Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем
.pdf
А. А. Козлов 351
Положим Q(t, τ ) = {qij(t, τ )}
2
:= X(t, τ)B(τ ) ∈ M2,
i,j=1
при всех t, τ > 0. Тогда справедлива следующая
Л е м м а 3. Если система (1) σ-равномерно вполне управ-
ляема, то для любого t0> 0 выполняются неравенства
t0+σ
Z
(|qi1(t0, τ )|+ |qi2(t0, τ )|) dτ >
t
0
1
, i = 1, 2. (3)
γ
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем произвольные t0> 0
и x0∈ R2\{0}. Так как система (1) σ-равномерно вполне
управляема, то на отрезке [t0, t0+ σ] найдется допустимое
управление u, ku(t)k 6 γkx0k, t ∈ [t0, t0+ σ], переводящее
вектор начального состояния x0системы (1) в ноль на этом
отрезке, то есть имеют место равенства
t0+σ
Z
0 = x(t0+ σ) = X(t0+ σ, t0)(x0+
Q(t0, τ )u(τ) dτ),
t
0
и, следовательно,
t0+σ
x0=
Z
T
e
Q(t0, τ )u(τ) dτ, i = 1, 2. (4)
i
t
0
−e
T
i
Кроме того, при всех t ∈ [t0, t0+ σ] и i = 1, 2 справедлива
оценка
2
T
|e
Q(t0, t)u(t)| 6
i
6 max{|u1(t)|, |u2(t)|}
2
6 ku(t)k
X
|qij(t0, t)| 6 γkx0k
j=1
X
|qij(t0, t)uj(t)| 6
j=1
2
X
|qij(t0, t)| 6
j=1
2
X
j=1
|qij(t0, t)|.
352 Дополнение
Отсюда и из равенств (4) для i = 1, 2 следуют соотношения
|−e
T
x0| 6
i
t0+σ
Z
t
0
T
|e
Q(t0, τ )u(τ)|dτ 6 γkx0k
i
t0+σ
Z
t
0
2
X
|qij(t0, τ )|dτ,
j=1
то есть
t0+σ
Z
2
X
|qij(t0, τ )|dτ >
j=1
t
0
T
|e
x0|
i
γkx0k
, i = 1, 2.
Поскольку полученные неравенства выполняются при любом
x0∈ R2\{0}, то, взяв для каждого i = 1, 2 в качестве x
вектор ei, получим требуемые оценки (3). Лемма 3 доказана.
Возьмем произвольное число s > 0 и рассмотрим отре-
зок [s, s + σ]. При любом фиксированном натуральном p > 2
разделим этот отрезок точками ti:= s + iσ/p, i = 1, p − 1, на
p равных частей и для всякого допустимого управления u(t),
t ∈ [s, s + σ], положим
t
i
Z
wi(s, u) :=
Q(s, τ )u(τ) dτ, i = 1, p,
t
i−1
где tp:= s + σ. Заметим, что эти интегралы существуют вви-
ду локальной интегрируемости функции B и непрерывности
матрицы X(t, τ) по τ. Обозначим γ1:= max{γ,√2}, ` =
= `(ϕ) := min{ϕ/(2πγ1), 3ϕ/(8π)}. Положим также
0
θ := arcsin(4γ1b exp a)−1.
Поскольку 4γ1b exp a > 4e√2 > 1, величина θ определена
корректно.
