Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики
.pdf
КОММЕНТАРИИ 91
Зададим конечное множество Ω0и трансляционно-инвариантное семейство (
ΩΛ)
,гдеΩΛ⊂ (Ω0)Λ. Тогда проблема выяснения, определяют
Λ∈F
ли эти данные непустое пространство конфигураций
2
Ω={ξ ∈ (Ω
Z
)
:(∀Λ ∈F) ξ|Λ ∈ ΩΛ},
0
алгоритмически неразрешима (см. Бергер [1]).
(b) Среди Z
кая, в которой нет периодических конфигураций: если ξ ∈ Ω и τ
a =0. Соответствующий пример с |Ω
тропией (см. § 6.20) построен Робинсоном [1]. Обнаружение Z
2
-решетчатых систем, описанных в пункте (a), найдется та-
| =56и нулевой топологической эн-
0
a
ξ = ξ,то
2
-решетчатой
системы без периодических конфигураций служит составной частью доказательства свойства неразрешимости, упомянутого в пункте (a), и, в свою
очередь, из этого свойства следует существование таких систем.
(с) Робинсон [1] построил систему того же типа с |Ω
торой неразрешима следующая проблема продолжения: для произвольного
конечного Λ ⊂ Z
∗
что ξ
|Λ=ξ.
(d) Пусть K(l)={x ∈ Z
2
идляξ ∈ ΩΛвыяснить, существует ли такое ξ∗∈ Ω,
2
: |x1| l, |x2| l}. Используя Z2-ре-
| =36,дляко-
0
шетчатую систему из (с), определим наименьшую функцию F : N → N
со следующим свойством: элемент ξ ∈ Ω
∗
го ξ
∈ Ω тогда и только тогда, когда он может быть продолжен до некото-
∗∗
рого ξ
∈ Ω
. Вследствие неразрешимости проблемы из пункта (c)
K(F (l))
продолжается до некоторо-
K(l)
функция F невычислима. В частности, она очень быстро возрастает. Таким
образом, хотя условия ξ|Λ ∈
ΩΛналожены лишь на множества, Λ ∈F,
образованные парами соседних точек, влияние этих условий распространяется на очень большие расстояния.
Комментарии
Добрушин [2] показал, что трансляционно-инвариантные гиббсовские
состояния являются равновесными состояниями. Обратное установили Лэнфорд и Рюэль [1]. Эквивалентность этих двух понятий, занимающая центральное место в статистической механике, является основным результатом
настоящей главы. В качестве приложения мы доказали, следуя Гриффитсу
и Рюэлю [1], теорему о «строгой выпуклости давления». Оставшаяся часть
главы посвящена общим результатам, касающимся морфизмов, совместимых с действием группы Z
ν
.
92 ГЛАВА 4
Упражнения
1. Пусть A1, A2∈CΔ,гдеΔ — конечное множество. Предположим,
что существует σ
при x →∞. Показать, что тогда для некоторого взаимодействия Φ ∈Bнай-
дется такое эргодическое равновесное состояние σ,чтоσ(A
имеет предела при x →∞. Отсюда, в частности, следует, что σ не является
чистым гиббсовским состоянием для взаимодействия Φ.(См.Израэль[1],
теорема 5. Положим
1
L =
2
ν
x∈Z
и будем действовать, как в лемме 3.19. Это даст нам состояние σ
тельно эргодическое) с требуемым свойством. В его эргодическом разложении найдется состояние σ с тем же свойством, которое, в силу теоремы 1.11,
не является чистым гиббсовским состоянием.)
2. Предположим, что F = ∅,т.е.Ω=(Ω
странство таких взаимодействий Φ,что
∈ I , для которого σ0[A1· (A2◦ τx)] не имеет предела
0
1
(bxA1· (A2◦ τx)+b−x(A1◦ τx) · A2): bx∈ R,
ν
Z
)
.ПустьS0⊂B— подпро-
0
Φ(ξ ∨η)=0
ξ∈Ω
Λ
· (A2◦τx)) не
|bx| < ∞
x∈S
(не обяза-
для всех пар непересекающихся конечных множеств Λ, M ивсехη ∈ Ω
Если Ω
= {0, 1},топустьS1⊂B— подпространство таких взаимодей-
0
M
ствий Φ,чтоΦ(ξ|X )=0во всех случаях, кроме одного, а именно, когда
ξ
=1при всех x ∈ Λ.ДоказатьдляS = S0и S = S1следующие утвер-
x
ждения.
