Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
УПРАЖНЕНИЯ 151
теорема 2.2 (viii). Воспользуйтесь определением давления в терминах Z
чтобы доказать неравенство P
(A) P
τ
(A1)+P
τ
1
(A2), и вариационным
τ
2
(3)
принципом — для доказательства обратного неравенства.)
6. Если P (0) < +∞,то
{σ ∈C
7. При P (0) < +∞ определим множество I
кажите, что I
A
массивным.
Покажите, что I
последовательностей σ
[Пусть σ = lim σ
+B) h(σ
)+σn(A+B) P (A)+σn(B)−1/n для всех B ∈C,тоσ ∈ I
n
и, следовательно, I
доказать в общем случае включение I
содержится в замкнутой выпуклой оболочке множества предельных точек
последовательностей σ
∈ Dи An→ A (см. приложение A.3.7.).]
A
n
∗
: σ(A) P (A) при всех A ∈C}= I .
⊂ I
имножествоD= {A ∈C:cardI
A
совпадает с множеством I
A
, для которых lim
n
,гдеh(σn)+σn(A) P (A) − 1/n.ТаккакP (A +
n
⊂ I
A
.ПоэтомуизA ∈ Dвытекает I
A
,гдеσn— единственный элемент множества I
n
[h(σn)+σn(A)] = P (A).
n→∞
⊂ I
A
A
при помощи (6.17). По-
A
A
=1} является
A
всех предельных точек
= I
A
.Чтобы
A
, используйте тот факт, что I
A
n
,
A
A
,
ГЛАВА 7
СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
НА ПРОСТРАНСТВАХ СМЕЙЛА
Как мы убедились в главе 6, часть термодинамического формализма
можно распространить на случай произвольного Z
ν
-действия гомеоморфизмами компактного метризуемого пространства Ω. В этой главе мы обоб-
щим более богатый формализм одномерных систем из главы 5 на некоторый
класс Z-действий гомеоморфизмами компактных метрических пространств.
Такие Z-действия впервые изучались в теории диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме A Смейла [1]. Мы представляем здесь абстрактный
вариант той части теории, которая имеет отношение к предмету этой книги.
За доказательствами будем отсылать главным образом к публикациям по
A-диффеоморфизмам. Эти публикации, в особенности работы Смейла [1] и
Боуэна [6], содержат также соответствующие мотивировки. Главный новый
элемент излагаемой теории — это предположение о наличии структуры
локального произведения. Пространство Ω «расслаивается» на «устойчи-
вые многообразия» V
действием итераций отображения f, и «неустойчивые многообразия» V
которые сжимаются под действием итераций отображения f
x и y достаточно близки, то пересечение V
+
, которые экспоненциально быстро сжимаются под
x
−1
+
−
∩ V
x
не пусто и состоит из
y
.Еслиточки
−
x
единственной точки [x, y]. Структура локального произведения определяется тогда отображением x, y → [x, y].
7.1. Пространства Смейла
Пусть Ω — непустое компактное метрическое пространство с метрикой d.Предположим,чточислоε>0 и отображение [·, ·] обладают следующими свойствами:
(SS1)
представляет собой непрерывное отображение, для которого [x, x]=x и
[·, ·]: {(x, y) ∈ Ω × Ω : d(x, y) <ε}→Ω
,
[[x, y],z]=[x, z], [x, [y, z]] = [x, z],
если правая и левая части этих соотношений определены.
7.1. ПРОСТРАНСТВА СМЕЙЛА 153
Заметим, что существует такое εn>0,чтоеслиdiam({x1, ...,xn})<εn,
то любое выражение, полученное из x
друг в друга квадратных скобок, определено и равно [x
Пусть, в частности, d(x, y) <ε
, ..., xnрасстановкой вложенных
1
. Если мы пишем u =[y, x], v =[x, y],
4
1,xn
].
то считаем, что
d(u, x) <ε, d(v, x) <ε, d(u, v) <ε,
u =[u, x],v=[x, v], [u, v]=y.
