Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
§ 17. Пропорциональная управляемость спектра 191
t
= α
l−jeµjt
hl(t)
Z
h
0
−1
l
(s)
l−1
X
ϕm(s) ds = α
m=j
l−jeµjt
ϕl(t).
Таким образом, неравенства (17.8) доказаны. Из них следует,
что при всех i ∈ {1, . . . , k}
λ[zi] 6 λ[α
l−jeµjt
ϕi(t)] 6 µj+ λ[ϕi] 6 µj+ λ[ϕ] = µj+ λ,
причем для i = j имеет место равенство
λ[zj] = λ[e
µjt
hj(t)] = µj+ λ[hj] = µj+ fjj(·) = µj+ λ.
Следовательно,
λ[z] = max
i=j,...,k
λ[zi] = λ[zj] = λ + µj.
Рассмотрим нормированную в нуле фундаментальную матрицу Z(·) = [z
(1)
(·), . . . , z
(k)
(·)] системы (17.5). Для показателей
Ляпунова столбцов Z(·) справедливы равенства
] = λ[z
(i)
] = λ + µi, i = 1, . . . , k,
i
λ[z
(i)
при этом
(i)
λ[z
Докажем, что ФСР {z
] > λ[z
(1)
(i−1)
], i = 2, . . . , k.
(k)
, . . . , z
} нормальна. С этой целью
возьмем произвольный ненулевой вектор γ ∈ Rkи вычислим
показатель Ляпунова решения z(·) = Z(·)γ . Обозначим j :=
k
X
i=j
(i)
γiz
(t) , поэтому
(j)
] = λ + µj.
= min{i : γi6= 0}. Тогда z(t) =
λ[z] 6 max{λ[z
(i)
] : i = j, . . . , k} = λ[z
С другой стороны, из нижней треугольности матрицы коэффициентов системы (17.5) следует, что фундаментальная мат-
рица Z(t) нижняя треугольная, то есть z
поэтому
k
zj(t) =
X
i=j
γiz
(i)
(t) = γjz
j
(i)
(t) ≡ 0 при i > j ,
j
(j)
(t).
j
192 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
Отсюда вытекает неравенство
λ[z] > λ[zj] = λ[z
(j)
] = λ + µj.
j
Таким образом,
λ[z] = λ + µj= max{λ[z
(i)
] : i = 1, . . . , k, γi6= 0}.
Это означает, что ФСР {z
(1)
, . . . , z
(k)
} несжимаема [48, с. 142]
и, в силу теоремы Ляпунова [48, с. 142 – 144], нормальна. Следовательно, полный спектр показателей Ляпунова системы
(17.5) состоит из чисел λ + µk, . . . , λ + µ1. Лемма доказана.
Т е о р е м а 17.1 [170]. Если характеристические показа-
тели Ляпунова однородной системы
˙x = A(t)x, x ∈ Rn, (17.9)
устойчивы, то полный спектр показателей Ляпунова пропорционально глобально управляем относительно пары (A(·),E).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Λ1(A) < ··· < Λq(A) — показатели Ляпунова системы (17.9) кратностей n1, . . . , nqсоответственно, n1+ ··· + nq= n. Полный спектр системы (17.9)
обозначим через λ1(A) 6 . . . 6 λn(A) . Применим к ней перро-
новское преобразование y = L(t)x , приводящее ее к блочнодиагональному виду
˙y = diag(eA1(t), . . . ,eAq(t))y, y ∈ Rn, (17.10)
такому, что
1)eAj(t) ∈ M
2) блокиeA
— нижняя треугольная матрица;
n
j
(·) ,eAj(·) при каждом j ∈ {2, . . . , q} ин-
j−1
тегрально отделены;
3) ω(eAj) = Ω(eAj) = Λj(A) , j = 1, . . . , q .
