Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
3.7. ТЕОРЕМА 61
Пусть теперь X — сепарабельное банахово пространство и ϕ :X →C —
непрерывное линейное отображение, удовлетворяющее условию: ϕX плотно в C.
(c) Для Φ ∈ X определим множество
I
= {F ∈ X∗: P ◦ ϕ(Φ + Ψ) P ◦ ϕ(Φ) + F(Ψ) при всех Ψ ∈ X},
Φ
Тогда I
(d) I
= {Φ ∈ X : I
D
= {σ ◦ ϕ : σ ∈ IϕΦ} имножествоD= ϕ−1D массивно в X.
Φ
совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества та-
ϕΦ
состоит из единственной точки}.
Φ
ких ρ,что
ρ = lim
||Φn− Φ|| =0, Φn∈ ϕ−1D.
lim
n→∞
Элементы множества I
для A; элементы множества I
ρn,ρn∈ I
n→∞
называются равновесными состояниями
A
— равновесные состояния для взаимодей-
A
Φ
ϕΦ
,
n
ствия Φ.
Непустота I
пуклого функционала P на сепарабельном банаховом пространстве (см.
приложение A.3.6 и A.3.7). Поэтому множество D
Из (3.11) следует, что если F ∈ I
и утверждение (b) верны для любого непрерывного вы-
A
Φ
,то
массивно в X.
1
F (Ψ) P ◦ ϕ(Φ + Ψ) − P ◦ ϕ(Φ) ||ϕΨ||.
Отсюда, заменив Ψ на −Ψ, получаем |F (Ψ)| ||ϕΨ||,т.е.
|F (Ψ)| 1(3.20)
sup
||ϕΨ||1
исуществуеттакоеσ ∈C
жества ϕX в C мера σ единственна и принадлежит множеству I
образом, I
⊂{σ ◦ ϕ: σ ∈ IϕΦ} и, следовательно, I
Φ
(надо воспользоваться плотностью множества ϕX в C). В частности, I
стоит из единственной точки тогда и только тогда, когда этим свойством
обладает I
множество D
; тем самым, D= ϕ−1D.Таккакмыужеустановили,что
ϕΦ
массивно в X, утверждение (c) доказано.
∗
,чтоF = σ ◦ ϕ. Вследствие плотности мно-
.Таким
= {σ ◦ϕ : σ ∈ IϕΦ}
Φ
ϕΦ
Φ
со-
Перейдем к доказательству утверждения (a). Мы уже знаем, что
= ∅. Положив в (3.20) X = C,получим||σ|| 1 для всех σ ∈ IA.
I
A
Кроме того, в силу (3.12)
σ(1) = −σ(−1) −[P (A −1) − P (A)] = 1.
1
Чтобы убедиться в этом, надо сказанное в предыдущей фразе применить к P ◦ ϕ.—Прим.
ред.
62 ГЛАВА 3
Но если ||σ|| 1 и σ(1) 1,тоσ 0 и ||σ|| =1,т.е.σ ∈ E.Ещераз
применив (3.12), получаем
0=P (A + B ◦ τ
−[P (A − B ◦τ
откуда видно, что σ ∈ I. Таким образом, I
x
− B) − P (A) σ(B ◦τx− B)
x
+ B) − P (A)] = 0,
⊂ I.Очевидно,множествоI
A
выпукло и компактно. Доказательство утверждения (a) закончено.
Обратимся к утверждению (d). Для всех ρ, ρ
, Φ, Φn, о которых идет
n
речь в этом утверждении, и всех B ∈Cсправедливо неравенство
P (ϕΦ
+ B) P (ϕΦn)+ρn(B).
n
Поэтому
P (ϕΦ+B) P (ϕΦ) + ρ(B),
т. е . ρ ∈ I
Предположим, что σ ∈ I
ϕΦ
.
не принадлежит замкнутой выпуклой обо-
ϕΦ
лочкеуказанногомножествамерρ. По теореме о разделимости компактных
множеств (приложение A.3.3 (c)) существует такое Ψ ∈X,что
sup
σ(ϕΨ) > supρρ(ϕΨ).
