Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
9.6. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ 241
Случай А (полный сдвиг, непрерывная функция g>0). Предполо-
жение, что сдиг — «полный» равносильно тому, что (J
зующее разбиение и fJ
= X при i =1, ...,N. В этом случае, согласно
i
, ..., JN) —обра-
1
стандартной теории (см. Уолтерс [1], Рюэль [4]),
m
m−1
k=0
gfkx
1/m
.
−1
,гдеr —радиус
exp P(ln g) = lim
m→∞
x∈Fix f
Так как g>0, правая часть этого равенства имеет вид r
сходимости ряда
∞
(
m
m=0
z
m
x∈Fix f
ζ(z)=exp
Теорема 9.19 и теорема 9.10(c) показывают, что если r>Θ
аеслиr =Θ
−1
,тоR =Θ,такчтововсехслучаяхR =expP (ln g) Θ.
m
m−1
k=0
gfkx
)
.
−1
,тоr = R−1,
Случай B (образующее марковское разбиение, g 0). Здесь и в даль-
нейшем «марковость» означает, что fJ
= X при i =1, ..., N.Спомощью
i
предложения 9.7 мы строим систему ('X,'f, 'g), где функция 'g непрерывна
в периодических точках. Заметим, что X — канторово множество и, значит,
'
X — тоже канторово множество. Пусть
сверху функция, удовлетворяющая условию
обращается в нуль вне некоторого счетного множества, не содержащего
периодических точек. Кроме того,
Пусть (A
) — убывающая последовательность непрерывных положи-
n
тельных функций, сходящаяся к ln
g — наименьшая полунепрерывная
g 'g. Тогда разность g − 'g
(g(x) − 'g(x)) < +∞.
x∈X
g. Используя очевидные обозначения,
можно написать
Θ
# Θ='Θ Θ,
n
где первое соотношение следует из определения Θ, второе — из предложения 9.8 и третье — из предложения 9.9. Покажем, что
R
# R ='R, R =max('R, Θ).
n
Первое утверждение вытекает из определения R, второе — из следствия 9.14, а последнее — из Θ-эквивалентности операторов L и'L (см.
предложение 9.12).
Если exp P (ln g) > Θ, то можно считать, что в равенстве
P (ln g)=sup
(h(ρ)+ρ(ln g))
ρ
242 ГЛАВА 9
мера ρ — неатомическая и h(ρ) > 0. Следовательно,
) P (ln g)=P (ln 'g)=P (ln g) > Θ.
P (A
n
Из равенства exp P (A
)=Rn(см. случай (A)) получаем
n
#¯R ='R = R>Θ.
R
n
Поэтому остается доказать, что если R>Θ > 0,тоR =expP (ln g),
причем мы уже знаем, что
Θ
# Θ='Θ Θ,
n
# R ='R = R.
R
n
2ε
Положив R/Θ=e
Так как R
=expP (An) (см. случай (A)), можно утверждать, что
n
для подходящей меры ρ
рять неравенству'h(ρ
, мы видим, что при достаточно большом n
R
'
h(ρ
)+ρn(An)=P (An) ln Θn+ ε
n
n
) ε.1Выделив из ρnподпоследовательность, слабо
n
R/Θeε= eε.
n/Θn
∈'I, которая, в частности, должна удовлетво-
сходящуюся к 'ρ, получим (см. ниже, § 9.7)
P (A
) # P (ln g)='h('ρ)+'ρ(ln g),
n
'
h('ρ) ε.
Таким образом, существует неатомическая мера 'ρ, удовлетворяющая тем
же условиям. В частности,
P (ln 'g) P (ln
g)='h('ρ)+'ρ(ln g)='h('ρ)+'ρ(ln 'g) P (ln 'g),
так что
P (ln
g)=P (ln 'g)='h('ρ)+'ρ(ln 'g).
Кроме того,
h('ρ)+ 'ρ(ln 'g)=h('π 'ρ)+('π 'ρ)(ln g) P (ln g).
1
Поскольку из определения Θn(см. § 9.3) следует, что ρn(An)ln Θn.—Прим. ред.
9.6. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ 243
Объединив эти факты, получим
) # P (ln g)=P (ln 'g) P (ln g).