(7.1)
Обратно, если u, v удовлетворяют этим условиям, то u =[u, x]=
=[[u, v],x]=[y, x] и, аналогичным образом, v =[x, y].Отсюдаследует,
что отображение [·, ·]: V
и δ выбрано так, что если d(x, u) <δи d(x, v) <δ,тоd(x, [u, v]) <ε
−
(δ) ×V
x
−
(δ)={u : u =[u, x],d(x, u) <δ}, (7.2)
V
x
+
(δ)={v : v =[x, v],d(x, v) <δ} (7.3)
V
x
+
(δ) → Ω,где
x
,
4
является гомеоморфизмом на некоторое открытое подмножество пространства Ω.
Если d(x, y) <ε
, то в силу (7.1), (7.2), (7.3)
4
+
{[x, y]} = V
(δ) ∩V
x
y
−
(δ). (7.4)
Предположим теперь, что заданы λ ∈ (0, 1) и отображение f со следу-
ющими свойствами:
(SS2) f — гомеоморфизм пространства Ω, для которого f [x, y]=
=[fx, fy], если обе части этого равенства определены, и
n
y, fnz) λnd(y, z), если y, z ∈V
d(f
−n
y, f−nz) λnd(y, z), если y, z ∈ V
d(f
+
(δ),n>0,
x
−
(δ),n>0.
x
Заменив при необходимости δ меньшим числом, получим
+
(δ)={y : d(fnx, fny) <δпри всех n 0}, (7.5)
V
x
−
V
(δ)={y : d(f−nx, f−ny) <δпри всех n 0}. (7.6)
x
[В самом деле, выберем такое δ
d(x, [x, y]) <δ, d(x, [y, x]) <δ.
,чтоизd(x, y) <δвытекает
154 ГЛАВА 7
Тогда справедливы следующие импликации (каждое неравенство имеет место при всех n 0):
n
d(f
x, fny) <δ⇒ d(fnx, fn[y, x]) <δ⇒ fn[y, x] ∈ V
⇒ d(x, [y, x]) λ
n
d(fnx, fn[y, x]) λnδ ⇒
−
f
n
x
(δ) ⇒
⇒ d(x, [y, x]) = 0 ⇒y =[[y, x], [x, y]] = [x, [x, y]] = [x, y].
Следовательно,
n
{y : d(f
Обратное включение следует из (SS2). Таким образом, мы доказали (7.5) с
заменой δ на некоторое меньшее число δ
x, fny) <δдля всех n 0}⊂V
. Доказательствосоотношения (7.6)
x
+
(δ).
проводится аналогично.]
Определим пространство Смейла как компактное метрическое пространство Ω вместесотображением[·, ·] и гомеоморфизмом f, удовлетво-
ряющими условиям (SS1) и (SS2) при подходящих ε и λ.
Заметим, что существует естественная двойственность, при которой f
переходит в f
−1
, [x, y] —в[y, x], V+—вV−ит.д.
7.2. Пример
Пусть Ω — пространство конфигураций Z-решетчатой системы (Ω0,t)
и τ — соответствующий сдвиг (см. главу 5). Для произвольного λ ∈ (0, 1)
определим расстояние d на Ω равенством
d(ξ, η)=λ
k
, (7.7)
где ξ =(ξ
n)n∈Z
Если d(ξ, η) < 1,тоξ
[ξ, η]=(...,η
∈ Ω, η =(ηn)
0
−l
∈ Ω и k =inf{|n|: ξn= ηn}.
n∈Z
= η0и можно положить
, ..., η−1,ξ0,ξ1, ..., ξl,...) ∈ Ω.
Нетрудно проверить, что условия параграфа 7.1 выполняются при Ω =Ω,
f = τ, ε = δ =1.
Так же легко доказывается, что банахово пространство C
α
(Ω) действи-
тельных гельдеровских функций с показателем α совпадает с простран-
ством F
θ
, θ = λ
α/2
, введенным в параграфе 5.19.