Это перроновское преобразование существует в силу устойчивости показателей Ляпунова системы (17.9) (В. М. Миллионщиков [147]; Б.Ф. Былов, Н. А. Изобов [28]). Преобразование
y = L(t)x приводит систему (17.1) к системе
˙y =eA(t)y + L(t)u. (17.11)
Возьмем произвольный набор чисел ν16 . . . 6 νnи
обозначим µj= νj−λj(A) , j = 1, . . . , n . Зафиксируем любое
§ 17. Пропорциональная управляемость спектра 193
i ∈ {1, . . . , q} . Для каждого j ∈ niсправедливо равенство
µj= νj− Λi(A) , поэтому числа µj, j ∈ ni, упорядочены
по возрастанию. Упорядочим их по убыванию и полученный
набор чисел обозначим ηj, j ∈ ni. Пусть Hi— диагональная
ni× ni-матрица, диагональные элементы которой совпадают
с ηj, j ∈ ni.
Положим U (t) = L−1(t) diag(H1, . . . , Hq) и рассмотрим
(17.11) с управлением u = U(t)y , получим замкнутую систему
˙y = (eA(t) + L(t)U (t))y (17.12)
с блочно-диагональной матрицей, диагональные блоки которой — это нижние треугольные матрицыeAi(t) + Hi, i =
= 1, . . . , q . Из леммы 17.1 следует, что показатели Ляпунова
i-го блока системы (17.12) совпадают с числами Λi(A) + µj=
= νj, j ∈ ni. Следовательно, полный спектр показателей Ля-
пунова системы (17.12) состоит из чисел ν16 . . . 6 νn. Применим к (17.12) обратное преобразование y = L(t)x , получим
систему (17.3), где
V (t) = U (t)L(t) = L−1(t) diag(H1, . . . , Hq)L(t).
Для kV kCимеем оценку
kV kC6 kLkCkL−1kCmax
i=1,...,q
= kLkCkL−1kCmax
kHik 6 kLkCkL−1kCmax
j=1,...,n
|λj(A) −νj|,
j=1,...,n
|µj| =
а числа ν16 . . . 6 νnобразуют полный спектр показателей
Ляпунова системы (17.3) с построенным управлением V (·) .
Теорема доказана.
Т е о р е м а 17.2 [170]. Если свободная система (17.9) пра-
вильна, то система (17.3) обладает свойством пропорциональной глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя перроновское преобразование y = L(t)x , приведем правильную систему (17.9) к
системе
˙y = F (t)y, y ∈ Rn, (17.13)
194 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
с верхней треугольной матрицей F (·) , диагональные элементы которой fii(·) , i = 1, . . . , n , имеют точные средние значе-
ния, реализующие полный спектр системы (17.13) и совпадающие с показателями Ляпунова исходной системы (17.9):
^
fii= λi(F ) = λi(A), i = 1, . . . , n.
Это преобразование приводит систему (17.1) к системе
˙y = F (t)y + L(t)u. (17.14)
Пусть ν16 . . . 6 νn— произвольный набор чисел. Вы-
берем
U(t) = L−1(t) diag(ν1− λ1(A), . . . , νn− λn(A)). (17.15)
Замкнутая система
˙y = (F (t) + L(t)U(t))y (17.16)
с выбранным управлением U (·) имеет верхнюю треугольную
матрицу коэффициентов, для диагональных элементов которой существуют точные средние значения, равные
^
fii+νi− λi(A) = νi, i = 1, . . . , n.
Из критерия Ляпунова [27, с. 141] правильности треугольной
системы следует, что система (17.16) правильна, и ее полный
спектр совпадает с числами ν16 . . . 6 νn. Преобразование
y = L(t)x приводит систему (17.16) к системе (17.3), где
V (t) = U (t)L(t) = L−1(t) diag(ν1− λ1(A), . . . , νn− λn(A))L(t).
Полный спектр (17.3) состоит из чисел ν16 . . . 6 νn, а норма
управления V (·) удовлетворяет оценке
kV kC6 kLkCkL−1kCmax
i=1,...,n
|νi− λi(A)|.