(a) Если σ — общее гиббсовское состояние для Φ, Φ
(b) Если взаимодействия Φ, Φ
=Φ
.
∈Sфизически эквивалентны, то Φ=
∈S,тоΦ=Φ.
(c) Ограничение P на S строго выпукло.
(См. Гриффитс и Рюэль [1]. Чтобы доказать утверждение (a), заметим,
что в силу замечания 1.14 supp σ =Ω.Таккакσ является гиббсовским
состоянием, отношение
exp[−U
exp[−UΛ(ξ
где ξ, ξ
∈ ΩΛ, η ∈ Ω
Zν\Λ
подпространства S = S
, одинаково для взаимодействий Φ и Φ. В случае
0
Λ(ξΛ
) − W
) − W
Λ
Λ, Zν\Λ
Λ, Zν\Λ
(ξΛ∨ η)]
(ξ
∨ η)]
Λ
,
определим для конечного X «частичный след»
.
TX: C→CXравенством
(T
A)(ξ) = lim
X
M→Z
УПРАЖНЕНИЯ 93
M\X
|
−1
η∈Ω
A((ξ|X ) ∨η).
M\X
|Ω
ν
Используя отображение T
одинакова для Φ и Φ
ВслучаеS = S
ходим к заключению, что разность U
и Φ
— одна и та же, откуда получаем Φ|ΩX=Φ|ΩX. Для доказательства
,взявη, для которого ηx=0при всех x ∈ Zν\Λ, опять при-
1
, можно показать, что разность UΛ(ξΛ) −UΛ(ξ
Λ
. Отсюда индукцией по |X| получаем Φ|ΩX=Φ|ΩX.
Λ(ξΛ
) −UΛ(ξ
) для взаимодействий Φ
Λ
Λ
утверждений (b) и (c) см. § 4.7.)
3. Пусть Ω
го Λ ⊂ Z
ν
при x/∈ Λ,тоξ ∈ Ω. Показать, что на такую Z
= {0, 1}. Предположим, что если для некоторого конечно-
0
элемент ξ ∈ (Ω0)
ν
Z
удовлетворяет условию ξ|Λ ∈ ΩΛи ξx=0
ν
-решетчатую систему (она
называется «решетчатым газом с твердой сердцевиной») можно обобщить
результаты упражнения 2 с S = S
.
1
)
ГЛАВА 5
ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
Теория гиббсовских состояний на «решетке» Zνлучше всего понята
в одномерном случае (при ν =1), к изучению которого мы приступаем.
Z-решетчатая система (Z, Ω
конечного типа. Заметим, что теперь τ
пень «сдвига» τ = τ
1
.
, (ΩΛ)
0
Переходя к Z-изоморфной системе (см. следствие 4.10(b)), мы можем
предположить, что F состоит из двухточечных множеств {x, x +1}.Пусть
t — квадратная матрица, индексированная множеством Ω
тами
+
1, если (i, j) ∈
=
t
ij
0, если (i, j) /∈
) называется также подсдвигом
Λ∈F
a
можно рассматривать как a-ю сте-
× Ω0, с элемен-
0
Ω
{x, x+1}
Ω
{x, x+1}
,
.
В таком случае ξ ∈ (Ω
)Zявляется элементом множества Ω,еслиитолько
0
если
t
ξx,ξ
=1при всех x ∈ Z.
x+1
В дальнейшем будет удобно использовать для этой Z-решетчатой систе-
мы обозначение (Ω
,t). Мы будем предполагать, что при любом i ∈ Ω
0
существует ξ ∈ Ω, для которого ξ0= i.