P (A
n
Значит, при больших n
P (ln g) P(A
) − ε =lnRn− ε ln R − ε ln Θ + ε.
n
Отсюда видно, что в формуле
P (ln g)=suph(ρ)+ρ(ln g)
sup можно брать по неатомическим мерам ρ с h(ρ) ε и, тем самым, по
мерам ρ вида 'π'ρ.Поэтому
P (ln 'g)=P (ln g).
В итоге получаем
) # P (ln g)=P (ln 'g)=P (ln g),
P (A
n
и так как уже известно, что R
#¯R ='R = R и Rn=expP (An),мы
n
приходим к равенству R =expP (ln g).
Случай C (марковское разбиение, g 0). Спомощьюпредложе-
ния 9.4 построим образующее марковское разбиение. При этом будет вы-
полняться неравенство Θ 'Θ, а в силу предложения 9.12 — равенство
R =max('R, Θ),
где'R =expP (ln 'g) (см. случай (B)).
a) Предположим сначала, что exp P (ln g) > Θ. Тогда в равенстве
P (ln g)=sup(h(ρ)+ρ(ln g))
можно ограничиться мерами ρ, для которых h(ρ) ε при некотором ε>0
1
(например при ε =
средоточенная на множестве π
(P (lng) −ln Θ)). Если σ — инвариантная мера, со-
2
−1
'
Y = Y =
Uα(см. предложение 9.4), то
α
вследствие счетности'Y мера πσ сосредоточена на объединении периодических орбит. Если πσ сосредоточена на одной периодической орбите, мы
можем считать, что ρ(U
поскольку f
n
|Uα— гомеоморфизм. В более общем случае, когда мера σ
)=1/n и fnUα⊂ Uα.Втакомслучаеh(σ)=0,
α
244 ГЛАВА 9
−1
'
сосредоточена на Y = π
Y , равенство h(σ)=0также выполняется. По-
этому можно считать, что P (ln g) задается как sup по тем ρ, для которых
ρ(Y )=0. Следовательно,
P (ln 'g)=P (ln g).
Таким образом,
'
R =expP (ln 'g)=expP (ln g) > Θ
и, тем самым, R ='R =expP (ln g).
b) Теперь предположим, что R>Θ и, значит,
R ='R =expP (ln 'g).
Положив R/Θ=e
2ε
,получим
exp P(ln 'g)=e
2ε
Θ e
2ε
'
Θ.
Поэтому меры 'ρ в равенстве
P (ln 'g)=sup
'
h('ρ)+'ρ(ln 'g)
можно считать удовлетворяющими условию'h('ρ) ε и к тому же неатоми-
ческими. В результате получим 'ρ('Y )=0, 'ρ = πρ,гдеρ ∈Iи
h(ρ)+ρ(ln g)=h('ρ)+'ρ(ln 'g).
Таким образом, expP (ln g) exp P (ln 'g)=R>Θ, и мы возвращаемся к
случаю (A).
Случай D (разбиение общего вида, g 0). Спомощьюпредложе-
ния 9.3 перейдем от произвольного разбиения к марковскому. При этом
будет выполняться равенство'Θ=Θ.ОтождествивX с некоторым подмножеством множества
'
X, можно утверждать, что если ρ ∈'I и интеграл
ρ (ln 'g) конечен, то suppρ ⊂ X. Следовательно,
P (ln 'g)=sup
(h(ρ)+ρ(ln 'g)) = sup
ρ∈I
(h(ρ)+ρ(ln g)) = P(ln g).
ρ∈I
Если exp P(ln g) > Θ и, значит, exp P (ln 'g) >'Θ,то'R =expP (ln 'g)
(см. случай (C)), вследствие чего'R>'Θ. Поэтому предположение
9.6. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ 245
max (R, exp P (ln g)) > Θ приводит к заключению, что max(R,'R) > Θ=
='Θ. С помощью предложения 9.12 отсюда сначала получаем R ='R>Θ,
затем R ='R =expP (ln 'g) (см. случай (C)) и наконец R =expP (ln g).