Теорема доказана.
Т е о р е м а 17.3 [170]. Если свободная система (17.9) диа-
гонализируема, то система (17.3) обладает свойством пропорциональной глобальной управляемости полного спектра
показателей Ляпунова.
§ 17. Пропорциональная управляемость спектра 195
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y = L(t)x — перроновское
преобразование, приводящее (17.9) к системе (17.13), матрица
которой
F (t) = diag(f1(t), . . . , fn(t))
диагональна и такова, что
fi= λi(F ) = λi(A), i = 1, . . . , n.
Это преобразование приводит систему (17.1) к (17.14). Возьмем любой набор чисел ν16 . . . 6 νnи выберем матричное
управление в виде (17.15). Тогда замкнутая система (17.16)
имеет диагональную матрицу коэффициентов
F (t) + L(t)U (t) = diag(f1(t)+ν1−λ1(A), . . . , fn(t)+νn−λn(A)),
причем
fi+ νi− λi(A) = fi+ νi− λi(A) = νi, i = 1, . . . , n.
Следовательно, полный спектр показателей Ляпунова системы (17.16) состоит из чисел ν16 . . . 6 νn. Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям, приведенным в конце
доказательства теоремы 17.2. Теорема доказана.
Из теорем 17.1 – 17.3 и лемм 17.1, 17.2 вытекают следующие достаточные условия локальной и пропорциональной локальной управляемости показателей Ляпунова.
Т е о р е м а 17.4 [170]. Если система (16.1) равномерно
вполне управляема и выполнено хотя бы одно из следующих
трех условий:
а) показатели Ляпунова системы (17.9) устойчивы,
б) система (17.9) правильна,
в) система (17.9) диагонализируема,
то полный спектр показателей Ляпунова системы (16.4) пропорционально локально управляем.
Т е о р е м а 17.5 [170]. Если система (16.3) равномерно локально достижима и выполнено хотя бы одно из следующих
трех условий:
а) показатели Ляпунова системы (17.9) устойчивы,
б) система (17.9) правильна,
в) система (17.9) диагонализируема,
то полный спектр показателей Ляпунова системы (16.3) локально управляем.
196 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
§ 18. Локальная управляемость спектра
и коэффициента неправильности Ляпунова
правильных систем
Здесь получены достаточные условия одновременной
пропорциональной локальной управляемости полного
спектра показателей Ляпунова и коэффициента неправильности Ляпунова.
Покажем, что в случае правильности однородной системы (17.9) в действительности можно локально управлять не
только полным спектром показателей Ляпунова, но oдновременно с ним и коэффициентом неправильности Ляпунова.
Т е о р е м а 18.1 [173]. Если система (16.1) равномерно
вполне управляема, а свободная система (17.9) правильна, то
(16.4) обладает свойством одновременной пропорциональной
локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова и коэффициента неправильности Ляпунова, то есть
найдутся такие β > 0 и l0> 0 , что для любого набора чисел
µ16 . . . 6 µn, удовлетворяющего неравенству
max
i=1,...,n
|µi− λi(A)| 6 β,
и любого числа σ ∈ [0, β] существует матричное управление
U(·) ∈ KCmn(R) , kU kC6 l0max{σ, |µi−λi(A)| : i = 1, . . . , n},
такое, что
λi(A + BU ) = µi, i = 1, . . . , n, σЛ(A + BU ) = σ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Приведем правильную свободную
систему (16.1) перроновским преобразованием y = L(t)x к
системе
˙y = F (t)y, y ∈ Rn, (18.1)
с верхней треугольной матрицей F(·) = {fij(·)}
n
i,j=1
. Систе-
ма (18.1) правильна, поэтому в силу критерия Ляпунова правильности треугольной системы [27, с. 141] диагональные эле-
менты матрицы F (·) имеют точные средние значения^fii, i =
= 1, . . . , n , реализующие полный спектр показателей Ляпуно-
ва λ1(A) 6 . . . 6 λn(A) системы (18.1). Выберем матрицу
перроновского преобразования L(·) так, чтобы выполнялись
равенства
λi(A) =^fii, i = 1, . . . , n.