Будем говорить, что Z-решетчатая система является транзитивной,если τ действует на Ω топологически (+)-транзитивно
двух непустых открытых множеств U, V ⊂ Ω илюбогоN 0 найдется
такое n>N,чтоU ∩ τ
лентна выполнению следующего условия: для любых i, j ∈ Ω
такое целое a>0,что(t
n
V = ∅. Транзитивность системы (Ω0,t) эквива-
a
)ij> 0.
1
, т.е. если для любых
найдется
0
Будем говорить, что Z-решетчатая система является перемешивающей,
если действие τ на пространстве Ω топологически перемешивает, т.е. если
для любых двух непустых открытых множеств U , V ⊂ Ω найдется такое N>0,чтоU ∩τ
шивание эквивалентно существованию такого целого a>0,что(t
при всех i, j ∈ Ω
1
См. приложение A.2.
n
V = ∅ при всех n>N. Для системы (Ω0,t) переме-
.
0
a
)ij> 0
0
5.1. ЛЕММА 95
Пусть B1= B1(Z, Ω0, (ΩΛ)
) — банахово пространство трансляци-
Λ∈F
онно-инвариантных взаимодействий с нормой
||Φ||
= Φ + Φ1, (5.1)
1
где
и diam{x
|| · ||
, ..., xl} = xl− x1,еслиx1<...<xl. Заметим, что B1⊂Bи
1
|| · || (см. также ниже замечание 5.17).
1
Φ1=
X0
diam X
|X|
|Φ(ξ)| < ∞ (5.2)
sup
ξ∈Ω
X
Пусть R ⊂{x ∈ Z : x<a}, S ⊂{x ∈ Z : x a}.ЕслиΦ ∈B
сумма W
при этом
корректно определена даже для бесконечных множеств R, S;
R, S
|W
R, S
(ξ)|
X : X∩R=∅,
X∩S=∅
|Φ(ξ|X )| Φ1. (5.3)
5.1. Лемма
Если F :(Z, Ω
мом и Φ ∈B
ражение F
∗
, (Ω
0
(Z, Ω0, (ΩΛ)
1
непрерывно.
Из параграфа 2.3 следует, что
и, аналогичным образом,
Λ
)
) → (Z, Ω0, (ΩΛ)
Λ∈F
),тоF∗Φ ∈B1(Z, Ω
Λ∈F
F∗Φ |M(0)|· Φ
) является Z-морфиз-
Λ∈F
, (Ω
0
)
Λ∈F
Λ
,то
1
) иотоб-
F∗Φ1 |M(0)|·[(diam M (0)) · Φ + Φ1].
Нижеследующие теоремы 5.2 и 5.3 показывают, что изучение гиббсовских состояний для Z-решетчатой системы с взаимодействием Φ ∈B
сводится к изучению гиббсовских состояний для перемешивающих Z-ре-
шетчатых систем.
5.2. Теорема
Для всякой Z-решетчатой системы (Z, Ω0, (ΩΛ)
(α)
нечное число транзитивных систем (Ω
мов
(α)
F
:(Ω
(α)
0
(α)
,t
) → (Z, Ω0, (ΩΛ)
,t
0
(α)
) иинъективныхZ-морфиз-
) существует ко-
Λ∈F
)
Λ∈F
1
96 ГЛАВА 5
таких, что
(a) образы F
(b) каждое гиббсовское состояние для взаимодействия Φ ∈B
ется выпуклой комбинацией гиббсовских состояний F
гиббсовское состояние для F
(c) если ξ ∈ Ω — периодическая точка (т.е. τ
p>0),тоξ принадлежит одному из множеств F
(α)Ω(α)
не пересекаются;
(α)∗
Φ на (Ω
(α)
0
,t
(α)
(α)σ(α)
),
p
ξ = ξ при некотором
(α)Ω(α)
,гдеσ
.
