Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 12. Управляемость и достижимость 151
при этом
Z
sin t dt =
A
1
π
Z
sin t dt = 2,
0
Z
A
Возьмем сначала любое h ∈0,
sin t dt =
2
2π
Z
sin t dt = −2.
π
β −α
1 + β − α
. Выберем в
качестве управления u(·) кусочно постоянную функцию
u(t) =
α + ln(1 + h) при t ∈ A1,
1
α +
ln(1 + h) при t ∈ A2.
2
Поскольку
0 6 ln(1 + h) 6 h
при всех h > 0 , имеем оценки
α 6 u(t) 6 α +ln(1+h) 6 α+ h 6 α+
β −α
1 + β − α
6 α+ β −α = β,
то есть u(t) ∈ U при всех t ∈ [t0, t0+ 2π] . Далее,
t0+2π
Z
u(t) sin tdt =
t
0
= (α + ln(1 + h))
= 2(α + ln(1 + h)) − 2(α +
Z
u(t) sin tdt +
A
1
Z
sin t dt + (α +
A
1
Z
u(t) sin tdt =
A
2
1
ln(1 + h))
2
1
ln(1 + h)) = ln(1 + h),
2
A
поэтому (12.9) выполнено.
Возьмем теперь любое h ∈−
1
α −
ln(1 + h) при t ∈ A1,
u(t) =
2
α − ln(1 + h) при t ∈ A2.
β −α
1 + β − α
, 0и положим
Z
sin t dt =
2
152 Гл. III. Локальная достижимость
При выбранном h справедливы неравенства
0 > ln(1 + h) >
h
1 + h
,
следовательно,
α 6 u(t) 6 α −ln(1 + h) 6 α +
(β −α)/(1 + β −α)
1 −(β − α)/(1 + β − α)
β −α
= α +
6 α +
1 + β − α − (β − α)
= α + β −α = β,
−h
1 + h
6
=
поэтому u(t) ∈ U , t ∈ [t0, t0+ ϑ] . Кроме того,
t0+2π
Z
u(t) sin tdt =
t
0
= (α −
= 2(α −
1
ln(1 + h))
2
1
2
Z
sin t dt + (α − ln(1 + h))
A
1
ln(1 + h)) − 2(α −ln(1 + h)) = ln(1 + h),
Z
sin t dt =
A
2
то есть выбранное управление u(·) гарантирует выполнение
равенства (12.9). Итак, уравнение (12.8) (2π)-равномерно локально достижимо относительно любого отрезка [α, β] , где
α < β . В частности, если α > 0 , получаем множество U ,
не содержащее нуль в своей выпуклой оболочке.
Очевидно, что конструкция этого примера основана на
том, что коэффициент b(·) при управлении «хорошо» и «часто» меняет знак. Ниже, в параграфе 14, будет рассмотрен
пример 14.1, в котором коэффициенты при управлении неотрицательны, и в то же время построенная в этом примере система является равномерно локально достижимой относительно множества, не содержащего нуль во внутренности выпуклой оболочки.
§ 12. Управляемость и достижимость 153
О п р е д е л е н и е 12.2 [167]. Система (12.5) называется ϑ-
равномерно локально достижимой, если эта система ϑ-равно-
мерно локально достижима относительно U := Bε(0) ⊂ M
mn
при каждом ε > 0 .
Из определения сразу следует, что ϑ -равномерная локальная достижимость системы (12.5) эквивалентна следующему свойству:
для каждого ε > 0 найдется δ > 0 , позволяющее для
всякой матрицы H ∈ Bδ(E) ⊂ Mnи любого t0∈ R найти
управляющую матрицу U (·) ∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) , kU kC6 ε ,
которая обеспечивает выполнение равенства (12.6).
Ниже будет доказана эквивалентность равномерной полной управляемости системы (12.1) и равномерной локальной
достижимости соответствующей замкнутой системы (12.5)
(теорема 12.2). Для доказательства этого утверждения нам понадобятся следующие две леммы.