Случай E (общий). С помощью предложения 9.1 перейдем от мини-
мального покрытия к разбиению. При этом будет выполняться равенство
'
Θ=Θ.Еслиexp P (ln g) > Θ, то обычное рассуждение позволяет доказать,
что P (ln g)=P (ln 'g),атаккакexp P (ln 'g)='R (случай (D)), мы получаем'R>Θ. Поэтому предположение max (R, exp P(ln g)) > Θ приводит к
неравенству max(R,'R) > Θ
'
R = R>Θ='Θ.Таккак'R =expP (ln 'g) (случай (D)), справедливо нера-
. Отсюда следует (см. предложение 9.12), что
венство exp P (ln 'g) >'Θ. Еще раз применив обычные рассуждения, получим
P (ln g)=P (ln 'g). Таким образом, R ='R =expP (ln 'g)=expP (ln g),что
и требовалось доказать.
Следующая теорема справедлива при наших обычных предположениях
относительно X, f и g, включающих, в частности, ограниченность вариации
функции g.
Теорема 9.22.
1
Если g 0 и exp P (ln g) > Θ, то множество равно-
весных состояний
9
Δ=8ρ ∈I: h(ρ)+ρ(ln g)=P (ln g)
непусто и представляет собой симплекс, вершинами которого служат эргодические меры с энтропией h P (ln g) − ln Θ.
Если энтропия h полунепрерывна сверху на I,аg — полунепрерывная
функция на X,то
ρ → h(ρ)+ρ(ln g)
— аффинная полунепрерывная сверху функция на I. Поэтому она достигает
максимума, равного P (ln g), на некоторой грани Δ симплекса Шоке I,которая также является симплексом. Вершины (крайние точки) симплекса Δ —
это эргодические меры, так как Δ —граньсимплексаI.
При доказательстве теоремы 9.21 мы свели общий случай к случаю
системы ('X,'f,
g) (см. пункт (b) доказательства упомянутой теоремы), в
которой'h и g полунепрерывны сверху. В этой ситуации множество
Δ=ρ ∈'I:'h(ρ)+ρ(ln g)=P (lng)
1
В доказательстве этой теоремы используется теория Шоке (симплексы, грани и т. д.), для
знакомства с которой см., например, Шоке и Мейер [1].
246 ГЛАВА 9
является гранью симплекса'I, вершины которого — эргодические меры. Так
как ρ(ln
− ln
воспользуемся слабой топологией на'I и
g) lnΘ,приρ ∈ Δ выполняется неравенство'h(ρ) P (ln g) −
Θ > 0, откуда видно, что Δ состоит из неатомических мер. Теперь
Δ, т.е. топологией поточечной
сходимости на пространстве'C непрерывных функций'X → C.Этатополо-
гия на
Δ не изменится, если заменить'C на'C∪'B,где'B — пространство
функций'X → C ограниченной вариации (элементы множества'B определяют на
мер). Если теперь заменить'C∪'B на'B, топология на
Δ непрерывные функции, так как Δ состоит из неатомических
Δ опятьнеизме-
нится (так как последняя замена приводит к более слабой хаусдорфовой
топологии, которая, тем самым, эквивалентна исходной топологии). Нако-
нец, слабая топология на
Δ есть тоже топология поточечной сходимости
на'B. Конструкции, проведенные при доказательстве теоремы 9.2, индуцируют линейный гомеоморфизм Δ → Δ, причем топология на Δ —это
опять топология поточечной сходимости на B, т. е. слабая топология. Тем
самым, множество Δ непусто и является симплексом, а его вершины — это
эргодические меры с энтропией h P (ln g) − ln Θ.
9.7. Приложение: общее определение давления
1
Пусть X —метризуемыйкомпактиf : X → X — непрерывное отоб-
ражение. Последнее называется разделяющим точки,еслидлявсякойдо-
пустимой метрики d найдется такое ε>0,чтоеслиd(f
k
x, fky) <εпри
всех k 0,тоx = y. В соответствии с терминологией главы 8 можно сказать, что если X ⊂ R и (X, f) обладает образующим разбиением, то f
разделяет точки.
