Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 3. Управляемые состояния. Матрица Калмана 81
начало координат вдоль решения системы (3.1), то есть существуют t1> t0и управление u : [t0, t1] → Rmтакие, что
решение x(·) задачи Коши
˙x = A(t)x + B(t)u(t), (3.2)
x(t0) = x
0
(3.3)
удовлетворяет равенству
x(t1) = 0. (3.4)
Система (3.1) называется вполне управляемой в момент t0, если всякое состояние x0∈ Rnуправляемо в этот момент времени.
О п р е д е л е н и е 3.2. Множество D(t0) всех управляемых состояний системы (3.1) в момент времени t0называется
множеством управляемости системы (3.1) в момент времени t0.
Таким образом, система (3.1) вполне управляема в момент t0тогда и только тогда, когда D(t0) = Rn.
Пусть X(t, s) — матрица Коши однородной системы
˙x = A(t)x. (3.5)
Л е м м а 3.1. Состояние x0∈ Rnсистемы (3.1) управ-
ляемо в момент времени t0тогда и только тогда, когда
найдется момент времени t1> t0и допустимое управление
u : [t0, t1] → Rmтакие, что
t
1
Z
x0= −
X(t0, s)B(s)u(s) ds. (3.6)
t
0
Д о к а з а т е л ь с т в о. По формуле Коши решение задачи (3.2), (3.3) записывается в виде
t
Z
x(t) = X(t, t0)x0+
X(t, s)B(s)u(s) ds.
t
0
82 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
Условие x(t1) = 0 выполнено тогда и только тогда, когда
t
1
Z
X(t1, t0)x0+
X(t0, s)B(s)u(s) ds= 0.
t
0
Так как det X(t1, t0) 6= 0 , то это равенство эквивалентно доказываемому (3.6).
О п р е д е л е н и е 3.3 (Р. Калман [239]). Матрицей управ-
ляемости (матрицей Калмана) системы (3.1) на отрезке [t0, t1]
называется n × n -матрица
t
1
Z
W (t0, t1) :=
X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s) ds.
t
0
Л е м м а 3.2. Матрица Калмана при всех t0, t1∈ R сим-
метрическая.
Д о к а з а т е л ь с т в о устанавливается равенствами
t
1
Z
W∗(t0, t1) =
t
1
Z
=
t
0
t
1
Z
=
X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s) ds = W (t0, t1).
t
0
X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s) ds
t
0
X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s)
∗
ds =
∗
=
Л е м м а 3.3. Матрица Калмана при всех t1> t0неот-
рицательно определенная.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любой вектор ξ ∈ Rn. То-
гда
t
1
Z
ξ∗W (t0, t1)ξ = ξ
∗
X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s) dsξ =
t
0
§ 3. Управляемые состояния. Матрица Калмана 83
t
1
Z
=
ξ∗X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s) ξ ds =
t
0
t
1
Z
=
kξ∗X(t0, s)B(s)k2ds > 0.
t
0
Т е о р е м а 3.1. Состояние x0системы (3.1) управляе-
мо в момент времени t0в том и только том случае, когда
при некотором t1> t0точка x0принадлежит множеству
значений оператора W (t0, t1) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Д о с т а т о ч н о с т ь. Возьмем любую точку x0∈ Im W (t0, t1) . Тогда существует такой вектор
ξ0∈ Rn, что x0= W (t0, t1)ξ0. Выберем в качестве управления
кусочно непрерывную функцию
u(t) = −B∗(t)X∗(t0, t)ξ0, t ∈ [t0, t1],
и покажем, что это управление переводит состояние x0в 0 .
Воспользуемся для этого леммой 3.1:
t
1
Z
−
X(t0, s)B(s)u(s) ds =
t
0
t
1
Z
X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s)ξ0ds =
t
0
= W (t0, t1)ξ0= x0.
Так как равенство (3.6) выполнено, то состояние x0управляемо в момент времени t0.
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть состояние x0системы (3.1)
управляемо в момент времени t0, то есть существует t1> t
такое, что выполнено равенство (3.6). Пусть x0/∈ Im W(t0, t1) .
Тогда согласно [2, с. 385] найдутся такие x1∈ Ker W (t0, t1) ,
x16= 0 , и x1⊥ x2, что выполняется равенство x0= x1+ x2.