Л е м м а 12.2 [167]. Система (12.1) ϑ-равномерно вполне
управляема в том и только том случае, когда существует
такое β > 0 , что для произвольных t0∈ R и η ∈ Rnнайдется управление u ∈ KC
([t0, t0+ ϑ]) , kukC6 βkηk, га-
m,1
рантирующее выполнение равенства
t0+ϑ
Z
Q(t0, s)u(s) ds = η.
t
0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся критерием равномерной полной управляемости Е. Л. Тонкова (теорема 5.1). Выберем любые t0∈ R и x0∈ Rn. Тогда найдется управление
u(·) ∈ KC
([t0, t0+ ϑ]) , удовлетворяющее условию kukC6
m,1
6 βkx0k и такое, что решение x(·) задачи Коши для системы (12.1) с управлением u = u(·) и начальным условием
x(t0) = x0в момент времени t0+ ϑ попадает в начало коор-
динат. Единственным решением этой задачи Коши является
функция
t
Z
x(t) = X(t, t0)x0+
Q(t0, s)u(s) ds.
t
0
Для выполнения условия x(t0+ ϑ) = 0 необходимо и доста-
154 Гл. III. Локальная достижимость
точно, чтобы имело место равенство
t0+ϑ
Z
Q(t0, s)u(s) ds = −x0.
t
0
Полагая η = −x0, получим утверждение леммы.
Л е м м а 12.3 [167]. Если система (12.5) ϑ-равномерно ло-
кально достижима, то для любого α > 0 существует δ > 0
такое, что для всякого вектора ξ ∈ Bδ(0) ⊂ Rnи каждого
t0∈ R найдется управление v ∈ K C
([t0, t0+ϑ]), kvkC6 α ,
m,1
гарантирующее выполнение равенства
t0+ϑ
Z
Q(t0, s)v(s) ds = ξ. (12.10)
t
0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что система (12.5)
ϑ-равномерно локально достижима. Зафиксируем какое-либо
ε0> 0 и обозначим
l = exp((a + bε0)ϑ), α0= ε0l.
Возьмем любое α ∈]0, α0] , положим ε =
чине ε в соответствии со свойством равномерной локальной
α
∈]0, ε0] и по вели-
l
достижимости найдем δ > 0 . Пусть ξ ∈ Bδ(0) ⊂ Rnи t0∈
∈ R — произвольны. Поскольку матрица H := E + [ξ, 0, . . . , 0]
удовлетворяет соотношению
kH − Ek = k(H −E)e1k = kξk 6 δ,
найдется управление U (·) ∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) , kU kC6 ε ,
обеспечивающее выполнение равенства (12.6) с выбранной H .
Обозначим
Z(t) = XU(t, t0), V (t) = U (t)Z(t).
Тогда V (·) ∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) ,
kV kC6 kUkCkZkC6 εe
(a+bε)ϑ
6 εe
(a+bε0)ϑ
= εl = α,
§ 12. Управляемость и достижимость 155
а матричная функция Z(·) удовлетворяет уравнению
˙
Z = (A(t) + B(t)U(t))Z = A(t)Z + B(t)V (t)
и начальному условию
Z(t0) = XU(t0, t0) = E.
Из формулы Коши следует, что имеет место равенство
Z(t0+ ϑ) = XU(t0+ ϑ,t0) =
t0+ϑ
Z
= X(t0+ ϑ,t0)E +
Q(t0, s)V (s) ds,
t
0
которое в совокупности с (12.6) дает соотношение
t0+ϑ
Z
то есть
E +
t0+ϑ
Z
Q(t0, s)V (s) ds = H,
t
0
Q(t0, s)V (s) ds = H − E.
t
0
Возьмем v(t) = V (t)e1. Тогда
t0+ϑ
Z
Q(t0, s)v(s) ds =
t
0
t0+ϑ
Z
Q(t0, s)V (s) dse1= (H − E)e1= ξ,
t
0
поэтому равенство (12.10) выполнено. Для kvkCимеем требуемую оценку kvkC= kV e1kC6 kV kC6 α .
При α > α0берем δ = δ(ε0) . Лемма доказана.
Т е о р е м а 12.2 [167]. Для того чтобы система (12.1)
была ϑ-равномерно вполне управляема, необходимо и достаточно, чтобы система (12.5) была ϑ-равномерно локально достижима.
156 Гл. III. Локальная достижимость
Д о к а з а т е л ь с т в о. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть система (12.5) ϑ-равномерно локально достижима. Пользуясь леммой 12.2, докажем равномерную полную управляемость системы (12.1). Возьмем величину α = α0/2 ( α0— из доказательства леммы 12.3) и по ней найдем соответствующее δ > 0 .