1
явля-
(α)
5.3. Теорема
Для всякой транзитивной Z-решетчатой системы (Z, Ω0, (ΩΛ)
при некотором N>0 существует N перемешивающих N Z-решетчатых
(β)
систем
1
(Ω
где система (N Z, Ω
(β)
,t
0
) и N инъективных NZ-морфизмов
(β)
(β)
F
:(Ω
M(0)
(β)
,t
, (Ω
Λ
) → (N Z, Ω
)
Λ∈F
0
M(0)
) получена из (Z, Ω0, (ΩΛ)
, (Ω
Λ
)
Λ∈F
),
ничением Z на подгруппу NZ со следующими свойствами:
(a) множества F
(β)Ω(β)
образуют разбиение пространства Ω и цик-
лически переставляются отображением τ ,
(b) если Φ ∈B
(Z, Ω0, (ΩΛ)
1
ствие для системы (N Z, Ω
M(0)
) и Φ∗— соответствующее взаимодей-
Λ∈F
, (Ω
Λ
)
), определенное в предложении
Λ∈F
4.14, то каждое гиббсовское состояние для Φ является выпуклой комбина-
на (Ω
(β)σ(β)
(β)
,t
0
(β)
цией гиббсовских состояний F
состояние для F
(β)∗Φ∗
(c) если ξ ∈ Ω — периодическая точка и τ
,гдеσ
),
(β)
— единственное гиббсовское
p
ξ = ξ,тоp кратно N.
Для доказательства сформулированных теорем предположим, не ограничивая общности, что (Z, Ω
2J
целое J>0,что(t
)ij> 0, если и только если (tJ)ij> 0. [Очевидно,
можно найти такие целые k, l>0,чтоl 2k и (t
случае, когда (t
l
)ij> 0. Возьмем J = l2−kl и заметим, что J = lk+(l−2k)l,
, (ΩΛ)
0
)=(Ω0,t). Тогда существует тако е
Λ∈F
k
)ij> 0 в том и только том
2J = ll +(l − 2k)l.]
Введем отношение порядка
Λ∈F
Λ∈F
) огра-
—
)
J
(i ≺ j) ⇐⇒ (t
1
Используя изоморфизм→ N, мы рассматриваем-решетчатую систему (Ω
-решетчатую систему.
как N
)ij> 0.
(β)
0
,t
(β)
)
5.4. ЛЕММА 97
Оно не зависит от выбора J (так как i ≺ j эквивалентно выполнению при
любом целом J
> 0 неравенства (t
вытекает, что i ≺ k.Намножестве{i ∈ Ω
JJ
)ij> 0). Кроме того, из i ≺ j, j ≺ k
: i ≺ i} определим отношение
0
эквивалентности ∼,положив
(i ∼ j) ⇐⇒ (i ≺ j и j ≺ i).
Обозначим через [i] класс эквивалентности точки i, порожденный этим от-
ношением. Порядок ≺на множестве классов эквивалентности определяется
следующим образом
1
:
([i] ≺ [j]) ⇐⇒ (i ≺ j).
5.4. Лемма
Пусть a, b ∈ Z, a<bи
Λ={x ∈ Z : aJ <x<bJ},M= {x ∈ Z :(a − 1)J<x<(b +1)J }.
Тогда существует такое K>0, не зависящее от a, b,чтоесли
η, η
∈ Ω
то
Сперва заметим, что если ζ , ζ
Z\M
и
[η
(a−1)J
(α
ΛM
]=[η
(a−1)J
μ
){ξ} K (αΛMμ
(M)η
] ≺ [η
(b+1)J
∈ Ω и ζ|Λ=ζ|Λ,то
]=[η
(b+1)J
){ξ}. (5.4)
(M)η
],
exp[−U(ζ|M ) − W
где K
=exp[2×2 × (2|Φ|1+ J |Φ|)].Поэтому
1
(ζ)] K1exp[−U(ζ|M) −W
M, Z\M
M, Z\M
(ζ)],
exp[−U(ζ∗|M) −W
ζ∗: ζ∗|Λ=ζ,
ζ∗|(Z\M )=η
K
1
Определение классов эквивалентности и порядка на них, аналогичное изложенному, явля-
ется стандартным в теории цепей Маркова; см., например, Чжун [1], I, §3.