Так как x1∈ Ker W (t0, t1) , то
t
1
Z
W (t0, t1)x1=
X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s)x1ds = 0
t
0
0
84 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
и поэтому
t
1
Z
∗
x
X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s)x1ds =
1
t
0
t
1
Z
∗
kx
X(t0, s)B(s)k2ds = 0.
1
t
0
Следовательно, на [t0, t1] имеет место тождество
∗
x
X(t0, t)B(t) ≡ 0.
1
Умножая равенство (3.6) слева на x
t
1
∗
x
x0= −x
1
∗
Но x
1
доказывает теорему.
x0= x
∗
(x1+ x2) = kx1k2> 0 . Полученное противоречие
1
Z
∗
X(t0, s)B(s)u(s) ds = 0.
1
t
0
∗
, будем иметь
1
Л е м м а 3.4. Функция t 7→ rank W (t0, t) не убывает на
[t0, +∞[ .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно (см. [2, с. 385–387]), что
dim Im W(t0, t) = rank W(t0, t).
Пусть x0∈ Im W (t0, t1) при каком-либо t1> t0. Тогда, в силу
теоремы 3.1, состояние x0управляемо на [t0, t1] , и поэтому
по лемме 3.1 выполнено равенство (3.6).
Возьмем любое t2> t1и выберем в качестве допустимо-
го управления функцию
v(t) =
u(t) при t ∈ [t0, t1],
0 при t ∈]t1, t2],
где u(·) — управление, переводящее x0в 0 на [t0, t1] . Тогда
t
2
Z
−
X(t0, s)B(s)v(s) ds = −
t
0
t
1
Z
X(t0, s)B(s)u(s) ds = x0.
t
0
Отсюда и из леммы 3.1 следует, что состояние x0управляемо на [t0, t2] , а из теоремы 3.1, в свою очередь, — что x0∈
∈ Im W (t0, t2) . Таким образом,
Im W (t0, t1) ⊂ Im W (t0, t2)
§ 3. Управляемые состояния. Матрица Калмана 85
при t1< t2. Следовательно,
dim Im W(t0, t1) 6 dim Im W(t0, t2)
и
rank W (t0, t1) 6 rank W (t0, t2)
при t1< t2. Лемма доказана.
С л е д с т в и е 3.1. Существует t1> t0такое, что
D(t0) = Im W (t0, t1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция t 7→ rank W (t0, t) принимает значения во множестве чисел {0, 1, . . . , n}, поэтому существует момент t1> t0такой, что
rank W (t0, t1) = max{rank W(t0, t) : t ∈ [t0, +∞[ },
и при этом Im W (t0, t) ⊃ Im W(t0, t1) при всех t > t1. Это
означает, что Im W (t0, t) = Im W(t0, t1) при всех таких t . Так
как Im W(t0, t1) ⊃ Im W(t0, t) для любых t ∈ [t0, t1] , из теоремы 3.1 и определения множества управляемости вытекает
требуемое равенство.
С л е д с т в и е 3.2. Множество управляемости систе-
мы (3.1) в момент времени t0является линейным подпространством пространства Rn.
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из следствия 3.1 и того
факта, что образ линейного оператора есть линейное подпространство.
С л е д с т в и е 3.3. Система (3.1) вполне управляема в
момент t0в том и только том случае, когда существует
t1> t0такое, что всякое состояние x0∈ Rnуправляемо в
нуль на [t0, t1] .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Д о с т а т о ч н о с т ь вытекает непосредственно из определения 3.1.
Н е о б х о д и м о с т ь. Так как система (3.1) вполне управляема в момент t0, то D(t0) = Rn. Из следствия 3.1 получаем
существование t1> t0такого, что Im W (t0, t1) = D(t0) . Но
образ оператора W (t0, t1) состоит из управляемых в нуль на
[t0, t1] состояний системы (3.1), поэтому всякое состояние x0∈
∈ Rnуправляемо в нуль на [t0, t1] .
86 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
§ 4. Полная управляемость системы на отрезке
В этом параграфе рассматриваются свойства систем, заданных на фиксированном отрезке времени,
все состояния которых управляемы.
Следствие 3.3 приводит нас к следующему определению.