Обозначим через I множество f -инвариантных вероятностных мер
на X, снабженное слабой топологией (при этом I оказывается компактом). Если ρ ∈I, то энтропия h(ρ) может принимать любые значения от
до нуля до бесконечности. Функция h(·) — аффинная, и если f разделяет
точки, то энтропия h(·) конечна и полунепрерывна сверху (см. Уолтерс [2]
и гл. 6). Заметим, что построение проективного предела позволяет перейти
от непрерывного разделяющего точки отображения к гомеоморфизму с тем
же свойством, т.е. такому гомеоморфизму f ,чтоеслиd(f
k
x, fky) <εпри
всех k ∈ Z,тоx = y.
1
Поскольку в настоящее издание входит перевод книги «Термодинамический формализм»,
повторение в данном параграфе некоторых определений из этой книги можно при желании
считать излишеством. Мы, однако, не пошли на возможные (весьма незначительные) сокращения, чтобы сохранить с максимальной полнотой оригинальный стиль автора. — Прим. ред.
9.7. ПРИЛОЖЕНИЕ: ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ 247
Для непрерывной функции A: X → R давление P (A) определяется
равенством
P (A)=sup
(h(ρ)+ρ(A)) .
ρ∈I
Понятие давления пришло из статистической механики, см. Рюэль [4]; имеется другое определение давления, его эквивалентность приведенной выше
формуле доказана Уолтерсом [2]. Мера ρ ∈I, для которой h(ρ)+ρ(A)=
= P (A), называется равновесным состоянием. Если, в частности, функция h(·) полунепрерывна сверху, то для A существует по крайней мере
одно равновесное состояние.
С помощью той же формулы давление и равновесные состояния можно
определить и для некоторых отображений A, не являющихся непрерывными. Укажем один случай, в котором это обобщение полезно.
Если энтропия h, определенная на I, конечна и полунепрерывна сверху, а функция g на X неотрицательна и также полунепрерывна сверху, то
формула
ρ → h(ρ)+ρ(ln g)(9.4)
определяет аффинное полунепрерывное сверху отображение I→R∪{−∞}
имыможемположить
P (ln g)=max
Если (A
) — убывающая последовательность непрерывных функций, схо-
n
дящаяся к ln g,тоP (A
для A
и ρn→ ρ (слабо), то ρ — равновесное состояние для ln g.
n
) → P (ln g).Еслиρn— равновесное состояние
n
(h(ρ)+ρ(ln g)) .
ρ∈I
Для доказательства заметим, что функция ρ → ρ(ln g) является пре-
делом убывающей последовательности непрерывных функций ρ → ρ(A
n
Поэтому она полунепрерывна сверху, так что функция (9.4) также полунепрерывна сверху. Поскольку
)=h(ρn)+ρn(An)
P (A
n
→ ρ, мы имеем
и ρ
n
P (ln g) lim
вследствие чего P(A
P (An) h(ρ)+ρ(An) → h(ρ)+ρ(ln g) P (ln g),
n→∞
) → P (ln g) и ρ — равновесное состояние для lng.
n
).
Приложение A.1
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ИРЕЗУЛЬТАТЫ
A.1.1. Порядок
Пусть — отношение порядка на множестве E и S ⊂ E.Существует
не более одного a ∈ S, для которого a x при всех x ∈ S (a — наибольший
элемент множества S) и не более одного b ∈ S, для которого b x при
всех x ∈ S (b — наименьший элемент множества S).
Если a ∈ E и a x при всех x ∈ S,тоa — мажоранта множества S.
Если множество мажорант имеет наименьший элемент, то он называется
верхней гранью множества S и обозначается ∨S.
всех x ∈ S,тоb — миноранта множества S. Если множество минорант
обладает наибольшим элементом, то последний называется нижней гранью
множества S и обозначается ∧S.
2
Упорядоченное множество E называется структурой, если каждое его
конечное подмножество S ⊂ E обладает верхней гранью и нижней гранью.
Достаточно потребовать, чтобы это имело место для каждого двухэлементного подмножества.
1
Если b ∈ E и b x при
A.1.2. Массивные множества
Пусть E — топологическое пространство. Множество S ⊂ E называется массивным, если оно содержит пересечение счетного числа всюду
плотных открытых множеств. Если E метризуемо и полно, то каждое его
1
В переводе этих терминов мы следуем традиции, сложившейся в отечественной математической литературе и несколько отступаем от терминологии автора: на месте «мажоранты» в
оригинале стоит «upper bound», а на месте «верхней грани» — «least upper bound». Аналогичное
замечание относится к понятиям миноранты и нижней грани (см. ниже). — Прим. ред.