σ∈I
ϕΦ
Пусть Φ
писать {ρ
=Φ+(1/n)Ψ + Xn,где||Xn|| < 1/n2и Φn∈ ϕ−1D.1Будем
n
} вместо I
n
σϕ
.Еслиσ ∈ IϕΦ, то в силу выпуклости функции P
ϕΦ
n
1
Ψ+X
n
n
ρ
n
ϕ
1
Ψ+X
n
.
n
A
Поэтому
σ(ϕΨ) −
||ϕ||
n
ρ
(ϕΨ) +
n
||ϕ||
n
и, значит,
σ(ϕΨ) ρ(ϕΨ)
для всякой предельной точки ρ последовательности мер ρ
.Посколькуэто
n
противоречит выбору Ψ, утверждение (d) доказано; его также можно вывести из общих свойств выпуклых функций (см. приложение A.3.7).
1
Существование такого Φnвытекает из плотности вмножества ϕ−1D.—Прим. ред.
3.8. ЭНТРОПИЯ 63
3.8. Энтропия
Для конечного Λ ⊂ Zνи вероятностной меры σΛна ΩΛэнтропия
определяется равенством
)=−
σΛ{ξ} ln σΛ{ξ}.
ξ∈Ω
Λ
S(σ
Нетрудно проверить, что
Λ
0 S(σ
При Λ=∅ энтропия считается равной нулю.
αS(σ
Действительно, положив σ
Если σ
Λ
)+(1− α)S(σ
Λ
— другая вероятностная мера и 0 <α<1,то
) S(ασΛ+(1− α)σ
Λ
= σΛ{ξ}, σ
ξ
) |Λ|ln |Ωo|.
Λ
αS(σ
)+(1− α)S(σ
Λ
= σ
Λ
ξ
)
Λ
{ξ} и пользуясь выпуклостью
функции t → t ln t и монотонностью логарифма, получим
−
[ασξln σξ+(1− α)σ
ξ
−
−
= −
[ασξln σξ+(1− α)σ
ξ
Если σ ∈ E,тоS(α
[ασξ+(1− α)σ
ξ
ξ
ln σ
]
ξ
ξ
]ln[ασξ+(1− α)σ
ξ
[ασξln ασξ+(1− α)σ
ln σ
ξ
ln(1 − α)σ
ξ
) − α ln α − (1 −α)ln(1− α)
ξ
−
σ) — возрастающая1функция множества Λ,кото-
Λ
[ασξln σξ+(1− α)σ
ξ
рая обладает свойством сильной субаддитивности:
)+ln2. (3.21)
Λ
]
ξ
]=
ξ
ln σ
]+ln2.
ξ
ξ
S(α
1
Точнее — неубывающая. — Прим. ред.
Λ1∪Λ
σ)+S(α
2
Λ1∩Λ
σ) S(α
2
σ)+S(α
Λ
1
σ). (3.22)
Λ
2
64 ГЛАВА 3
Возрастание S(αΛσ) прямо следует из монотонности логарифма. Чтобы до-
казать (3.22), воспользуемся неравенством − ln(1/t) t−1, в силу которого
S(α
Λ1∪Λ
= −
σ)+S(α
2
ξ∈Ω
=
Λ1∩Λ
ξξ
Λ1∩Λ
2
σ
ξ∈Ω
ξξξ
ξ∨ξ
σ
ξ
σ) −S(α
2
Λ1\Λ
2
σ
ξ∨ξ∨ξ
σ
ξ
ξ∈Ω
ξ∨ξ
σ) −S(α
Λ
1
Λ2\Λ
(
σ
ξ∨ξ
σ
ξ∨ξ∨ξ
−
1
ξξξ
σ
ξ∨ξ∨ξ
σ
ξ∨ξ
σ
σ
ξ∨ξ∨ξ
σ)=
Λ
2
− 1)=
ξ
ln
σ
ξ∨ξ∨ξ
σ
ξ∨ξ
=
ξξ
σ
ξ
σ
ξ∨ξ
σ
ξ∨ξ
− 1=0
(чтобы избежать неопределенных выражений, можно в приведенных выше
вычислениях сначала предположить, что σ
ξ∨ξ∨ξ
> 0 для всех ξ, ξ, ξ,а
затем перейти к пределу).
3.9. Предел на бесконечности в смысле Ван Хова
Будем говорить, что конечные множества Λ ⊂ Zνстремятся к бесконечности в смысле Ван Хова (и будем писать Λ ∞), если |Λ|→∞идля
любого a ∈ Z
Грубоговоря, это означает, что «граница множества Λ» становится в пределе
пренебрежимо малой по сравнению с Λ.