О п р е д е л е н и е 4.1 (Р. Калман [239]; Н. Н. Красовский
[102]). Система (3.1) называется вполне управляемой на отрезке
[t0, t1] , если для каждого x0∈ Rnнайдется управление u :
[t0, t1] → Rmтакое, что решение x(·) задачи Коши (3.2), (3.3)
удовлетворяет равенству (3.4), и вполне управляемой, если для
каждого t0∈ R найдется t1> t0такое, что система (3.1)
вполне управляема на [t0, t1] .
Т е о р е м а 4.1. Система (3.1) вполне управляема на от-
резке [t0, t1] в том и только том случае, когда ее матрица
управляемости W (t0, t1) положительно определена.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольного вектора ξ ∈ R
имеет место соотношение
t
1
Z
ξ∗W (t0, t1)ξ =
ξ∗X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s)ξ ds =
t
0
t
1
Z
=
kξ∗X(t0, s)B(s)k2ds,
t
0
(4.1)
n
поэтому равенство rank W (t0, t1) = n эквивалентно положи-
тельной определенности матрицы W (t0, t1) .
С л е д с т в и е 4.1. Система (3.1) вполне управляема на
отрезке [t0, t1] в том и только том случае, когда существует такое α > 0 , что для каждого вектора ξ ∈ Rnвыполнено
неравенство
ξ∗W (t0, t1)ξ > αkξk2. (4.2)
Т е о р е м а 4.2. Система (3.1) вполне управляема на от-
резке [t0, t1] в том и только том случае, когда строки матрицы X (t0, t)B(t) линейно независимы на этом отрезке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Если систе-
ма (3.1) вполне управляема на отрезке [t0, t1] , то для каждого
§ 4. Полная управляемость системы на отрезке 87
ненулевого вектора ξ ∈ Rnвыполнено неравенство
t
1
Z
0 < ξ∗W (t0, t1)ξ =
kξ∗X(t0, s)B(s)k2ds,
t
0
из которого вытекает соотношение
ξ∗X(t0, t)B(t) 6≡ 0 на [t0, t1],
что означает линейную независимость строк X (t0, t)B(t) на
отрезке [t0, t1] .
Д о с т а т о ч н о с т ь. Если строки матрицы X(t0, t)B(t)
линейно независимы на [t0, t1] , то для каждого ненулевого
вектора ξ ∈ Rnимеет место неравенство
t
1
Z
0 <
kξ∗X(t0, s)B(s)k2ds = ξ∗W (t0, t1)ξ,
t
0
откуда следует полная управляемость системы (3.1) на [t0, t1] .
Теорема доказана.
Предположим, что система (3.1) вполне управляема на
отрезке [t0, t1] . Зафиксируем ее произвольное начальное состояние x0∈ Rn. Существует бесконечно много управлений,
осуществляющих перевод состояния x0системы (3.1) в начало координат за время [t0, t1] . Для всякого такого управления
u(·) функционал
E(u) :=
t
1
Z
ku(t)k2dt =
t
0
t
1
Z
u∗(t)u(t) dt
t
0
характеризует его интенсивность. В некоторых задачах, связанных с механикой, значение функционала E может интерпретироваться как энергия, затраченная на управление в ходе
процесса перехода из начального состояния в конечное. Пусть
E(x0, t0; 0, t1) := inf {E(u) : u(·) переводит
состояние x0в нуль за время [t0, t1] }
88 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
— минимальная энергия перевода начального состояния x0в
нуль за время [t0, t1] . Величина E(x0, t0; 0, t1) определена при
всех x0∈ Rnдля любой вполне управляемой на [t0, t1] системы (3.1). В этом случае ранг матрицы W (t0, t1) всегда равен
n , и поэтому она обратима, что позволяет сформировать кусочно непрерывное калмановское управление
bu(t) = −B∗(t)X∗(t0, t)W−1(t0, t1)x0, t ∈ [t0, t1], (4.3)
гарантированно осуществляющее перевод состояния x0в начало координат.