Пусть η ∈ Rn— произвольный ненулевой вектор, ξ ∈ Rn—
сонаправленный ему вектор длины δ/2 . Тогда имеем представление η = γξ , где γ = 2kηk/δ . Так как ξ ∈ B
δ/2
(0) ⊂
⊂ Bδ(0) , то в силу леммы 12.3 найдется управление v(·) ∈
∈ KC
([t0, t0+ ϑ]) , kvkC6 α = α0/2 , обеспечивающее вы-
m,1
полнение равенства (12.10) с выбранным вектором ξ . Полагая
u(t) = γv(t) , будем иметь соотношения
t0+ϑ
Z
Q(t0, s)u(s) ds = γ
t
0
t0+ϑ
Z
Q(t0, s)v(s) ds = γξ = η,
t
0
а для kukC— оценки
kukC= γkvkC= 2kηkkvkC/δ 6 kηkα0/δ =: βkηk.
Если η = 0 , то выбираем u(t) ≡ 0 . Таким образом, для произвольного вектора η ∈ Rnсуществует управление u(·) ∈
∈ KC
([t0, t0+ ϑ]) , удовлетворяющее оценке kukC6 βkηk
m,1
с не зависящей от η и от t0величиной β и обеспечивающее
выполнение равенства
t0+ϑ
Z
Q(t0, s)u(s) ds = η.
t
0
Из леммы 12.2 следует ϑ-равномерная полная управляемость
системы (12.1).
Д о с т а т о ч н о с т ь вытекает из теоремы 12.1.
Т е о р е м а 12.3 [167]. Для ϑ-равномерной локальной до-
стижимости системы (12.5) необходимо и достаточно существование таких γ > 0 и δ0> 0 , что для любых t0∈ R
и H ∈ B
удовлетворяющее оценке kU kC6 γkH −Ek и обеспечивающее
(E) найдется управление U ∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) ,
δ
0
выполнение равенства (12.6).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Если система (12.5) является ϑ-равномерно локально достижимой, то в
§ 12. Управляемость и достижимость 157
силу теоремы 12.2 соответствующая система (12.1) ϑ-равномерно вполне управляема, а из теоремы 12.1 вытекает требуемое свойство.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Положим ε0= γδ0. Возьмем любое
ε ∈]0, ε0] и поставим ему в соответствие величину δ := ε/γ .
Пусть t0∈ R и H ∈ Bδ(E) произвольны. Так как Bδ(E) ⊂
⊂ B
(E) , то для выбранной H найдется управление U (·) ∈
δ
0
∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) , гарантирующее выполнение равенства
(12.6), причем kUkC6 γkH − Ek 6 γδ = ε. Из определе-
ния 12.1 вытекает, что система (12.5) ϑ-равномерно локально
достижима. Теорема доказана.
Итак, равномерная локальная достижимость системы
(12.5) (и равномерная полная управляемость системы (12.1))
эквивалентна существованию управления U(·) , обеспечивающего равенство (12.6) и имеющего липшицеву оценку kU k
в зависимости от kH − Ek .
П р и м е р 12.1 (продолжение). Вновь рассмотрим урав-
нение (12.7). Покажем, что для любого h ∈ R , |h| 6 1/2 , и
любого t0∈ R существует управление u : [t0, t0+ 2π] → R ,
kukC6 |h|, для которого
Xu(t0+ 2π, t0) = 1 + h,
то есть в обозначениях формулировки теоремы 12.3 здесь γ =
= 1 , δ0= 1/2 .
Действительно, при произвольных t0∈ R и |h| 6 1/2
выберем в качестве управления функцию
u(t) =
ln(1 + h)/2 при t ∈ A1,
0 при t ∈ A2.
C
Тогда
t0+2π
Z
u(t) sin tdt =
t
0
1
ln(1 + h)
2
Z
A
1
поэтому равенство (12.9) выполнено, и
ku(·)kC6
1
· |ln(1 + h)| 6
2
1
2
·
1 −|h|
|h|
sin t dt = ln(1 + h),
1
·
2
|h|
1 −1/2
= |h|.
6
158 Гл. III. Локальная достижимость
§ 13. Локальная достижимость
относительно множества
Здесь получены необходимые условия локальной и
равномерной локальной достижимости замкнутой
системы (12.5) относительно ограниченного множества U .
Зафиксируем на числовой прямой отрезок [t0, t0+ ϑ] .
Пусть задана матричная функция U(·) ∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) .