7.3. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ СМЕЙЛА 155
7.3. Свойства пространств Смейла
Как видно из (7.5), (7.6), (7.4), f является разделяющим гомеоморфизмом с разделяющей константой δ,еслиδ достаточно мало. Более точ-
но, существует такое C>0,чтоеслиd(f
d(x, y) <Cλ
n
. [Действительно, положив C =max{diam Ω, 2ε/λ} иполь-
зуясь условием (SS2) при n =0, получаем
n−1
n−1
d(f
d(f
d(x, [x, y]) λ
d([x, y],y) λ
Пусть S — конечный или бесконечный интервал
и α>0. Назовем x α-траекторией,если
−n+1
n−1
k
x, fky) <δпри |k| <n,то
−n+1
x, f
[x, y],f
[x, y]),
n−1
y).]
1
в Z, x =(xk)
k∈S
∈ Ω
S
d(fx
k,xk+1
) <α при k, k +1∈ S.
Будем говорить, что x ∈Ω α-отслеживает x ,если
k
x, xk) <α при всех k ∈ S.
d(f
Для всякого β>0 существует такое α>0,что
(a) каждая α-траектория x β-отслеживается некоторой точ-
кой x ∈ Ω;
(b) если x ∈ Ω и d(f
n
го f
y = y и
d(f
n
x, x) <α, то существует y ∈ Ω, для которо-
k
x, fky) <β при всех k ∈ [0,n]
(см. Боуэн [6], предложение 3.6 и следствие 3.7.)
Неблуждающее множество системы (Ω,f), определяемое как
{x ∈ Ω : U ∩
fnU = ∅ для всякого открытого множества U x},
n>0
является замыканием множества
{x ∈ Ω : f
n
x = x, при котором n>0}
периодических точек.
Это утверждение есть лемма Аносова о замыкании (см. Боуэн [6], пред-
ложение 3.8
2
). Заметим, что множество неблуждающих точек непусто (см.
приложение А.2).
1
S может иметь вид [k, l], [k, +∞), (−∞,l] или.
2
См. также Нитецки [1∗]. — Прим. ред.
156 ГЛАВА 7
7.4. «Спектральное разложение» Смейла
Неблуждающее множество системы (Ω,f) является объединением
конечного числа непересекающихся компактных множеств Ω
рых f Ω
жеств Ω
f
α
= Ωαи ограничение f|Ωαтопологически (+)-транзитивно1.
α
Каждое Ω
αβ
n
α
|Ωαβтопологически перемешивает.
Этими свойствами Ω, α, n
есть объединение nαнепересекающихся компактных мно-
, циклически переставляемых отображением f и таких, что
α
и Ωαβопределяются однозначно.
α
,длякото-
(См. Боуэн [6], теорема 3.5.) Приведенное утверждение частично обобщает теоремы 5.2 и 5.3, относящиеся к Z-решетчатым системам. Заметим,
что неблуждающее множество системы (Ω,f) имножестваΩ
αβ
ются пространствами Смейла, а множество Ω
n
относительно f
Множества Ω
α
|Ωαβ.
α
называются базисными множествами. Носитель вся-
— пространством Смейла
α
снова явля-
кой f -инвариантной меры на Ω содержится в неблуждающем множестве.
В частности, каждая f-эргодическая вероятностная мера имеет носитель в
одном из базисных множеств.
7.5. Марковские разбиения и символическая динамика
Пусть δ>0 достаточно мало и x ∈ Ω. Предположим, что множество C ⊂ V
множество D ⊂ V
R =[C, D] является замыканием своей внутренности в Ω и называется
прямоугольником. Его граница имеет вид
где
и ∂C, ∂D — границы множеств C и D в V
Марковским разбиением называется такое конечное покрытие (R
странства Ω прямоугольниками, что
(a) int R
(b) если x ∈ int R
где C
=[C
j,Dj
1
См. определение топологических (+)-транзитивности, транзитивности и перемешивания
в приложении А.2.
−
(δ) является замыканием своей внутренности в V
x
+
(δ) — замыканием своей внутренности в V
x
+
∂R = ∂
+
R =[∂C, D],∂−R =[C, ∂D]
∂
∩ int Rj= ∅ при i = j;
i
∩ f−1int Rj,то
i
f[C
f[x, D
, Di, Cj, Djопределяются соотношениями Ri=[Ci,Di], Rj=
i
R ∪ ∂−R,
−
x
,x] ⊃ [Cj,fx],
i
] ⊂ [fx, Dj],
i
(2δ) и V
+
(2δ) соответственно.
x
−
(2δ),а
x
+
(2δ).Тогда
x
) про-
i
].