Т е о р е м а 4.3. Энергия перевода x0в нуль минималь-
на, если этот перевод осуществляется управлением (4.3), то
есть
E(x0, t0; 0, t1) = E(bu).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим задачу Лагранжа
t
1
Z
E(x(·), u(·)) :=
u∗(t)u(t) dt → inf,
t
0
Φ(x(·), u(·)) := ˙x(t) −A(t)x(t) −B(t)u(t) = 0,
Bj(x(·), u(·)) := xj(t0) −x
B
(x(·), u(·)) := xj(t1) = 0, j = 1, . . . , n.
n+j
0
= 0, j = 1, . . . , n,
j
Введем множители Лагранжа
p∗(t) = (p1(t), . . . , pn(t));
∗
где
λ∗= (λ0, Λ
∗
Λ
= (λ1, . . . , λn), Λ
1
∗
, Λ
1
2
) ∈ (R
∗
= (λ
2
1+n+n)∗
, . . . , λ2n),
n+1
,
и построим лагранжиан
L(x(·), u(·); p(·),λ) = λ0u∗(t)u(t)+p∗(t)˙x(t)−A(t)x(t)−B(t)u(t)
и терминант
l = Λ
∗
x(t0) −x
1
∗
+ Λ
0
x(t1).
2
§ 4. Полная управляемость системы на отрезке 89
Выпишем необходимые условия оптимальности [3, с. 150].
а) Уравнение Эйлера
d
L˙x(t) = Lx(t).
dt
Так как Lx(t) = −p∗(t)A(t) , L˙x(t) = p∗(t) , то получаем систему
˙p∗(t) = −p∗(t)A(t),
или, транспонируя, систему
˙p(t) = −A∗(t)p(t),
всякое решение которой имеет вид
p(t) = X∗(t0, t)p(t0). (4.4)
б) Условия трансверсальности по x :
L˙x(tk) = (−1)kl
Поскольку L˙x(tk) = p∗(tk) , l
краевые условия
x(tk)
x(tk)
, k = 0, 1.
∗
= Λ
, отсюда получаем
k+1
p(t0) = Λ1, p(t1) = −Λ2.
В совокупности с (4.4) они дают нам соотношения
p(t) = X∗(t0, t)Λ1, (4.5)
Λ2= −X∗(t0, t1)Λ1. (4.6)
в) Условие стационарности по u :
Lu(t) = 0.
Так как Lu(t) = 2λ0u(t) − p∗(t)B(t) , то при всех t ∈ [t0, t1]
должно выполняться равенство
B∗(t)p(t) = 2λ0u(t). (4.7)
I. Рассмотрим случай λ0= 0 . Из (4.7) и (4.5) получаем:
B∗(t)p(t) = B∗(t)X∗(t0, t)Λ1= 0.
90 Гл. I. Асимптотические инварианты и управляемость
Так как по условию система (3.1) вполне управляема на отрезке [t0, t1] , то строки матрицы X(t0, t)B(t) линейно независимы на [t0, t1] , и поэтому Λ1= 0 . Тогда p(t) = 0 в силу (4.5) и
Λ2= 0 в силу (4.6). Таким образом, в этом случае допустимых
экстремалей нет.
II. Рассмотрим случай λ0= 1/2 . Из (4.7) и (4.5) полу-
чаем:
u(t) = B∗(t)p(t) = B∗(t)X∗(t0, t)Λ1.
Так как
t
Z
x(t) = X(t, t0)x(t0) +
Z
= X(t, t0)x0+
t
0
t
X(t0, s)B(s)B∗(s)X∗(t0, s) ds ·Λ
X(t0, s)B(s)u(s) ds=
t
0
=
1
= X(t, t0)x0+ W(t0, t)Λ
,
1
то из условия x(t1) = 0 следует равенство
x(t1) = X(t1, t0)x0+ W(t0, t1)Λ
= 0,
1
откуда
Λ1= −W−1(t0, t1)x0,
Λ2= X∗(t0, t1)W−1(t0, t1)x0,
p(t) = −X∗(t0, t)W−1(t0, t1)x0.
Таким образом, в этом случае имеется допустимая экстремаль,
состоящая из управления
bu(t) = −B∗(t)X∗(t0, t)W−1(t0, t1)x
0
и движения
bx(t) = X(t, t0)x0− W (t0, t)W−1(t0, t1)x
.
0
Покажем с помощью непосредственной проверки, что па-
раbx(·), bu(·)доставляет абсолютный минимум функционалу
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]