ν
|(Λ + a) \Λ|
|Λ|
→ 0.
3.10. Теорема
Если σ ∈ I, то существует предел
s(σ) = lim
Функция s, называемая средней энтропией
полунепрерывна сверху на I.
1
А также удельной энтропией. — Прим. ред.
|Λ|−1S(αΛσ)=infΛ|Λ|−1S(αΛσ).
Λ∞
1
, неотрицательна, аффинна и
3.10. ТЕОРЕМА 65
Если множества Λ1и Λ2не пересекаются, то (3.22) превращается в
свойство субаддитивности:
S(α
Λ1∪Λ
σ) S(α
2
σ)+S(α
Λ
1
σ). (3.23)
Λ
2
Так как σ ∈ I, справедливо равенство
S(α
σ)=S(αΛσ). (3.24)
(Λ+x)
Определив Λ(a) так же, как в теореме 3.4, положим
s =inf
a
|Λ(a)|−1S(α
σ). (3.25)
Λ(a)
Для всякого ε>0 выбираем такое b,что
−1
|Λ(b)|
S(α
σ) s + ε,
Λ(b)
и введем множество
ν
(b)={x ∈ Zν: xi= nibi,ni∈ Zν,i=1, ..., ν}.
Z
Сдвинув Λ(b) на все x ∈ Z
Пусть Λ
— объединение элементов этого разбиения, имеющих непустое
+
пересечение с Λ.ТогдаΛ
S(α
σ) — неубывающая функция множества Λ, из (3.23), (3.24) следует,
Λ
ν
(b), мы получим разбиение множества Zν.
⊃ Λ и |Λ+|/|Λ|→1 при Λ ∞.Таккак
+
что
|
|Λ
+
S(α
σ) S(α
Λ
Λ
+
σ)
|Λ(b)|
S(α
σ) |Λ+|(s + ε)
Λ(b)
и, значит,
lim sup
|Λ|−1S(αΛσ) s + ε. (3.26)
Λ∞
Из (3.25) и (3.26) получаем
lim
Если x/∈ Λ
|Λ(a)|−1S(α
a→∞
⊃ Λ, то вследствие сильной субаддитивности энтропии
Λ(a)
σ)=s.
(см. (3.22)) выполняется неравенство
S(α
σ) −S(αΛσ) S(α
Λ∪{x}
Λ∪{x}
σ) −S(α
σ), (3.27)
Λ
которое позволяет оценить, как возрастает энтропия, когда к множеству Λ
последовательно в лексикографическом порядке присоединяются новые
66 ГЛАВА 3
точки. В частности, если Λ фиксировано (с точностью до сдвига), а в каче-
стве Λ
фическом построении большого Λ(a), то (3.27) справедливо для большинства таких Λ
берутся множества, последовательно возникающие при лексикогра-
.Поэтому
S(α
σ) −S(αΛσ) lim
Λ∪{x}
|Λ(a)|−1S(α
a→∞
Λ(a)
σ)=s.
Отсюда следует, что
σ) |Λ|s
S(α
Λ
при всех Λ. Из этого неравенства с учетом (3.26) получаем
lim
|Λ|−1S(αΛσ)=infΛ|Λ|−1S(αΛσ)=s,
Λ∞
что доказывает первое утверждение теоремы.
Неотрицательность s вытекает из аналогичного свойства S, а аффинность — из (3.21). Наконец, s полунепрерывна сверху как inf непрерывных
функций σ →|Λ|
−1
S(αΛσ).
3.11. Лемма
Пусть EΛ— множество всех вероятностных мер на ΩΛ.Тогда
Φ
ln Z
=max
Λ
[S(σΛ) − σΛ(U
σΛ∈E
Λ
Действительно, вследствие вогнутости логарифма
S(σ
) − σΛ(U
Λ
Λ
Φ
)=
ξ∈Ω
σΛ{ξ} ln
Λ
−U
e
σΛ{ξ}
Φ
)].
Λ
Φ
(ξ)
Λ
ln
ξ∈Ω
Φ
−U
(ξ)
Λ
e
Λ
,
причем равенство справедливо тогда и только тогда, когда σ
Φ
)−1e
=(Z
Λ
−U
Φ
(ξ)
Λ
= μ
{ξ}.