2
ζ∗: ζ∗|Λ=ζ,
ζ∗|(Z\M)= η
(ζ∗)]
M, Z\M
exp[−U(ζ∗|M) −W
M, Z\M
(ζ∗)], (5.5)
98 ГЛАВА 5
где K2= |Ω0|2JK1. Просуммировав по ζ и поменяв местами η и η,получим
ζ∗: ζ∗|(Z\M )=η
(K
exp[−U(ζ∗|M) −W
−1
)
2
ζ∗: ζ∗|(Z\M)=η
exp[−U(ζ∗|M) −W
M, Z\M
(ζ∗)]
M, Z\M
(ζ∗)]. (5.6)
Деление (5.5) на (5.6) приводит к неравенству (5.4) с K =(K
)2.
2
5.5. Доказательство теорем 5.2 и 5.3
Для любых классов [i] и [j] определим функцию C на пространстве Ω
равенством
+
1,если lim
C(ξ)=
0 в противном случае .
Для всякой вероятностной меры σ на Ω функция C принадлежит алгебре на бесконечности (см. § 1.10) и, следовательно, если σ —чистое
(= экстремальное) гиббсовское состояние, то эта функция почти всюду равна нулю или единице. Поэтому для любого чистого гиббсовского состояния σ, отвечающего взаимодействию Φ ∈B, существуют такие (однозначно
определенные) классы [i] и [j],чтоσ-почти всюду
lim
[ξnJ]=[i], lim
n→−∞
Предположим сначала, что [i] =[j].Длялюбогоε>0 найдется та-
кое N ,что
σ{ξ :[ξ
]=[i] для n −N и [ξnJ]=[j] для n N }> 1 −ε.
nJ
Так как σ — гиббсовское состояние, мы можем оценить вероятность p
того, что [ξ
]=[i], в терминах μ
−NJ
интервал с центром в точке −NJ и
[η
nJ
[ξnJ]=[i] и lim
n→−∞
(M)η
,
[i] при n<0,
]=
[j] при n>0.
[ξnJ]=[j],
n→+∞
[ξnJ]=[j].
n→+∞
{ξ},гдеM —достаточнобольшой
−
То же самое относится и к вероятности p
того, что [ξNJ]=[i].Излем-
+
мы 5.4 с учетом трансляционной инвариантности Φ получим p
Kp+.
−
5.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 5.2 И 5.3 99
Это неравенство несовместимо с неравенствами p−> 1 − ε, p+<ε,еслиε
выбрано достаточно малым. Поэтому предположение [i] =[j] необходимо
отбросить.
Покажем теперь, что при [i]=[j] существует только одно чистое гибб-
совское состояние. Пусть Λ, M выбраны так же, как в лемме 5.4, и пусть
[η
nJ
]=[η
]=[i] при всех n. Зафиксировав η, рассмотрим разность
nJ
Тогда
Если σ, σ
{ξ} =(αΛMμ
#μ
(Λ)η
(M)η
){ξ}−
||#μ
|| =
(Λ)η
ξ∈Ω
Λ
— гиббсовские состояния, то
α
(σ −σ){ξ} =(σ
Λ
Z\M
1
(α
K
#μ
{ξ} =1−K−1.
(Λ)η
(dη) −σ
ΛM
Z\M
μ
(M)η
(dη))#μ
){ξ} 0.
{ξ}.
(Λ)η
Поэтому
||σ −σ
|| = lim
−a, b→∞
и, следовательно, ||σ − σ
||αΛ(σ −σ)|| ||σ −σ||(1 − K−1)
|| =0.
Таким образом, мы показали, что для каждого чистого гиббсовского
состояния σ на (Ω
,t) существует такой класс [i],чтомераσ сосредоточена
0
на множестве
[i]
= {ξ ∈ Ω: [ξnJ]=[i] при любом n ∈ Z},
Ω
причем для разных σ эти классы различны.
Пусть ξ, ξ
для некоторого i, i
Отсюда видно, что ξ
и тому же классу [j]. Тем самым, τ
J−aΩ[j]
τ
⊂ Ω
[i]
[i]
∈ Ω
и 0 <a<J;тогда(ta)
∈ [i].Таккак(tJ)
≺ ξaи, следовательно, ξaи ξ
a
,такчтоτaΩ
[i]
=Ω
[j]
ii
aΩ[i]
.