§ 18. Спектр и коэффициент неправильности 197
Преобразование y = L(t)x приводит систему (16.1) к
системе
˙y = F (t)y + L(t)B(t)u,
которая равномерно вполне управляема согласно теореме 5.3.
Применяя к этой системе теорему 15.5, найдем величины δ >
> 0 , l > 0 и положим β = δ/2 . Возьмем любой набор чисел
µ16 . . . 6 µnтакой, что
|µi− λi(A)| 6 β, i = 1, . . . , n,
и произвольное число σ ∈ [0, β] . Положим
P (t) = diag(µ1− λ1(A), . . . , µ
n−1
− λ
(A), p(t) − λn(A)),
n−1
где
σ
p(t) = µn− σ +
(sin ln(|t| + 1) + cos ln(|t| + 1) + 1).
2
Тогда [27, с. 77–78] p = µn− σ , p = µnи µn− σ 6 p(t) 6 µ
при всех t ∈ R . Следовательно,
kp − λn(A)kC6 |µn− λn(A)| + σ 6 2 max{σ, |µn− λn(A)|},
поэтому
kP kC= max{kp − λn(A)kC, |µi− λi(A)| : i = 1, . . . , n − 1} 6
6 2 max{σ, |µi− λi(A)| : i = 1, . . . , n} 6 2β = δ.
Из теоремы 15.5 следует, что найдется матричное управление
V (·) ∈ KCmn(R) , kV kC6 lkP kC, обеспечивающее асимптотическую эквивалентность замкнутой системы
˙y = (F (t) + L(t)B(t)V (t))y (18.2)
и возмущенной системы
˙z = G(t)z, z ∈ Rn, (18.3)
где G(·) : = F (·) + P (·) , G(·) = {gij(·)}
n
. К системе (18.2)
i,j=1
применим обратное преобразование y = L(t)x , получим систему
˙x = (A(t) + B(t)V (t)L(t))x.
n
198 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
Положим U(t) = V (t)L(t) . Тогда
kUkC6 kV kCkLkC= kV kC6 lkP kC6
6 2l max{σ, |µi− λi(A)| : i = 1, . . . , n} =
=: l0max{σ, |µi− λi(A)| : i = 1, . . . , n},
а для показателей Ляпунова и коэффициента неправильности
Ляпунова системы (16.4) с U = U(·) справедливы равенства
λi(A + BU ) = λi(G), i = 1, . . . , n, σЛ(A + BU ) = σЛ(G).
Докажем, что
λi(G) = µi, i = 1, . . . , n, σЛ(G) = σ.
С этой целью рассмотрим усеченную систему
˙η =eG(t)η, η ∈ R
матрицаeG(t) = {gij(t)}
n−1
которой получается из G(t) вы-
i,j=1
n−1
, (18.4)
черкиванием последней строки и последнего столбца. Так как
матрицаeG(·) верхняя треугольная, а ее диагональные элемен-
ты имеют точные средние значения^gii=^fii+µi− λi(A) = µi,
i = 1, . . . , n −1, в силу вышеупомянутого критерия правильности система (18.4) правильна, а ее полный спектр состоит
из чисел
λi(eG) = µi, i = 1, . . . , n −1.
Пусть η
(1)
(·), . . . , η
(n−1)
(·) — нормальная фундаменталь-
ная система решений системы (18.4) такая, что
(i)
λ[η
] = µi, i = 1, . . . , n −1.
Для каждых t ∈ R и i ∈ {1, . . . , n −1} через z
(i)
(t) ∈ Rnобо-
значим вектор, первые (n−1) координат которого совпадают с
соответствующими координатами вектора η
координата равна нулю. Тогда z
(1)
(·), . . . , z
независимые решения системы (18.3) такие, что λ[z
(i)
(t) , а последняя
(n−1)
(·) — линейно
(i)
] = µi,
i = 1, . . . , n −1 .