(Λ)
Следующая теорема содержит вариант этого вариационного принципа
для термодинамического предела Λ ∞.
3.12. Теорема
Для всех A ∈C
P (A)=max
[s(σ)+σ(A)], (3.28)
σ∈I
{ξ} =
Λ
3.12. ТЕОРЕМА 67
причем множество точек максимума есть в точности IA. Для всех σ ∈ I
s(σ)= inf
[P (A) − σ(A)]. (3.29)
A∈C
Сначала докажем, что
P (A)=sup
при A = A
,гдеΦ ∈Ao. По лемме 3.11
Φ
P (A
) s(σ)+σ(AΦ) для всех σ ∈ I, (3.31)
Φ
поскольку
)=− lim
σ(A
Φ
a→∞
Припомощигиббсовскихансамблейμ
[s(σ)+σ(A)] (3.30)
σ∈I
|Λ(a)|−1(α
Λ(a)
(Λ)
Φ
σ)(U
). (3.32)
Λ(a)
для взаимодействия Φ опре-
делим теперь меры
ρ
{ξ} = |Λ(an)|
Λ,n
−1
Легко видеть, что последовательность (a
→∞и для любого конечного множества Λ ⊂ Zνсуществует предел
a
n
Тогда единственное состояние ρ, для которого α
x :Λ+x⊂Λ(an)
ρ
= lim
Λ
n→∞
(α
μ
Λ+x
) может быть выбрана так, что
n
ρ
. (3.33)
Λ,n
Λ
){τ−xξ}.
(Λ(an))
ρ = ρΛпри всех Λ,при-
надлежит I и
s(ρ) = lim
lim sup
b→∞
|Λ(b)|−1S(ρ
b→∞
= − lim
b→∞
lim sup
n→∞
)=
Λ(b)
|Λ(b)|
−1
lim
n→∞
|Λ(b)|−1|Λ(an)|
ρ
Λ(b),n
ξ∈Ω
Λ(b)
−1
x :Λ(b)+x⊂Λ(an)
lim sup
n→∞
{ξ} ln ρ
|Λ(an)|−1S(μ
{ξ}
Λ(b),n
S(α
Λ(b)+xμ(Λ(an))
(Λ(an))
)
) (3.34)
(на последнем шаге мы использовали (3.23) и тот факт, что существует |Λ(b)|
способов представить Λ(a
) в виде объединения сдвигов множества Λ(b)
n
68 ГЛАВА 3
плюс knточек, где kn/|Λ(an)|→0 при n →∞). Из (3.34) получаем
Φ
Λ(a
μ
(Λ(an))
{ξ}
= P(AΦ). (3.35)
s(ρ)+ρ(A
) lim
Φ
n→∞
|Λ(an)|
−1
ξ∈Ω
= lim
n→∞
μ
(Λ(an))
Λ(an)
|Λ(an)|−1ln Z
{ξ} ln
Φ
Λ(a
exp[−U
)
n
(ξ)]
)
n
=
Неравенства (3.31) и (3.35) доказывают (3.30) в случае, когда A = A
Φ ∈A
множества {A
. Так как обе части (3.30) непрерывны по A, то в силу плотности
o
:Φ∈Ao} в C это соотношение справедливо при всех A ∈C.
Φ
Φ
Кроме того, энтропия s(σ) полунепрерывности сверху, откуда следует, что
sup в (3.30) достигается и имеет место соотношение (3.28).
Докажем теперь (3.29). Из (3.28) мы уже знаем, что
s(σ) P(A) −σ(A),
и достаточно показать, что при подходящем выборе функции A правая часть
этого неравенства как угодно мало отличается от s(σ).Положим
C = {(σ, t) ∈C
∗
× R : σ ∈ I и 0 t s(σ)}.
Так как функция s аффинна и полунепрерывна сверху, множество C выпукло и компактно. Поэтому для любых ρ ∈ I и u>s(ρ) существуют такие
A ∈Cи c ∈ R,что
−ρ(A)+c = u
и
−σ(A)+c>s(σ) для всех σ ∈ I
(см. приложение A.3.3). Отсюда следует, что
−σ(A)+u + ρ(A) >s(σ),
иеслиσ выбрано так, что P (A)=s(σ)+σ(A),то
,
0 P (A) −
s(ρ) − ρ(A)=s(σ)+σ(A) −s(ρ) − ρ(A) <u−s(ρ).