Пусть α — множество таких классов [j],чтоΩ
> 0 и (t
iξ
a
> 0, мы имеем (t2J)
принадлежат одному
a
[j]
⊂ Ω
. Аналогичным образом,
[j]
= τaΩ
J−a
)
ξ
a
ξ
ξ
a
[i]
при a ∈ Z
a
i
> 0
> 0.
(или, что то же самое, при 0 a<J). Если [j], [k] ∈ α и [j] ≺ [k],то,
как мы покажем, [j]=[k]. Действительно, найдется такое a, 0 a<J,
aΩ[k]
что τ
k ∈ [k]. С другой стороны, [j] ≺ [k] означает, что (t
(l+1)a+lJ
(t
[j]
=Ω
и, следовательно, (ta)kj> 0 при некоторых j ∈ [j],
J
)jk> 0.Нотогда
)kj> 0 при всех целых l 0.Взявl = J − 1,получимk ≺ j
100 ГЛАВА 5
и, значит, [j]=[k]. Таким образом, мы доказали, что различные классы
[j], [k] ∈ α несравнимы.
Обозначим через Ω
(α)
⊂ Ω0объединение классов [j] ∈ α.Пустьt
0
ограничение матрицы t на множество Ω
(α)
Ω
= {ξ ∈ (Ω
(α)
0
и введем отображение вложения F
lim
[ξnJ]=[j] и lim
n→−∞
=[k], ξ ∈ Ω
[j]
.Поэтому
[ξnJ]=[k].Тогда[j] ≺ [k] и, следовательно, [j]=
n→∞
F
)Z: t
(α)Ω(α)
(α)
ξ
xξx+1
(α):Ω(α)
=
(α)
0
× Ω
(α)
.Положим
0
=1для всех x ∈ Z}
→ Ω.Пустьξ ∈ F
[j]
Ω
. (5.7)
[j]∈α
(α)
(α)Ω(α)
—
,
Теперь мы можем доказать теорему 5.2. Прежде всего ясно, что для
любых j, k ∈ Ω
(α)
(α)
,t
(Ω
0
здесь главное — проверить, что если ξ ∈ Ω
как в силу (5.7) можно предположить, что F
получаем Σ
(α)
найдется такое a>0,что(ta)jk> 0 и, значит, система
0
) транзитивна. Легко видеть, что F
(α)
(α)
[i]
⊂ F
(α)Ω(α)
.
⊂ Ω
(α)
F
ξ
(α)
является Z-морфизмом;
,тоΣ
ξ ∈ Ω
(α)
F
[j]
, мы действительно
ξ
⊂ F
(α)Ω(α)
.Так
Различные множества α классов [i] можно считать непересекающи-
мися, что доказывает п. (a) теоремы 5.2. Вспомним теперь, что носитель
(α)
на Ω
1
являет-
каждого чистого гиббсовского состояния для взаимодействия Φ ∈B
содержится в одном из множеств Ω
жеств F
(α)Ω(α)
. Поэтому ограничение такого состояния на Ω
[i]
и, следовательно, в одном из мно-
ся гиббсовским состоянием для ограничения взаимодействия Φ на множе-
ство{Ω
Утверждение (c) доказывается непосредственно.
(α)
: X конечно},т.е.дляF
X
Для доказательства теоремы 5.3 предположим, что система (Ω
транзитивна, т. е. что имеется только одно α и Ω=Ω
различных классов [j] в α.ТогдамножестваΩ
(α)∗
Φ. Это доказывает утверждение (b).
(α)
[j]
циклически переставляют-
.ПустьN —число
0
,t)
ся под действием τ спериодомN и (5.7) принимает вид
N−1
Ω=
β=0
τ−βΩ
[i]
. (5.8)
Отображение x → Nx является изоморфизмом группы Z на ее подгруппу N Z. Ограничение Z на N Z в (Ω
,t) дает NZ-решетчатую
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]