7.6. ТЕОРЕМА 157
Пространство Смейла Ω обладает марковским разбиением произвольно малого диаметра (см. Боуэн [1] или [6], теорема 3.12).
Для любого марковского разбиения (R
+
∂
=
∂+Ri,∂−=
i
) положим
i
∂−Ri.
i
Можно показать, что
+
f∂
⊂ ∂+,f−1∂−⊂ ∂−.
Пусть Ω
Положим
Множество Ω
определяют Z-решетчатую систему (Ω
— множество прямоугольников Riв марковском разбиении.
0
,
t
RiR
(множество символов) и матрица t (матрица перехода)
0
1, если intR
=
j
0 в противном случае.
∩ f−1int Rj= ∅,
i
,t) (см. главу 5) с пространством
0
конфигураций Ω исдвигомτ на нем. Динамическая система (Ω,τ) слу-
жит символической динамикой динамической системы (Ω,f). Такая тер-
минология оправдывается следующими результатами, справедливыми для
марковского разбиения достаточно малого диаметра.
7.6. Теорема
Если ξ = {ξn}
n∈Z
∈ Ω,то
ки π(ξ) ∈ Ω. Кроме того,
(a) отображение π :Ω→ Ω непрерывно и сюръективно;
(b) π ◦τ = f ◦π;
−1
Ω \
(c) π
fn(∂+∪ ∂−);
n∈Z
однозначно определено на массивном множестве
(d) существует такое целое d,чтоπ
не более чем из d элементов;
(e) если гомеоморфизм f топологически (+)-транзитивен (соответ-
ственно, перемешивает),тосистема(Ω
ответственно, перемешивающей).
По поводу утверждений (a), (b), (c), (e) см. Боуэн [1] (§ 4) или Боуэн [6]
(теорема 3.18 и предложение 3.19), по поводу утверждения (d) — Боуэн [2]
(предложение 10); в качестве d можно взять |Ω
щение).
f−nξnсостоит из единственной точ-
n∈Z
−1
x для любой точки x состоит
,t) является транзитивной (со-
0
|2(Р. Боуэн, частное сооб-
0
158 ГЛАВА 7
7.7. Гельдеровские функции
Утверждение (a) теоремы 7.6 можно уточнить. Если число λ,исполь-
зованное в (7.7) для определения метрики на Ω, совпадает с λ из условия (SS2) для Ω, то отображение π удовлетворяет условию Липшица,
т. е. существует такое C>0,что
d(πξ, πη) Cd(ξ, η). (7.8)
Если ξ = η,тоd(ξ, η)=λ
Предположив, что диаметр марковского разбиения меньше δ,получим
d(f
n
при некотором n 0 и ξk= ηkпри |k| <n.
k
πξ, fkπη) <δпри |k| <n
и, следовательно,
d(πξ, πη) <Cλ
n
(см. § 7.3). Отсюда следует (7.8).
Поскольку π удовлетворяет условию Липшица, для любой функции
α
A ∈C
странстве Ω выполняется включение A ◦ π ∈C
(см. § 7.2). Таким образом, π порождает ограниченное линейное отображе-
ние C
(Ω), т.е. любой гельдеровской функции с показателем α на про-
α
(Ω) = Fθ,гдеθ = λ
α
(Ω) →Fθ.
α/2
7.8. Давление и равновесные состояния
Изучение давления и равновесных состояний можно свести к аналогичной задаче для базисных множеств (см. § 7.4 и упражнения 3(c) и 4
главы 6). Поэтому мы можем предположить, что система (Ω,f) обладает
свойством топологической (+)-транзитивности. Заметим, что
P
(A) Pτ(A ◦ π)(7.9)
f
(см. упражнение 3(b) главы 6).