Рассмотрим систему (12.5) при U = U (·) и применим к ней
преобразование x = X(t, t0)z при t ∈ [t0, t0+ ϑ] . Обозначим
V (t) = U (t)X(t, t0),
тогда
˙z = (X(t0, t)x)˙ = −X(t0, t)˙X(t, t0)X(t0, t)x + X(t0, t) ˙x =
= −X(t0, t)A(t)x + X(t0, t)A(t)x + X(t0, t)B(t)U(t)x =
= Q(t0, t)U (t)x = Q(t0, t)V (t)z,
то есть z удовлетворяет линейной однородной системе
˙z = Q(t0, t)V (t)z, t ∈ [t0, t0+ ϑ]. (13.1)
Пусть ZV(t, t0) — матрица Коши системы (13.1), где t ∈
∈ [t0, t0+ ϑ] . Тогда
XU(t, t0) = X(t, t0)ZV(t, t0). (13.2)
Л е м м а 13.1 [168]. Пусть U ⊂ M
— ограниченное
mn
множество. Если система (12.5) локально достижима относительно U на отрезке [t0, t0+ϑ] , то существуют такие
величины δ1> 0 и l > 0 , что для любой матрицы H ∈
∈ B
(E) ⊂ Mnнайдется управление U ∈ KCmn([t0, t0+ ϑ]) ,
δ
1
удовлетворяющее оценке kUkC6 lkH −Ek и обеспечивающее
равенство (12.6).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как множество U ограничено,
то существует ν > 0 такое, что kP k 6 ν для всякой P ∈ U .
Пусть
δ1:=
2(1 + exp(bν ϑe
δ
2aϑ
,
))
§ 13. Локальная достижимость относительно множества 159
где δ — величина из определения локальной достижимости.
Возьмем произвольную матрицу H ∈ B
= kH − Ek/δ , тогда
(E) и обозначим ε =
δ
1
ε 6
δ
1
=
δ
2(1 + exp(bν ϑe
1
2aϑ
.
))
По выбранной H построим матрицу
G = E +
1
(H − E),
ε
(если H = E , то получаем ε = 0 , и в этом случае берем G =
= E ). Тогда H = E + ε(G −E) . При H 6= E имеем равенство
kG − Ek =
1
kH − Ek = δ,
ε
а при H = E — равенство kG −Ek = 0 , то есть в любом случае G ∈ Bδ(E) . Из локальной достижимости системы (12.5)
вытекает существование управления U1: [t0, t0+ ϑ] → U та-
кого, что
X
(t0+ ϑ,t0) = X(t0+ ϑ,t0)G.
U
1
Положим
V1(t) = U1(t)X(t, t0).
Из (13.2) следует, что матрица Коши Z
(t, t0) системы
V
1
˙z = Q(t0, t)V1(t)z
удовлетворяет равенству
поэтому
Z
Обозначим
Z
(t, t0) = X(t0, t)X
V
1
(t0+ ϑ,t0) = X(t0, t0+ ϑ)X
V
1
= X(t0, t0+ ϑ)X(t0+ ϑ,t0)G = G.
W1(t) = V1(t)Z
(t, t0).
V
1
(t, t0),
U
1
(t0+ ϑ,t0) =
U
1
160 Гл. III. Локальная достижимость
Отметим, что
˙
Z
(t, t0) = Q(t0, t)V1(t)Z
V
1
(t, t0) = Q(t0, t)W1(t),
V
1
следовательно,
t
Z
Z
(t, t0) = E +
V
1
Q(t0, s)W1(s) ds.
t
0
Пусть W (t) := εW1(t) , Z (·) — решение матричной за-
дачи Коши
˙
Z = Q(t0, t)W (t), Z(t0) = E,
то есть
Z(t) = E +
t
Z
Q(t0, s)W (s) ds.
t
0
Тогда
t
Z
Z(t) − E =
t
Z
= ε
Q(t0, s)W1(s) ds = ε(Z
t
0
Q(t0, s)W (s) ds =
t
0
V
1
(t, t0) −E).
(13.3)
Из оценки сверху на ε , неравенств
kZ
(t, t0) −Ek 6 1 + kZ
V
1
(t, t0)k 6
V
1
6 1 + exp(ϑkQ(·, t0)kCkV1kC) 6
6 1 + exp(ϑb eaϑkU1kCeaϑ) 6 1 + exp(bνϑe
2aϑ
)
и соотношения (13.3) получим kZ(t) −Ek 6 1/2 , откуда следует обратимость матрицы Z(t) при всех t ∈ [t0, t0+ ϑ] и
оценка kZ−1(t)k 6 2 .
Возьмем V (t) = W (t)Z−1(t) . Тогда W (t) = V (t)Z(t) ,
поэтому Z (·) удовлетворяет однородному матричному уравнению
˙
Z = Q(t0, t)V (t)Z
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]