t)kCи положительная величина l не зависит от выбора x0. Теорема доказана.
§ 5. Равномерная полная управляемость
Для управления асимптотическими инвариантами
удобны системы, полная управляемость которых
имеет одни и те же характеристики на всей чис-
ловой оси. Здесь определяются такие системы и до-
казываются некоторые их свойства.
Если система (3.1) вполне управляема, то при переходе от одного начального момента к другому длина отрезка
управляемости может изменяться, причем при стремлении t
к +∞ она может неограниченно возрастать. Рассмотрим важный частный случай, когда, во-первых, эта длина может быть
выбрана одной и той же для каждого начального момента t0,
и, во-вторых, число α в неравенстве (4.2) не зависит от t0.
О п р е д е л е н и е 5.1 (Р. Калман [239]). Система (3.1) называется равномерно вполне управляемой, если найдутся такие
ϑ > 0 и α > 0 , что при каждых t0∈ R и ξ ∈ Rnдля матрицы
Калмана системы (3.1) выполнено неравенство
ξ∗W (t0, t0+ ϑ)ξ > αkξk2,
0
и ϑ-равномерно вполне управляемой, если система (3.1) равномерно вполне управляема на отрезках длины ϑ .
Из соотношения (4.1) следует, что при любых ξ ∈ Rnи
t0∈ R функция ϑ 7→ ξ∗W (t0, t0+ ϑ)ξ не убывает на [0, +∞[ ,
поэтому если система (3.1) ϑ-равномерно вполне управляема,
то при всяком ϑ1> ϑ эта система ϑ1-равномерно вполне
управляема.
94 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
П р е д л о ж е н и е 5.1. Если система (3.1) ϑ-равномерно
вполне управляема, то существует такое положительное
число β , что при каждом t0∈ R выполнено равенство
kW−1(t0, t0+ ϑ)k 6 β.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любое t0∈ R . Матрица
W (t0, t0+ ϑ) эрмитова, поэтому все ее собственные значения
вещественны [226, с. 53]. Пусть λj= λj(W (t0, t0+ ϑ)) ∈ R ,
j = 1, . . . , n , — произвольное собственное значение матрицы
W (t0, t0+ ϑ) ; ξ ∈ Rn, kξk = 1 , — соответствующий собствен-
ный вектор. Тогда из определения 5.1 получим неравенство
λj= λjξ∗ξ = ξ∗W (t0, t0+ ϑ)ξ > α,
из которого следует соотношение
n
det W (t0, t0+ ϑ) =
Y
λj(W (t0, t0+ ϑ)) > αn> 0,
j=1
означающее, что матрица W (t0, t0+ ϑ) обратима. Тогда для
kW−1(t0, t0+ ϑ)k справедлива требуемая оценка
kW−1(t0, t0+ ϑ)k 6
kW (t0, t0+ ϑ)k
det W (t0, t0+ ϑ)
n−1
6
(ϑb2e
2aϑ)n−1
n
α
=: β.
З а м е ч а н и е 5.1. Завершение доказательства предложения 5.1 основано на оценке спектральной нормы обратной матрицы, использующей специальные свойства этой нормы. Пусть
sn> . . . > s1> 0 — сингулярные числа [226, с. 493] матрицы
F ∈ Mn. Тогда выполнены соотношения kF k = sn, kF−1k =
−1
= s
, |det F | = s1s2. . . snи справедлива двусторонняя оцен-
1
ка
kF k/kF−1k
n−1
= s
n−1
sn6 |det F| 6 s
1
n−1
s1= kF k
n
n−1
/kF−1k.
В частности, при n = 2 имеет место равенство |det F | =
= kF k/kF−1k.
Отметим еще два свойства спектральной нормы, которые
также будут нам полезны в дальнейшем. Во-первых, для любой F ∈ Mnвыполнено kF∗k = kF k [226, с. 373]. Во-вторых,
§ 5. Равномерная полная управляемость 95
n
имеет место оценка kFk 6 (
P
i=1
kF eik2)
1/2
6√n max{kF eik :
i = 1, . . . , n} [226, с. 378].
На протяжении всей работы мы будем часто использовать следующий критерий Е. Л. Тонкова равномерной полной
управляемости системы (3.1).
Т е о р е м а 5.1 (Е. Л. Тонков [213, 216]). Система (3.1) ϑ-
равномерно вполне управляема тогда и только тогда, когда
найдется l > 0 такое, что для каждых t0∈ R и x0∈ R
существует кусочно непрерывное управление u : [t0, t0+ ϑ] →
→ Rm, удовлетворяющее оценке kukC6 lkx0k и обеспечивающее для решения задачи Коши (3.2), (3.3) выполнение равенства (3.4).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть β > 0
ограничивает сверху величину kW (t0, t0+ ϑ)k. Зафиксируем
произвольные t0∈ R и x0∈ Rnи выберем в качестве управления u(·) кусочно непрерывную функцию
u(t) = −B∗(t)X∗(t0, t)W−1(t0, t0+ ϑ)x0, t ∈ [t0, t0+ ϑ].