Л е м м а 4. Если система (1) σ-равномерно вполне управ-
ляема, то для любых t0> 0, 0 < ϕ 6 θ/8 и любого нату-
рального p > 2 найдутся углы Φ1⊂ R+× R и Φ2⊂ R2,
допустимые управления ui(t), t ∈ [t0, t0+ σ] и множества
Mi⊂ {1, . . . , p}, i = 1, 2, такие, что:
1) мера углов Φi, i = 1, 2, не превосходит ϕ;
А. А. Козлов 353
2) верно соотношение ^(K(Φ1), K (Φ2)) > 7θ/16;
3) для всех моментов времени t ∈ [t0, t0+ σ] выполня-
ется оценка kui(t)k 6 γ1;
4) при каждом j ∈ Mi, i = 1, 2, справедливо включение
wj(t0, ui) ∈ Φi;
5) для векторов
X
ζi:=
wj(t0, ui) ∈ Φi, i = 1, 2,
j∈M
i
имеют место неравенства kζik > `(ϕ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем произвольные числа
p, t0и ϕ, удовлетворяющие условию леммы. Возьмем такое
r ∈ N, при котором выполняется соотношение
ϕ1:= π/r 6 ϕ < π/(r −1),
и разобьем полуплоскость R+× R на полуоткрытые углы
Ψi:= {x ∈ R+× R : (i − 1)ϕ16 ^(x, e2) < iϕ1}, i = 1, r −1,
и угол Ψr:= {x ∈ R+× R : (r −1)ϕ16 ^(x, e2) 6 π}.
В качестве управления u1на отрезке [t0, t0+σ] выберем
вектор-функцию
u1(t) = (sign q11(t0, t), sign q12(t0, t))T.
Очевидно, что это управление является допустимым, причем
для всех t ∈ [t0, t0+ σ] выполняется оценка
ku1(t)k 6√2 6 γ1.
По определению векторов u1и wj(u1) := wj(t0, u1), j = 1, p,
соотношения
T
e
1
p
X
wj(u1) = e
j=1
t0+σ
Z
T
Q(t0, τ )u1(τ) dτ =
1
t
0
t0+σ
Z
t
0
2
X
|q1j(t0, τ )|dτ >
j=1
1
γ
справедливы в силу леммы 3. Отсюда следует, что найдется
такое l ∈ {1, . . . , p}, при котором вектор wl(u1) ненулевой
354 Дополнение
и лежит в полуплоскости R+× R. Обозначим через Si, i =
= 1, r, — множество тех индексов j ∈ {1, . . . , p}, при которых
имеет место включение wj(u1) ∈ Ψi, и докажем, что существует индекс k ∈ {1, . . . , r}, обеспечивающий справедливость
соотношения
X
k
l∈S
wl(u1)k >
k
1
. (5)
rγ
Предположим противное: пусть для любого i = 1, r имеет
место оценка
X
k
wl(u1)k < 1/(rγ).
l∈S
i
Тогда справедливо неравенство
r
X
X
k
wl(u1) k < 1/γ.
i=1
l∈S
i
Так как выполняются соотношения
r
G
Ψi= R+× R и wl(u1) ∈ R+× R, l = 1, p,
i=1
то для каждого l ∈ {1, . . . , p} ненулевой вектор wl(u1) принадлежит одному из множеств Ψi, i = 1, r, и поэтому
t0+σ
r
X
i=1
X
l∈S
i
wl(u1) =
Z
Q(t0, τ )u1(τ) dτ.
t
0
Отсюда ввиду оценки (3) следуют неравенства
t0+σ
r
X
i=1
X
k
l∈S
i
wl(u1) k > k
t0+σ
Z
>
(|q11(t0, τ )|+ |q12(t0, τ )|) dτ >
t
0
r
X
i=1
X
wl(u1)k = k
l∈S
i
Z
Q(t0, τ )u1(τ) dτk >
t
0
1
,
γ
А. А. Козлов 355
противоречащие нашему предположению.