Поскольку разность u − s(ρ) можно считать как угодно малой, равен-
ство (3.29) доказано.
Усл ов ие ρ ∈ I
,т.е.
A
P (A + B) P (A)+ρ(B) при всех B ∈C
можно записать в виде
P (A + B) − ρ(A + B) P (A) − ρ(A) для любого B ∈C,
что эквивалентно неравенству
[P (C) −ρ(C)] P (A) −ρ(A),
inf
C∈C
или, в силу (3.29), неравенству
s(ρ) P (A) − ρ(A).
3.13. СЛЕДСТВИЕ 69
Поэтому max в (3.28) достигается в точности на I
. Теорема доказана.
A
3.13. Следствие
Имеют место следующие соотношения, обобщающие (3.9) и (3.10):
Φ
P
= lim
Λ∞
|Λ|−1ln Z
P (A) = lim
Вначале заметим, что если Φ ∈A
доказательства (3.16), приводят к неравенству
lim sup
Λ∞
С другой стороны, в силу леммы 3.11 при всех σ ∈ I
lim inf
|Λ|−1ln Z
Λ∞
апотомупривсехΦ ∈A
o
lim
Λ∞
Как обычно, случай произвольного Φ ∈Aсводится к только что рассмот-
ренному с использованием плотности множества A
мерной непрерывности. Заменяя Ω
предела
lim
Λ∞
В силу теоремы 3.4 этот предел равен P
Равенство (3.37) доказывается так же, как (3.10) в теореме 3.4.
Φ
Λ
|Λ|−1ln Z
Λ∞
o
|Λ|−1ln Z
Φ
s(σ)+σ(AΦ),
Λ
|Λ|−1ln Z
на Ω
Λ
|Λ|−1ln Z
= lim
Λ∞
|Λ|−1ln Z
∗
(A). (3.37)
Λ
∗Φ
, (3.36)
Λ
, то рассуждения, примененные для
Φ
PΦ.
Λ
Φ
= PΦ.
Λ
в A и свойства равно-
∗
, устанавливаем существование
Λ
∗Φ
Λ
Φ
. Тем самым, выполняется (3.36).
o
.
70 ГЛАВА 3
3.14. Следствие
Для любого A ∈Cмножество IAявляется симплексом Шоке и гранью I.
Мы знаем, что I — симплекс (предложение 3.6). Пусть ρ ∈ I
и mρ—
A
единственная вероятностная мера на I срезультантомρ, сосредоточенная
на множестве крайних точек I.Положив'A(σ)=σ(A), получим (см. при-
ложение A.5.1)
m
(s +'A)=s(ρ)+ρ(A)=P(A).
ρ
Отсюда следует, что носитель меры m
s(σ)+σ(A)=P (A)} = I
.ПоэтомуIAявляется симплексом и гранью
A
содержится в множестве {σ ∈ I:
ρ
симплекса I.
3.15. Физическая интерпретация
Мы уже отмечали в параграфе 1.1, что функцию A ∈Cможно рассматривать как наблюдаемую величину. Если ρ ∈ E, то равенство
μ
(ϕ)=ρ(ϕ ◦ A) (для всех непрерывных ϕ : R → R)
A
задает на R вероятностную меру μ
= Aρ.МераμAописывает распределе-
A
ние значений наблюдаемой A в состоянии ρ.ВобщемслучаеA флуктуирует,
т. е. носитель меры μ
состоит из более чем одной точки.
A
Рассмотрим теперь среднее наблюдаемой A по всем сдвигам из Λ,
определяемое равенством
= |Λ|
−1
A ◦ τx.
x∈Λ
A
Λ
Пусть ρ ∈ I. Тогда условие
ρ([AΛ− ρ(A)]2)=0для всех A ∈C
lim
Λ∞
выполняется в том и только том случае, когда ρ — эргодическое состояние
(см. § 3.6). Это условие означает, что при больших Λ среднее A
флуктуи-
Λ
рует слабо; мы говорим в этом случае, что ρ —(чистая термодинамическая)
фаза. Такая фаза характеризуется тем, что «крупнозернистые» величины,
т. е. средние A
, не флуктуируют (при Λ ∞). С другой стороны, по
Λ
отношению к смеси некоторые крупнозернистые величины флуктуируют.
Заметим, что согласно физическим представлениям каждая смесь должна
иметь единственное разложение на чистые фазы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]