2
Заметим, что использование нами символов ∨ и ∧ для покрытий (см. § 6.3) не вполне
соответствует этим определениям.
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ 249
массивное подмножество всюду плотно в E (теорема Бэра). Мы будем говорить, что свойство (точек x пространства E)являетсятипичным,если
им обладают все x из некоторого массивного подмножества.
A.1.3. Полунепрерывность сверху
Функция f на топологическом пространстве E со значениями
в R{−∞} называется полунепрерывной сверху,еслидлялюбыхx ∈ E
и a>f(x) существует такая окрестность N
точки x,что
x
y ∈ N
⇒ f (y) <a.
x
Это эквивалентно требованию, чтобы для всякого действительного a множество {x ∈ E : f (x) <a} было открыто, или чтобы множество {x ∈ E:
f(x) a} было замкнуто.
Нижняя грань семейства непрерывных действительных функций на
пространстве E полунепрерывна сверху. Если E компактно и функция f
полунепрерывна сверху, то существует точка x ∈ E, для которой
f(x)=sup
f(y).
y∈E
Таким образом, на компактном множестве всякая полунепрерывная сверху
функция достигает своего максимума.
A.1.4. Субаддитивность
Предположим, что функция F (a1, ..., ar) определена для всех натуральных a
F (a
1
Вэтомслучае
, ..., ar. Она называется субаддитивной,еслипривсехk
1
,...,a
+a
, ...,ar) F (a1, ...,a
k
k
lim
a1, ..., ar→∞
F (a1, ..., ar)
r
k=1
a
k
, ...,ar)+F (a1, ...,a
k
=inf
a1, ..., a
F (a1, ..., ar)
r
r
k=1
, ...,ar).
k
,
a
k
причем предел является действительным числом или равен −∞ (это используется при доказательстве соотношения (3.17)).
Приложение A.2
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
Пусть Ω — непустое хаусдорфово топологическое пространство и
f :Ω → Ω — непрерывное отображение. Пара (Ω,f) называется топо-
логической динамической системой.Точкаx ∈ Ω называется блуждающей,
если у нее существует такая окрестность U ,чтоU ∩
ка x ∈ Ω называется неблуждающей, если для любой ее окрестности U и
любого числа N 0 найдется такое n>N,чтоf
щие точки образуют неблуждающее множество Λ.МножествоΛ замкнуто
и f Λ ⊂ Λ.Еслиf — гомеоморфизм, то неблуждающие множества отображе-
−1
ний f
и f совпадают. Если пространство Ω компактно, то неблуждающее
множество непусто.
Будем говорить, что динамическая система (Ω,f) (или отображение f)
топологически (+)-транзитивна, если выполняется следующее условие:
(+T) для любых двух непустых открытых множеств U , V ⊂ Ω и
любого N 0 существует такое n>N,чтоf
n
Если отображение f топологически (+)-транзитивно, то неблуждающее множество совпадает с Ω. Гомеоморфизм f топологически (+)-транзи-
тивен тогда и только тогда, когда этим свойством обладает f
компактное метризуемое пространство, то (+T) эквивалентно каждому из
следующих двух условий:
точек последовательности {f
вательности {f
ство предельных точек последовательности {f
странством Ω, если множество {f
(+T
) Существует точка x ∈ Ω, для которой множество предельных
(+T
) Те x ∈ Ω, для которых множество предельных точек последо-
n
x}
[Пусть {V
n>0
— счетный базис топологии пространства Ω.Множе-
k}k>0
n
x}
совпадает с Ω.
n>0
совпадает с Ω, образуют массивное множество.
n
m+n
x: n>0} всюдуплотновΩ при
x} совпадает со всем про-
любом m>0.Множествотехx, для которых верно последнее, имеет вид
m>0
n
−m−n
f
Vk,
k>0
т. е. является счетным пересечением открытых множеств. Если выполняется
условие (+T), то это множество имеет непустое пересечение с каждым
∞
fnU = ∅.Точ-
n=1
n
U ∩U = ∅. Hеблуждаю-
U ∩ V = ∅.
−1
.ЕслиΩ —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]