Зафиксируем какое-либо k ∈ {1, . . . , r}, обеспечивающее
выполнение неравенства (5). Положим
M1:= Skи Φ1:= cl Ψk,
где cl Ψk— замыкание Ψk. Тогда при выбранных M1и Φ
имеют место соотношения ^Φ1= ϕ16 ϕ. Так как справедли-
ва оценка ϕ 6 θ/8 < π, то выполняются неравенства
rγ 6 rγ16 (1 + π/ϕ)γ1= (π + ϕ)γ1/ϕ 6 2πγ1/ϕ,
и поэтому в силу оценки (5) получим соотношение
k
j∈M
X
wj(u1)k >
1
ϕ
. (6)
2πγ
1
Пусть прямая L ⊂ R2— ось конуса K(Φ1) и v ∈ R2—
единичный вектор, лежащий на этой оси. Возьмем произвольный вектор y ∈ R2, kyk = 1, ортогональный v. Так как
система (1) σ-равномерно вполне управляема, то найдется допустимое управление u2, переводящее вектор начального состояния y системы (1) в ноль на отрезке [t0, t0+ σ] , такое,
что имеет место оценка
ku2(t)k 6 γkyk = γ 6 γ1, t ∈ [t0, t0+ σ].
Фиксируя это управление, получим равенство
t0+σ
Z
−y =
Обозначим через Φ
биссектриса лежит на прямой L и выполняется включение
Φ1⊂ Φ
P — множество тех индексов i ∈ {1, . . . , p}, при которых спра-
0
. Этот угол существует, поскольку ϕ16 ϕ < θ. Пусть
1
Q(t0, τ )u2(τ) dτ. (7)
t
0
0
такой угол величины θ, что его
1
ведливо включение
wi(u2) := wi(t0, u2) ∈ K(Φ
0
) ⊂ R2.
1
Докажем, что для множества
1
P := {1, . . . , p}\P
356 Дополнение
имеет место неравенство
X
kzk := k
wj(u2)k > 3/4.
j∈P
Умножив равенство (7) на yTи взяв модуль от обеих
его частей, получим соотношения
t0+σ
1 = |y
Z
T
Q(t0, τ )u2(τ) dτ| = |y
t
0
X
6
|yTwi(u2)| + |y
i∈P
X
T
j∈P
p
X
T
wi(u2)| 6
i=1
wj(u2)| =
X
=
kyTkkwi(u2)k| cos αi| + kyTkkzk|cos α| =
i∈P
X
=
kwi(u2)k| cos αi| + kzk|cos α|, (8)
i∈P
где α и αi, i ∈ P, — меры углов соответственно между векторами y и z и векторами y и wi(u2). Оценим сверху первое
слагаемое в правой части последнего из соотношений (8). Поскольку y ⊥ v, для всех i ∈ P выполняются оценки |cos αi| 6
6 sin θ. Тогда, используя определения величин b и θ, векто-
ров wi(u2), i ∈ P, и управления u2, с учетом замечания 2
получим неравенства
X
kwi(u2)k| cos αi| 6
i∈P
X
kwi(u2)ksin θ 6
i∈P
t
i
Z
X
6
i∈P
kQ(t0, τ )u2(τ)kdτ sin θ 6
t
i−1
bγ1exp a
6
4bγ1exp a
t0+σ
Z
kQ(t0, τ )u2(τ)k
t
0
= 1/4.
4bγ1exp a
dτ 6
Отсюда и из формулы (8), ввиду соотношения |cos α| 6 1 ,
вытекает требуемая оценка kzk > 3/4.
А. А. Козлов 357
Из определения множества P следует, что для всех индексов j ∈ P справедливо включение
wj(u2) ∈ R2\K(Φ
0
) =: K(Φ
1
0
).
1
Поскольку дополнение к конусу в R2является конусом, то
0
K(Φ
) — конус. Очевидно, что угол раствора этого конуса ра-
1
вен π−θ. Тогда, взяв такое r1∈ N, при котором выполняется
неравенство
(π −θ)/r16 ϕ < (π − θ)/(r1− 1),
и разбив каждый из углов, образующих конус K(Φ
полуоткрытых углов и один замкнутый угол Ψ
меры, не превосходящей ϕ, а далее использовав процедуру,
0
), на r1−1
1
0
, i = 1, 2r1,
i
примененную для поиска множества M1, найдем такие непустое множество M2⊂ P ⊂ {1, . . . , p} и число k1∈ {1, . . . , 2r1},
что выполняются неравенства
X
k
wj(u2)k >
j∈M
2
и включения wj(u2) ∈ Ψ
Положим Φ2:= cl Ψ
0
Ψ
, i = 1, 2r1, имеет место соотношение ^Φ26 ϕ, а из по-
i
следнего включения, определения угла Φ
0
⊂ K(Ψ
k
1
0
k
1
дуют оценки
^(K(Φ1), K(Φ2)) > ^(K(Φ1), K(Φ
3ϕ
4(2π −θ)
0
) ⊂ K(Φ
k
1
3ϕ
>
8π
0
), j ∈ M2.