Пусть A ∈C
Так как A ◦ π ∈F
вероятностная мера ρ на Ω, для которой
при этом suppρ =Ω(см. следствие 5.6(a)). Множества
α
(Ω) исистема(Ω,f) топологически (+)-транзитивна.
θ
,гдеθ = λ
π
α/2
, существует единственная τ -инвариантная
(ρ)+ρ(A ◦ π)=Pτ(A ◦ π);
h
τ
−1
n0
fn∂+,π
−1
n0
f−n∂
−
7.8. ДАВЛЕНИЕ И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ 159
замкнуты и τ -инвариантны. Их дополнения непусты и, следовательно, име-
ют положительную ρ-меру. Используя эргодичность ρ, получаем
ρπ
−1
n0
fn∂
+
= ρπ
−1
f−n∂
n0
−
=0.
Отсюда следует, что
−1∂+
ρ(π
)=ρ(π−1∂−)=0
и, значит,
−1
ρπ
fn(∂+∪ ∂−)=0.
n∈Z
Теорема 7.6(c) позволяет теперь утверждать, что π :(Ω,ρ) → (Ω,πρ) явля-
ется изоморфизмом абстрактных динамических систем. В частности,
(πρ)=hτ(ρ)
h
f
и, следовательно,
P
(A) hf(πρ)+(πρ)(A)=Pτ(A ◦ π).
f
Сравнение с (7.9) показывает, что
P
(A)=Pτ(A ◦ π)(7.10)
f
и πρ — равновесное состояние для A.
Если σ — какое-либо равновесное состояние для A,тосуществует
τ-инвариантное состояние σ, для которого πσ = σ (это вытекает из теорем
Хана– Банаха и Маркова– Какутани, см. приложения A.3.2 и A.3.4). Тогда
(A ◦ π) hτ(σ)+σ(A ◦ π) hf(σ)+σ(A)=Pf(A)
P
τ
(см. упражнение 3(a) главы 6). Следовательно, σ является равновесным
состоянием для A ◦π,апотомуσ = ρ.
Заметим, что в силу плотности множества C
α
(Ω) в C(Ω) равенство (7.10) остается справедливым для любой функции A ∈C(Ω).Таким
образом, доказано следующее утверждение.
160 ГЛАВА 7
7.9. Теорема
Если (Ω,f) — топологически (+)-транзитивная система и A ∈C(Ω),
то
P
(A)=Pτ(A ◦ π).
f
Для A ∈C
α
(Ω) существует единственное равновесное состояние ρA=
= πρ,гдеρ — единственное равновесное состояние для функции A ◦ π.
Отображение π :(Ω,ρ) → (Ω, ρ
) порождает изоморфизм абстрактных
A
динамических систем.
Приведем несколько следствий.
7.10. Следствие
Пусть (Ω,f) — топологически (+)-транзитивная система. Тогда
(a) Функция P
(b) Если A ∈C
(c) Пусть A, A
ствуют c ∈ R и непрерывная функция C, для которых
(этим равенством c определяется однозначно, а C —сточностьюдо
аддитивной константы).
(d) Если A ∈C
ма (ρ
,f) изоморфна сдвигу Бернулли.
A
Утверждение (a) вытекает из следствия 5.27, (b) — из следствия 5.6(a),
(c) доказывается так же, как теорема 5.7 (см. (a) и упражнение 2); (d) следует
из теоремы 5.10.
вещественно-аналитична на Cα(Ω).
f
α
(Ω),тоsupp ρA= Ω.
∈Cα(Ω).ТогдаρA= ρ
A
− A = c + C ◦f −C
α
(Ω) и (Ω,f) топологически перемешивает, то систе-
, если и только если суще-
A
7.11. Замечание
Функция C из следствии 7.10(c) является гельдеровской: C ∈Cα(Ω),
если выполняется следующее условие (см. упражнения 2 и 3):
(SS3) существует такое L>0,что
d(x, [x, y]) Ld(x, y).
Нижеэтоусловиеиспользуетсятольковтехслучаях,когдаоноявно формулируется. Заметим, что ему удовлетворяет динамическая система
примера 7.2.
Вот другие следствия теоремы 7.9.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]