Для решения x(·) задачи Коши (3.2), (3.3) имеет место равенство
x(t) = X(t, t0)x0+
t
Z
X(t0, s)B(s)u(s) ds, (5.1)
t
0
поэтому
x(t0+ϑ) = X(t0+ϑ, t0)x0−W(t0, t0+ϑ)W−1(t0, t0+ϑ)x
= 0,
0
n
то есть условие (3.4) выполнено. Для нормы управления u(·)
справедлива равномерная по t0и x0оценка
kukC6 beaϑβkx0k =: lkx0k.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим противное, пусть система (3.1) не является ϑ-равномерно вполне управляемой.
Тогда для каждого k ∈ N найдутся момент времени tkи
вектор ξk∈ Rn, kξkk = 1 , такие, что
∗
ξ
W (tk, tk+ ϑ)ξk<
k
1
.
k
96 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
Пустьbξ , kbξk = 1 , — предельная точка последовательности
{ξk}. Без ограничения общности можно считать, что последо-
вательность {ξk} имеет пределbξ . Для квадратичной формы
ξ∗W (t, t + ϑ)ξ справедливы оценки
∗
ξ
W (tk, tk+ ϑ)ξk−bξ∗W (tk, tk+ ϑ)bξ
k
∗
6
ξ
W (tk, tk+ ϑ)(ξk−bξ)
k
∗
6 kξ
k
+kW (tk, tk+ ϑ)bξkkξ
∗
+
(ξ
−bξ∗)W (tk, tk+ ϑ)bξ
k
W (tk, tk+ ϑ)kkξk−bξk+
∗
−bξ∗k 6 2kW(tk, tk+ ϑ)kkξk−bξk.
k
6
6
Поскольку матрица W (t, t + ϑ) равномерно ограничена как
функция аргумента t ∈ R , отсюда следует, что для каждого
ε > 0 найдется номер Kε, начиная с которого будет выполне-
но неравенство
0 6bξ∗W (tk, tk+ ϑ)bξ 6
∗
6 ξ
W (tk, tk+ ϑ)ξk+
k
∗
ξ
W (tk, tk+ ϑ)ξk−bξ∗W (tk, tk+ ϑ)bξ
k
< ε.
При каждом k ∈ N на [tk, tk+ϑ] определено управление
uk(·) , удовлетворяющее оценке kukkC6 lkbξk = l и такое, что
решение x(·) задачи Коши для системы (3.1) с управлением
u = uk(·) и начальным условием x(tk) =bξ удовлетворяет
равенству (3.4). Тогда
поэтому
tk+ϑ
Z
6
t
k
tk+ϑ
Z
X(tk, s)B(s)uk(s) ds = −bξ,
t
k
tk+ϑ
Z
∗
1 = ξ∗ξ =
b
ξ
X(tk, s)B(s)uk(s) ds
t
k
kbξ∗X(tk, s)B(s)kkuk(s)kds 6 l
6
tk+ϑ
Z
kbξ∗X(tk, s)B(s)kds 6
t
k
§ 5. Равномерная полная управляемость 97
tk+ϑ
6 lϑ
Z
kbξ∗X(tk, s)B(s)k2ds
t
k
1/2
= lϑbξ∗W (tk, tk+ϑ)bξ
1/2
< l√ϑε,
поскольку kbξ∗X(tk, s)B(s)k2=bξ∗X(tk, s)B(s)B∗(s)X∗(tk, s)bξ .
При ε 6
1
получаем противоречие. Теорема доказана.
l2ϑ
В заключение параграфа приведем необходимые для
дальнейших исследований утверждения о равномерной полной управляемости.
Т е о р е м а 5.2 (см., например, [164]). Если система (3.1)
ϑ-равномерно вполне управляема, то для каждой кусочно
непрерывной ограниченной функции U : R → Mmnсистема
˙x = (A(t) + B(t)U(t))x + B(t)u (5.2)
ϑ-равномерно вполне управляема.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся критерием равномерной полной управляемости Е. Л. Тонкова. Возьмем произвольные t0и x0и построим управление u(·) , гарантирующее
для решения x(·) задачи Коши (3.2), (3.3) выполнение равенства x(t0+ ϑ) = 0 и удовлетворяющее оценке kukC6 lkx0k.
Тогда имеет место представление (5.1), и поэтому
sup
t∈[t0,t0+ϑ]
kx(t)k 6 e
aϑ
kx0k + ϑbeaϑlkx0k=: l1kx0k.
Для произвольной матричной функции U (·) ∈ KCmn(R) положим
v(t) = −U (t)x(t) + u(t), t ∈ [t0, t0+ ϑ].
Тогда
kvkC6 kUkC· l1kx0k + lkx0k =: l2kx0k.