1
(9)
, тогда ввиду определения углов
0
и величины ϕ сле-
1
0
) ) = (θ − ϕ)/2 > 7θ/16.
1
Так как
wj(t0, ui) ∈ Φi, j ∈ Mi, i = 1, 2,
то по свойству выпуклости углов и по определению векторов
ζi, i = 1, 2, верны включения ζi∈ Φi, i = 1, 2. Кроме того,
в силу формул (6) и (9) и определения величины `(ϕ) выполняются неравенства
kζik > min{ϕ/(2πγ1), 3ϕ/(8π)} = `(ϕ), i = 1, 2.
Лемма 4 доказана.
358 Дополнение
Для произвольных векторов ψ1, ψ2∈ R2, ψ16= ψ2, чис-
ла ϕ ∈ (0, π) и угла Φ ⊂ R2меры ϕ, биссектриса которого
содержит вектор ψ2−ψ1, обозначим через R(ψ1, ψ2, Φ) множество
(ψ1+ Φ) ∩ (ψ2− Φ) ⊂ R2,
то есть ромб, образованный пересечением углов Φ и −Φ с
вершинами соответственно в точках ψ1и ψ2. Поскольку диагонали ромба ортогональны и точкой пересечения делятся пополам, нетрудно установить, что вершины ромба ψ3и ψ
определяются равенствами
ψi= f1+ (−1)
i+1f⊥
tg(ϕ/2), i = 3, 4,
2
где
f1= (ψ1+ ψ2)/2, f2= (ψ2− ψ1)/2.
Здесь и в дальнейшем через η⊥= (−η2, η1)T∈ R2будем
обозначать вектор, ортогональный вектору η = (η1, η2)T∈ R2.
Л е м м а 5. Для произвольных чисел k ∈ N, α > 0 и
0 < ϕ < π/4, угла Φ ⊂ R2меры ϕ и векторов ψ1, ψ2,
vi∈ R2, i = 1, k, таких, что
k
vi∈ Φ, i = 1, k, ψ16= ψ2и ψ1+ α
X
vi= ψ2,
i=1
4
при каждом j = 1, k выполняется включение
j
ψ1+ α
X
vi∈ R(ψ1, ψ2, Φ0),
i=1
где Φ0— угол меры 2ϕ, на биссектрисе которого лежит
вектор ψ2− ψ1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем произвольные числа
k ∈ N, α > 0 , 0 < ϕ < π/4, угол Φ ⊂ R2и векторы ψ1, ψ2,
vi∈ R2, i = 1, k, удовлетворяющие условию леммы 5. Для
всех j = 1, k oбозначим
yj:=
j
X
vi, zj:=
i=1
k
X
i=j
vi.
А. А. Козлов 359
Поскольку vi∈ Φ, i = 1, k, по свойству выпуклости углов для
всех j = 1, k выполняются соотношения αyj∈ Φ и αzj∈ Φ,
в частности,
ψ2− ψ1= αyk∈ Φ.
Из последнего включения и равенства ^Φ = ϕ вытекает, что
для любого ν ∈ Φ выполняются неравенства
0 6 ^(ν, ψ2− ψ1) 6 ϕ.