§ 18. Спектр и коэффициент неправильности 199
Найдем показатель Ляпунова решения z
(18.3), удовлетворяющего начальному условию z
(n)
(·) системы
(n)
(0) = en.
Для его координат справедливы равенства
(n)
z
(t) = hn(t),
n
t
n
(n)
z
k
X
(t) =
j=k+1
где hi(t) := exp
Z
hk(t)
t
Z
0
−1
h
(s)fkj(s)z
k
(n)
(s) ds, k = n − 1, . . . , 1,
j
gii(s) ds , i = 1, . . . , n . Докажем, что при
0
каждом l ∈ {1, . . . , n} имеет место неравенство
(n)
λ[z
] 6 µn. (18.5)
l
Действительно, при l = n выполнено строгое равенство
(n)
λ[z
] = λ[hn] = gnn= (fnn+ p − λn(A)) =
n
=
p+^fnn−λn(A) = p = µn.
Предположим, что неравенство (18.5) установлено при
всех l ∈ {n, . . . , k + 1}, где k ∈ {n −1, . . . , 1}. Докажем (18.5)
для l = k . Для каждого l ∈ {k +1, . . . , n} имеем соотношения
λ[fkl(t)h
−1
k
(t)z
(n)
(t)] 6 λ[h
l
−1
k
] + λ[z
(n)
l
] 6
6 (−gkk) + µn= µn−^gkk= µn− µk,
причем разность µn−µkнеотрицательна. Поэтому [48, с. 132]
t
λ[
Z
fkl(s)h
0
−1
k
(n)
(s)z
(s) ds] 6 µn− µk,
l
следовательно,
t
Z
0
fkl(s)h
−1
k
(s)z
(n)
(s) ds] 6
l
λ[z
(n)
] 6 max
k
l=k+1,...,n
λ[hk(t)
200 Гл. IV. Локальная управляемость инвариантов
6 λ[hk] + µn− µk= µn.
Таким образом, неравенство (18.5) доказано. Из него вытекает, что
(n)
λ[z
] = max
k=1,...,n
Совокупность функций z
висима на R , так как z
(1)
z
(t) = ·· · = z
n
(n)
n
Следовательно, совокупность функций z
{λ[z
(n)
]} = λ[z
k
(1)
(·), . . . , z
(n)
] = µn.
n
(n)
(·) линейно неза-
(t) 6= 0 при каждом t ∈ R , а
(n−1)
(t) ≡ 0, t ∈ R.
n
(1)
(·), . . . , z
(n)
(·) об-
разует ФСР системы (18.3). Докажем ее нормальность. С этой
целью возьмем произвольный вектор ξ = col(ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn,
ξ 6= 0 , и вычислим показатель Ляпунова решения
n
X
i=1
ξiz
(i)
(·).
z(·) =
Пусть j := max{i : ξi6= 0}. Если j = n , то
n
X
zn(t) =
i=1
ξiz
(i)
(t) = ξnz
n
(n)
n
(t),
поэтому
λ[z] > λ[zn] = λ[z
(n)
n
] = µn.
С другой стороны,
n
X
λ[z] = λ[
i=1
ξiz
(i)
] 6 max{λ[z
(i)
] : i = 1, . . . , n} = µn.
Таким образом, в рассматриваемом случае
λ[z] = µn= max{λ[z
(i)
] : ξi6= 0}.
Если же j < n , то последняя координата вектора z(t) тождественно равна нулю на R , поэтому в силу нормальности ФСР
(1)
η
(n−1)
, . . . , η
λ[z] = λ[
системы (18.4) имеем равенства
j
X
i=1
ξiη
(i)
] = λ[η
(j)
] = µj= max{λ[z
(i)
] : ξi6= 0}.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]