Кроме того,
˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) =
= (A(t) + B(t)U(t))x(t) −B(t)U (t)x(t) + B(t)u(t) =
= (A(t) + B(t)U(t))x(t) + B(t)v(t),
то есть x(·) — это решение системы (5.2) при u = v(·) , удовлетворяющее условиям x(t0) = x0, x(t0+ ϑ) = 0 . В силу критерия равномерной полной управляемости Тонкова система (5.2)
ϑ-равномерно вполне управляема. Теорема 5.2 доказана.
98 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
Применяя к системе (3.1) преобразование
y = L(t)x (5.3)
с кусочно непрерывно дифференцируемой непрерывной матрицей L(·) , получим соотношения
˙y = (L(t)x)˙ =˙L(t)x + L(t) ˙x =
=˙L(t)L−1(t)y + L(t)A(t)x + B(t)u=
=L(t)A(t)L−1(t) + L(t)L−1(t)y + L(t)B(t)u.
Таким образом, преобразование (5.3) переводит систему (3.1)
в систему
˙y =L(t)A(t)L−1(t) + L(t)L−1(t)y + L(t)B(t)u. (5.4)
Т е о р е м а 5.3 (см., например, [164]). Двустороннее ля-
пуновское преобразование сохраняет свойство ϑ-равномерной
полной управляемости системы, то есть если система (3.1)
ϑ-равномерно вполне управляема, y = L(t)x — преобразова-
ние Ляпунова, то преобразованная система (5.4) ϑ-равномерно вполне управляема.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим матрицу Калмана систе-
мы (5.4). Пусть Y (t, s) — матрица Коши однородной системы
˙y =L(t)A(t)L−1(t) + L(t)L−1(t)y.
Тогда непосредственно из (5.3) следует, что при всех t, s ∈ R
имеет место равенство
Y (t, s) = L(t)X(t, s)L−1(s),
поэтому для матрицы Калмана системы (5.4) имеем представление
t0+ϑ
WL(t0, t0+ ϑ) =
Z
Y (t0, s)L(s)B(s)L(s)B(s)
t
0
∗Y∗
(t0, s) ds =
§ 5. Равномерная полная управляемость 99
t0+ϑ
Z
=
L(t0)X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s)L∗(t0) ds =
t
0
= L(t0)W (t0, t0+ ϑ)L∗(t0),
где W (t0, t0+ ϑ) — матрица Калмана системы (3.1). Из свойства ϑ-равномерной полной управляемости этой системы следует, что существует не зависящее от t0положительное число
α , для которого
ξ∗W (t0, t0+ ϑ)ξ
min
kξk6=0
kξk
2
> α.
Для произвольного ненулевого вектора ξ ∈ Rnимеем оценку
ξ∗WL(t0, t0+ ϑ)ξ
2
kξk
ξ∗L(t0)W (t0, t0+ ϑ)L∗(t0)ξ
=
> α · min
kL∗(t0)ξk
kηk6=0
ξ∗L(t0)W (t0, t0+ ϑ)L∗(t0)ξ
=
2
kL∗(t0)ηk
2
kηk
2
= αkL−1(t0)k−2.
2
kξk
kL∗(t0)ξk
·
kξk
=
2
>
2
Так как L(·) — двусторонняя матрица Ляпунова, при некотором l > 0 справедливы неравенства
kL−1(t)k 6 l, αkL−1(t0)k−2> αl−2=: α1,
и положительная величина α1не зависит от t0. Следовательно, при всех t0∈ R выполняется оценка
ξ∗WL(t0, t0+ ϑ)ξ
min
kξk6=0
kξk
2
> α1,
то есть преобразованная система (5.4) ϑ-равномерно вполне
управляема. Теорема 5.3 доказана.
З а м е ч а н и е 5.2. Обычное ляпуновское преобразование
не сохраняет равномерную полную управляемость в смысле
определения 5.1, так как оно может разрушать ее в окрестности −∞ , где определение 2.1 не накладывает ограничений
100 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
на свойства матрицы Ляпунова. Однако оно сохраняет равномерную полную управляемость на полуоси t > 0 , определение
которой отличается от определения 5.1 только тем, что выполнение неравенства (4.2) требуется не при всех t0∈ R , а лишь
при t0> 0 . Такое понимание равномерной полной управля-
емости наиболее естественно при рассмотрении управляемых
систем, заданных на полуоси.
В заключение этой вводной главы условимся еще о терминах в отношении систем с обратной связью и без нее. Линейную управляемую систему
˙x = A(t)x + B(t)u, t ∈ R, x ∈ Rn, u ∈ Rm,
управление в которой не фиксировано, называем открытой; если в этой системе выбрано управление u(t) ≡ 0 , то соответствующую систему
˙x = A(t)x, t ∈ R, x ∈ Rn,
называем свободной; если управление выбрано линейным по
наблюдателю
y = C∗(t)x, t ∈ R, y ∈ Rr,
то есть имеет вид u = U (t)y , то соответствующую систему
˙x =A(t) + B(t)U(t)C∗(t)x
называем замкнутой. Так же называем систему
˙x =A(t) + B(t)U(t)x
в случае отсутствия наблюдателя, при выборе управления линейным по фазовой переменной x .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]