Тогда ввиду определения угла Φ0отсюда следует включение
Φ ⊂ Φ0и поэтому при любом j = 1, k −1 верны соотношения
αyj∈ Φ0и −αz
∈ −Φ0, а значит
j+1
ψ1+ αyj∈ ψ1+ Φ0и ψ2− αz
∈ ψ2− Φ0, j = 1, k.
j+1
Отсюда с учетом равенства ψ1+ αyk= ψ2для всех j = 1, k
получим соотношения
ψ1+ Φ03 ψ1+ αyj= ψ1+ αyk− αz
= ψ2− αz
j−1
∈ ψ2− Φ0,
j−1
означающие, что при любом j = 1, k справедливо включение
ψ1+ αyj∈ ((ψ1+ Φ0) ∩(ψ2− Φ0)) = R(ψ1, ψ2, Φ0).
Лемма 5 доказана.
Под ε-окрестностью ромба R(ψ1, ψ2, Φ) в дальнейшем
будем понимать множество
Uε(R(ψ1, ψ2, Φ)) := R(ψ1, ψ2, Φ) + Uε(0),
где Uε(0) := {y ∈ R2: kyk 6 ε} — ε-окрестность нуля.
Для всякого ненулевого вектора ξ ∈ R2через
Prξη := ξTη/kξk
обозначим проекцию точки η ∈ R2на ось, определяемую вектором ξ.
Проекцией Prξ(R(ψ1, ψ2, Φ)) ромба R(ψ1, ψ2, Φ) на ось,
определяемую вектором ξ, будем называть множество, состоящее из проекций каждой точки ромба на эту ось, то есть
Prξ(R(ψ1, ψ2, Φ)) := {Prξη, η ∈ R(ψ1, ψ2, Φ)}.
360 Дополнение
Л е м м а 6. Пусть ξ ∈ R2— произвольный вектор еди-
ничной длины, а векторы ψ1, ψ2∈ R2, ψ16= ψ2, таковы, что
справедливо неравенство
ε1:= min
i=1,2
ξTψi> 0,
тогда для всякого числа 0 < ε 6 ε1/3, угла Φ меры ϕ, биссектриса которого содержит вектор ψ2− ψ1, и любого элемента η ∈ Uε(R(ψ1, ψ2, Φ)) выполнение оценки
ϕ 6 2 arctg(2ε/kψ2− ψ1k) (10)
влечет за собой неравенство ξTη > ε.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольные векторы ξ,
ψi∈ R2, i = 1, 2, число ε и угол Φ меры ϕ, удовлетворяю-
щие условиям леммы 6, и рассмотрим ромб R = R(ψ1, ψ2, Φ).
При i = 3, 4 , используя определение величины ε1и векторов
ψiи ξ, получаем соотношения
ξTψi= (ξT(ψ1+ ψ2) ±ξT(ψ2− ψ1)⊥tg(ϕ/2))/2 >
> (ξTψ1+ ξTψ2− |ξT(ψ2− ψ1)⊥tg(ϕ/2)|)/2 >
> ε1−tg(ϕ/2) kξTkk(ψ2−ψ1)⊥k/2 > ε1−tg(ϕ/2) kψ2−ψ1k/2,
из которых ввиду условия (10) и определений ε и ε1вытекают оценки
ξTψi> ε1− ε > 2ε1/3, i = 3, 4,
и, следовательно, ξTψi> 2ε1/3, i = 1, 4.
Поскольку ромб является выпуклой оболочкой [91, с. 173]
своих вершин, то в силу линейности оператора проектирования и коммутируемости оператора conv и линейного оператора проекции Prξна ось ξ справедливы равенства
Prξ(R) = Prξ(conv{ψi, i = 1, 4}) = conv{Prξψi, i = 1, 4}.
Ввиду соотношений kξk = 1 и ξTψi> 2ε1/3, i = 1, 4, имеем
неравенства
Prξψi> 2ε1/3, i = 1, 4,
из которых следует включение
Prξ(R) ⊂ [2ε1/3, +∞).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]